第11讲 直线与圆的位置关系（知识详解+10典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（人教A版选修第一册）

第11讲 直线与圆的位置关系（知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线与圆的位置关系的判断 知识点02：圆的弦长问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断直线与圆的位置关系 题型02：由直线与圆的位置关系求参数 题型03：过圆上一点的圆的切线方程 题型04：过圆外一点的圆的切线方程 题型05：切线长 题型06：已知切线求参数 题型07：圆的弦长与中点弦 题型08：已知圆的弦长求方程或参数 题型09：直线与圆的实际应用 题型10：圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线与圆的位置关系的判断 直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 【例1】判断直线 与圆 的位置关系。 【知识点02】圆的弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有＋＝r2， 图①即|AB|＝2 (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 图②则|AB|＝ ＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)． 【例2】已知圆的方程为 ，直线 与圆相交，求直线截圆所得的弦长。 【题型01】判断直线与圆的位置关系 【典例1-1】（25-26高二上·广东湛江·期末）直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【变式1-1】（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式1-2】直线与圆的位置关系是________． 【变式1-3】判断直线：与圆的位置关系. 【题型02】由直线与圆的位置关系求参数 【典例2-1】（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·湖南·期中）若直线与圆只有一个公共点，则______． 【变式2-2】（多选）（25-26高二上·浙江宁波·阶段检测）已知圆，且圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】在直角坐标系中，，，且圆是以为直径的圆. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相切，求实数的值. 【题型03】过圆上一点的圆的切线方程 【典例3-1】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）过点作圆的切线，则切线方程为________________. 【变式3-3】（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆C经过点，且圆心C在直线和交点上. (1)求圆C的方程； (2)求经过圆上一点的切线方程. 【题型04】过圆外一点的圆的切线方程 【典例4-1】（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4-1】（多选）（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程可能为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆C：，写出一条过点且与C相切的直线方程__________. 【变式4-3】（25-26高二上·河北张家口·期中）已知圆C的圆心为点，且该圆经过原点．求： (1)圆C的方程． (2)过点与圆C相切的直线方程． 【题型05】切线长 【典例5-1】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·甘肃武威·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，当直线关于对称时，线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·广西来宾·期中）过点作圆的切线，切点为，则______. 【变式5-3】（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【题型06】已知切线求参数 【典例6-1】（多选）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（    ） A． B．8 C． D．18 【变式6-1】（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知圆与x轴相切，则__________. 【变式6-2】已知圆的圆心坐标是，半径长是．若直线与圆相切于点，则_____ 【变式6-3】当取什么值时，圆与直线相切？ 【题型07】圆的弦长与中点弦 【典例7-1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【变式7-1】已知圆的方程为，点为圆内一定点，若过点的弦满足为弦的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】点是圆的一条弦的中点，则这条弦所在直线的方程为________． 【变式7-3】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，圆． (1)若过点M的直线与圆C恰有一个交点，求直线的方程； (2)已知点在直线上，若直线与圆C相交于A，B两点，求弦的长． 【题型08】已知圆的弦长求方程或参数 【典例8-1】（24-25高二上·河南开封·期末）已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为4，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（多选）若直线被圆截得的弦长为，则不可能是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】以为圆心，在直线上截得弦长为的圆方程为______. 【变式8-3】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知圆M经过点，，. (1)求圆M的方程； (2)若直线与M交于P，Q两点，且，求k. 【题型09】直线与圆的实际应用 【典例9-1】（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【变式9-1】（25-26高二上·广西·期中）已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为______小时. 【变式9-2】台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为______小时. 【变式9-3】在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度的大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 【题型10】圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【典例10-1】（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-1】（25-26高二上·江苏常州·期末）已知直线与圆，则圆上一点到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则的取值范围是___________． 【变式10-3】（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知圆过三点，直线． (1)求圆的方程； (2)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 知识点01 直线与圆的位置关系的判断 1. 基础模型 圆标准方程：，圆心，半径 直线一般方程： 2. 核心计算公式（几何法·考试通用） 圆心到直线的距离公式： 3. 三种位置关系判定（必考结论） 直线与圆相离，无公共点、无交点 直线与圆相切，有且仅有一个公共点（切线） 直线与圆相交，有两个公共点、存在弦长 4. 方法小结 几何法优先使用，计算简便、误差小，适用于所有常规题型；代数法（联立方程判别式）可作为补充验证，预习阶段重点掌握几何法。 知识点02 圆的弦长问题 1. 核心原理：垂径定理 直线与圆相交时，圆心向弦作垂线，垂足为弦的中点。半径、圆心到直线的距离、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理。 2. 核心公式（必背） 勾股定理基础式： 弦长最终计算公式： 式中：为弦长，为圆半径，为圆心到直线的距离。 3. 适用条件 仅适用于直线与圆相交的情况（），相离、相切无弦长。 知识点03本节核心公式速查表（微软标准） 核心考点 标准公式/核心结论 点到直线距离公式 位置关系判定 相离，相切，相交 弦长勾股基础式 弦长计算公式 知识点04:解题通用步骤总结 1. 判定直线与圆位置关系步骤 ① 提取圆心坐标、半径、直线一般式参数；② 代入公式计算圆心到直线距离；③ 对比与大小，得出结论。 2. 求解圆的弦长通用步骤 ① 先判定直线与圆相交（）；② 计算圆心到直线距离；③ 代入弦长公式求解最终弦长。 知识点05本节易错点课堂总结 易错点1：距离公式计算遗漏绝对值、根号，符号出错导致判定失误。 易错点2：混淆三种位置关系，记错与的大小对应关系。 易错点3：弦长公式直接用整长代入勾股定理，忘记使用半弦长计算。 易错点4：相切时误算弦长，相切只有一个交点，不存在弦长。 易错点5：代入参数时混淆圆的圆心坐标、直线系数，导致基础计算错误。 一、单选题 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 3．（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 4．（25-26高二上·山东淄博·期末）已知直线与圆相交于，两点，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D． 5．（24-25高二下·浙江·期中）设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（    ） A．3 B．2 C． D． 6．（25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·云南文山·期末）已知点P为直线上的一点，Q为圆上的一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 8．（24-25高二上·安徽合肥·期中）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（   ） A．1小时 B．小时 C．小时 D．2小时 二、多选题 9．（24-25高二上·广东中山·期中）过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ） A． B．1 C．0 D．不存在 10．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知直线与圆相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 11．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆，下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．半径 C．圆被直线截得弦长为 D．直线与圆相切 三、填空题 12．（25-26高二下·广东广州·期中）直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 13．（25-26高二上·陕西西安·期末）直线与圆交于A，B两点，则______． 14．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）直线被圆所截得的弦长为__________. 四、解答题 15．（25-26高二上·广西钦州·期末）已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求过点的圆的切线方程． 16．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 17．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知直线（），圆． (1)当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； (2)圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 18．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知直线：，圆（点为圆心）. (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)当时，判断直线与圆是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为，，并求的面积，如果不相交，请说明理由. 19．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻.近日水位暴涨了3m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？ （参考数据，精确0.01m. ） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 直线与圆的位置关系（知识详解+10典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线与圆的位置关系的判断 知识点02：圆的弦长问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断直线与圆的位置关系 题型02：由直线与圆的位置关系求参数 题型03：过圆上一点的圆的切线方程 题型04：过圆外一点的圆的切线方程 题型05：切线长 题型06：已知切线求参数 题型07：圆的弦长与中点弦 题型08：已知圆的弦长求方程或参数 题型09：直线与圆的实际应用 题型10：圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线与圆的位置关系的判断 直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 【例1】判断直线 与圆 的位置关系。 解：步骤1：提取核心参数 由圆方程得：圆心 ，半径 ； 由直线方程得：。 步骤2：代入距离公式计算圆心到直线距离 步骤3：比较距离与半径大小 ，可得 最终结论：直线与圆相交。 【知识点02】圆的弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有＋＝r2， 图①即|AB|＝2 (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 图②则|AB|＝ ＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)． 【例2】已知圆的方程为 ，直线 与圆相交，求直线截圆所得的弦长。 解：步骤1：提取圆参数 圆 ，圆心 ，半径 。 步骤2：计算圆心到直线的距离 步骤3：代入弦长公式计算 最终答案：直线截圆所得弦长为 。 【题型01】判断直线与圆的位置关系 【典例1-1】（25-26高二上·广东湛江·期末）直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求出圆心及半径，再应用圆心到直线距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2， 直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C的位置关系是相交. 故选:A. 【变式1-1】（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系判断即可． 【详解】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 【变式1-2】直线与圆的位置关系是________． 【答案】相离 【分析】确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心与直线距离，并与半径比大小，即可得答案. 【详解】由的圆心为，半径为1， 圆心到的距离， 所以直线与圆相离. 故答案为：相离 【变式1-3】判断直线：与圆的位置关系. 【答案】相交 【分析】根据圆心到直线的距离和半径的关系判断直线与圆的位置关系即可. 【详解】圆可整理为， 所以圆心坐标为，半径为3， 设圆心到直线的距离为， 则， 所以直线经过圆心，与圆相交. 【题型02】由直线与圆的位置关系求参数 【典例2-1】（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有2个交点的位置关系，等价于圆心到直线的距离小于半径，表示出距离，列出不等式求解即可. 【详解】解：由题意得，，半径，直线为， 设圆心到直线的距离为，则由点到直线的距离公式，可得， 若圆与直线有2个交点，则，即，解得，所以. 【变式2-1】（25-26高二上·湖南·期中）若直线与圆只有一个公共点，则______． 【答案】或 【分析】将问题转化为“圆心到直线的距离等于半径”，由此可求解出的值. 【详解】由圆，得，圆心为，半径为， 因为直线与圆只有一个公共点， 所以到直线的距离等于，即，解得或． 故答案为：或． 【变式2-2】（多选）（25-26高二上·浙江宁波·阶段检测）已知圆，且圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据圆心到直线的距离、圆的半径满足，逐项检验即可. 【详解】因为圆上恰有三个点到直线的距离都等于1， 所以圆心到直线的距离、圆的半径满足. 因为圆，所以圆心，半径， 故， 对A，圆心到直线的距离，满足要求，故A正确； 对B，圆心到直线的距离，满足要求，故B正确； 对C，圆心到直线的距离，不满足要求，故C错误； 对D，圆心到直线的距离，不满足要求，故D错误. 故选：AB 【变式2-3】在直角坐标系中，，，且圆是以为直径的圆. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相切，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为直径，可知圆心及半径，进而可得圆的方程； （2）根据直线与圆相切，结合点到直线的距离可得解. 【详解】（1）由已知，，则， 半径， 所以圆的方程为； （2）由直线，即， 又直线与圆相切，可得，解得. 【题型03】过圆上一点的圆的切线方程 【典例3-1】（25-26高二上·山西太原·阶段检测）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知，点在圆上，且，由此可得出所求切线的方程 【详解】圆的圆心为，因为点在圆上，且， 易知所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为，即. 故选：D. 【变式3-1】（25-26高二上·山东·阶段检测）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程得圆心，即可求得直线的斜率，由切线的性质求得切线的斜率，然后写出切线方程. 【详解】圆的圆心为，则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）过点作圆的切线，则切线方程为________________. 【答案】 【分析】解：先判断出点在圆上，利用斜率公式求出圆心和连线的斜率，利用两条直线垂直得到过圆上点的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程. 【详解】解：将点代入中，成立， 即点在圆上，圆心和连线的斜率为， 故过圆上点的切线的斜率为， 则切线方程为，即， 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆C经过点，且圆心C在直线和交点上. (1)求圆C的方程； (2)求经过圆上一点的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得圆心坐标，再由两点间距离公式可得半径，即可得到圆的标准方程； （2）根据题意，先求得直线的斜率，即可得到切线的斜率，再由点斜式方程，即可得到结果. 【详解】（1）根据题意，设圆心的坐标为，则有，； 则圆心的坐标为，半径， 则圆C的方程为； （2）根据题意，圆C的方程为， 有在圆C上，则有，则切线的斜率， 则切线的方程为，变形可得. 【题型04】过圆外一点的圆的切线方程 【典例4-1】（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 【变式4-1】（多选）（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先分析直线斜率不存在情况，再设点斜式，根据圆心到直线的距离等于半径得到方程，解出即可. 【详解】由题知圆的圆心为，半径为2． ①当直线的斜率不存在时，直线与圆相切，满足题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得， 所以直线的方程为． 综上直线的方程为或． 故选：AC． 【变式4-2】（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆C：，写出一条过点且与C相切的直线方程__________. 【答案】或 【分析】求出圆心和半径，分析斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在的直线设出直线方程后，由圆心到切线的距离等于半径求得结论． 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为1， 过且斜率不存在的直线为，它与圆相切， 过且斜率存在的直线设其方程为，即， 由，解得， 直线方程为， 故答案为：或 【变式4-3】（25-26高二上·河北张家口·期中）已知圆C的圆心为点，且该圆经过原点．求： (1)圆C的方程． (2)过点与圆C相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由圆经过原点求得半径，即可得到圆的方程. （2）讨论斜率是否存在，利用圆心到直线距离等于半径判断求解. 【详解】（1）因为圆心，经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为. （2）若直线斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离， 即此时直线与圆相切； 若直线斜率存在，设直线方程为，即， 由，解得， 此时直线方程为，即. 综上，所求直线方程为或. 【题型05】切线长 【典例5-1】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切线长公式计算. 【详解】由题意知，，半径， 则. 故选：A 【变式5-1】（25-26高二上·甘肃武威·期末）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，当直线关于对称时，线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的切线长定理，结合点到直线距离公式、勾股定理进行求解即可. 【详解】如图所示，圆心，连接， 因为直线关于直线对称， 所以垂直于直线， 故，而， 则. 故选：D 【变式5-2】（25-26高二上·广西来宾·期中）过点作圆的切线，切点为，则______. 【答案】5 【分析】根据题意，求得，结合圆的切线长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 连接，因为是圆的切线，所以， 又因为，可得， 所以. 故答案为：.    【变式5-3】（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分斜率存在或不存在两种情况，若存在，设直线的方程，利用计算即可； （2）在中利用勾股定理即可. 【详解】（1）圆的方程可化为， 则圆的圆心为，半径， ①当直线的斜率不存在，则直线方程为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，可设直线的方程是，即， 由圆心到直线l的距离，解得， 此时直线的方程是， 综上，直线的方程是或. （2）由（1）得直线的方程是， 则, 所以. 【题型06】已知切线求参数 【典例6-1】（多选）已知直线与圆相切，则实数的值可能为（    ） A． B．8 C． D．18 【答案】AB 【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于半径列方程来求得的值. 【详解】圆的圆心为，半径为. 由于直线与圆相切， 所以，解得或. 故选：AB 【变式6-1】（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知圆与x轴相切，则__________. 【答案】 【分析】整理圆的方程为标准式，明确圆心与半径，由切线建立方程，可得答案. 【详解】由圆的方程整理可得圆，则圆心，半径， 由圆与轴相切，则，解得. 故答案为：. 【变式6-2】已知圆的圆心坐标是，半径长是．若直线与圆相切于点，则_____ 【答案】 【分析】由题可得直线斜率，求出方程可得，即可求出斜率. 【详解】可知直线AC与直线，则， 则直线方程为 把代入得，此时. 故答案为：. 【变式6-3】当取什么值时，圆与直线相切？ 【答案】 【分析】解法一：结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可求解； 解法二：联立方程组，转化为方程有唯一的解，结合，列出方程，即可求解. 【详解】解法一：由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，可得，解得， 即当时，直线与圆相切. 解法二：联立方程组，整理得， 可得， 因为直线与圆相切，即方程有唯一的解，可得，解得， 即当时，直线与圆相切. 【题型07】圆的弦长与中点弦 【典例7-1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】圆可化为，得圆心，半径 用点到直线的距离公式，直线，圆心到直线的距离： 弦长 【变式7-1】已知圆的方程为，点为圆内一定点，若过点的弦满足为弦的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的中点弦的性质求求直线的斜率，利用点斜式求直线方程即可. 【详解】由题意，，， 则，， 则直线的方程为， 即， 故选：A. 【变式7-2】点是圆的一条弦的中点，则这条弦所在直线的方程为________． 【答案】 【分析】先求出圆的圆心，半径，设这条弦所在直线为，则，求出直线的斜率，从而可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程. 【详解】圆的方程可化为，圆心坐标为，半径长. 设这条弦所在直线为，则， 因为，所以直线的斜率， 所以所求直线为，即. 故答案为： 【变式7-3】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，圆． (1)若过点M的直线与圆C恰有一个交点，求直线的方程； (2)已知点在直线上，若直线与圆C相交于A，B两点，求弦的长． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【详解】（1）由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. （2）由于点在直线上，则， 解得，所以直线方程 则圆心到直线的距离为， 所以弦的长 【题型08】已知圆的弦长求方程或参数 【典例8-1】（24-25高二上·河南开封·期末）已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为4，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂径定理和点到直线的距离公式逐项判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为弦长为4，所以圆心到直线的距离， 对于A，，不符合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不符合题意； 对于D，，不符合题意； 故选：B 【变式8-1】（多选）若直线被圆截得的弦长为，则不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为， 因为直线被圆截得的弦长为， 可得，解得， 则，即，解得. 故选：ACD. 【变式8-2】以为圆心，在直线上截得弦长为的圆方程为______. 【答案】 【分析】先由点到直线的距离公式可得，再由圆的弦长公式可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】因为圆心为，所以圆心到直线的距离， 由圆的弦长公式得，解得， 所以圆的方程为. 【变式8-3】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知圆M经过点，，. (1)求圆M的方程； (2)若直线与M交于P，Q两点，且，求k. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设圆M方程为，将，，代入求出，即可得出圆M的方程. （2）先求出圆心到直线的距离，再由垂径定理即可得出答案. 【详解】（1）设圆M方程为， 则， 圆M的方程为，或； （2）因为圆心到直线的距离为， 由垂径定理，得， 化简可得：，解得. 【题型09】直线与圆的实际应用 【典例9-1】（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.5（米）， 故选：A. 【变式9-1】（25-26高二上·广西·期中）已知某岛屿正西方向处有一台风中心，它正向北偏东60°方向移动，移动速度的大小为.距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，则岛屿所在地受到影响的持续时间为______小时. 【答案】 【分析】设直角坐标系的原点为台风中心，求出以为圆心，以为半径的圆与直线所得弦长即可. 【详解】如图，设直角坐标系的原点为台风中心，轴正半轴上存在岛屿， 且台风中心在第一象限沿着直线运动，    以为圆心，以为半径的圆与直线交于两点， 因为点到直线的距离， 则， 则岛屿所在地受到影响的持续时间为小时. 故答案为： 【变式9-2】台风中心从地以每小时的速度向东北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正东处，城市处于危险区内的时间为______小时. 【答案】 【分析】首先根据已知条件作出图形，圆半径，利用锐角三角函数的定义可求出BE的长，易知是直角三角形，运用勾股定理可求出的长，进而求出弦长，最后用弦长除以台风的移动速度即可求解. 【详解】以城市为圆心，为半径画圆，如图所示，所在直线为台风中心的移动轨迹，，，，过点作于点. 在中，由锐角三角函数， 得， 在中，由勾股定理， 得， 所以， 因为台风中心的移动速度为， 所以B城市处于危险区内的时间为. 故答案为：2. 【变式9-3】在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度的大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 【答案】；4 【分析】根据题意建立数学模型，即台风中心到达点时开始受影响，计算出直线与圆相交的弦长，利用对称性得到，再计算开始影响时间即可. 【详解】以气象台A为原点建立直角坐标系， 则台风中心移动的轨迹在直线上， 距离气象台150km的轨迹为， 则台风中心经过图中弦时，气象台会受到影响， 又原点到直线的距离，所以弦， 即， 设经过时间后开始影响，持续时间为 则，， 所以气象台所在地大约小时后受到影响，持续时间为4小时. 【题型10】圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【典例10-1】（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由题意求出圆的圆心到直线的距离，减半径得答案． 【详解】圆的圆心， 圆心到直线的距离, 故直线与圆相离． 的最小值为． 【变式10-1】（25-26高二上·江苏常州·期末）已知直线与圆，则圆上一点到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线可化为， 所以直线经过直线与的交点， 点到直线距离的最大值为， 所以圆上的一点到直线的最大距离等于， 当且仅当三点共线且时取得． 【变式10-2】（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合题意可得，求解不等式即得圆的半径的范围. 【详解】由题意，圆心到直线的距离为， 因圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，所以， 故，解得. 故答案为：. 【变式10-3】（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知圆过三点，直线． (1)求圆的方程； (2)若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的标准方程，代入点的坐标求解出参数则圆的方程可知； （2）根据圆外一点到圆上点距离的最值可知，然后利用对称关系将转化为，结合三点共线可求最小值. 【详解】（1）设圆的方程为，代入， 则，解得， 所以圆的方程为； （2）因为， 设关于直线的对称点为， ，所以， 所以， 所以， 当且仅当共线时取等号， 所以，即的最小值为. 知识点01 直线与圆的位置关系的判断 1. 基础模型 圆标准方程：，圆心，半径 直线一般方程： 2. 核心计算公式（几何法·考试通用） 圆心到直线的距离公式： 3. 三种位置关系判定（必考结论） 直线与圆相离，无公共点、无交点 直线与圆相切，有且仅有一个公共点（切线） 直线与圆相交，有两个公共点、存在弦长 4. 方法小结 几何法优先使用，计算简便、误差小，适用于所有常规题型；代数法（联立方程判别式）可作为补充验证，预习阶段重点掌握几何法。 知识点02 圆的弦长问题 1. 核心原理：垂径定理 直线与圆相交时，圆心向弦作垂线，垂足为弦的中点。半径、圆心到直线的距离、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理。 2. 核心公式（必背） 勾股定理基础式： 弦长最终计算公式： 式中：为弦长，为圆半径，为圆心到直线的距离。 3. 适用条件 仅适用于直线与圆相交的情况（），相离、相切无弦长。 知识点03本节核心公式速查表（微软标准） 核心考点 标准公式/核心结论 点到直线距离公式 位置关系判定 相离，相切，相交 弦长勾股基础式 弦长计算公式 知识点04:解题通用步骤总结 1. 判定直线与圆位置关系步骤 ① 提取圆心坐标、半径、直线一般式参数；② 代入公式计算圆心到直线距离；③ 对比与大小，得出结论。 2. 求解圆的弦长通用步骤 ① 先判定直线与圆相交（）；② 计算圆心到直线距离；③ 代入弦长公式求解最终弦长。 知识点05本节易错点课堂总结 易错点1：距离公式计算遗漏绝对值、根号，符号出错导致判定失误。 易错点2：混淆三种位置关系，记错与的大小对应关系。 易错点3：弦长公式直接用整长代入勾股定理，忘记使用半弦长计算。 易错点4：相切时误算弦长，相切只有一个交点，不存在弦长。 易错点5：代入参数时混淆圆的圆心坐标、直线系数，导致基础计算错误。 一、单选题 1．（25-26高二上·广东深圳·期中）过圆上的点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到点在圆上，设过点的切线为，由，求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由点满足圆的方程，所以点在圆上， 又由圆，即，可得圆心， 设过点的切线为，则， 因为，所以 ，所以直线的方程为， 即，所以切线方程为. 故选：A. 2．（25-26高二上·四川遂宁·期中）点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】A 【分析】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【详解】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，   ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A 3．（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由题意可求出的最小值，结合圆的性质，利用勾股定理可求得的最小值. 【详解】设点的坐标为，，圆的圆心坐标为，半径， 则 由圆的几何性质可得， 又， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：C 4．（25-26高二上·山东淄博·期末）已知直线与圆相交于，两点，则等于（    ） A．6 B．8 C．10 D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，最后根据计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以. 故选：A 5．（24-25高二下·浙江·期中）设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】将圆方程化为标准方程，，所以圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离为，所以弦长为， 所以，解得，所以圆的半径为. 6．（25-26高二上·云南红河·期中）若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合图象，需使，求解即得. 【详解】由知圆心为， 因圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为， 需使，解得． 7．（25-26高二上·云南文山·期末）已知点P为直线上的一点，Q为圆上的一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据以及点到直线的距离公式可求. 【详解】圆心到直线的距离为， 因为，等号成立时，所以的最小值为. 故选：A    8．（24-25高二上·安徽合肥·期中）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（   ） A．1小时 B．小时 C．小时 D．2小时 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·广东中山·期中）过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ） A． B．1 C．0 D．不存在 【答案】CD 【分析】根据题意，分直线的斜率存在以及不存在讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】圆，圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 直线与圆相切； 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离等于半径，即，解得； 综上所述，直线的斜率为或者不存在. 故选：CD 10．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知直线与圆相交于，两点，则（    ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 【答案】ACD 【分析】将圆的方程化成标准方程，明确圆心和半径，可判断AB的真假；利用点到直线的距离公式，可判断C的真假；利用“几何法”求弦长，可判断D的真假. 【详解】对于AB，圆的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线的距离，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD 11．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆，下列说法正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．半径 C．圆被直线截得弦长为 D．直线与圆相切 【答案】BC 【分析】根据圆的知识、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 所以A选项错误，B选项正确. 到直线的距离为， 所以圆被直线截得弦长为， 所以C选项正确. 到直线的距离为， 所以直线与圆相交，D选项错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（25-26高二下·广东广州·期中）直线交圆于A，B两点，则的弦长为______. 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为. 圆心到直线的距离为 . 弦长为. 13．（25-26高二上·陕西西安·期末）直线与圆交于A，B两点，则______． 【答案】 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，再通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离，则． 故答案为： 14．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）直线被圆所截得的弦长为__________. 【答案】 【分析】首先求圆心到直线的距离，再代入弦长公式即可求解. 【详解】圆的标准方程为， 圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·广西钦州·期末）已知圆，直线． (1)判断直线与圆的位置关系； (2)求过点的圆的切线方程． 【答案】(1)相离 (2)和. 【分析】（1）根据圆的方程求出圆心和半径，结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断； （2）讨论斜率情况，结合相切的等量关系可求答案. 【详解】（1）圆，圆心，半径， 因为直线，所以圆心C到直线l的距离为， 因为，即，所以直线与圆相离. （2）若切线没有斜率，则方程为. 圆心C到直线的距离为，满足条件； 若切线有斜率，设其值为，切线方程为，即， ，解得；此时，切线方程为； 综上所述，该圆过点的切线方程和. 16．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【答案】(1)或； (2)相交； 【详解】（1）圆，圆心为，半径为. 由，点在圆外. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，即直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离，解得， 直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）直线与圆相交，理由如下： 圆心，， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相交. 直线被圆所截得的弦长. 17．（25-26高二下·贵州毕节·期中）已知直线（），圆． (1)当时，判断直线与圆的位置关系，若直线与圆相交，求出弦长；若直线与圆相离，求圆上的点到直线距离的最值； (2)圆上恰有两个点到直线的距离为，求b的取值范围． 【答案】(1)直线与圆相离，圆上点到直线距离最小值为，最大值为； (2) 【分析】（1）将圆方程化为标准式确定圆心、半径，利用点到直线距离公式判定位置关系并求解距离最值. （2）根据圆上恰有两个点到直线的距离为列不等式，由此求得的范围. 【详解】（1）将圆的方程配方化为标准形式， 可得圆心，半径. 当时，直线整理为， 圆心到直线的距离， 因为，因此，直线与圆相离. 圆上点到直线距离的最小值为， 最大值为. （2）直线整理为，圆心到直线的距离，由得. 圆上恰有两个点到直线距离为，因此，， 代入得，， 解得，所以的取值范围是. 18．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知直线：，圆（点为圆心）. (1)若直线与圆相切，求实数的值； (2)当时，判断直线与圆是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为，，并求的面积，如果不相交，请说明理由. 【答案】(1)，或 (2)是， 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径可得答案； （2）当时，利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得直线与圆相交，再由及求出的面积. 【详解】（1）圆，，半径， 若直线与圆相切，则，解得，或； （2）当时，直线的方程为， 由圆心到直线的距离为， 得直线与圆相交于不同两点， 所以， 所以. 19．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m.一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻.近日水位暴涨了3m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞.试问：船身应该降低多少？ （参考数据，精确0.01m. ） 【答案】0.68m 【分析】法1，建立坐标系，利用待定系数法确定圆的一般方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少；法2，建立坐标系，利用几何法确定圆的方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少. 【详解】（方法1）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设拱桥所在的圆的方程为，则圆过点， 故，解得， 所以拱桥所在圆的方程是. 当时，. 即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82， 正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则， 即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了3m. 所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞. 答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m. （方法2）如图，以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系. 设桥拱圆的圆心，半径为，则圆的方程为. 桥拱最高点的坐标为，桥拱与水面的交点的坐标为. 为直角三角形，依题意得， 解得，，则. 圆的方程为， 当船行驶在河道正中央，船顶最宽处点的坐标为， 则当时，使船能通过的最低要求，是点在圆上. 当时，. 即船能通过的最低要求为船身在水面以上8.82， 正常水位时，船身在水面以上部分的高为6.5，则， 即要保证船顺利通过，水位上涨不能超过m，又水位暴涨了. 所以船身要降低m，才能顺利地通过桥洞. 答：为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.68m. 1 学科网（北京）股份有限公司 $