重庆市主城区七校联考2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 覆盖高中数学核心知识，通过真实情境题与梯度设计考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/40|函数与导数、立体几何、概率统计|结合科技前沿情境，如数据分析题考查数据意识；综合题分层设问，基础层检测推理能力，提升层体现创新应用，契合高考命题趋势|

2025一2026学年（下)期末考试 高2028届数学试题 考试说明：1.考试时间：120分钟 2.试题总分：150分 3.试卷页数：6页 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1已知复数z己则=（） 2 A.√2 B.2 c.1 D.22 2.已知a=(2,x)b=(1,3)若a⊥b,则x=（） B号 。 。号 3.在△4BC中，A=60°，AC=4,BC=2√6，则B=() A.90° B.30° C.45° D.45°或135 4.边长为2的正方形ABCD中，点E,F分别为AB,BC的中点，则AF,AE=() A.1 B.2 c.3 D.4 事件A,B互斥，事件A发生的概率PA事件B发生的概率PB】 事件A,B都不发生的概率是() D. 6.已知圆锥的表面积为8π，且它的侧面展开图是一个圆心角 2红的扇形，则这个圆锥 的体积为() B.2π 8 C.3π 0.3 高一数学共6页第1页 7在能角△M4BC中，内角，B,C的对边分别为a,bc,已知c=5.,C=聋，则4B 边上的高的取值范围为是() 4 2,2+V2 c.2,1+2 D.2,2+5 2 8如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为α，若侧面AABB水 平放置时，液面高为√5，若底面ABC水平放置时，液面高为3，则a=() A.4 B.2 C.3 D.1 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分：在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分) 9.下列说法正确的是() A.已知数据X,x2,…,X0的方差为2，则数据2x+1,2x+1,…,2x。+1的方 差为9 B.己知一个样本容量为7的样本，它的平均数为5，现加入三个新数据3,5,7，则新 样本的平均数为7 C.用简单随机抽样的方法从含有30个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则个体a 被抽到的概率是0.1 D.已知事件A与事件B相互独立，若P(A)=0.6,P(B)=0.8,则P(AB)=0.48, P(AUB)=0.92 高一数学共6页第2页 10.已知i为虚数单位，则下列选项中正确的是() A.复数m2+3m-4+(m-少是纯虚数，则m=4或1 B.若z=1,则2-(1+i的最大值为√2+1 C.若=2，则z2=2 D.若1-3i是关于x的方程x2+px+g=0(P,9∈R)的一个根，则g=10 11.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AA=3,AB=BC=2,AB⊥BC,AC与AC 相交于点O,点E是侧棱BB,上的动点，则下列结论正确的是（) y A.直三棱柱ABC-ABC的体积是6 B.三棱锥O-AA,E的体积为定值 C.AE+EC的最小值为V3 D.直三棱柱ABC-ABC的外接球表面积是17π 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12.某中学高一年级有男生600人，女生400人.为了解该年级男、女学生的身高差异， 采用分层随机抽样的方法.得到容量为100的样本，则应抽取的女生人数为 13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=2,，AB·AC=6,△ABC的 面积为√3，则a=」 14.已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为√5和2√5，其顶点都在同一球面上， 则该球的体积为 高一数学共6页第3页 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分)某次测试后，从全校成绩中抽取100名学生的成绩作为样本，成绩 都在[40,100]内，将所有成绩分成六组，得到如图所示的频率分布直方图。 0032恢率组距 0.014 0.0104 0.004 0405060708090100成绩/分 (1)求图中a的值： (2)若落在[80,90)中的样本数据的平均数为84，方差为3：落在[90,100)中的样本数据的 平均数为92，方差为5，求这两组数据的总平均数x和总方差S2, 16.(本小题15分)如图，在正方体AB,CD-ABCD中，E是DD的中点. D D C (1)求异面直线AC和B,C所成角的大小： (2)求证：D,B∥平面ACE: 高一数学共6页第4页 17.(本小题15分)为了普及法律知识，某区组织了一次中学生法律知识的竞赛.在半 决赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题， 答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为二，2,3，乙队每人回答 2'34 正确的概率均为？，且每个人回答正确与否相互之间没有影响。 (1)设甲队总得分为1分的概率为P,乙队总得分为3分的概率为B,求P与？的值： (2)求甲队得分与乙队得分为1：2的概率 18.(本小题17分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,满足 a(W3sinB+cosB）=b+c. (1)求角A. (2)D为边BC上一点，且AD=2 ①若BD=2DC,求BC的最小值： ②若AD为角平分线，求AB+3BD的取值范围. 高一数学共6页第5页 19.(本小题17分)如图，直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥AC,AA=2AB=2AC, P为线段BB,上的动点（不含端点） B C (1)当P为线段BB,上的中点时，证明：PA,⊥面PAC: (2)记平面PAC与平面BAC,平面ABB,4,平面ACCA,平面BCCB,所成的角分 别为日，日2,8,6，日=日+92+日+日，求cos0的取值范围 高一数学共6页第6页2025一2026学年（下)期末考试 高2028届数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 5 6 8 答案 D C B B D B A 8题详解答案：记侧面AABB水平放置时，液面与AC,BC,A,C1,BC1分别交于 D,E,G,F,AB的中点为H,连接CH交GF于点I,△ABC的面积为S,由题 可知，-，则S5a-5 a- 2,所以S.r -2 CH CH V3 a 2 则梯形ABFG的面积为S - 所以直棱柱 ABED-A,B,FG的体积为 s。,底c水r 业星时流尚影所城体银8，商以a可0。门水=39，a=4 B A 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 CD BD ABD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.40 13.2 14.20V5元 3 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 15.(本小题满分13分，(1)问6分，(2)问7分) 解：(1)由0.004+0.010+0.014+0.032+a+0.010)×10=1,解得a=0.03 6分 (2)由题意可得，落在80,90)的样本个数为：0.03×10×100=30，样本平均成绩为 x=84,样本方差为512=3，.…8分 落在90,100)的样本个数为：0.01×10×100=10，样本平均成绩为y=92,样本方差 为5,2=5，...10分 两组数据的总平均数为：x=30×84+10×92=86 ...12分 30+10 总方差为：S?= o*b1e1sG+09n5+e0-s6l-15s 30 13分 16.（本小题满分15分，(1)问7分，(2)问8分) 解：(1)连接AB,在正方体AB,CD-ABCD中，AA,/1CC1且AA=CC,所以四 边形AA,CC为平行四边形，所以AC//AC1,所以∠ACB,或其补角即为异面直线A,C1 和BC所成角，又△ABC为等边三角形，所以∠ACB-写，所以异面直线AC,和B,C 所成角为写…7分 (2)连接BD,设直线BD交直线AC于点O,连接EO, B 因为在正方体ABCD-A,B,CD中，底面ABCD是正方 形，所以O为BD中点，又因为E为DD的中点，所以 D,B/EO,又因为EOC平面ACE,DBt平面ACE, 所以直线DB/1平面ACE.·.:15分 17.(本小题满分15分，(1)问8分，(2)问7分) 解：(1)记甲队三人回答正确分别为事件A、A,、A,则AA、A相互独立，且 PA)号P)-子P(A) 乙队三人回答正确分别为事件B、B、B?,则B、B,、B3相互独立，且 HB)-a,）-K月 R=P(44404440444 )=P(444 )+P(444 )+P(444,) =IxIx1+lx2x1+1x1x31 2342342344 ..6分 3 27 8分 B.=P(BB,B:)= 5 125 (2)记乙队得2分的概率为卫，甲、乙得分比为1：2的概率为P, 则 R=是风@原h啊a目 254 5125 P=Rg=x54-27 …..12分 4125250 即甲队得分与乙队得分为1：2的概率为27.·15分 250 18.(本小题满分17分，(1)问5分，(2)问6分，(3)问6分) 解：(1)a(V3sinB+cosB)=b+c,∴由正弦定理得： sin 4v3sinB+cosB）=sinB+sinC,展开得： 3sin Asin B+sin Acos B=sin B+sin (4+B),3sin Asin B=sin B+sin B cosA, 而B∈(0，)，simB≠0，故V5sinA-cosA=1,2sim4-=1, 6) .5分 (2)① :BD=2DC.AD=A8+BD=历+号8C-西+号(AC-A0) 西-号4c,aD-传+号c-号n+号ac+号4co号 3 -+号ac+号d4d,a0-2,-tg+c. 报指余弦定理：BC=+c-2子DC°-bc-bc 36b2+c2-bc 4b2+c2+2bc 68月 10.c1 3(t+1) t2+2t+4 P+21+4 b +2+4 b 3 3 3611+3 ≥361- 2 则当且仅当1+1=3 时等号成立， +1 解得：1=5-1时，分万-1时，BC取最小值为35-31分 :AD为∠ADB的角平分线，在△ABD中，由正弦定理得 2 BD AB AD BD AB 即sinB 1 sin B sin∠BAD sin∠ADB 2 Sin B+ 6 1 2sin B .BD= sin B'AB= sin B 2sin B+ +3 6 √5simB+cosB+3- 5+ +2sin ..AB+3BD= 2, sin B sin B BB 2sin CO 2 2 B tan 2 2 B B+tan 2 ≥22 ,当且仅当tanB=√2时等号成立，故 tan 2 AB+3BD∈[2W2+V5,+∞）。 .….17分 19.(本小题满分17分，(1)问7分，(2)问10分) 【详解】(1)设AA=2AB=2AC=2, ,ABC-AB,C1为直三棱柱，且AB L AC,当P为BB1的中点时， ∴在△PA,中，PA=PA=V2,AM=2,则PA1PA, ,AA⊥平面ABC,ACc平面ABC,.AA⊥AC, 又，AB L AC,AA∩AB=A,.AC⊥平面ABBA, 又：PAC平面ABBA,∴AC⊥PA,:PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, PA1平面PAC..·7分 (2)法（一）：因为AC⊥平面ABBA AC在平面PAC内 ,所以 平面PAC⊥平面ABBA ……·9分 ,所以 2 又国为ABC一AB,C为直三核柱，所 AA,⊥平面ABC ,所以 平面48CL平面4CCA.则8-0-号1分 ,则 所以8=0+8，+日，+0，=元+8，所以 0s8=-c0s64.12分 过A作AE垂直于BC交BC于E过E作EF垂直于PC交PC于F AF ,连接 因为CC,垂直于平面ABC 平面BCC,B,垂直于平面ABC ,所以 BC AE⊥BC AE⊥平面BCC1B, AE⊥PC 其交线为，因为 ,所以 所以 EF⊥PC PC⊥平面AEF AF⊥PC 又因为 ,所以 ,所以 ,所以 ∠AFE为平面PAC与平面BCC,B,所成角的平面角...·14分 4,=2AB=2AC=2 BP=a(0<a<2b则PC=√2+a 设 又设 易知E为C中点，则S。心=) C.EF-1 √2 -a EF- 2 v2+a2 则 √2+a2,在 1EF中，an∠ArE=AE EF 2 √2 a 2 √V2+ad 0<a<2 因为 ,所以 如4管+e要 分 法（二）：由(1)知AB,AC,AA两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间 直角坐标系，设BP=元BB(0<2<1)则A(00,0),C(10,0),4(0,2,0),B(00,1). P(0,2元1)，AC=10,0),C严=(-1,2元1).设平面PAC的法向量%=(x,),则 石AC=0,∫x=0, CP=0 1-x+2w+z=0,令y=1,则%=(0,1，-2)， 同理，平面BAC的法向量？=(0,1,0)，平面ABBA的法向量%=(1,0,0)，平面ACC1A的 法向量=(0,0,1)，平面BCC1B,的法向量4=(1,0,1)，∴. 12列 cos=cosm 同理cos6,=0,cos0= V1+42 V1+422 c0s04= 万7A至84=号4分 |22 cose=cos(+++e)=cos(+)=-- V22 1+4 2 ∴.cos0的取值范围为 …17分 >