重庆市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

高一数学 数学共4页，满分150分.时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知向量a=(2x,-1),b=(1,1),若a⊥b,则x= 2-3 D.1 2.已知一组数据为：3,4,6,7,7,10，下列说法正确的是 A.中位数为6，极差为6 B.中位数为6.5，极差为6 C.中位数为6，极差为7 D.中位数为6.5，极差为7 3.已知复数z是方程x2+2=0的根，则z可以是 A.-2+i B.-2i c.√2i D.2+i 4.如图，一个水平放置的三角形ABO的斜二测直观图是三角形A'B'O',若OB'=2,OA=1,则原三角形 的面积为 y A A.1 B.2 B→x' C.4 D.8 5. 已知空间中三条直线a,b,c与平面a分别交于不同的三点A,B,C,则“直线a,b,c共面”是 “A,B,C三点共线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知向量b=(1,0),ab=3,则向量a在向量b方向上的投影向量为 A.(3,0) B.(1,0) c.(0,1) D.(0,3) 7.已知正方体ABCD-ABCD中，E为平面BDDB内的动点（异于D),则异面直线AC与直线DE所 成角 A.恒为45° B.恒为60° C.恒为90° D.随E的位置改变而变化 高一数学第1页共9页 8.将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，第一次点数记为a,第二次点数记为b,则满足方程x2+2r+b=0有 实数根且a<b的概率为 2 5 B. D. 1 C. 18 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线a,b及平面，B.下列命题中正确的是 A.若al∥a,b⊥a,则b⊥ B.若a⊥a,allB,则a⊥B C.若alla,a∩B=b,则alb D.若a⊥a,b⊥a,则al/b 10.已知向量a,b满足引a+b=5,a-b=3,则下列说法正确的是 A.|a2+|b2=17 B.a.b=4 C.若|a=2,则cos<a,b>= 2 D.cos<a,b>的最小值为 8 17 I1.已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sinB+sinC=2sinA,则下列说法正 确的是 A.b+c=2a B.cosA≥ c.0<4<号 D.tan。tan 2 “23 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.已知复数z=3-4i,则川z= 13.已知正四面体P-ABC的内切球体积为1，则外接球的体积为 14.在△ABC中，D、E为边BC上的三等分点，A正上2，AD与E所成的夹角为，则AB.AC的最 大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知复数z=(2m-1)+(m+2)i,其中m∈R,i为虚数单位. (1)若：是纯虚数，求实数m的值： (2)若：的实部与虚部相等，求三。 1 高一数学第2页共9页 16.(15分) 甲乙两人进行投篮训练，每人投两次.设甲每次投中的概率为P,乙每次投中的概率为9，两人每次投中 1 与否相互独立。若甲只投中1次的概率为2，乙投中2次的概率为 9 (1)求p,9的值： (2)求两人一共投中两次的概率. 17.(15分) 在△1BC中，内角水么C所对的过分别是n么c,acsB+5oms4=2cs血C,外接园半径为1. (1)求角C: (2)若△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围. 18.(17分) 某校高一年级进行“数学文化知识”测试（满分100分），为了解本次测试情况，从中随机抽取了100名学 生的测试成绩作为样本进行统计，整理得频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为[0,20)， [20,40),[40,60),[60,80),[80,100] 小频率组距 0.0225 (1)求a的值：年级计划给测试成绩排名前25%的学生颁奖， 请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数线： 0.0125 (2)从样本数据在0,20)，「80,100]两个小组内的同学中： ①采用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中 0.005 0.0025 随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率： 020406080100测试成绩 高一数学第3页共9页 ②采用简单随机抽样的方法抽取2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； 判断①②两种抽样方式中哪种抽样方式的样本代表性更强，并说明理由： (3)已知在这些数据中，落在[80,100]内的学生的测试成绩的平均数为90，方差为9，最高分和最低分 分别为96,84，若剔除这两个分数（均只有一人），求[80,100]内剩余学生的测试成绩的平均数和 方差 19.(17分) 如图，在三棱锥D-ABC中，底面△ABC满足AC⊥BC,AC=4,BC=3,点E在AB上，满足 死=5BA,点D在底面ABC的投彩为点C (1)求证：平面BDE⊥平面CDE: (2)设直线DA,DB与底面ABC所成角分别为C,B, E A (i)求sin(B-a)的最大值： (ii)当sin(B-x)取最大值时，求平面DAB与平面 ABC所成二面角的正弦值. 高一数学第4页共9页 高一数学 参考答案 一、选择题 18 CDCB AACB 1题解析：若a1b,则有2x-1=0,解得x= 2 2题解析：中位数为6+7 =6.5,极差为10-3=7. 2 3题解析：x2+2=0则有x=±√2i. 4题解析：由斜二测直观图可知，原三角形为直角三角形，OB=2,0A=2,所以S=×2×2=2. 5题解析：空间中三条直线a,b,c与平面α分别交于不同的三点A,B,C, 充分性：若直线a,b,c共面，设其为B,则A,B,C均在平面B内，也在平面内， 则A,B,C在平面B与的交线上，所以A,B,C三点共线，所以充分性成立： 必要性：如图，A,B,C三点共线，但直线a,b,C不共面，所以必要性不成立： 6 所以“直线a,b,c共面”是“A,B,C三点共线”的充分不必要条件. 6愿解析：向量a在向量b方向的投影向量为acos<a,b>. 1660. 7题解析：有AC⊥面BDDB,,DEC面BDD,B,所以有AC⊥D,E 8题解析：方程x2+2ax+b=0有实根，则满足a2≥b,又满足a<b的数对有(2,3)，(2,4)，(3,4)，(3,5)， 82 (3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共8组，所以概率为 69 二、选择题 9.BD 10.ABD 11.ABD 9题解析：若al∥a,b⊥a,则b可以在a上，相交或平行，A错误：若alB,则3ccB,有alc,又a⊥a, 所以有c⊥a,又ccB,所以a⊥B,B正确：若a∥a,a∩B=b,则a与b的关系可能是平行， 异面，C错误；垂直于同一平面的两直线平行，D正确. 10题解析：由a2+2ab+bP=25,a2-2a.b+b2=9可得|a2+b=17,ab=4,AB正确：若|a=2, 则有年而.所es<a2酒.C错：图为a+b≥21ab=abs号，所烈 ab4、8 cos<a6>aba6产7，D正确. 高一数学第5页共9页 、Ⅱ题解析：则由正弦定理有b+c20,A正确：由c0sA二6+C一T=动8bC}≥B正一 2bc 确，C错误；由sinB+sinC=2sin(B+C),有2sin B+CB-C -coS- inB+C cosB+C,因 =4sin 2 2 2c0s 2 为sin 1。亡≠0，所以c0s B-C=2cos- 2 sb，即有3sin2Sin】 BoC,所以 -=C0 22 °2 2 B C 1 tan。tan 2 23,D正确 三、填空题 39 12.5 13.27 14. 8 12题解析：|z=√32+(-4)2=5. 1B愿解折：设正四面体的棱长为口，则内切球的半径为 20,外接球半径为 4a,所以V为切球：V外接球=1：27， 所以外接球的体积为27. 14题解析：因为AB=AD+DB=AD+ED=AD+EA+AD=2AD-AE, AC=AD+DC=AD+2DE=AD+2(DA+AE)=-AD+2AE, B 所以AB·AC=(2AD-AE)·(-AD+2AE)=-2|ADP+5AD·AE-2|AE12, 因为A正=2，AD与A正所成的夹角为号，所以ABAC=-2ADP+5D-8, 令AD1>0,则AB.AC=-2+51-8,1>0,当14D时，B4C的最大值为-3 1 四、解答题 15.(13分) 解：1)若：为纯虚数，则有2m-1=0,m+2≠0，所以m= -5分 2 (2)2的实部与虚部相等，则有2m-1=m+2,解得m=3,所以z=5+5i,-----10分 则三=5+5i_5i+5i2 ii=5-5i. ----13分 16.(15分) 解0D由愿意2-p叭=方解得p=方可-写解得g= 4分 (2)两个人一共投中两次，则分三种情况， 甲投中两次乙一次都没投中，=（白}=。 ----7分 23 11 甲乙各投中一次，P2=2× 2y12_2 二×2× --10分 22339 高一数学第6页共9页 甲一次都投中乙投中两次=宁分×兮=石 ---13分 1.2,113 所以p=。+ -------15分 993636 17.(15分) D由条作ao月+bcs4=2csnC及E正弦定爱可得5n1sBHs如Boms-2 sin2C, 得sin(A+B) 3sinC→snc=25 2 3 sin'C, 因为sinC≠0，所以snC=5 2π ·则C=严龙 -5分 3 3 Aπ (2)由三角形为锐角三角形可知，C= 3, ,解得亚<A< 2π-A< 6 2’-8分 B 3 因为 =2, sin A sinC sin B 所以a+b=2sinA+2sinB=2sinA+2sin( -2sin c+sin 4-3sincosin 3 sin 4+cos 4) -25sin(A+5, -----13分 6 4+后e号.则4得 6 所以a+b=2√5sin(A+乃)e(3,2√5]. ---15分 6 18.(17分) 解：(1)由(0.0025+a+0.0225+0.0125+0.005)×20=1,解得a=0.0075:---2分 由题意75百分位数在[60,80)，(0.0025+0.0075+0.0225)×20+(x-60)×0.0125=0.75, 解得x=68,所以最低分数线为68： ----5分 (2)分数在[0,20)的有100×0.05=5人，在[80,1001的有100×0.1=10人： ①采用分层抽样，则在[0,20)内轴取人数：6×1，=2人，记为a,4,: 1+2 则在80,10]内抽取人数：6×2，=4人，记为h,,A,b: 1+2 高一数学第7页共9页 则选出的两人恰好来自不同小组的概率P= 2×4×2_8 --7分 6×515 ②采用简单随机抽样，选出的两人恰好来自不同小组的概率B=5×10×2_10 ---9分 15×1421 ①的抽样方式的样本代表性更强，原因：①中选出的两人来自不同小组的概率大于②中选出的两人来 自不同小组的概率. -11分 (3)[80,100]内样本容量n=100×20×0.005=10,设该组10名学生的成绩为x,x2,…,x0, 己知x=90,s2=9 设剔除最高分和最低分后，该组8名学生的成绩为x,x',,x,平均数为下，方差为s2 因为2x=10=10×90=90,所以2=90-(84+96)=720. 则7=∑x-720=90,可得7-，利余数据的平均数仍为90： -------14分 8 8 因为26K-90=10×9=90,所以2x-902=90-(84-90P-(96-90y°=18， 则2三 ∑x'-90y-9 8 4 故剩余学生的测试成绩的平均数为90，方差为 9 -----17分 D 19.(17分) 解：（1)因为4C1BC,所以AB=5,由BE=9B,BE=? 25 则 BE_BC=,所以△BCE~△BAC, BC AB 5 所以∠BEC=∠ACB=90°， 则CE⊥AB,因为点D在底面ABC的投影为点C,所以DC⊥面ABC, 因为ABC面ABC,所以DC⊥AB,又DC,CEc面CDE且DC∩CE=C, 所以AB⊥面CDE,又ABC面BDE,所以平面BDE⊥平面CDE: -5分 (2)因为DC⊥面ABC,所以∠DAC是DA与底面ABC所成的角a,∠DBC是DB与底面ABC所成的 h 角B,设DC长为h,所以sina= coS= V16+h2 V16+h2 sin B= COS B=- 3 V9+h2 9+h2 高一数学第8页共9页 sin(B-a)=sin B cosa-cos Bsina = 当且仅当 V16+h2)9+h2) 144 h2+25 h=25时等号成立，所以sin(B-a)的最大值为7 -----10分 (3)当sin(B-a)取最大值时，DC=2V3,由(1)知，AB⊥面CDE,DEc面CDE,所以AB⊥DE, 又CE⊥AB,所以∠DEC是平面DAB与平面ABC所成二面角， -13分 在直角三角形DCE中，CE-号DC=25,则DE=Dc+CE-2 5 所以sin∠DEC=25_5V533 -------17分 2W111111 高一数学第9页共9页