安徽宣城市2025-2026学年第二学期高一期末测试数学试题

2025一2026学年第二学期高一期末测试 数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区 域。 3.考生作答时，请将答案答在答题卷上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用0.5毫米黑色墨水笔在答题卷上各题的答题区城内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.考生结束时，务必将答题卡交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.已知一组数据12,10,8,6,15,8，这组数据的中位数是 A.7 B.8 C.9 D.10 2.已知z(1-i)+i=2,则|z= A.0 2 B. 3 C.0 4 D.⑩ 5 3.如果a,方是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 A.d=B B.|a2=|612 C.a2≠62 D.a.6=1 4.已知事件A,B满足ACB,P(A)=0.2,P(B)=0.6,则P(AUB)= A.0.8 B.0.6 C.0.2 D.0.12 5.如图，∩B=L,A,B∈a,C∈B,且CEl,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作y,则y 与B的交线必通过 a A.点A B.点B M C.点C和点M C。 D.点C但不过点M 6.如图，两座山峰的高分别为AM=200m,CV=300m,为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测 量队在B点(A,B,C在同一水平面上)测得M点的仰角为30°，N点的仰角为60°，且 ∠MBN=30°，则两座山峰峰顶之间的距离MN= A.200m B.200√3m C.400m D.600m 高一数学试卷第1页（共4页） 7.如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数√2，√5的图形，图中四边形ABCD的对角 线相交于点0，若Cb=tC,则t= A1-9 B.1、 12 2 C.1、2 3 D1、2 2 8.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，A,表示事件“第一次抛掷骰子的点数为3”，A2表示事件 “第一次抛掷骰子的点数为偶数”，A表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，A4表示事 件“两次抛掷骰子的点数之和为8”，则 A.A3与A4为对立事件 B.A,与A3为相互独立事件 C.A2与A4为相互独立事件 D.A2与A4为互斥事件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.在△4BC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=4,c=5,∠B=60°，则下列结论正确的是 A.b=√21 B.△ABC的面积为33 C.sinc=5 D.a2+c2=62-ac 14 10.下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确的是 A.DE∥BM B.CN⊥AF C.BD∥平面NCF D.AM⊥平面BDE 11.一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字A=回2，其中A的各位数 字中，a:∈{0,1}(i=1,2,3,4,5),则 A.A的所有试验结果构成的样本空间中共有36个样本点 B.若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，则A=11100的概率等于A=00011的概 率 C.若A的各位数字都是等可能地取值为0或1，则A中各位数字之和是4的概率为7 D.若a1=1,a:(k=23,4,5)出现0的概率为子，出现1的概率为子，则启动一次出现的 数字A中有两个0的概率为品 高一数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若复数5-m+(m2-10m+24)i>0,则实数m的值为 18.设G为4MBc的重心，花-成=0+品-2C =si咖C,则M花= (用AB,A心表 示)，实数t= 14.点P是棱长为3的正方体ABCD-A,B,C,D,的表面上一个动点，当直线AP与平面ABCD 所成的角为开时，点P的轨迹长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知i为虚数单位，名2是实系数一元二次方程的两个虚根。 (1)设z1a2满足方程名1+(1-i)z2=1+i,求1,2； (2)设a1=1-i,复数名2所对的向量分别是a与方，若向量入a-万与a+26的夹角 为钝角，求实数入的取值范围。 16.(本小题满分15分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tanA= sinB sinC cosB+cosC (1)求A; (2)若a=4,△ABC的面积为45，求△ABC的周长. 17.(本小题满分15分) 义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为 100.从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作 为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图. 个频率/组距 0.025 0.015 0.010 0.005 0 405060708090100成绩 高一数学试卷第3页（共4页） (1)求直方图中a的值和上四分位数； (2)用分层抽样的方法从成绩在[60,70)和[70,80)的学生中选取6人，再从这6人中选取 2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在[60,70)中的概率； (3)样本中有10名学生的成绩（记为x,i=1,2,…,10)平均值为x=90,标准差s=5.若 删除其中的x。=98和x1。=86这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差. 18.（本小题满分17分) 如图，四棱柱ABCD-A,B,C,D1中，A,A⊥底面ABCD.四边形ABCD为梯形，AD∥BC,且 AD=2BC.过A1,C,D三点的平面记为a,BB1与a的交点为Q. (1)证明：Q为BB,的中点； (2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比； (3)若A,A=6,CD=4,梯形ABCD的面积为12，求平面a与 底面ABCD所成角正切值大小. 19.（本小题满分17分) 若点O是直线PQ外一点，点M,N在线段PQ上(M,N异于P,Q),我们则称以下操作： (P,Q:M=8德0为由0点对P0施以张角运算：并且记(，0：M) (P,Q;M) (P,Q;N) 如图，四个有序点A,B,C,D,由0点对AD施以张角运算，得(A,D;B)=1. (1)证明：B为AD的中点； (2)已知(A,D;C,B)=3,AC=√3 ①若∠A0C=60°，求0B的最大值； ②若08=1，品A68-是求4的值 高一数学试卷第4页（共4页）2025一2026学年第二学期高一期末测试 数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 号 题 8 答案 C B B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 题号 9 10 11 答案 AC BCD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.4 13.色(2分)，(3分) 3 1462+ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)由于1、32是实系数一元二次方程的两个虚根，故ǎ1、2互为共轭复数…2分 设a1=a+bi(a,b∈R),则2=z1=a-bi 3分 代入a1+(1-i)z2=1+i可得a+bi+(1-i)(a-bi)=1+i, 即2s-6t1测购 5分 故a1=-1-3i,32=-1+3i… … 6分 (2)设a=1-i,则2=1+i,故a=(1,-1),6=(1,1) …8分 那么Xa-6=(1,-1)-(1,1)=(入-1，-A-1),a+26=(1,-1)+2(1,1) =(3,1）………9分 由于向量入d-6与a+26的夹角为钝角 那么(d-)·(a+2)<0且向量a-万与a+2万不共线 假)g得2且-号 …12分 故实数A的取值范国为(-，-子U(-3,2) 13分 (注：若入范围未考虑共线情形扣1分) 解：由得A-R十8sim4cosB+sim4cosC=eos4smB+cos4sinC 所以sinAcosB-cosAsinB=cosAsinC-sinAcosC 高一数学参考答案第1页（共4页） 得sin(A-B)=sin(C-A) …3分 又-π<A-B<T,-π<C-A<T, 所以A-B=C-A或(A-B)+(C-A)=π（舍去）或(A-B)+(C-A)=-π（舍 去） ……6分 (注：若此处只写了第一种情况扣1分) 所以A+B+C=A+2A=3A=π，解得A= 3 …8分 (2)已知5=之cm4-c,得c=160 10分 由余弦定理a2=b2+c2-2bcC0sA,得42=(b+c)2-3bc②…12分 由①②可得b+C=8…14分 所以△ABC的周长L=a+b+c=4+8=12 …15分 17.解：(1)由题意知，(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,解得a=0.03 *****”***…*…刀广 因为前四组的频率和为(0.01+0.015+0.015+0.03)×10=0.7 所以第75百分位数在第五组，设为x,则07+0”x0.25=0.75=82 3分 所以上四分位数为82… 4分 结合频率分布直方图可知，成绩位于[60,70)与位于[70,80)的比例为1：2，因此选 取的6人中， 2人成绩在[60,70)中编号为1、2,4人成绩在[70,80)中编号为a、b、c、d·5分 从6人中选取2人的方法情况如下： {(1,2),(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),(2,a),(2,b),(2,c),(2,d),(a,b),(a, c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)} 即样本空间中有15个样本点…………………6分 至少有1人成绩在[60,70)中有9种情况… 7分 根据古典概型中概率的定义，该事件发生的概率为P=5=3 93 8分 (注：若用排列组合计数得满分) (3)剩余8人成绩的平均值为10×。98-96=89.5…1 0分 10 由10个人成绩的标准差s=5,则53=8-90，即=81250 …12分 于是剩下8人的成绩的方差为（2-亏-)-89.5-21 ……15分 18.解：(1)证明：：四棱柱ABCD-AB,CD1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC ∴.平面QBC∥平面ADDA ∴.平面ACD与面QBC和平面AD,DA的交线平行… …2分 0c/A,D:△08c△M,MD器器-器宁0为照的中点4分 高一数学参考答案第2页（共4页） (2)连接QA,QD,设AM1=h,梯形ABCD的高为d,四棱柱被平面x 所分成上、下两部分的体积为V,V B 设BC=a,则AD=2a 11 Vg-o=5·22a:h:d= 3 ahd …5分 =.+20.d.= Vo-ABCD =3 2 …6分 ∴.，=ahd 7分 V棱柱 2ahd 8分 .V,-Huhd 10分 ∴四棱柱被平面。所分成上、下两部分的体积之比 11分 (3)解：在△ADC中，作AE⊥DC,垂足为E,连接A,E, 则DE⊥平面AEA1, .DE LA E, .∠AEA,为平面与底面ABCD所成角…13分 .BC∥AD,AD=2BC, .S△ADC=2S△ABC …15分 :梯形ABCD的面积为12，DC=4,Sc=2CD×AE=8 .∴.AE=4 16分 mA--- :平面a与底面ABCD所成角正切值为2 17分 19解：1)证明：a,0B=0出08 1OAlsinLAOB …1分 号∠D0B 号1oBoA|sm∠A0B S4B-AB·h-AB BD·方BD=1 3分 210 i∠D0B S△B0D 其中h为△AOB,△DOB的高，.B为AD中点； …4分 (2)由(1)知，(A,D:B)=1,(A,D;C)=3, .OA|sin∠A0C 2l0c.0Mm∠A0C SAAOC _AC T1 ODinD0Coc·oDlsin∠D0C CD =3, .∴.AC=3CD 6分 高一数学参考答案第3页（共4页） 又B为0中点8=2c0成=0i+号0成 ……7分 设0A=m,0C=n, ①AC=5,∠A0C=60°，∴.m2+n2-mn=3, 由02=？0i+20心，可得302=0i+20心， 平方得，90B2=m2+4n2+2mn,.90B2=3(mn+n2)+3 9分 m n 在△A0c中，由正弦定理可得：。inA+60)sinsim60。=2, 将m=2sin(A+60),n=2sinA代入， mn+m=4[sindsin4+g）+sin刘=6sinA+25 sindeoA =3+25sim(24-） ....... 10分 0<4<2<21-<，m21-）1, 当2A-号-受，即4=时，等号成立， .90B2=3(n2+mn)+3≤3(3+25)+3=12+65， 0心23-告当4-时，0加取最大直1+ …12分 23 ②： m 3 1 sin∠AC03 sin∠AB0sin∠AOB'sin∠OBC=sin∠AC0'sin∠AOB=2, sin∠AB0=sin∠OBC,∴.m=3n,又.'cos∠AB0+cos∠CB0=0, 1+1+ -=0,m2+2n2=5 14分 45 25 3 3 联立/m3 m2+2n2=51 ,得m=5,n=1, cosA=m2+3-心- 15分 25m 6 六=wTam: 17分 cosA 高一数学参考答案第4页（共4页）