2027年高考数学一轮复习优质课件第四节　基本不等式（全国通用）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式”专题，依据课标要求梳理了不等式成立条件、最值求法及实际应用等核心考点，通过知识点扫描、易错辨析和命题点分类（拼配凑、常数代换等），精准对接高考评价体系，明确常考题型及权重，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题改编+方法建模+素养提升”，如以教材例题改编题为例，详解常数代换法求最值的四步步骤，培养学生数学思维和运算能力。特设视野拓展模块引入三元不等式及柯西不等式，助力学生突破难点，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第四节　基本不等式 目 录 CONTENTS 01 必备知识 基础落实 02 关键能力 精准突破 03 视野拓展 素养提升 课标 解读 1.掌握基本不等式 ≤ （ a ， b ＞0）. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 知识点一　基本不等式 ≤ （1）基本不等式成立的条件： a ＞0， b ＞0. （2）等号成立的条件：当且仅当 时等号成立. （3） 　 　称为正数 a ， b 的算术平均数， 　 　称为正数 a ， b 的 几何平均数. a ＝ b 　 　 　 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 知识点二　利用基本不等式求最值问题 　已知 x ＞0， y ＞0，则： （1）如果积 xy 是定值 p ，那么当且仅当 时， x ＋ y 有最小值是 ⁠. （简记：积定和最小） （2）如果和 x ＋ y 是定值 p ，那么当且仅当 时， xy 有最大值是 ⁠. （简记：和定积最大） x ＝ y 　 2 　 x ＝ y 　 　 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 （1） a ＋ b ≥2 （ a ＞0， b ＞0）；（2） ab ≤（ ）2（ a ， b ∈R）； （3）（ ）2≤ （ a ， b ∈R）；（4） ＋ ≥2（ a ， b 同号）. 以上不等式等号成立的条件均为 a ＝ b . 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 一、辨析正误（在括号内画“√”或“×”） （1）两个不等式 a2＋ b2≥2 ab 与 ≥ 成立的条件是相同的. （　×　） （2）（ a ＋ b ）2≥4 ab （ a ， b ∈R）. （　√　） （3）两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. （　√　） （4）函数 y ＝ x ＋ 的最小值是2. （　×　） （5）“ x ＞0且 y ＞0”是“ ＋ ≥2”的充分不必要条件. （　√　） × √ √ × √ 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 二、版本互鉴 1. （人教B版必修第一册P73例1改编）若 x ＜0，则 x ＋ （　　） A. 有最小值，且最小值为2 B. 有最大值，且最大值为2 C. 有最小值，且最小值为－2 D. 有最大值，且最大值为－2 答案：D 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 2. （人教A版必修第一册P46例3改编）矩形的两边长分别为 a ， b ，且 a ＋2 b ＝6， 则矩形面积的最大值是 　　. 答案： 3. （北师大版必修第一册P28 T4改编）已知 x ＞2，则 x ＋ 的最小值是 　　. 答案：4 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 4. （人教A版必修第一册P48 T1（2）改编）函数 y ＝ x （3－2 x ）（0≤ x ≤1）的 最大值是 　　. 解析：因为0≤ x ≤1，所以3－2 x ＞0，所以 y ＝ ·2 x ·（3－2 x ）≤ ［ ］2＝ ，当且仅当2 x ＝3－2 x ，即 x ＝ 时等号成立.故所求最大值 为 . 答案： 　 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 考点1　利用基本不等式求最值 （自悟通） 命题点1　拼（配）凑法求最值 1. 已知0＜ x ＜1，则 x （4－3 x ）取得最大值时 x 的值为 　　. 解析：因为0＜ x ＜1，所以4－3 x ＞0，所以 x （4－3 x ）＝ ·3 x ·（4－3 x ）≤ × ［ ］2＝ ，当且仅当3 x ＝4－3 x ，即 x ＝ 时等号成立.故所求 x 的值 为 . 答案： 　 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 2. 函数 y ＝ （ x ＞1）的最小值为 　　. 解析：因为 x ＞1，所以 x －1＞0，所以 y ＝ ＝ ＝（ x －1）＋ ＋2≥2 ＋2， 当且仅当 x －1＝ ，即 x ＝ ＋1时等号成立. 答案：2 ＋2　 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 利用拼凑法及基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或 积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质是代数式的灵 活变形，拼系数、凑常数是关键. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 命题点2　常数代换法求最值 1. 已知正实数 a ， b 满足 a ＋ b ＝2，则 ＋ 的最小值是（　　） A. B. C. 5 D. 9 B　解析： ＋ ＝ （ ＋ ）（ a ＋ b ）＝ （ ＋ ＋5）≥ （4＋5）＝ ，当 且仅当 ＝ ，即 a ＝ ， b ＝ 时等号成立. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 2. 已知 a ＞0， b ＞0，3 a ＋ ＝1，则 ＋3 b 的最小值为（　　） A. 13 B. 19 C. 21 D. 27 D　解析： ＋3 b ＝（ ＋3 b ）（3 a ＋ ）＝3＋12＋ ＋9 ab ≥15＋2 ＝ 27，当且仅当 ＝9 ab ，即 a ＝ ， b ＝6时等号成立，故 ＋3 b 的最小值为27. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 3. 设0＜ x ＜1，则 ＋ 的最小值为 　　. 解析：因为0＜ x ＜1，所以0＜1－ x ＜1，则 ＋ ＝（ ＋ ）[（1－ x ）＋ x ] ＝1＋4＋ ＋ ≥5＋2 ＝9，当且仅当 ＝ ，即 x ＝ 时等号成 立，故 ＋ 的最小值为9. 答案：9　 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 利用常数代换法及基本不等式求解最值的基本步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的 形式； （4）利用基本不等式求解最值. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 命题点3　消元法求最值 1. 已知正实数 a ， b 满足2 a ＋ b ＝ ab ，则 － 的最小值为（　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 A　解析：∵2 a ＋ b ＝ ab ，∴2 a ＝ b （ a －1），当 a ＝1时等式不成立，∴ a ≠1， ∴ b ＝ ， ∴ － ＝ － ＝ ＋ －1≥2 －1＝0，当且仅当 ＝ ，即 a ＝2时等号成 立，故 － 的最小值为0. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 2. 若正数 x ， y 满足 x2＋6 xy －1＝0，则 x ＋2 y 的最小值是（　　） A. B. C. D. A　解析：因为正数 x ， y 满足 x2＋6 xy －1＝0， 所以 y ＝ .由即 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 解得0＜ x ＜1. 所以 x ＋2 y ＝ x ＋ ＝ ＋ ≥2 ＝ ， 当且仅当 ＝ ，即 x ＝ ， y ＝ 时等号成立. 故 x ＋2 y 的最小值为 . 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 消元法求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量，凑 出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 命题点4　放缩法求最值 1. 已知正数 a ， b 满足 ab ＝ a ＋ b ＋3，则 ab 的最小值是 　　. 解析：∵ a ， b 是正数，∴ ab ＝ a ＋ b ＋3≥2 ＋3，∴（ ）2－2 － 3≥0，解得 ≥3，即 ab ≥9，当且仅当 a ＝ b ＝3时等号成立.∴ ab 的最小值为9. 答案：9　 2. 已知 x ＞0， y ＞0， x ＋3 y ＋ xy ＝9，则 x ＋3 y 的最小值为 　　. 解析：∵ x ＞0， y ＞0，∴9－（ x ＋3 y ）＝ xy ＝ x ·（3 y ）≤ ·（ ）2，当且 仅当 x ＝3 y 时等号成立.设 x ＋3 y ＝ t ＞0，则 t2＋12 t －108≥0.又 t ＞0，∴ t ≥6.故 当 x ＝3， y ＝1时， x ＋3 y 取得最小值6. 答案：6　 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 放缩法求最值的方法 将所给代数式，利用基本不等式放大或缩小，构造出待求最值的代数式的结构，然 后通过解不等式求出代数式范围，从而求出代数式的最值. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 考点2　基本不等式的实际应用 （精研通） 【例1】 某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120 km的乙地， 运费为每小时60元，装卸费为1 000元，猪肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽 车速度（单位：km/h）值的2倍.（说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费） （1）为使运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度的范围； （2）若要使运输的总费用最小，汽车的行驶速度应为多少？ 解：（1）设汽车行驶的速度为 x km/h. ∵运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费， ∴ ×60＋1 000＋2 x ≤1 260， 化简得 x2－130 x ＋3 600≤0，解得40≤ x ≤90， ∴为使运输的总费用不超过1 260元，汽车行驶速度的范围应为[40，90]. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 （2）设汽车行驶的速度为 x km/h. ∵运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费， ∴ ×60＋1 000＋2 x ＝2 x ＋ ＋1 000≥2 ＋1 000＝1 240， 当且仅当2 x ＝ ，即 x ＝60时等号成立， ∴若要使运输的总费用最小，汽车应以60 km/h的速度行驶. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 利用基本不等式解决实际问题的步骤 （1）理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 　某化工企业2023年年底投入100万元，购入一套污水处理设备.该设备每年的运转 费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于 设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备 x 年的年 平均污水处理费用为 y （单位：万元）. （1）用 x 表示 y ； （2）当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设 备，则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？ 解：（1）由题意得 y ＝ ，即 y ＝ x ＋ ＋1.5（ x ∈N*）. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 （2）由基本不等式得 y ＝ x ＋ ＋1.5≥2 ＋1.5＝21.5，当且仅当 x ＝ ，即 x ＝10时等号成立. 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 考点3　基本不等式的综合应用 （精研通） 【例2】 （1）已知第一象限的点 M （ a ， b ）在直线 x ＋ y －1＝0上，则 ＋ 的最 小值是 　　. （2）函数 f （ x ）＝9 x ＋31－2 x 的最小值是 　　　　　　　. 解析：（1）因为第一象限的点 M （ a ， b ）在直线 x ＋ y －1＝0上，所以 a ＋ b ＝ 1， a ＞0， b ＞0， 所以 ＋ ＝（ a ＋ b ）（ ＋ ）＝3＋ ＋ ≥3＋2 ，当且仅当 a ＝ －1， b ＝2－ 时等号成立. 故 ＋ 的最小值是3＋2 . 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 （2） f （ x ）＝9 x ＋31－2 x ＝9 x ＋ ＝9 x ＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当9 x ＝ ，即 x ＝ 时等号成立.所以函数 f （ x ）的最小值为2 . 答案：（1）3＋2 　（2）2 　 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后 利用常数代换法求最值. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 　设 a ＞0， b ＞0，若4是2 a 与2 b 的等比中项，则 ＋ 的最小值为（　　） A. 1 B. 8 C. 4 D. A　解析：因为4是2 a 与2 b 的等比中项，所以2 a ·2 b ＝42＝24，可得 a ＋ b ＝4.又 a ＞ 0， b ＞0，所以有 ＋ ＝ （ a ＋ b ）（ ＋ ）＝ （2＋ ＋ ）≥ （2＋2 ）＝1，当且仅当 ＝ ，即 a ＝ b ＝2时等号成立.所以 ＋ 的最小值为1. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 视野拓展1　三元基本不等式与柯西不等式 拓展一：三元基本不等式的应用 （1）三元基本不等式 a3＋ b3＋ c3≥3 abc （ a ＞0， b ＞0， c ＞0）⇒当且仅当 a ＝ b ＝ c 时等号成立. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 （2）推广 n 元基本不等式： ≥ （ a1， a2，…， an 均为正实数）， 当且仅当 a1＝ a2＝…＝ an 时等号成立. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 【练1】 若 n ＞0，则 n ＋ 的最小值为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 C　解析：∵ n ＞0，∴ n ＋ ＝ ＋ ＋ ≥3 ＝6，当且仅当 ＝ ， 即 n ＝4时取等号，∴ n ＋ 的最小值为6.故选C. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 【练2】 设 x ， y ， z 是实数，且 x ＋ y ＋ z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是 （　　） A. （－∞，lg 6] B. （－∞，3lg 2] C. [lg 6，＋∞） D. [3lg 2，＋∞） B　解析：因为 x ， y ， z 是正实数，且 x ＋ y ＋ z ＝6，则3 ≤ x ＋ y ＋ z ＝6， 所以0＜ xyz ≤8，所以lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg xyz ≤lg 8＝3lg 2，当且仅当 x ＝ y ＝ z ＝ 2时等号成立. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 拓展二：柯西不等式的应用 （1）柯西不等式的一般形式 （ ＋ ＋…＋ ）（ ＋ ＋…＋ ）≥（ a1 b1＋ a2 b2＋…＋ anbn ）2，当 且仅当 ＝ ＝…＝ 时等号成立. （2）柯西不等式二元式 形式一：设 a ， b ， c ， d 均为实数，则（ a2＋ b2）·（ c2＋ d2）≥（ ac ＋ bd ）2， 当且仅当 ad ＝ bc 时等号成立. 形式二：设 a ， b ， c ， d 均为正实数，则（ a ＋ b ）·（ c ＋ d ）≥（ ＋ ）2，当且仅当 ＝ 时等号成立. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 【练3】 已知 a2＋ b2＝1， x2＋ y2＝1，则 ax ＋ by 的取值范围是（　　） A. [0，2] B. [－1，1] C. [－2，2] D. [0，1] B　解析：利用柯西不等式，得1＝（ a2＋ b2）（ x2＋ y2）≥（ ax ＋ by ）2，当且仅 当 ay ＝ bx 时等号成立，解得－1≤ ax ＋ by ≤1. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 【练4】 根据柯西不等式可知函数 f （ x ）＝2 ＋ 的最大值及取得最 大值时 x 的值分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， A　解析：由柯西不等式可知，（2 ＋ ）2≤（22＋12）[（ ）2 ＋（ ）2]＝5，所以2 ＋ ≤ ，当且仅当2 ＝ ，即 x ＝ 时取等号，故函数 f （ x ）＝2 ＋ 的最大值及取得 最大值时 x 的值分别为 ， ，故选A. 返回导航 高中总复习 第1轮 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 谢谢观看！ $