第14讲函数零点问题（知识清单+5典例精讲+7方法技巧+分层训练）讲义-2027届高考数学一轮复习（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数零点问题，系统覆盖零点存在性判定、零点个数判断、导数与零点综合等高考核心考点，按“知识清单—典例精讲—方法技巧—分层训练”逻辑架构整合内容，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化应用能力，帮助学生突破零点问题难点。 资料创新设计7大解题大招，如零点等价转化、数形结合速判等技巧，引导学生用数学思维分析问题，通过分层训练（基础过关、拔高选练、错题复盘）实现精准提升。典例精讲结合近3年高考真题，培养学生用数学语言表达解题过程的能力，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供高效支持。

第14讲函数零点问题 （知识清单+5典例精讲+7方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 零点存在性判定、零点个数判断，利用 判断区间零点 单选、填空题 5分 基础零点求解、零点与方程根的等价转化 方程根 单选题 5分 数形结合判断零点个数，转化 交点问题 填空题 5分 复合函数零点、零点存在区间判断，结合单调性判定唯一零点 单选、多选题 5分/6分 二分法区间判定、零点近似区间缩选，中点公式 应用 单选题 5分 导数与零点综合，已知零点个数求参数范围，利用函数最值正负判定零点 解答题 5分/ 12分 指对函数零点问题、零点大小比较，结合函数单调性分析零点分布 单选题 5分 含参函数零点存在性问题，利用 求参数取值范围 填空题 5分 多零点存在性证明、零点个数讨论，结合导数分析函数极值与零点关系 解答题 5分/ 12分 【知识点01】函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x),我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的解. 【例1】求函数 的零点。 解析：令 ，得 解得 或 ，故此函数零点为 。 【知识点02】二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【例2】已知函数 在区间 内存在唯一零点，用二分法确定第一次缩小区间。 解析：取区间端点 代入求值： 由 ，可得零点所在区间缩小为 。 【题型一】求函数的零点 【例1】（2025·河北邯郸·一模）已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】首先分析在上单调递增，再利用换元法设，得到，解出值，则得到，再令，解出即可. 【详解】由题意知在上单调递增， 设，且为正常数。 则，则，，解得或（舍去）， 则，，令，解得. 故选：C. 【例2】（多选）（2025·广东广州·三模）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】求出的零点和极值点，对，在取不同符号的值的情况下可能的图象进行分类讨论，选出符合题意的图象． 【详解】令，得， ，令，得， 若，，则，且时，恒成立， 时，，递减，，，递减， ，，递增，故D正确； 若，，则，且时，恒成立， 时，，递增，时，，递减， 时，，递减，故B正确； 若，，则，且时，恒成立， 时，，递减，时，，递增， 时，，递增，故C错误； 若，，，且时，恒成立， 时，，递增，，，递增， ，，递减，故A错误； 综上，A,C错误，B,D正确． 故选：BD． 【例3】（2025·山东·模拟预测）函数的零点为________. 【答案】5 【分析】令，得解出即可求解. 【详解】令，得，所以，解得或（舍去）. 故答案为：5 【变式1】（2026·河南濮阳·一模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为图象交点的横坐标，数形结合可得；或利用函数的单调性以及零点存在性定理可比较. 【详解】法1：由题意可知，分别为与的函数图象的交点的横坐标， 图象如图：    由图可知，； 法2：易知，均为增函数， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A 【变式2】（多选）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于选项A和C，都满足定义域关于原点对称且，所以是偶函数，令能解出实数解，所以存在零点；对于选项B，不满足，所以函数不是偶函数；对于选项D，令不能解出实数解，所以不存在零点. 【详解】对于选项A，因为函数的定义域为，且，所以是偶函数；令解得，所以函数存在零点， 故选项A正确. 对于选项B，因为，所以该函数不是偶函数，故选项B错误. 对于选项C，因为函数的定义域为，且，所以是偶函数；令解得，所以函数存在零点， 故选项C正确. 对于选项D，令，即，无实数解，所以函数不存在零点， 故选项D错误. 故选：AC 【变式3】（2025·全国·模拟预测）我们不妨定义：使函数值为0的自变量的值，称为该函数的零点.例如：函数的零点为1和.若函数的零点是和，则函数的零点是______. 【答案】和 【分析】先根据函数零点的定义得到关于、的等式，再将其代入到所求函数中，最后求解该函数的零点. 【详解】先将二次函数展开得到. 根据韦达定理，若方程的两根为和，得出，. 已知， 令，解得,. 故答案为：和. 【题型二】求函数零点或方程根的个数 【例4】（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 【例5】（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系可得的解析式，将问题转化为函数与直线交点个数问题，采用数形结合的方式可求得结果. 【详解】，，，，， ，； 函数的零点个数等价于函数与直线的交点个数； 作出与的图象如下图所示， 结合图象可知：当时，与在每个区间上有且仅有一个交点，则当时，与共有个交点； 当时，与没有交点，即当时，与没有交点； 当时，与有且仅有一个交点，即当时，与有且仅有个交点； 当时，，，二者没有交点，即当时，与没有交点； 综上所述：当时，函数的零点个数为个. 【例6】（2024·广东·一模）已知，函数. (1)求的单调区间. (2)讨论方程的根的个数. 【答案】(1)减区间为：，；增区间为：. (2) 【分析】（1）求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间. （2）利用函数的单调性，确定函数值的符号和最值，可确定方程零点的个数. 【详解】（1）因为（）. 所以：. 由，又函数定义域为， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增. （2）因为，所以：当时，，方程无解； 当，函数在上递减，在递增， 所以，所以方程无解. 综上可知：方程的根的个数为. 【变式1】（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有__________个. 【答案】4 【分析】转化为函数的图象与的图象的交点个数即可求解. 【详解】函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示： 如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点. 故答案为：4. 【变式2】（2026·江苏徐州·模拟预测）设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质.现有下列三组函数： ①，；②，；③，． 其中具有性质的是_______.（填序号） 【答案】①③ 【分析】通过验证每组函数对应的是否存在非零实数解，判断其是否具有性质. 【详解】对于①，令，即， 因式分解得，解得或， 为非零实数，故满足性质. 对于②，令，即，变形为， 两边取自然对数得，整理得，解得， 无满足条件的非零实数，故不满足性质. 对于③，令，即，化简为， 当时，左边，右边，等式成立； 当时，左边，右边，等式成立； 和为非零实数，故满足性质. 故答案为：①③. 【变式3】（2025·安徽·一模）已知函数. (1)若，求在上的极大值； (2)若函数，讨论函数在上零点的个数. 【答案】(1)极大值为0， (2)答案见详解 【分析】（1）求出导数，列表分析随变化情况，根据单调性和极值定义求解； （2）化简得，令，得或，分或，，，讨论判断方程解得个数得解. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得或或， 因此，当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 + 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 单调递增 所以当时，有极大值，极大值为. （2） ， 当时，由，得或， 其中，，则， 当或时，方程无解，此时函数只有一个零点， 当时，方程只有一解为，此时函数只有一个零点， 当时，方程有两个不同的解且均不等于，此时函数有三个零点， 当时，方程有一解且不等于，此时函数有两个零点. 综上，当或时，函数只有一个零点， 当时，函数有三个零点， 当时，函数有两个零点. 【题型三】函数零点存在性定理 【例7】（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算函数在各区间端点的函数值，利用零点存在定理，判断函数值异号的区间，从而确定零点所在的大致区间. 【详解】 因为，且函数是连续函数，所以零点在区间内. 故选：C 【例8】（多选）（2025·甘肃兰州·一模）已知函数和，以下判断正确的是（    ） A．函数在区间内有唯一的零点 B．时， C．时， D．存在正实数a，当时，对于任意大于1的正实数N， 【答案】AD 【分析】利用不等式性质以及零点存在性定理，可得答案. 【详解】由于， 当时，，则， 当时，， 故当时，，则， 故必有，使，因此A正确，B错误． 对于任意正数， 当时，， 取，当时，对于任意大于1的正实数N， 因此D正确，而当时，故C错误． 故选：AD. 【例9】（2025·湖南·模拟预测）已知，若在上有解，则的最小值是_____． 【答案】12 【分析】根据题意，的最小值即为原点到直线的距离的平方，从而求解． 【详解】因为函数， 又在上有解， 设这个解是，则， 则，即， 即点可看作在动直线上，则可转化为点到原点距离的平方的最小值． 则，令，， 则， 当且仅当，即时取等号，此时， 则． 故答案为：12. 【变式1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题得，令，由函数性质可知为增函数， 又，，根据零点存在性定理可知：， 即的取值范围为. 【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若在有唯一的极值点且为极大值点，则a的取值范围为____________. 【答案】 【分析】先对函数进行求导，根据题意由零点的存在性定理得，再由对称轴 在区间右侧可推出，解不等式组即可求解. 【详解】解：函数，则， 因为在有唯一的极值点且为极大值点， 所以根据零点的存在性定理得， 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 ， 由于对称轴在区间 右侧， 要使在内有唯一的变号零点，则需满足 ， 而， ， 则不等式组可化为 ，解得， 综上,的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】（2026·浙江·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)试判断曲线与直线在上公共点的个数； 【答案】(1)单调递增区间，；单调递减区间为， (2)2 【分析】（1）对函数求导，利用正弦函数的图象性质求解导函数不等式即得函数的单调区间； （2）令，利用导数判断其单调性，结合特殊值与零点存在定理求出函数的零点个数，即曲线与直线在上公共点的个数. 【详解】（1）由题意，， 因为，则由可得， 即当，时， 单调递增； 由可得， 即当，时， 单调递减， 综上，函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，. （2）令，则， 设，则， 所以当时，，则（即）在上单调递增； 当时，，（即）在上单调递减， 因为，，， 所以存在唯一的，使得， 故当时，，则在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 又，， 所以存在唯一的，使得， 综上可得函数在上存在两个零点0和， 所以曲线与直线在上公共点的个数为2. 【题型四】函数零点的分布 【例10】（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 【例11】（2026·河南南阳·二模）已知函数，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，， 因为在区间上恰有5个零点，所以由正弦函数性质得， 解得． 【例12】（多选）已知函数为定义在上的单调函数，且10.若函数有3个零点，则的取值可能为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】BC 【分析】令，然后可得，进一步作出图象可得结果. 【详解】因为为定义在上的单调函数，所以存在唯一的，使得， 则， 即， 因为函数为增函数，且10，所以. 当时，由，得；当时，由，得. 结合函数的图象可知，若有3个零点，则. 故选：BC 【变式1】（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分类讨论，再通过数形结合来研究函数零点个数，即可得参数范围. 【详解】当时，，对称轴为，所以在上单调递增，函数图象如下： 令，解得或， 即或，根据图象有2个解， 有1个解，所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，函数图象如下： 令，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又至少有7个零点，所以至少有2个解， 即，解得． 故选:D． 【变式2】（2025·山西临汾·二模）已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】分与两种情况讨论方程根的情况可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数有三个零点，即方程有三个解， 当时，方程为，即，即， 因为，所以，所以方程有两个根，又， 所以有一个正根与一个负根， 又，所以有一正的零点， 当时，方程为，即 因为函数有三个零点，所以方程有两个非正根， 所以，解得，又，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（2024·河南·模拟预测）设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）化简不等式为，按照和分类讨论，利用对数函数的单调性解不等式即可； （2）将零点问题转化为有解，设，则，利用函数的单调性求解参数范围即可. 【详解】（1）当时，不等式可化为， 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 若，则，解得， 所以不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （2）由题意可知， 令，即，因为，所以， 所以，所以， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以，所以. 【题型五】用二分法求方程的近似解 【例13】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为，则第一次使用二分法后区间长度变为，第二次使用二分法后区间长度变为，第三次使用二分法后区间长度变为，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止. 【详解】解：原始区间长度为， 第一次，区间长度减半，为， 第二次，区间长度减半，为， 第三次，区间长度减半，为， 第四次，区间长度减半，为， 故至少需要重复四次. 故选：B. 【例14】（多选）（2024·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．方程的解在内 B．函数的零点是 C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 【答案】ACD 【分析】对A，构造函数，利用零点存在性定理和单调性可得；对B，根据零点定义可知；对C，作出的图象，观察其交点个数可得；对D，根据零点存在性定理可得. 【详解】对A，记，易知都在单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以存在唯一零点，且， 即方程的唯一解在内，所以A正确； 对B，令，解得或， 所以函数的零点是或，所以B错误； 对C，作出的图象如图： 当时，函数和的图象显然有一个交点， 又，所以函数和的图象在处相交， 所以有三个不同的零点，所以C正确； 对D，因为，所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，所以D正确. 故选：ACD 【例15】已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________． 【答案】 【分析】由题意构造函数，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值的符号是否异号即可． 【详解】解：令，其在定义域上单调递增， 且，， ， 由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为． 故答案为：． 【变式1】用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的单调性，再判断区间端点处的函数值的符号，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】设函数， 因为函数和都是增函数， 所以函数在上单调递增； 又，， 因此，所取的第一个区间可以是， 故选：B. 【变式2】（多选）（2024·江苏无锡·模拟预测）下列命题错误的是（    ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．命题“，都有”的否定是“，使得” C．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到 D．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，，，则1.375和1.4都是精确度为的近似零点 【答案】ABD 【分析】根据幂函数的性质即可求解A，根据全称命题的否定为特称命题即可求解B,根据二分法的性质即可求解CD. 【详解】对于A, 当时，函数，故图象是两条射线，A错误， 对于B，命题“，都有”的否定是“，使得”，故B错误， 对于C，开区间的长度等于1，每经过一次操作长度变为原来的一半， 则经过次操作之后，区间的长度变为，故由，得，所以， 即至少经过4次二分后精确度达到0.1，故C正确； 对于D，由于，所以的任何一个值均为精确度为的近似零点，故D错误， 故选：ABD 【变式3】若函数有零点，但不能用二分法求其零点，则实数的值为______． 【答案】2或或2 【分析】根据题意，可知函数图象在轴上方或下方（包括轴），且与轴有交点，分类讨论当时，能用二分法求零点，不符合题意；当，再根据二次函数的图象与性质，可知二次函数的图象与轴有1个交点，由即可求出的值. 【详解】解：由题意得，函数有零点，但不能用二分法求其零点， 可知函数图象在轴上方或下方（包括轴），且与轴有交点， 当，即时，，能用二分法求零点，不符合题意； 当，即时，此时为二次函数， 而有零点，但不能用二分法求其零点， 可知函数的图象与轴有1个交点， 即有两个相等实根， 所以，解得：或. 故答案为：2或. 【解题大招01】零点等价转化技巧 将零点问题、方程根问题、图象交点问题三者互相转化，是解决所有零点题型的通用思路 【例1】判断方程 零点个数 解析：将方程转化为两个函数图象交点问题：令 通过图象可判断两函数有2个交点，故方程有2个零点。 【解题大招02】零点存在性快速判定技巧 连续函数区间端点函数值异号，则区间内必有零点；若函数单调，则零点唯一。 核心公式 . 【例2】判断 在区间 内零点情况 解析： ，且 ，函数单调递增 故函数在 内有且仅有一个零点。 【解题大招03】零点个数数形结合速判技巧 复杂方程不求解，拆分两个初等函数，利用图象交点个数判定零点个数，规避复杂运算。 转化思路 ，交点个数即为零点个数 【例3】求函数 零点个数 解析：定义域 ， 与 在定义域内仅有1个交点，故函数仅有1个零点。 【解题大招04】区间存在零点求参数技巧 一次、二次函数在开区间存在零点，优先使用端点异号法列不等式求解参数范围。 核心结论 一次函数 在 存在零点 【例4】已知 在 内存在零点，求 的取值范围 解析： 解得： 即 【解题大招05】二分法区间快速锁定技巧 区间中点，代入函数判断符号，依据异号缩小区间。 核心公式 判定规则 【例5】已知 在 有零点，，锁定零点区间 解析：，故零点所在区间为 。 【解题大招06】复合函数零点分层换元技巧 由外到内分层换元，先解外层方程，再回代求解内层方程，分层计数不重不漏。 解题步骤 令 ，先解 ，再解 【例6】求 的零点个数 解析：令 ① ② 综上，函数共有4个零点。 【解题大招07】零点有无最值判定技巧 利用函数最值正负，快速判定区间内有无零点，规避繁琐讨论。 核心结论 1. 区间内无零点 2. 区间内无零点 【例7】判断 有无零点 解析：， 函数恒大于0，故无零点。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据分段函数的组成，分别求解方程计算即得. 【详解】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 2．（2026·山东青岛·三模）函数在的零点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】方法一求出的范围，再由函数值为零，得到的取值即得零点个数，方法二先求出函数的所有零点，再根据题中范围限制，找出符合题意的零点即可． 【详解】方法一：，， 由题可知，或， 解得，，或，故有3个零点． 方法二：令， 即，，解得，， 分别令，解得，，， 所以函数在的零点的个数为3. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 二、多选题 4．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，函数，下列选项正确的是（   ） A．方程无实数解 B．方程有且仅有两个解 C．方程有且仅有三个解 D．方程有且仅有四个解 【答案】BC 【分析】对于A，由题等价于，解方程即可判断A；对于B，直接解方程即可得判断；对于C，直接解方程即可得解判断；对于D，由题等价于，解方程即可得解. 【详解】对于A，由题可知，故等价于， 即，故方程有实数解，故A错误； 对于B，方程即， 故，解得，故B正确； 对于C，方程即， 故解方程得或，故C正确； 对于D，因为，方程等价于， 故由函数得方程的解为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 5．（2025·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】分析函数的零点个数，利用导数法讨论函数的单调性与最值,再判断函数在每段上的零点个数,根据零点分布情况建立不等式组，求得实数的取值范围. 【详解】由题可得，函数最多只有一个零点. 若零点存在，则，解得， 又由，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 且当时，， 所以最多有两个零点. 因为有三个零点，所以有两个零点， 则， 解得，所以实数的取值范围为. 综上可得：实数的取值范围为. 故答案为： 6．（2025·广东江门·一模）若多项式能被整除，则______. 【答案】2 【分析】由题意和是的零点，进而列方程组求得，即可得解. 【详解】因为多项式能被整除，而， 所以和是的零点， 所以即，解得，所以. 故答案为：2 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数则的零点之和为_____________． 【答案】1 【分析】分和直接解方程即可. 【详解】当时，令，得； 当时，令，得, 所以的零点之和为． 四、解答题 8．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用求导，导数值大于0来求单调递增区间即可； （2）利用函数的单调性和取值情况，分析可得的取值范围. 【详解】（1）由，得， 令，得，解得． 所以的单调递增区间为 （2）令，解得或． 当变化时，，的变化情况如下表所示： 0 2 0 0 单调递减 1 单调递增 单调递减 由函数有且仅有三个零点， 得方程有且仅有三个不等的实数根， 所以函数的图象与直线有且仅有三个交点． 显然，当时，；当时，． 所以由上表可知，的极小值为，的极大值为， 故． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2025·江苏扬州·三模）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数. 【详解】作图像，列表： 0 0 1 0 0 1 0 0 作图像，列表： 0 0 2 0 0 2 0 在同一坐标系中画出图形，如下图所示， 则两个函数在上有4个交点. 故选：B. 2．（2026·江苏镇江·二模）已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，再按分类讨论函数单调性，结合有两个零点列出不等式求解. 【详解】函数的定义域为R，求导得 ，而， 当时，，函数在R上单调递减，函数最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，，当时，， 函数有两个零点，当且仅当，令函数， 而函数在上都单调递增，则函数在都单调递增， 又，因此不等式的解集为. 所以实数m的取值范围是. 二、多选题 3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出函数关于轴对称的函数为，转化为方程在时有解，构造函数，利用函数的单调性和零点存在性定理，确定的取值范围. 【详解】由题意等价于当时，与的图象有交点， 又，则，即， 即方程在时有解， 令，显然在上单调递增， 当时，趋于时，，则只需，即； 当时，趋于时，趋于时，，即在上有解， 综上，实数的取值范围为.根据选项可得答案为A､B､C. 故选：ABC. 4．（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是 B．若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是 C．若有5个零点，则的取值范围是 D．可能有6个零点 【答案】BC 【分析】作出的大致图象，对于A和B，只需通过平移直线观察它与的图象的交点情况即可得解；对于CD，首先若，则有或，数形结合即可建立的不等式组并求解，即可判断. 【详解】如图，作出的大致图象， 由图可知， 若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是，故A错误； 若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是，故B正确. 令，得，解得或. 若有5个零点，则或解得，故C正确. 若有6个零点，则解得，则最多有5个零点，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 5．（2022·广东汕头·一模）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总人数是（）将个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确定）.若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染者，则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为，且假设其中有不超过2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为______. 【答案】 2 【分析】利用二分检测法求解. 【详解】若待检测的总人数为8，则第一轮需检测1次，第2轮需检测2次，第3轮需检测2次，第4轮需检测2次， 则共需检测7次，此时感染者人数最多为2人； 若待检测的总人数为，且假设其中有不超过2名感染者， 若没有感染者，则只需1次检测即可； 若只有1个感染者，则只需次检测； 若只有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组， 此时相当两个待检测均为的组， 每组1个感染者，此时每组需要次检测， 所以此时两组共需次检测， 故有2个感染者，且检测次数最多，共需次检测， 所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为. 故答案为：2， 四、解答题 6．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数. (1)若为上的单调函数，求k的取值范围； (2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数的单调性可得或，继而即可求解； （2）是奇函数，所以只需证明：存在无数个取值使得在上恰有一个零点.利用二次求导分析的单调性，结合零点存在定理即可证明. 【详解】（1）， 因为为上的单调函数， 所以对任意，有；或对任意，有， 即恒成立，或恒成立， 所以的取值范围是. （2），且， 所以是奇函数， 所以只需证明：存在无数个取值使得在上恰有一个零点. ，令， 由（1）知，时，在上是减函数. 所以，在上是减函数. ，故存在. 当变化时，的变化情况如下表： 0 2 + 0 0 极大值 故时，. 故存在唯一的. 于是时，在上存在唯一的零点. 于是存在无数个取值使得恰有三个不同的零点. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果. 【详解】由及得， 由及得， 由及得， 由函数的零点分别为， 可得函数，，与图象交点的横坐标分别为， 在同一坐标系中分别作出函数，，，的图象如图， 由图知 2．（2026·四川绵阳·三模）将函数的零点从小到大排列构成数列，则的前8项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简函数，然后直接求出零点即可得解. 【详解】， 令，则或， 所以或， 将的零点从小到大排列：， 所以数列的前8项和为. 二、多选题 3．（2026·重庆·三模）已知函数则（    ） A．∃a∈R，使得f（x）为偶函数 B．∃a∈R，使得f（x）存在零点 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，使得f（x）的最小值为0 【答案】ABD 【详解】对A，若为偶函数，则，即，则时，为偶函数，A正确； 对B，当时，， 当时，单调递增，单调递减，因此在上单调递增， 又，由零点存在定理，在时必然存在零点，B正确； 对C时，，故不是单调递增函数，C错误； 对D，设，则，在坐标系中作出和的图象，则的图象是向上和向右分别移动个单位形成． 如图2所示，当与的图象在第二象限相切时，的最小值为零．D正确.    三、填空题 4．（2026·广西崇左·二模）已知函数有且仅有1个零点，则______． 【答案】1或 【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性，根据偶函数的图象可判断零点位置． 【详解】因为，且的定义域为R， 故为偶函数； 要使得有且仅有1个零点，必有， 化简得:，解得或； 验证： 当时，， 当时，，故是零点， 当时，因为， 故，因此，仅有这一个零点． 当时，， 当时，，故是零点， 当时，因为， 故，因此，仅有这一个零点． 经验证，或符合题意． 四、解答题 5．（2026·湖南湘潭·模拟预测）已知函数，直线与曲线相切． (1)求实数a的值； (2)若是函数的极大值点，求实数b的取值范围； (3)若，且在上有且只有一个零点，求b的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）求定义域，求导，根据切线斜率得到方程，求出实数a的值； （2）求导，分，，和四种情况，分类讨论，得到答案； （3）分和两种情况，分类讨论，解方程，求出答案 【详解】（1）的定义域为， ， 直线与曲线相切，设切点为， 则，故，， 又，将代入可得， 解得； （2）， 定义域为， ， 显然， 若，则恒成立，令得，令得， 故为的极小值点，不合要求； 若，当时，令得或， 令得， 故是函数的极大值点，满足要求； 当时，令得或，令得， 故是函数的极小值点，不满足要求； 当时，恒成立，所以在上单调递增， 无极值点，不满足要求，舍去； 综上，； （3），定义域为， 若，此时恒成立，不合要求； 若，令得，解得，函数在上只有一个零点，满足要求， 综上，即可 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲函数零点问题 （知识清单+5典例精讲+7方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 零点存在性判定、零点个数判断，利用 判断区间零点 单选、填空题 5分 基础零点求解、零点与方程根的等价转化 方程根 单选题 5分 数形结合判断零点个数，转化 交点问题 填空题 5分 复合函数零点、零点存在区间判断，结合单调性判定唯一零点 单选、多选题 5分/6分 二分法区间判定、零点近似区间缩选，中点公式 应用 单选题 5分 导数与零点综合，已知零点个数求参数范围，利用函数最值正负判定零点 解答题 5分/ 12分 指对函数零点问题、零点大小比较，结合函数单调性分析零点分布 单选题 5分 含参函数零点存在性问题，利用 求参数取值范围 填空题 5分 多零点存在性证明、零点个数讨论，结合导数分析函数极值与零点关系 解答题 5分/ 12分 【知识点01】函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x),我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的解. 【例1】求函数 的零点。 【知识点02】二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【例2】已知函数 在区间 内存在唯一零点，用二分法确定第一次缩小区间。 【题型一】求函数的零点 【例1】（2025·河北邯郸·一模）已知函数的定义域为，，且，若，则的零点为（    ） A． B． C．1 D．2 【例2】（多选）（2025·广东广州·三模）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025·山东·模拟预测）函数的零点为________. 【变式1】（2026·河南濮阳·一模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·全国·模拟预测）我们不妨定义：使函数值为0的自变量的值，称为该函数的零点.例如：函数的零点为1和.若函数的零点是和，则函数的零点是______. 【题型二】求函数零点或方程根的个数 【例4】（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【例5】（2026·山西晋中·模拟预测）定义域为的函数满足，当时，，则当时，函数的零点个数为（   ） A． B． C． D． 【例6】（2024·广东·一模）已知，函数. (1)求的单调区间. (2)讨论方程的根的个数. 【变式1】（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有__________个. 【变式2】（2026·江苏徐州·模拟预测）设函数和的定义域为D，若存在非零实数，使得，则称函数和在D上具有性质.现有下列三组函数： ①，；②，；③，． 其中具有性质的是_______.（填序号） 【变式3】（2025·安徽·一模）已知函数. (1)若，求在上的极大值； (2)若函数，讨论函数在上零点的个数. 【题型三】函数零点存在性定理 【例7】（2026·山东泰安·一模）函数的零点所在的大致区间为（   ） A． B． C． D． 【例8】（多选）（2025·甘肃兰州·一模）已知函数和，以下判断正确的是（    ） A．函数在区间内有唯一的零点 B．时， C．时， D．存在正实数a，当时，对于任意大于1的正实数N， 【例9】（2025·湖南·模拟预测）已知，若在上有解，则的最小值是_____． 【变式1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，若在有唯一的极值点且为极大值点，则a的取值范围为____________. 【变式3】（2026·浙江·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)试判断曲线与直线在上公共点的个数； 【题型四】函数零点的分布 【例10】（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 【例11】（2026·河南南阳·二模）已知函数，若在区间上恰有5个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例12】（多选）已知函数为定义在上的单调函数，且10.若函数有3个零点，则的取值可能为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式1】（2026·河北沧州·一模）已知函数,若函数至少有7个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山西临汾·二模）已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 【变式3】（2024·河南·模拟预测）设且，函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上有零点，求的取值范围. 【题型五】用二分法求方程的近似解 【例13】（2025·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数在内的零点近似值，若精确度要求为，则需重复相同步骤的次数至少为（    ） A． B． C． D． 【例14】（多选）（2024·广东东莞·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．方程的解在内 B．函数的零点是 C．函数有三个不同的零点 D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上 【例15】已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________． 【变式1】用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2024·江苏无锡·模拟预测）下列命题错误的是（    ） A．当时，函数的图象是一条直线 B．命题“，都有”的否定是“，使得” C．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到 D．某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，，，则1.375和1.4都是精确度为的近似零点 【变式3】若函数有零点，但不能用二分法求其零点，则实数的值为______． 【解题大招01】零点等价转化技巧 将零点问题、方程根问题、图象交点问题三者互相转化，是解决所有零点题型的通用思路 【例1】判断方程 零点个数 【解题大招02】零点存在性快速判定技巧 连续函数区间端点函数值异号，则区间内必有零点；若函数单调，则零点唯一。 核心公式 . 【例2】判断 在区间 内零点情况 【解题大招03】零点个数数形结合速判技巧 复杂方程不求解，拆分两个初等函数，利用图象交点个数判定零点个数，规避复杂运算。 转化思路 ，交点个数即为零点个数 【例3】求函数 零点个数 【解题大招04】区间存在零点求参数技巧 一次、二次函数在开区间存在零点，优先使用端点异号法列不等式求解参数范围。 核心结论 一次函数 在 存在零点 【例4】已知 在 内存在零点，求 的取值范围 【解题大招05】二分法区间快速锁定技巧 区间中点，代入函数判断符号，依据异号缩小区间。 核心公式 判定规则 【例5】已知 在 有零点，，锁定零点区间 【解题大招06】复合函数零点分层换元技巧 由外到内分层换元，先解外层方程，再回代求解内层方程，分层计数不重不漏。 解题步骤 令 ，先解 ，再解 【例6】求 的零点个数 【解题大招07】零点有无最值判定技巧 利用函数最值正负，快速判定区间内有无零点，规避繁琐讨论。 核心结论 1. 区间内无零点 2. 区间内无零点 【例7】判断 有无零点 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·山东青岛·三模）函数在的零点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 4．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知函数，函数，下列选项正确的是（   ） A．方程无实数解 B．方程有且仅有两个解 C．方程有且仅有三个解 D．方程有且仅有四个解 三、填空题 5．（2025·全国·模拟预测）已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______. 6．（2025·广东江门·一模）若多项式能被整除，则______. 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数则的零点之和为_____________． 四、解答题 8．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有且仅有三个零点，求的取值范围． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2025·江苏扬州·三模）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．（2026·江苏镇江·二模）已知函数有两个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若关于的方程恰有1个实数根，则的取值范围是 B．若关于的方程恰有2个不同的实数根，则的取值范围是 C．若有5个零点，则的取值范围是 D．可能有6个零点 三、填空题 5．（2022·广东汕头·一模）为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”、假设待检测的总人数是（）将个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测一次），如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染；如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次，如此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组在平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者（感染者必须通过检测来确定）.若待检测的总人数为8，采用“二分检测法”检测，经过4轮共7次检测后确定了所有感染者，则感染者人数最多为______人.若待检测的总人数为，且假设其中有不超过2名感染者，采用“二分检测法”所需检测总次数记为n，则n的最大值为______. 四、解答题 6．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数. (1)若为上的单调函数，求k的取值范围； (2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川绵阳·三模）将函数的零点从小到大排列构成数列，则的前8项和为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·重庆·三模）已知函数则（    ） A．∃a∈R，使得f（x）为偶函数 B．∃a∈R，使得f（x）存在零点 C．∀a∈R，f（x）为增函数 D．∃a∈R，使得f（x）的最小值为0 三、填空题 4．（2026·广西崇左·二模）已知函数有且仅有1个零点，则______． 四、解答题 5．（2026·湖南湘潭·模拟预测）已知函数，直线与曲线相切． (1)求实数a的值； (2)若是函数的极大值点，求实数b的取值范围； (3)若，且在上有且只有一个零点，求b的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $