精品解析：江西南昌市江西科技学院附属中学2025-2026学年第二学期高二年级期末考试数学试卷

江科附中2025~2026学年第二学期高二年级期末考试数学试卷 卷面分数：150分考试时间：120分钟 命题人：高二数学备课组审题人：高二数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，若，则由实数组成的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（    ） A. 0 B. 2 C. D. 1 4. 下列命题是假命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为减函数 C. 的值域为 D. 8. 定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，对应关系为从集合到集合的函数的是（ ） A. 为“乘以2”， B. 为“对应元素为4或5”， C. 为“求倒数”， D. 为“求平方根”， 10. 已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（ ） A. 存在实数使得，是方程的两根 B. 若，则的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 11. 已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 2为的一个周期 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数且，则的值为______． 13. 已知函数，若正数，满足，则的最大值为___________． 14. 已知定义在上奇函数，且当时，满足，且当时，，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为等差数列的前项和，，. （1）求； （2）求数列的前项和. 16. 已知幂函数的图象关于轴对称. （1）求实数的值； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围． 18. 如图所示，已知抛物线：的焦点为，直线过点． （1）若直线与抛物线相切于点，求线段的长度； （2）若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积． 19. 已知函数的定义域为，对于正实数，定义集合. （1）若，且时，，求； （2）若，求的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有，证明：对任意实数，函数在上至多有9个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江科附中2025~2026学年第二学期高二年级期末考试数学试卷 卷面分数：150分考试时间：120分钟 命题人：高二数学备课组审题人：高二数学备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，所以，即，得. 当时，， ，. 所以函数为奇函数. 所以. 2. 设集合，，若，则由实数组成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 3. 已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（    ） A. 0 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性，结合恒等式可求解，从而可求出结果. 【详解】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即. 故选：A. 4. 下列命题是假命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项验证即可求解. 【详解】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 5. 已知函数，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和时的单调性，将函数值不等式转化为绝对值不等式求解即可. 【详解】函数的定义域为R， 且满足， 故为偶函数； 当时，，其中在上单调递增， 在上单调递减，则在上单调递增， 因此在上单调递增； 由偶函数性质，等价于， 结合函数的单调性得 两边均非负，平方后不等号方向不变， 得，展开整理得， 即 ，解得，即的解集为. 6. 设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件. 【详解】当时：，当时，单调递减，；当时，，无最大值. 当时：时，单调递增，当时，，无最大值. 当时：时，单调递减，故； 时，，开口向下，对称轴为. 若时，即时，在上的最大值为， 则，解得； 若时，即时，在上单调递增，最大值为， 则即，因为， ，不等式无解，函数此时无最大值； 综上有最大值的充要条件为. 因为， 所以有最大值的一个充分不必要条件是. 7. 已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为减函数 C. 的值域为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，可求得，再分别令，，检验其正确性，确定，判断A；由A所得，求出，判断B；根据所得，求得，利用导数判断单调性，从而求得的值域，判断C；求出，利用基本不等式判断D. 【详解】对于A，令，得，所以或. 当时，令，得，即. 此时，所以. 令，得，即. 所以. 同理可验证 正确，故A错误； 对于B，令，所以B错误； 对于C，则， 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 所以的值域为，故C错误； 对于D，因为， 即，故D正确． 8. 定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】推导出函数是周期为的周期函数，根据对称中心在函数的图象上，可得出的值，利用导数可求出函数在上的最大值和最小值，再结合函数的对称性和周期性可求得函数的最小值和最大值，即可得解. 【详解】对任意的，，， 所以的图象关于直线对称，又关于点对称， 所以，， 所以，所以，即， 所以，故是周期为的周期函数． 因为的定义域为，所以对称中心在的图象上，可得，则． 当时，，有， 当或时，；当时，. 可知在上递增，在区间上递减，在上递增． 当时，，， 又因为，，所以，， 由于的图象关于点对称，故当时，，． 故当时，，． 由于的图象关于直线对称，故当时，，． 因为是周期为的周期函数，故当时，，． 因此的最大值与最小值的差为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中，对应关系为从集合到集合的函数的是（ ） A. 为“乘以2”， B. 为“对应元素为4或5”， C. 为“求倒数”， D. 为“求平方根”， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的定义，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，则，符合题意，故A正确； B：因为，所以不符合题意，故B错误； C：若，则，所以符合题意，故C正确； D：若，则的平方根为，而，故D错误. 故选：AC 10. 已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（ ） A. 存在实数使得，是方程的两根 B. 若，则的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合韦达定理、基本不等式、二次函数值域求解，先利用题干等式转化为韦达定理形式，再分别分析各选项. 【详解】选项A：若、是方程的两根， 由韦达定理得，，代入题干， 左边，右边，等式成立；又， 则，即或时存在这样的，A正确； 选项B：若，由基本不等式， 代入得，令， 则，解得即，当且仅当时等号成立， 但，故，即范围为，B正确； 选项C：令，则，则、是方程的两根， 判别式，解得或， 即的范围是，并非仅，C错误； 选项D：， 由：当时，，故； 当时，，故，综上范围为，D正确. 11. 已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 2为的一个周期 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，先分析函数和函数的基本性质，再结合函数的对称性、周期性分析各个选项. 【详解】已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线， 因为为奇函数，所以， 则函数的图像关于点对称. 因为函数，且为偶函数， 所以， 则函数的图像关于直线对称，即. 对于A，由，且， 可得，， 则对任意成立，即，所以是奇函数. 对于B， 由函数的图像关于点对称，且为奇函数， 可得， 用代替x，则，所以函数的一个周期为4，不是2. 对于C，由，令，则， 因为为奇函数，令，则，即，因此. 对于D，因为是奇函数，其图象是一条连续不断的曲线，所以， 由，且，令，可得. 因为函数的周期为4，所以，，，. 由，可得： ，， ，，， ， ， ， 可以发现： ，， 每4项为一个周期，每个周期的和为，100项中共有25个周期， 所以. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】函数且， 所以，即, 所以 13. 已知函数，若正数，满足，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用条件得到，结合条件求的范围，设，则，结合对勾函数性质求的范围可得结论. 【详解】， ， 即，得，，因为，所以， 所以，设，则， 故， 由对钩函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 14. 已知定义在上奇函数，且当时，满足，且当时，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的递推性质及奇偶性求出参数，再由函数解析式及递推关系得出即可得解. 【详解】因为当时，满足， 所以，即， 又函数为上的奇函数，所以， 即，解得，又，解得， 所以时，，所以， 由，， 所以，同理， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为等差数列的前项和，，. （1）求； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可； （2）利用裂项相消法进行求解即可. 【小问1详解】 因为数列是等差数列， 所以由， 所以公差为， 所以； 【小问2详解】 ， 所以，因此 16. 已知幂函数的图象关于轴对称. （1）求实数的值； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2）或3 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义可知，解得，再根据图象关于轴对称可进一步确定的值； （2）根据图象对称轴的位置求得最值，列方程即可求解. 【小问1详解】 因为函数是幂函数， 所以，解得或. 当时，；当时，， 因为函数关于轴对称，所以函数是偶函数，即， 故. 【小问2详解】 由（1）知， 因为在区间上的最小值为，所以 ①当，即时，在区间上单调递增， 所以，解得，符合； ②当，即时，，解得， 又因为，所以； ③当，即时，在区间上单调递减， 所以，解得，不符合，舍去. 综上可得，的值为或3. 17. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分，两种情况讨论求解即可； （2）令，求导，分，两种情况，根据函数单调性与求解即可. 【小问1详解】 ． 当时，恒成立，故函数在单调递增； 当时，令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增； 【小问2详解】 令，，， ，，． 令，， 而在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，时，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故由可知，时，与在恒成立矛盾； 综上，实数的取值范围是． 18. 如图所示，已知抛物线：的焦点为，直线过点． （1）若直线与抛物线相切于点，求线段的长度； （2）若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线与抛物线相切得到参数值，进而得到点坐标，再利用抛物线的定义求解长度即可. （2）联立方程组结合韦达定理得到，结合给定向量关系建立方程，求出点的不同坐标，再结合重心的性质求解三角形面积即可. 【小问1详解】 设直线的方程为， 联立方程组，得到， 因为直线PQ与抛物线相切，所以，解得， 此时，代入抛物线中得， 由抛物线定义得． 【小问2详解】 由题意得直线的方程为， 如图，设，，连接， 联立方程组， 得，则． ， 且，， ，解得， 当时，，，直线， 联立方程， 得，则， 由已知得点为的重心， 所以 ， 同理当时，， 综上所述． 19. 已知函数的定义域为，对于正实数，定义集合. （1）若，且时，，求； （2）若，求的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有，证明：对任意实数，函数在上至多有9个零点. 【答案】（1）1 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入即可求解， （2）根据在和上的单调性可得，结合，即可根据二次函数的性质求解， （3）根据的奇偶性以及所给定义，可作出的图象，结合函数图象交点的情况，对分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由，得， 所以. 【小问2详解】 因为，所以存在实数使得，且， 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递增. 由，得，所以， 若，则方程无解； 若，则方程可以化为， 因为在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，当时，，所以，即的取值范围是. 【小问3详解】 证明：对任意的，，由是偶函数，得， 又，所以， 所以，因为，则， 所以，所以，. 对任意的时，，，则，， 所以.又，，则，即， 所以当时，，而为偶函数，画出函数在上的图象如图1所示，其中，，但，，均未知. 首先说明， 若，则，易知此时，，则， 所以，而时，，所以，与矛盾，所以，即. 令，则， 当时，若，如图2，最多有7个零点， 当时，若，如图3，有5个零点，故最多有5个零点； 当时，若，如图4，有5个零点，故最多有5个零点； 当时，若，则，0，4是的零点， 又，如图5，在区间，，，，，上各有1个零点，以及，0，4是零点，故最多有9个零点. 综上所述，对任意实数，函数在上至多有9个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $