专题02 二次函数的实际应用问题（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级下册

专题02 二次函数的实际应用问题 题型一：二次函数的实际应用---图形面积问题 题型二：二次函数的实际应用---围墙问题 题型三：二次函数的实际应用---图形运动问题 题型四：二次函数的实际应用--拱桥问题 题型五：二次函数的实际应用--隧道问题 题型六：二次函数的实际应用---商品销售问题 题型七：二次函数的实际应用---投球问题 题型八：二次函数的实际应用---喷水问题 题型九：二次函数的实际应用--增长率问题 题型十：二次函数的实际应用---其它问题 题型一：二次函数的实际应用---图形面积问题 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一个直角三角形两直角边之和为，则这个直角三角形的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设一条直角边的长为，则另一条直角边的长为，根据三角形的面积公式，列出二次函数，求最大值即可． 【详解】解：设一条直角边的长为，则另一条直角边的长为， ∴直角三角形的面积， ∴当时，三角形的面积最大为； 故选：B． 2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算．设窗的高度为，宽为，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可． 【详解】解：设窗的高度为，宽为， 故， ∴． ∴当时，S最大值为． 故选：C． 3．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出修改后的花园面积与x之间的关系式． 先根据长方形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积 ， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大，为． 故选：D． 4．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在一个直角三角形内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，如果设矩形的一边的长为，要使矩形面积最大，的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的应用，先证明，可得，然后根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：如图，设矩形的一边的长为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴； ∴矩形的面积， ∵， ∴当时，面积有最大值． 故选：C． 5．（25-26九年级上·山西朔州·期中）项目学习 项目背景：为进一步推动全国范围内劳动教育的实施，提供一套翔实丰富的方案，以指导学校和教育机构开展劳动教育活动，我省某校数学老师围绕“用硬纸板设计侧面积最大的无盖纸盒”让学生展开讨论，形成了如下活动报告： 活动主题 用硬纸板设计侧面积最大的无盖纸盒 驱动任务 利用二次函数的最值设计侧面积最大的无盖纸盒 活动内容 根据题意列出有关纸盒高度的二次函数的关系式，利用性质确定侧面积最大的无盖纸盒的高． 活动过程 一、方案说明：图1是一张正方形硬纸板，然后在它的四个角上各剪方形，最后将剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒 二、数据测量：测得图1中正方形纸板的边长为，每个角上被剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为， 三、计算： 交流展示 请根据表中的数据写出无盖纸盒的侧面积单位： 与小正方形的边长单位：的函数关系式，并求出侧面积y的最大值． 【答案】；侧面积y有最大值是 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法的应用，根据图形确定侧面积y与x的关系式是解题关键．根据长方形的面积和可得单位：）与小正方形的边长单位：的函数关系式，配方后可得y的最大值． 【详解】解：由题意得： ； ， 抛物线开口向下， 根据题意可知：,且,即, 当时，侧面积y有最大值是 题型二：二次函数的实际应用---围墙问题 6．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．设，花圃面积为，根据题意得，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，花圃面积为，则， 根据题意，， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为32， 故这个花圃的最大面积是， 故选：C． 7．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函数性质求出最大值判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，故①正确； 设这个菜园垂直于墙的一边的长为，则的长为， ∵墙长为， ∴， 解得：， ∴x的取值范围为，故②错误； 当时，即， 解得， ∵， ∴， ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③正确； ∵， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，故④正确． 故选：D． 8．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到50平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，． (2)当时，满足条件的花园面积能达到50平方米； (3)当时，最大，最大面积为200平方米． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用、一元二次方程的求解及二次函数的最值问题，熟练掌握“根据实际问题列函数关系式、结合自变量范围分析函数的取值与最值”是解题的关键． （1）根据栅栏总长表示出BC的长度，再结合矩形面积公式列函数关系式，同时根据墙长确定自变量取值范围． （2）将面积50代入函数关系式，解方程并结合自变量范围判断是否可行． （3）将函数关系式化为顶点式，结合自变量取值范围求最大值． 【详解】（1）解：∵，三边栅栏总长40， ∴． ∴，即． ∵墙长20， ∴， 解得． （2）解：令，则， 整理得， 解得． ∵， ，（舍去）， ∴， ∴当时，满足条件的花园面积能达到50平方米； （3）解：， 化为顶点式：． ∵， ∴当时，最大，最大面积为200平方米． 9．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成长方形和长方形，且长方形与长方形面积比为，若栅栏的总长度为，请解决以下问题： (1)若设的长度为，则的长度可表示为_____，的长度可表示为_____，（用含的代数式表示） (2)当的长度为多少时，长方形养殖场总面积最大？最大为多少？ 【答案】(1)；； (2)当的长度为时，长方形养殖场总面积最大，最大为 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）先求出，再根据长方形的面积公式以及二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵长方形的面积，长方形的面积，且长方形与长方形面积比为，设的长度为， ∴， 由图形可得，， ∴； （2）解：， ， ∵长方形养殖场总面积为， 当时，长方形养殖场总面积取得最大值，为， 故当的长度为时，长方形养殖场总面积最大，最大为． 10．（25-26九年级上·山东青岛·期中）学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动．已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)求方案二中花圃的最大面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，则，进而计算可以得解； （2）依据题意，设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，花圃的面积为，则，又，结合，根据二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得， 答：与墙垂直的边的长度为； （2）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为，花圃的面积为， 根据题意得， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值363， 答：方案二中花圃的最大面积是． 题型三：二次函数的实际应用---图形运动问题 11．（24-25九年级下·辽宁抚顺·月考）如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：四边形是菱形，， ，． 如图1，当点N在上运动时，，． 过点M作于点E． 在中，， ． ． 当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）． ． 如图2，当点N在上运动时，，． 过点N作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． ． 故选：C． 12．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上移动（不与点B，C重合），连接，过点E作交于点F，设，，则与之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．由，，且为直角三角形，运用勾股定理得出y与x的关系，再判断出函数图象即可． 【详解】解：如图，连接． ∵在矩形中，，， ∴，， ∵，，则，， ∴，，， 又∵为直角三角形， ∴，即， 整理得， 该函数图象是开口向下、顶点坐标是的抛物线， ∵点在边上移动（不与点B，C重合）， ∴该函数图象不包含原点和x轴的交点， 故选：B． 13．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图1，在中，，，动点从点开始沿边向点移动，动点从点开始沿边向点移动，两点同时出发，到达各自的终点后停止．设点运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），与的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象上的动点问题．由图2得：点N到达点C所用时间为，点M到达点B所用时间为，且当时，的面积为，从而得到的面积为的面积的2倍，即可求解． 【详解】解：由图2得：点N到达点C所用时间为，点M到达点B所用时间为，且当时，的面积为， 如图， 此时， ∴的面积为的面积的2倍，即， ∴的面积为． 故选：B 14．（25-26八年级上·上海·期中）如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【答案】(1)2或4 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出解析式是解题的关键． （1）设运动时间为秒，则,，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可； （2）由（1）知，，该函数图象开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式求出顶点坐标，五边形的面积最小值等于矩形面积减去的面积的最大值，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，则, 则， 即， 解得或 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为秒，则, 则， 当时，有最大值，最大值为， 则五边形的面积最小值为：， 答：经过3秒时,五边形的面积最小，最小值是． 15．（25-26九年级上·吉林四平·月考）如图，在等腰直角三角形中，，，，动点以的速度从点出发，沿边向终点运动，过作于点，以为邻边作平行四边形，设点的运动时间为与重叠部分图形面积为． (1)___________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）由勾股定理可得； （2）由题意得，推导出，由四边形是平行四边形，得，，，当点M在上，则，得，可推导出，则，解得； （3）分两种情况，一是点M在的内部或边上，则；二是点M在的外部，作于点F，分别交、于点D、点E，则四边形是矩形，所以，可求得，即可由求得． 【详解】（1）解：在等腰直角三角形中，，，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 如图1，点M在上，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：当点P与点C重合时，则， ∴， 当时，如图2， ∵， ∴； ∵当时，如图3，作于点F，分别交于点D、点E， ∵，, ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵ ∴， 综上所述，． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示有关线段的长度是解题的关键． 题型四：二次函数的实际应用--拱桥问题 16．（25-26九年级上·广西玉林·期中）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：水面宽为， 的横坐标为， 把代入， 得：， ， 此时拱顶到水面的距离为， 故选：B． 17．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于2025年7月20日至7月31日在赤峰市举办．在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状（如图所示）．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以的中点O为原点，以直线为x轴，以过点O且与直线垂直的直线为y轴建立坐标系，求出经过A、B、三点的抛物线解析式，再求出该抛物线的顶点纵坐标即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以的中点O为原点，以直线为x轴，以过点O且与直线垂直的直线为y轴建立坐标系， 由题意得，，，， 设经过A、B、三点的抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴经过A、B、三点的抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为． 故选：C． 18．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图1，某大桥是中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋是抛物线的一部分（如图2），跨径为，拱高为，抛物线顶点C到桥面的距离为． (1)请以所在直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线所对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)若河水水位上涨，假设水位比所在直线高出，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？ 【答案】(1)抛物线对应的函数关系式是 (2)位于水面上的拱肋的跨径是 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． （1）首先建立直角坐标系，设抛物线的函数关系式为，把已知坐标代入解析式可解； （2）把代入函数关系式求出x的解即可． 【详解】（1）解：以所在直线为x轴，直线为y轴，建立直角坐标系， 如图所示：设抛物线所对应的函数关系式为， 由题意得，，， ∴． ∴，． ∴抛物线对应的函数关系式是． （2）解：当水位比所在直线高出时，将代入函数关系式得 ， ∴， ∴由题意：， ∴位于水面上的拱肋的跨径是． 19．（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图，这是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度米，水面离拱桥的最大高度为16米． (1)求出该抛物线所对应的函数解析式． (2)现有一艘宽21米，高出水面12米的轮船，请通过计算说明这艘轮船能否通过这座拱桥？ 【答案】(1) (2)这艘轮船不能通过这座拱桥 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的顶点式及二次函数与一元二次方程的关系． （1）先根据拱桥的实际情况确定抛物线的顶点坐标与x轴交点坐标，设抛物线的顶点式，把A点坐标代入所设解析式，得到关于a的方程，求解a的值，进而确定函数解析式； （2）由题意知，将代入已求出的抛物线解析式中，求解得到的一元二次方程并得出对应的x值，计算两个x值的差，得到在高度为12米处拱桥可通过的宽度，最后比较该宽度与轮船宽度的大小，若大于等于轮船宽度则能通过，反之则不能通过． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴，，， 设抛物线解析式为， 将点代入，可得，解得， ∴． （2）解：对于抛物线， 令，可得， 解得，， ∵， ∴这艘轮船不能通过这座拱桥． 20．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图，是距离渭河源头鸟鼠山8公里处的渭源县城的一座名为“灞陵桥”的纯木质拱桥，因渭水绕灞陵（汉文帝陵墓）通长安而得名，是世界上唯一的纯木质悬臂梁与叠梁拱结构相结合的木质拱桥，又名握桥或卧桥．著名的桥梁建筑大师茅以升在他的《桥梁史》中赞评灞陵桥“仅次于河北赵州同济桥”，奠定了它在桥梁史上的重要地位．如图，桥拱截面可以看作抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽约米，桥拱顶点到水面的距离为米． (1)模型建立：如图，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点，过原点且垂直于水面的线为轴建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的表达式； (2)问题解决：现有两艘宽为米，高为米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两艘小舟能否同时从桥下穿过？请说明理由． 【答案】(1)； (2)两艘小舟能同时从桥下穿过，理由见解析 【分析】（）根据题意可知点点和点的坐标分别为和，顶点为，然后利用待定系数法求解即可； （）求出当时的值，然后计算比较即可； 本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 【详解】（1）解：由题意得点和点的坐标分别为和， ∵为抛物线的顶点， ∴， 设抛物线的表达式为， 将点代入表达式可得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：两艘小舟能同时从桥下穿过，理由如下： 将代入， 得， 解得，， ∴小舟高度为米时，最大的通行宽度为（米）． ∵两艘小舟宽为米，， ∴两艘小舟能同时从桥下穿过． 题型五：二次函数的实际应用--隧道问题 21．（25-26九年级上·山东济宁·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)该隧道内设双行道，中间隔离带，一辆货车高，宽，能否安全通过，为什么？ 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意建立二次函数模型并利用其性质求解． （1）根据抛物线的顶点坐标设出顶点式，再代入已知点坐标求出表达式； （2）根据货车的宽度和隔离带宽度确定横坐标，代入抛物线表达式求出纵坐标，与货车高度比较判断能否通过． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为 设抛物线的表达式为， 把代入表达式得， 即， ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：中间隔离带，货车宽， 货车右侧到轴的距离为， 把代入得 ， ， 货车能安全通过． 22．（22-23九年级上·陕西延安·期末）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴也是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为．    (1)求抛物线的解析式． (2)现有一辆货运卡车，高为，宽为，它能从正中间通过该隧道吗？ 【答案】(1) (2)这辆货运卡车不能从正中间通过该隧道． 【分析】本题考查了二次函数的应用，运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． （1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的顶点式，进而可求抛物线的解析式； （2）根据题意，把代入解析式，得到，由于，于是得到货运卡车不能通过． 【详解】（1）解：根据题意可得抛物线顶点E的坐标为，设抛物线的解析式为．由已知可得，点B的坐标为，且在此抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， （2）解：当时，． ∵， ∴这辆货运卡车不能从正中间通过该隧道． 23．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为米，宽度为米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的特种车辆？请通过计算说明； 【答案】(1) (2)能同时并行两辆宽米、高米的特种车辆 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的实际应用． （1）根据题意，可得点及抛物线顶点的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题知，当时，，而，即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为原点， ∴点，顶点， 设抛物线的解析式为， 把点，点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵，， ∴自变量x的取值范围为：． （2）解：当时，， 故能同时并行两辆宽米、高米的特种车辆． 24．（2024·陕西西安·一模）如图是某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为6米，宽为12米．以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．    (1)求该抛物线的函数解析式；（不需写自变量的取值范围） (2)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点A，D在抛物线上，点B，C在上，求所需的三根“光带”的长度之和的最大值． 【答案】(1)这条抛物线的函数解析式为 (2)三根“光带”长度之和的最大值为15米 【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据题意可设，抛物线过，可求得到，即可求出抛物线的解析式； （2）设点A的坐标为，设三根“光带”长度之和为L米，列出L的解析式，根据二次函数的性质求出答案即可． 【详解】（1）解：由题意可设这条抛物线的函数解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴这条抛物线的函数解析式为； （2）设点A的坐标为， 则， 根据抛物线的轴对称，可得：，， 设三根“光带”长度之和为L米， 令 ， ∵，开口向下， ∴当时，最大值为15， ∴当米时，三根“光带”长度之和的最大值为15米． 25．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）【实践与探究】 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： 实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系． (1)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ (2)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予以解答： ①如图2，在抛物线内作矩形，使顶点、落在抛物线上，顶点、落在轴上．设矩形的周长为，求的最大值； ②在①的条件下，如图3，点P为抛物线的顶点，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转（），若以点，，为顶点的三角形的直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数______． 【答案】(1)能； (2)①；②或或． 【分析】（1）利用顶点式求出二次函数解析式，再根据已知得出当时的函数值即可； （2）①首先表示出矩形周长，再利用二次函数的性质解答即可；②求出为等腰直角三角形，可得，然后分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据坐标系得此函数顶点坐标为，且图象过点， ∴可设此函数的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴此函数的解析式为， 当最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， 当时，， ∴隧道能让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶； （2）解：①设，则， ∴， ∴矩形的周长， ∵， ∴当时，l取得最大值，最大值为， ②由（2）得：，， 如图，过点P作轴，交于点E，则，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当时，如图， 此时， ∴，即， 此时的旋转角的度数； 当时， 此时， 此时的旋转角的度数； 当时， 此时， 此时的旋转角的度数； 综上所述，旋转角的度数或或． 【点睛】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，根据函数图象获取正确点的坐标以及利用图象上点的性质是解决问题的关键． 题型六：二次函数的实际应用---商品销售问题 26．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）某超市销售一种水果，进价为每千克元．规定每千克售价不低于成本，且不高于元．经市场调查发现，日销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元/千克） 销售量（千克） 超市要想每天获得最大利润，每千克水果应定价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数及二次函数的最值问题，关键是将实际问题转化成函数模型； 根据表格数据求出销售量与售价的一次函数关系，再表示出利润函数，利用二次函数性质求最大值. 【详解】解：设，代入点和， ∵， ∴解得， ∴， 设利润为：， 则， ∵， ∴有最大值，顶点横坐标， ∵， ∴每千克定价元时利润最大. 故答案选：A. 27．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 【答案】B 【分析】本题涉及二次函数的实际应用，核心是根据利润的构成建立二次函数模型，再利用二次函数的顶点式（或顶点坐标公式）求利润的最大值，其中利润 每个房间利润 入住房间数是建立函数的关键。设房价定为元，根据利润 （房价 支出费用） 入住房间数，列出利润的函数表达式，再根据二次函数的性质求最值． 【详解】设房价定为元，宾馆的利润为元， 当房价为元时，每个房间的定价增加了元， 因为每增加元就有一个房间空闲，所以空闲的房间数为，则入住的房间数为， 每个房间的利润为元， 所以利润， 化简： ， 对于二次函数（），当时，函数在处取得最大值， 在中，，， 则． 故选：B． 28．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价定为18元/盒时，每天可售出40盒；销售单价每提高1元/盒时，每天少售出2盒，设销售单价提高元/盒时，超市每天销售该糖果的利润为元． (1)求出关于的函数解析式； (2)要使每天销售该糖果的利润为360元，为了让顾客得到实惠，每盒糖果的售价应定为多少元？ (3)每盒糖果的售价定为多少元时，每天销售该糖果获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每盒糖果的售价应定为20元 (3)每盒糖果的售价定为24元时，每天销售该糖果获得利润最大，最大利润是392元 【分析】本题考查了“二次函数的实际应用”，理清题干中的数量关系，根据利润问题的公式列出函数关系式和方程是解题关键 （1）根据“利润=（售价进价）×销售数量”，分别用含x的式子表示，即可得到y与x的关系式； （2）令，根据（1）中的关系式求出x即可； （3）根据二次函数的最值，通过（1）中的关系式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得； （2）解：当时，， 解得，， 为了让顾客得到实惠，应选择较低的售价，故 ， 答：每盒糖果的售价应定为20元； （3）解：； 当时，的最大值是392， ， 答：每盒糖果的售价定为24元时，每天销售该糖果获得利润最大，最大利润是392元． 29．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲． (1)若每个房间每天定价增加元（是10的倍数），直接写出该宾馆的已居住的房间数； (2)若游客居住房间，宾馆需对已居住的每个房间每天支出20元的各种费用． ①若该宾馆一天利润为8640元，求当天的定价； ②房价定为多少时，宾馆利润最大？ 【答案】(1) (2)①当天的定价为200元或500元时，宾馆一天利润为8640元；②房价定为350元时，宾馆一天利润最大 【分析】此题考查二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，列出函数关系式． （1）依据题意，由当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，即可计算得解； （2）①设每个房间的定价为元，根据以上关系式列出方程求解可得； ②根据（1）中相等关系列出函数解析式，由二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲， ∴每个房间每天定价增加元，就会有个房间空闲． 已居住的房间数为：． （2）设每个房间每天的定价增加元，宾馆一天利润为元， 则． ①令， 则， 解得，． （元），（元）． 答：当天的定价为200元或500元时，宾馆一天利润为8640元． ②， 此抛物线开口向下，对称轴为． 当时，有最大值． （元）． 房价定为350元时，宾馆一天利润最大． 30．（25-26九年级上·广西防城港·期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本；若销售单价降x元． (1)该商品每月的销售量为 ，每件利润为 ；（用含x的代数式表示） (2)若该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应降多少元？ (3)超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应降多少元？ 【答案】(1) 件，元 (2) 30元 (3) 20元 【分析】本题考查代数式表示、一元二次方程和二次函数的应用． （1）根据销售单价降低x元，销售量增加件，每件利润减少x元，直接写出代数式； （2）根据利润公式列方程，解方程后选择降价较多的解以满足顾客实惠； （3）设每月利润为，建立利润关于x的二次函数，通过顶点公式求最大值对应的x值． 【详解】（1）解：销售单价降低x元，则销售量为（件），每件利润为（元）， 故答案为：件；元； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得 ，， ∵要求顾客获得更多实惠，即销售单价更低， ∴， 答：销售单价应降30元； （3）解：设每月利润为， 则， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 对称轴为直线， ∴当时，利润最大， 答：销售单价应降20元． 题型七：二次函数的实际应用---投球问题 31．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系是，则铅球推出的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解决本题的关键在于理解铅球推出的距离与二次函数的关系． 当铅球落地时，高度，此时对应的水平距离的值就是铅球推出的距离，由此求解即可． 【详解】解：令，得到方程， 化简得到， 解得，（舍去）， ∴铅球推出的距离为． 故选：B ． 32．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）一个小球从地面上一点处以一定的方向弹出，落在斜坡上的点处，小球的飞行路线可以用二次函数表示，斜坡所在直线可以用表示，它们的图像如图所示，当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值（不考虑空气阻力等因素）．由题意可得到以下结论： ①； ②当小球落到点处时，点与点的水平距离为； ③当时，小球与斜坡之间的竖直高度最大． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； ①根据对称轴可得，当时，则，联立求解即可； ②联立，即可求解； ③小球与斜坡之间的竖直高度为，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：①当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值， ； 因为对称轴为； 则； ， 解得：， 则； 故①说法正确； ②∵，， ∴， 联立， 解得：； 当小球落到点处时，点与点的水平距离为； 故②说法正确； ③由题意小球与斜坡之间的竖直高度为， ∵， ∴当时，小球与斜坡之间的竖直高度有最大距离，故③说法正确； 综上所述，正确的有①②③，有3个； 故选：D． 33．（2024·陕西宝鸡·一模）掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 【答案】(1) (2)该男生在此项考试中得优秀 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数、二次函数与坐标轴的交点、二次函数的应用等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，即，解得，再与比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线顶点为， 设函数表达式为， 抛物线过点， ，解得：， 关于的函数表达式为：． （2）解：令，即， 解得，（不合题意，舍去）， ， 该男生在此项考试中得优秀． 34．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点处），石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙． 【答案】(1) (2)石块能飞越城墙 【分析】本题考查二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，将C点坐标代入求解； （2）计算出时对应的y值，得出当到达城墙时，石块的高度，与比较大小即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为：， 将点代入得：， ∴． ∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：． （2）解：当时，， 当到城墙时，石块高度为，， ， 石块能飞越城墙． 35．（25-26九年级上·广西防城港·期中）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； (2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； 【答案】(1) (2)小丽的判断是正确的，计算过程见解析 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可； （2）求得当时的函数值，与比较即可说明小丽判断的正确性； 【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为． 把代入，得． ． （2）解：把代入抛物线解析式， 得． ， ∴此球不能投中，小丽的判断是正确的． 题型八：二次函数的实际应用---喷水问题 36．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段练习）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠距离水面的高度（米）关于水珠和喷头之间的水平距离（米）的函数解析式是，如果水珠与喷头之间的水平距离为2米，那么此时水珠距离水面的高度为（   ） A．3米 B．5米 C．6米 D．8米 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，把代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当水珠与喷头之间的水平距离为2米，即时，， ∴此时水珠距离水面的高度为8米； 故选D． 37．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（   ） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，把一般式化为顶点式求解是解题的关键． 根据判断最值即可． 【详解】， ， 二次函数有最大值是． 故选． 38．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图，A、B为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A处着火点．已知点A与点C的垂直距离与水平距离均为12米，水流在与点A水平距离为4米处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求原水流所在抛物线的解析式； (2)若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2米到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4米处的B着火点？请说明理由； (3)将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A正上方3米，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)不能到达，见详解 (3) 【分析】（1）令抛物线的顶点式为：，将点代入求解即可； （2）先求出平移后的抛物线方程，再比较点的纵坐标与点纵坐标即可求解； （3）根据题意当时，，通过解不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点,抛物线对称轴：， 令抛物线的顶点式为：， 将点代入，得， 解得，， 求原水流所在抛物线的解析式为：； （2）不能到达，理由如下： 将抛物线向左平移2米，得到的抛物线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 且， 此时的水流不能到达点A正上方4米处的B着火点； （3）抛物线向左平移m个单位后，解析式为：， 水流在墙面( )上到达点高度不低于，即当时，， ， 解得， m的取值范围． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及应用，二次函数的顶点式，待定系数法求函数的解析式，抛物线与坐标轴交点，图象的平移，理解函数图象的平移规律是解题的关键． 39．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为． (1)则水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数解析式为______，雕塑高______； (2)求落水点之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，．问：顶点是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1)， (2) (3)不会碰到水柱．理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． （1）根据轴对称即可求出函数解析式，求雕塑高,直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，水柱所在抛物线的第一象限部分和水柱所在抛物线的第二象限部分关于y轴对称， ∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数解析式为． 由题意得，A点在图象上． 当时， ． 故答案为：， （2）由题意得，D点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． （3）当时，， ， ∴不会碰到水柱． 40．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 【答案】(1) (2)喷泉跨度的最小值为3 (3)能够进入该安全通道的人的最大身高为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数图象的不同特点设出相关函数解析式是解题的关键． （1）抛物线过原点，可设抛物线解析式为：，易得抛物线的顶点坐标为，抛物线经过（，把这两点代入可得抛物线的解析式； （2）两个抛物线的形状相同，则二次项的系数相同，抛物线的最高高度相同，那么两个抛物线顶点的纵坐标也相等，设抛物线解析式为顶点式，当喷水管最高时，的值最小，把代入抛物线解析式可得抛物线的解析式，进而求解； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，根据点在过点的抛物线上，点在过点的抛物线上，求得纵坐标相等时的值，代入过点的抛物线可得纵坐标的值，即为能够进入该安全通道的人的最大身高． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，如图， ∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵水柱最高点离地面， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， ∵不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同， ∴图3中抛物线的顶点的坐标可设为：， ∴抛物线解析式为：， ∵喷水管最高时，的值最小， ∴抛物线经过点，即， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 当时，， 解得：（负值舍去）， ∴； 答：喷泉跨度的最小值为3； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为， 由题意可知：点在抛物线上，点在抛物线上， 则， ∴， ， ， ， 解得：， ∴ ． 答：能够进入该安全通道的人的最大身高为米． 题型九：二次函数的实际应用--增长率问题 41．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 根据平均每个季度增长的百分率为，第二季度总值约为千亿元，第三季度总值为千亿元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：根据题意得： 关于的函数表达式是：， 故选：C． 42．（25-26九年级上·重庆·期中）为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． 先求出周五的跳绳量，再根据日均增长率，即可求出周日的跳绳量，从而得出周日跳绳量关于的函数关系式． 【详解】解：小南周四跳绳量为个， 周五跳绳量为个， 又周六、周日两天日均增长率为， 周日的跳绳量为个， 小南周日跳绳量关于的函数关系式为． 故选：． 43．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）某工厂一种产品今年的产量是件，如果每年的产量比上一年增加相同的百分率，那么第三年的产量（件）关于的函数关系式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次函数解决增长率问题． 增长率问题公式：，按公式列出函数关系式即可． 【详解】解：初始量为2000，增长了两次，所以可列出函数关系式， 故选：C． 44．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 45．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价 每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 题型十：二次函数的实际应用---其它问题 46．（25-26九年级上·广西防城港·期中）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点、处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离约为（结果保留整数）（） A．13米 B．28米 C．15米 D．16米 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数解析式与点坐标的对应关系是解题的关键． 先根据点、的高度确定其纵坐标，代入抛物线解析式求出对应的横坐标，再计算两点的水平距离． 【详解】解：∵点、距水面高为米， ∴点、的纵坐标为， 将代入， 得， ∴， ∴， ∴， ∵点、关于轴对称， ∴水平距离（米）， 故选：． 47．（25-26九年级上·江西·期中）广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线解应用题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键． 建立平面直角坐标系，如图所示，得到、，由待定系数法确定解析式为，将点的横坐标为代入解析式即可得到答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 、， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得， 解得， ， 点的横坐标为， 当时，， 点到的距离为， 故选：C． 48．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）“杭州之门”（如图1）刷新杭州新高度，同时也为杭州亮起一张新名片．它的轮廓可以看作一条优美的抛物线，为了结构的稳固性，在距离地面处，有一条跨度的钢拱连桥连接东西双塔．如图2，，，塔高，以点为坐标原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)为让更多游客一览杭州风采，小明同学向杭州市旅游局建议在离地面273米处修建一条空中玻璃栈道供游客观光，求空中栈道的长. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意正确理解抛物线的图象是解题的关键． （1）根据题意，结合图2可知，设抛物线的表达式为，该抛物线过点、、顶点在原点处，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据题意得，点和点关于轴对称，则点的纵坐标为，代入抛物线的表达式解出点的横坐标，计算的长度即可． 【详解】（1）解：根据题意，结合图2，得： 以点为坐标原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系，，塔高到轴的距离为， 则该抛物线过点、、顶点在原点处， 设抛物线的表达式为， 则 解得， 因此，抛物线的表达式为， 答：抛物线的表达式为； （2）解：根据题意得，在离地面273米处修建一条空中玻璃栈道， 则点和点关于轴对称， 点的纵坐标为， 将代入抛物线的表达式得， ， 解得， 则, 答：空中栈道的长为． 49．（23-24九年级上·广西南宁·期中）综合与实践． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； (3)若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1) (2)72m (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． 利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； 将代入中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； 求出中函数的最大值，与比较，即可解决问题． 【详解】（1）设，将，，代入， 得，解得， 关于t的函数解析式为：； （2）当时，， 答：汽车刹车后，行驶了； （3）不会．理由如下： ， 当时，汽车停下，行驶了， ， 该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 50．（25-26九年级上·山东临沂·期中）沂蒙花馍，又称沂蒙面塑，俗称捏面人，是山东临沂地区的传统造型艺术．沂蒙花馍起源于民间，清朝末年就在临沂周边乡镇地区流传，已有上百年历史，2021年被列入第五批山东省省级非物质文化遗产代表性项目名录．在沂蒙地区，花馍是春节、端午节、中秋节等传统节日以及诞生、婚嫁、寿筵等人生仪礼中不可或缺的食品，也是馈赠亲友的佳品．如图1是蒸花馍时常用的柴灶锅，其纵截面可抽象成如图2所示的一段抛物线，锅口的直径为，锅深为，锅盖高为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式； (2)如图2，如果柴灶锅里的水位高度最大为时（柴灶锅水平放置），求此时水面的直径的长； (3)如图3，柴灶锅的锅盖纵断面可抽象成一条开口向下的抛物线，且锅盖中心与柴灶锅中心处于同一铅垂线上，如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入柴灶锅内蒸花馍，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)锅盖能正常盖上，见解析 【分析】本题主要考查待定系数求函数解析式、二次函数的实际应用等知识点，解题的关键在于将实际问题转化为二次函数问题求解． （1）先建立直角坐标系，再确定、、，然后运用待定系数法求解即可； （2）炒当柴灶锅里的水位高度最大为时，，然后代入得到关于x列方程求解，进而确定的长； （3）如图2，设锅盖纵断面的抛物线解析式为，易得，当时，代入，得；代入，得；即，再与对比即可解答． 【详解】（1）解：如图1，以所在直线为x轴，过中点O，且垂直于的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系， 由题意可知，，， ∴，，． 设抛物线的解析式为， 将代入得： ，解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：当柴灶锅里的水位高度最大为时，， 即，解得（负数舍去）， 答：此时水面的直径为． （3）解：锅盖能正常盖上． 如图2，设锅盖纵断面的抛物线解析式为， 将，代入，得 ，解得， ∴． 当时，代入，得， 代入，得， ， ∴锅盖能正常盖上． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的实际应用问题 题型一：二次函数的实际应用---图形面积问题 题型二：二次函数的实际应用---围墙问题 题型三：二次函数的实际应用---图形运动问题 题型四：二次函数的实际应用--拱桥问题 题型五：二次函数的实际应用--隧道问题 题型六：二次函数的实际应用---商品销售问题 题型七：二次函数的实际应用---投球问题 题型八：二次函数的实际应用---喷水问题 题型九：二次函数的实际应用--增长率问题 题型十：二次函数的实际应用---其它问题 题型一：二次函数的实际应用---图形面积问题 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一个直角三角形两直角边之和为，则这个直角三角形的最大面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）用长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图是一个长、宽的矩形花园，现要将它的长缩短，宽增加，则修改后花园的最大面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在一个直角三角形内部作一个矩形，其中和分别在两直角边上，如果设矩形的一边的长为，要使矩形面积最大，的取值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山西朔州·期中）项目学习 项目背景：为进一步推动全国范围内劳动教育的实施，提供一套翔实丰富的方案，以指导学校和教育机构开展劳动教育活动，我省某校数学老师围绕“用硬纸板设计侧面积最大的无盖纸盒”让学生展开讨论，形成了如下活动报告： 活动主题 用硬纸板设计侧面积最大的无盖纸盒 驱动任务 利用二次函数的最值设计侧面积最大的无盖纸盒 活动内容 根据题意列出有关纸盒高度的二次函数的关系式，利用性质确定侧面积最大的无盖纸盒的高． 活动过程 一、方案说明：图1是一张正方形硬纸板，然后在它的四个角上各剪方形，最后将剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒 二、数据测量：测得图1中正方形纸板的边长为，每个角上被剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为， 三、计算： 交流展示 请根据表中的数据写出无盖纸盒的侧面积单位： 与小正方形的边长单位：的函数关系式，并求出侧面积y的最大值． 题型二：二次函数的实际应用---围墙问题 6．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，一边靠墙（墙足够长），其它三边用长的篱笆围成一个矩形花圃，这个花圃的最大面积是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 8．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长20米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长40米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，花园的面积为平方米． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到50平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 9．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成长方形和长方形，且长方形与长方形面积比为，若栅栏的总长度为，请解决以下问题： (1)若设的长度为，则的长度可表示为_____，的长度可表示为_____，（用含的代数式表示） (2)当的长度为多少时，长方形养殖场总面积最大？最大为多少？ 10．（25-26九年级上·山东青岛·期中）学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动．已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成．兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)求方案二中花圃的最大面积． 题型三：二次函数的实际应用---图形运动问题 11．（24-25九年级下·辽宁抚顺·月考）如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在边上移动（不与点B，C重合），连接，过点E作交于点F，设，，则与之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图1，在中，，，动点从点开始沿边向点移动，动点从点开始沿边向点移动，两点同时出发，到达各自的终点后停止．设点运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），与的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·上海·期中）如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 15．（25-26九年级上·吉林四平·月考）如图，在等腰直角三角形中，，，，动点以的速度从点出发，沿边向终点运动，过作于点，以为邻边作平行四边形，设点的运动时间为与重叠部分图形面积为． (1)___________； (2)当点落在边上时，求的值； (3)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． 题型四：二次函数的实际应用--拱桥问题 16．（25-26九年级上·广西玉林·期中）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（    ）    A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于2025年7月20日至7月31日在赤峰市举办．在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状（如图所示）．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图1，某大桥是中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋是抛物线的一部分（如图2），跨径为，拱高为，抛物线顶点C到桥面的距离为． (1)请以所在直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线所对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)若河水水位上涨，假设水位比所在直线高出，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？ 19．（25-26九年级上·江西宜春·期中）如图，这是一个抛物线拱桥的横截面，水面宽度米，水面离拱桥的最大高度为16米． (1)求出该抛物线所对应的函数解析式． (2)现有一艘宽21米，高出水面12米的轮船，请通过计算说明这艘轮船能否通过这座拱桥？ 20．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践 问题情境：如图，是距离渭河源头鸟鼠山8公里处的渭源县城的一座名为“灞陵桥”的纯木质拱桥，因渭水绕灞陵（汉文帝陵墓）通长安而得名，是世界上唯一的纯木质悬臂梁与叠梁拱结构相结合的木质拱桥，又名握桥或卧桥．著名的桥梁建筑大师茅以升在他的《桥梁史》中赞评灞陵桥“仅次于河北赵州同济桥”，奠定了它在桥梁史上的重要地位．如图，桥拱截面可以看作抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽约米，桥拱顶点到水面的距离为米． (1)模型建立：如图，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点，过原点且垂直于水面的线为轴建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的表达式； (2)问题解决：现有两艘宽为米，高为米（带货物）的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两艘小舟能否同时从桥下穿过？请说明理由． 题型五：二次函数的实际应用--隧道问题 21．（25-26九年级上·山东济宁·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)该隧道内设双行道，中间隔离带，一辆货车高，宽，能否安全通过，为什么？ 22．（22-23九年级上·陕西延安·期末）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴也是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为．    (1)求抛物线的解析式． (2)现有一辆货运卡车，高为，宽为，它能从正中间通过该隧道吗？ 23．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为米，宽度为米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的特种车辆？请通过计算说明； 24．（2024·陕西西安·一模）如图是某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点Q为顶点，其高为6米，宽为12米．以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．    (1)求该抛物线的函数解析式；（不需写自变量的取值范围） (2)如图2，小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使点A，D在抛物线上，点B，C在上，求所需的三根“光带”的长度之和的最大值． 25．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）【实践与探究】 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： 实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系． (1)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ (2)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予以解答： ①如图2，在抛物线内作矩形，使顶点、落在抛物线上，顶点、落在轴上．设矩形的周长为，求的最大值； ②在①的条件下，如图3，点P为抛物线的顶点，在矩形周长最大时，将矩形绕点逆时针旋转（），若以点，，为顶点的三角形的直角三角形，请直接写出此时的旋转角的度数______． 题型六：二次函数的实际应用---商品销售问题 26．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）某超市销售一种水果，进价为每千克元．规定每千克售价不低于成本，且不高于元．经市场调查发现，日销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价（元/千克） 销售量（千克） 超市要想每天获得最大利润，每千克水果应定价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 27．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 28．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价定为18元/盒时，每天可售出40盒；销售单价每提高1元/盒时，每天少售出2盒，设销售单价提高元/盒时，超市每天销售该糖果的利润为元． (1)求出关于的函数解析式； (2)要使每天销售该糖果的利润为360元，为了让顾客得到实惠，每盒糖果的售价应定为多少元？ (3)每盒糖果的售价定为多少元时，每天销售该糖果获得利润最大？最大利润是多少？ 29．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲． (1)若每个房间每天定价增加元（是10的倍数），直接写出该宾馆的已居住的房间数； (2)若游客居住房间，宾馆需对已居住的每个房间每天支出20元的各种费用． ①若该宾馆一天利润为8640元，求当天的定价； ②房价定为多少时，宾馆利润最大？ 30．（25-26九年级上·广西防城港·期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低1元，则每月可多售出5件，且要求销售单价不得低于成本；若销售单价降x元． (1)该商品每月的销售量为 ，每件利润为 ；（用含x的代数式表示） (2)若该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应降多少元？ (3)超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应降多少元？ 题型七：二次函数的实际应用---投球问题 31．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的函数关系是，则铅球推出的距离为（    ） A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）一个小球从地面上一点处以一定的方向弹出，落在斜坡上的点处，小球的飞行路线可以用二次函数表示，斜坡所在直线可以用表示，它们的图像如图所示，当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值（不考虑空气阻力等因素）．由题意可得到以下结论： ①； ②当小球落到点处时，点与点的水平距离为； ③当时，小球与斜坡之间的竖直高度最大． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 33．（2024·陕西宝鸡·一模）掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 34．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点处），石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙． 35．（25-26九年级上·广西防城港·期中）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式； (2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性； 题型八：二次函数的实际应用---喷水问题 36．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段练习）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠距离水面的高度（米）关于水珠和喷头之间的水平距离（米）的函数解析式是，如果水珠与喷头之间的水平距离为2米，那么此时水珠距离水面的高度为（   ） A．3米 B．5米 C．6米 D．8米 37．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（   ） A．4米 B．3米 C．2米 D．1米 38．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图，A、B为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A处着火点．已知点A与点C的垂直距离与水平距离均为12米，水流在与点A水平距离为4米处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求原水流所在抛物线的解析式； (2)若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2米到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4米处的B着火点？请说明理由； (3)将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A正上方3米，求m的取值范围． 39．（25-26九年级上·河北唐山·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为． (1)则水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数解析式为______，雕塑高______； (2)求落水点之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，．问：顶点是否会碰到水柱？请通过计算说明． 40．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 题型九：二次函数的实际应用--增长率问题 41．（25-26九年级上·吉林松原·阶段练习）据省统计局公布的数据，长春市2024年第一季度总值约为千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 42．（25-26九年级上·重庆·期中）为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为，若小南周四跳绳量为个，则小南周日跳绳量关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 43．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）某工厂一种产品今年的产量是件，如果每年的产量比上一年增加相同的百分率，那么第三年的产量（件）关于的函数关系式为（  ） A． B． C． D． 44．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 45．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 题型十：二次函数的实际应用---其它问题 46．（25-26九年级上·广西防城港·期中）廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点、处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离约为（结果保留整数）（） A．13米 B．28米 C．15米 D．16米 47．（25-26九年级上·江西·期中）广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（   ）      A． B． C． D． 48．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）“杭州之门”（如图1）刷新杭州新高度，同时也为杭州亮起一张新名片．它的轮廓可以看作一条优美的抛物线，为了结构的稳固性，在距离地面处，有一条跨度的钢拱连桥连接东西双塔．如图2，，，塔高，以点为坐标原点、所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)为让更多游客一览杭州风采，小明同学向杭州市旅游局建议在离地面273米处修建一条空中玻璃栈道供游客观光，求空中栈道的长. 49．（23-24九年级上·广西南宁·期中）综合与实践． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； (3)若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 50．（25-26九年级上·山东临沂·期中）沂蒙花馍，又称沂蒙面塑，俗称捏面人，是山东临沂地区的传统造型艺术．沂蒙花馍起源于民间，清朝末年就在临沂周边乡镇地区流传，已有上百年历史，2021年被列入第五批山东省省级非物质文化遗产代表性项目名录．在沂蒙地区，花馍是春节、端午节、中秋节等传统节日以及诞生、婚嫁、寿筵等人生仪礼中不可或缺的食品，也是馈赠亲友的佳品．如图1是蒸花馍时常用的柴灶锅，其纵截面可抽象成如图2所示的一段抛物线，锅口的直径为，锅深为，锅盖高为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线的解析式； (2)如图2，如果柴灶锅里的水位高度最大为时（柴灶锅水平放置），求此时水面的直径的长； (3)如图3，柴灶锅的锅盖纵断面可抽象成一条开口向下的抛物线，且锅盖中心与柴灶锅中心处于同一铅垂线上，如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入柴灶锅内蒸花馍，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $