精品解析：广东梅州市兴宁市第一中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

兴宁一中高二年级期考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用补集的概念求出，然后利用交集运算求解即可. 【详解】由可得或， 又，所以. 故选：A. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性和必要性的定义，结合不等式的性质进行判断即可. 【详解】由， 当时，不一定能推出， 例如，显然，但是不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用诱导公式即可求解. 【详解】， 故选：A 5. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.5 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布的对称性得到答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A. 6. 2025年第十三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会5月16日在郴州国际会展中心举行，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，则不同的志愿者分配方案的种数是（ ） A. 120 B. 150 C. 180 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知有，两种分配方案，进而求解即可. 【详解】由题意，按分配，方案的种数为, 按分配，方案的种数为, 所以不同的志愿者分配方案的种数是. 故选：B. 7. 已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（ ） 0 2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质，结合期望和方差的运算性质进行求解即可. 【详解】由分布列可得， 由， 由， ， 所以， 故选：A 8. 若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数，可转化为直线与曲线交点个数，数形结合可得参数范围. 【详解】由已知有两个解， 即有两个解， 设， 则直线与函数有两个公共点， 又， 可知当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，，， 作出函数图象如图所示， 所以当直线与函数有两个公共点， 则， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分. 9. 某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 由题中数据可知，变量y与x负相关 B. 线性回归方程中 C. 当时，残差为- D. 可以预测当时能耗约为2.2吨 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由回归方程可判断变量y与x的负相关；对于B，利用回归方程过可判断选项正误；对于C，由回归方程及残差定义可判断选项正误；对于D，由回归方程可得预测值. 【详解】对于A，因回归方程斜率为负值，则变量y与x负相关，故A正确； 对于B，，， 因回归方程过，则，故B正确； 对于C，当时，由B分析，，则残差为： 故C正确； 对于D，当，由B分析，，故D错误. 故选：D 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式通项公式判断A，利用赋值法来判断BC，利用求导法，结合赋值来判断D. 【详解】由，所以，故A正确； 令得：， 令得：， 所以，故B错误； 再令得：， 与相加得：，故C正确； 由，两边同乘可得; , 两边求导得：， 再令得：，故D正确； 故选：ACD. 11. 甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由古典概型可得结果；对于B，由样本空间点可得结果；对于C，先求出， 再由条件概率的定义可得；对于D，由全概率公式可算得. 【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误； 对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率， 当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知； 对于C，由B选项分析同理可得， 由条件概率的定义可知，故C正确； 对于D，由全概率公式可得，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据函数解析式求出的值，然后求出，再根据导数的几何意义求出切线斜率，进而利用点斜式求解切线方程. 【详解】已知，所以，得切点为. 又， 则切线斜率， 由此可得切线方程为，即：. 故答案为： 13. 若，且，则的最小值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由，结合基本不等式得出最小值. 【详解】因为及x、y为正数， 所以，即， 当且仅当时，取等号. 故答案为： 14. 有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，背面均写有数字7．先把这些卡片正面朝上排成一排，且第个位置上的卡片恰好写有数字．然后掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数为n，则将第n个位置上的卡片翻面并置于原处．进行上述实验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为3的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设事件3次试验后，卡片朝上的数字之和为偶数为，设事件三次试验中抛掷骰子所得点数恰有一次为3为，先计算，最后利用条件概率公式即可求解. 【详解】由已知，试验前卡片朝上的数字之和为，数字之和为奇数， 若抛掷骰子所得点数为奇数，则试验后卡片朝上的数字之和仍然为奇数， 若抛掷骰子所得点数为偶数，则试验后卡片朝上的数字之和变为偶数， 所以事件进行3次实验后卡片朝上的数字之和为偶数，等于事件三次试验中抛掷骰子所得点数有一次为偶数，余下两次为奇数，或三次试验中抛掷骰子所得点数都为偶数， 设事件3次试验后，卡片朝上的数字之和为偶数为， 设事件三次试验中抛掷骰子所得点数恰有一次为3为， 记表示第次试验中抛掷骰子所得点数为偶数，，则， 设表示第次试验中抛掷骰子所得点数为1或5，，则， 设表示第次试验中抛掷骰子所得点数为3，，则， 所以，所以， 事件表示三次试验中有一次骰子的点数为3，另两次的点数为一个奇数一个偶数其中奇数为1或5， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，若，. （1）求； （2）若边的中线长为，求的面积. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式可求得，得角； （2）在中应用余弦定理求得，再用三角形面积公式求得面积． 【详解】解：（1）在中，，且， ∴， ∴， 又∵，∴. ∵是三角形的内角，∴. （2）在中，， 由余弦定理得， ∴．即，, ∵，∴. 在中，，，， ∴的面积. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式．解三角形是时，要注意已知条件，根据条件确定选用正弦定理还是余弦定理是解题关键． 16. 某企业调研后，得到研发投入（万元）与产品收益（万元）的数据如下： 1 2 3 4 5 9 12 17 21 26 （1）若与线性相关，请根据样本相关系数推断它们的相关程度；（若，则相关程度一般；若，则相关程度很强） （2）求出关于的经验回归方程，并预测当研发投入6万元时的产品收益. 参考数据： 参考公式：，，. 【答案】（1）变量与的相关程度很强 （2），约为万元 【解析】 【分析】（1）根据所给数据，求出相关系数，即可判断； （2）由公式求出，得出线性回归方程，再由方程预测收益即可. 【小问1详解】 由表格数据可得，， 所以， ， 所以， 可知变量与的相关程度很强. 【小问2详解】 由（1）可知，， ， 所以， 则， 可得关于的经验回归方程为， 令，可得， 即预测研发投入6万元时，产品收益约为万元. 17. 某药物研究机构为考察药物A对疾病S的效果，随机抽取了600只动物进行实验，得到如下列联表： 药物（疾病） 未患病 患病 未服药 150 150 服药 200 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对疾病S有效？ （2）现从参与试验服药的300只动物中，按是否患疾病S采用分层抽样的方法抽取6只动物；再从这6只动物中随机抽取3只动物进一步试验，记抽取的3只动物中患病的只数为X，求X的分布列以及数学期望. 附：（其中） 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为该药物对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不大于0.001 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据公式求出后，对照临界值即可求解. （2）先求得未患病的只数为4，患病的只数为2，的所有可能取值为0，1，2，求出对应的概率，写出分布列，从而求出数学期望. 【小问1详解】 零假设：患病与服用药物无关，即药物无效． 根据列联表可得． 因为当假设成立时，， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该药物A对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不大于0.001． 【小问2详解】 从参与试验服药的300只动物中，按是否患病S通过分层抽样方法随机取出6只， 其中未患病的只数为，患病的只数为， 则的所有可能取值为0，1，2， ， 所以的分布列为 0 1 2 故随机变量的数学期望为． 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和讨论导函数的符号，可确定函数的单调性. （2）先把问题转化成，.设，，再利用导数求函数的最小值即可. 【小问1详解】 因为. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增； 若，由可得，由可得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由. 因为时，恒成立，所以，. 设，，则. 再设，，则. 因为，所以在上恒成立. 所以在上单调递增. 又∵，， ∴唯一存在，使得，即. 且当时，，当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 又由， 设函数，，则在上恒成立， 且，，所以. 所以. 所以. 19. 一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球. （1）求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率； （2）停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望； （3）若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率计算公式即可求出结果. （2）分别求出的概率，即可列出分布列和求出数学期望. （3）根据题干列出的递推公式，再利用构造新数列的方法即可求出结果. 【小问1详解】 依题意停止时恰好取了4次，前3次为2个黑球1个红球，第4次为红球， 其概率为. 【小问2详解】 依题意. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 故分布列为： X 2 3 4 5 6 7 P 期望. 【小问3详解】 依题意有甲袋始终有4个小球，重复次这样操作后，记甲袋子中恰有2个红球的概率为，恰有0个红球的概率为，则. 令， 即数列是以为首项，公比为的等比数列， .当时满足等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁一中高二年级期考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.5 6. 2025年第十三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会5月16日在郴州国际会展中心举行，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，则不同的志愿者分配方案的种数是（ ） A. 120 B. 150 C. 180 D. 300 7. 已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（ ） 0 2 A. B. C. D. 8. 若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分. 9. 某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A. 由题中数据可知，变量y与x负相关 B. 线性回归方程中 C. 当时，残差为- D. 可以预测当时能耗约为2.2吨 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程是______. 13. 若，且，则的最小值为_________. 14. 有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，背面均写有数字7．先把这些卡片正面朝上排成一排，且第个位置上的卡片恰好写有数字．然后掷一枚质地均匀的骰子，若向上点数为n，则将第n个位置上的卡片翻面并置于原处．进行上述实验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为3的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，若，. （1）求； （2）若边的中线长为，求的面积. 16. 某企业调研后，得到研发投入（万元）与产品收益（万元）的数据如下： 1 2 3 4 5 9 12 17 21 26 （1）若与线性相关，请根据样本相关系数推断它们的相关程度；（若，则相关程度一般；若，则相关程度很强） （2）求出关于的经验回归方程，并预测当研发投入6万元时的产品收益. 参考数据： 参考公式：，，. 17. 某药物研究机构为考察药物A对疾病S的效果，随机抽取了600只动物进行实验，得到如下列联表： 药物（疾病） 未患病 患病 未服药 150 150 服药 200 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对疾病S有效？ （2）现从参与试验服药的300只动物中，按是否患疾病S采用分层抽样的方法抽取6只动物；再从这6只动物中随机抽取3只动物进一步试验，记抽取的3只动物中患病的只数为X，求X的分布列以及数学期望. 附：（其中） 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围； 19. 一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球. （1）求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率； （2）停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望； （3）若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $