精品解析：广东深圳市东北师范大学附属中学深圳学校2025-2026学年下学期高二期末考试数学试卷

2025-2026学年下学期 高（二）年级期末考试 （数学）科试卷 考试时间：120分 钟满分：150分 注意：将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据集合的表达式求出符合集合范围的元素，再计算两个集合的交集即可. 【详解】首先明确自然数集包含，由集合的定义，设，其中，变形得，， 已知集合，将非负整数依次代入计算： 当时，，属于集合； 当时，，属于集合； 当时，，属于集合； 当时，，超出集合的元素范围，不满足要求， 因此，故B正确. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”是真命题 C. 由一组样本数据，，…，得到经验回归方程，若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱 D. 甲、乙、丙三名大学生从勐焕大金塔、一寨两国、黄草坝、陇川欢乐水世界、南甸宣抚司署五个景点中各选一个去游玩，则共有125种不同选法 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据充分、必要条件分析判断；对于B：构建，利用导数证明不等式；对于C：根据相关系数的意义分析判断；对于D：根据分步乘法计数原理运算求解. 【详解】对于选项A：若，则，即充分性成立； 若，例如，满足，但不成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于选项B：构建，则， 可知函数在内单调递增，则，即， 所以命题“，”是真命题，故B正确； 对于选项C：根据相关系数可知：若相关系数越小，则两组变量的相关性越弱，故C不正确； 对于选项D：因为甲、乙、丙三名大学生从五个景点中各选一个去游玩， 所以共有种不同选法，故D正确； 故选：C. 3. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 4. 在的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A. B. 256 C. 960 D. 3840 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据二项式系数之和求出，然后求展开式的通项公式，确定展开式的常数项. 【详解】因为的展开式中，二项式系数之和为64， 所以，解得， 所以， 展开式的通项为. 令，得， 所以展开式的常数项为． 5. 已知函数，则对任意实数x，有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过求函数的零点以及分析函数在特定区间的正负性，逐项判断即可求解. 【详解】令 ，即 ， 因为 恒成立，所以  ，解得  或 ； 所以函数  的图象与  轴有两个交点，分别为  和  ， 观察选项：A选项图象与  轴只有一个交点，排除； C选项图象在  处与  轴有交点，排除； 对于D选项，当  时， ， ， 由指数函数与幂函数的增长速度可知，即图象在  轴负半轴应无限趋近于  轴， 而D选项图象在  时 ，排除D, 当  时， ，且 ，所以 ，图象在  轴上方，且在  轴负半轴应无限趋近于  轴； 当  时， ，所以 ，图象在  轴下方， 当  时， ，所以 ，图象在  轴上方； B选项符合上述所有特征. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造辅助函数，利用导数判断函数的单调性，代入即可比较三者大小． 【详解】比较与的大小： 构造函数，定义域为， 求导得，当时，， 故，在上单调递增， 因此，即，整理得； 比较与的大小： 构造函数，定义域为，求导得， 当时，，故，所以在上单调递增， 因此，即，整理得， 所以． 8. 已知函数则方程的解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式以及分段函数的性质，画图，利用换元法，整理化简方程，再利用方程与函数的关系，结合图象，可得答案. 【详解】函数的图象如图所示： 设，则方程即，由图象可知，与有三个交点， 横坐标分别为，其中，，， 方程解的个数转化为方程，，解的个数之和， 由图象可知，与有一个交点，与有三个交点， 与没有交点， 所以方程解的个数为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分. 9. 一袋中有质地､大小完全相同的3个红球和2个白球，下列结论正确的是（ ） A. 从中一次性任取3个球，恰有1个白球的概率是 B. 从中有放回地取球3次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为 C. 从中不放回地取球，每次取1个球，取完白球就停止，记停止时取得的红球的数量为，则 D. 从中不放回地取球2次，每次取1个球，则在第1次取到白球的条件下，第2次再取到白球的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据古典摡型的概率计算公式，独立重复试验的概率计算公式，以及条件概率的计算公式，逐项计算，即可求解. 【详解】对于，从中任取3个球，恰有1个白球的概率为，故正确； 对于，从中有放回地取球3次，每次任取1个球，其中每次取到白球的概率为，所以恰好有2个白球的概率为，故B不正确； 对于，表示事件“取完白球时，取到1个红球”，共取球3次，前2次1红1白，第3次为白球，概率为，故正确； 对于，设第1次取到白球为事件，第2次再取到白球为事件，所以第1次取到白球的条件下，第2次取到白球的概率为，故D错误. 故选：AC. 10. 若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 有3个不同的零点 C. 最小值为 D. 对任意，，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可判断A，令求出方程的解，即可判断B，利用导数说明函数的单调性，即可判断C，利用作差法判断D. 【详解】A，因为，则， 又是偶函数，所以，即， 所以对任意的x恒成立，所以，解得，故A正确； B，令，即，解得、、， 所以有3个不同的零点，故B正确； C，因为， 当或时，当时， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以不存在最值，故C错误； D，设任意，则，，则， 又， 所以，当且仅当时取等号， 所以对任意，，都有，故D正确． 11. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 在上有最大值 B. 的图象关于点对称 C. D. 方程在内有4个实数解 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项：利用周期性将未知区间平移化归到已知解析式的区间来分析最值；B选项：结合已知的对称轴和周期性质，通过代数恒等变形验证中心对称公式成立；C选项：算出单一完整周期内各整数点的函数值之和为零，再利用总项数对周期数求余来确定最终结果，D选项：结合周期性分段画出函数图像，即可确定交点个数即方程在内实数解的个数. 【详解】因为为奇函数，则有，即关于点对称， 因为为偶函数，则有， 令，则， 代入得，即，则关于直线对称， 可得，， 因此为周期函数，最小正周期， 对于A，当时，即时，已知在上，所以， 因此，所以在区间上单调递增， 又，，在此区间内从递增至， 当时，即时， 由关于的对称性可得，在上， 所以，因此， 所以在区间上单调递减， 即，，在此区间内从递减至， 综上，在区间上，在处取得最大值，故A正确； 对于B，由上知，进而有， 且，代入得，即， 故关于点对称，故B正确； 对于C，，，，， ，，，， 一个周期的和为， 从到共有项，包含253个完整周期，其和为0， 剩下的项是，总和为，故C错误； 对于D，方程在的解，就是与在内图像的交点，由上可作图象如下， 通过图像可得交点个数为4个，即在内有4个实数解，故D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的对称中心是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的对称性求解即可. 【详解】设函数的对称中心为，则. 又 ， 所以， 则，解得. 所以函数的对称中心是. 13. 若曲线，则曲线在的切线方程为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出切点，再根据导数的几何意义求出斜率，代入点斜式方程求出直线方程即可. 【详解】解：由题可得， 当时，，， 所以切点坐标为，斜率为， 因此切线方程为，即. 14. 如图是一块高尔顿板的示意图．黑点表示木钉.小球下落过程中，每次碰到木钉后可能向左或向右下落，其中向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入________号格子的概率最大． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得小球掉入号格子的概率为，由此列出不等式组求解即可. 【详解】小球下落需要10次碰撞，每次向左下落的概率为，向右下落的概率为， 小球掉入0号格子需要向左10次，其概率为； 小球掉入1号格子需要向左9次，向右1次，其概率为； 小球掉入2号格子需要向左8次，向右2次，其概率为； 小球掉入3号格子需要向左7次，向右3次，其概率为； …… 依此类推，小球掉入号格子需要向左次，向右次，其概率为； 设小球掉入号格子的概率最大，显然， 则， 即， 所以， 解得， 又因为为整数， 所以. 即小球落入8号格子的概率最大. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）， 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，即可求出最大值，而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以在上的最小值为. 又因为，所以， 所以函数在上的最小值为，即. 16. 泊松分布是一种常见的离散概率分布，若随机变量只取非负整数值，取值的概率为，则随机变量的分布称为泊松分布．已知在一个时间周期内，某种放射源放射出的粒子中经过计数器的粒子数服从泊松分布，且一个周期内没有粒子经过计数器的概率为，每个周期内经过计数器的粒子数不受其他周期影响，且放射源状态稳定、持续放射． （1）求一个周期内至少有个粒子经过计数器的概率（结果精确到）； （2）设经过个周期后，满足一个周期内至少有个粒子经过计数器的周期共有个，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）求至少有个粒子经过计数器的概率，利用正难则反的思想来求解； （2）利用二项分布概率公式来求解即可. 【小问1详解】 因为服从泊松分布， 所以的分布列为， 因为一个周期内没有粒子经过计数器的概率为， 所以，解得． 故一个周期内至少有个粒子经过计数器的概率 ． 【小问2详解】 由题意得的所有可能取值为，且， 则， ， ， ． 所以的分布列为： 故． 17. 随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计，具体数据见下表： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 年销售量/十万辆 3 4 5 6 7 9 10 12 广告费投入/亿元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 （1）求广告费投入y（亿元）与年销售量x（十万辆）之间的线性回归方程（精确到0.01）； （2）若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.6；如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8，求这个人购买的是新能源汽车的概率. 参考数据：，. 附：回归直线中，，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数据求得回归方程系数，即可求解； （2）由全概率公式即可求解； 【小问1详解】 ，， 由参考数据 所以 故广告费投入y关于年销售量x的回归方程为. 【小问2详解】 设“在甲汽车店购买汽车”，“在乙汽车店购买汽车”， “购买的是新能源汽车”， ，，， 由全概率公式得，. 18. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【小问1详解】 若，则，令，得， 故的定义域为． 【小问2详解】 令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. 【小问3详解】 因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 19. （1）已知函数，若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围； （2）函数． ①若为增函数，求实数a的取值范围； ②证明：函数有且仅有一个零点． 【答案】（1）； （2）① ②证明：函数的定义域为. 令，可得，令， 则函数有且仅有一个零点等价于与的图象有且仅有一个交点. ， 设，则， 令，则，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，在处取得最小值，即， 所以，则在上单调递增. 又当时，，当时，， 所以在上值域为， 则与的图象有且仅有一个交点， 故有且仅有一个零点． 【解析】 【分析】（1）分离参数，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系，结合函数图象求解即可. （2）①为增函数等价于；分离参数，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. ②分离参数，构造函数，根据导数与单调性的关系，结合零点与函数图象交点的关系证明即可. 【详解】（1）当时，由，得. 令，其中，则直线与函数在上的图象有两个交点． ，令，则，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以当时，函数在处取得极大值为，， 又，， 则在的图象如图所示， 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 因此，实数a的取值范围是． （2）①由题设， 若为增函数，则，， 即对任意恒成立，即对任意恒成立． 令，， 令，则，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 故的取值范围是. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期 高（二）年级期末考试 （数学）科试卷 考试时间：120分 钟满分：150分 注意：将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， 则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”是真命题 C. 由一组样本数据，，…，得到经验回归方程，若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱 D. 甲、乙、丙三名大学生从勐焕大金塔、一寨两国、黄草坝、陇川欢乐水世界、南甸宣抚司署五个景点中各选一个去游玩，则共有125种不同选法 3. 已知，，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 在的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A. B. 256 C. 960 D. 3840 5. 已知函数，则对任意实数x，有（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数则方程的解的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分. 9. 一袋中有质地､大小完全相同的3个红球和2个白球，下列结论正确的是（ ） A. 从中一次性任取3个球，恰有1个白球的概率是 B. 从中有放回地取球3次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为 C. 从中不放回地取球，每次取1个球，取完白球就停止，记停止时取得的红球的数量为，则 D. 从中不放回地取球2次，每次取1个球，则在第1次取到白球的条件下，第2次再取到白球的概率为 10. 若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 有3个不同的零点 C. 最小值为 D. 对任意，，都有 11. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 在上有最大值 B. 的图象关于点对称 C. D. 方程在内有4个实数解 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的对称中心是_______________． 13. 若曲线，则曲线在的切线方程为_______________. 14. 如图是一块高尔顿板的示意图．黑点表示木钉.小球下落过程中，每次碰到木钉后可能向左或向右下落，其中向左下落的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，则小球落入________号格子的概率最大． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 16. 泊松分布是一种常见的离散概率分布，若随机变量只取非负整数值，取值的概率为，则随机变量的分布称为泊松分布．已知在一个时间周期内，某种放射源放射出的粒子中经过计数器的粒子数服从泊松分布，且一个周期内没有粒子经过计数器的概率为，每个周期内经过计数器的粒子数不受其他周期影响，且放射源状态稳定、持续放射． （1）求一个周期内至少有个粒子经过计数器的概率（结果精确到）； （2）设经过个周期后，满足一个周期内至少有个粒子经过计数器的周期共有个，求的分布列及数学期望． 参考数据：． 17. 随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006年，在国家节能减排的宏观政策指导下，科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自2011年起，国家相关部门重点扶持新能源汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.小张同学对某品牌新能源汽车近8年出售的数量及广告费投入情况进行了统计，具体数据见下表： 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8 年销售量/十万辆 3 4 5 6 7 9 10 12 广告费投入/亿元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 （1）求广告费投入y（亿元）与年销售量x（十万辆）之间的线性回归方程（精确到0.01）； （2）若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.6；如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为0.8，求这个人购买的是新能源汽车的概率. 参考数据：，. 附：回归直线中，，. 18. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 19. （1）已知函数，若函数在上有且仅有2个零点，求a的取值范围； （2）函数． ①若为增函数，求实数a的取值范围； ②证明：函数有且仅有一个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $