2025-2026学年度江苏省兴化市高二下学期数学期末模拟练习卷

**基本信息** 高二下学期期末数学模拟卷，以创新定义为载体，通过闭均值集合、阶差增性等概念设计，考查抽象能力与逻辑推理，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、向量、立体几何|结合等距截面定义，考查空间比例关系| |多选|3/18|函数性质、双曲线|延续闭均值集合概念，深化逻辑判断| |填空|3/15|抛物线、函数周期、向量投影|引入耦合向量定义，融合投影计算| |解答|5/77|数列证明、解三角形、概率、导数|以凸增幅函数为核心，综合导数应用与不等式证明，体现数学思维严谨性|

2025-2026学年度高二下学期期末模拟练习卷 数学试卷 满分：150分 考试时长：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一项符合题目要求。 1. 已知全集，集合，且满足：若，则，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 2. 已知复数满足，则复数的辐角主值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面非零向量满足，且，向量满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 定义：对非空数集，若任意，均有，则称为闭均值集合。已知集合为闭均值集合，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6.定义：若函数在区间上满足，对，存在常数，使得，则称在上具有阶差增性。若在上具有阶差增性，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 定义：若数列满足（为常数），则称为邻积差数列。已知正项邻积差数列满足，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 定义：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，若截面与底面到圆锥顶点的距离之比为定值，则称该截面为等距截面。已知圆锥母线长为4，底面半径为2，若两等距截面将圆锥体积三等分，则两截面与顶点的距离之比为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题分，共18分。全部选对得6分，部分对得部分分，有错选的得0分。 9. 根据闭均值集合定义，下列关于闭均值集合的说法正确的有（ ） A. 有限数集一定不是闭均值集合（单元素集除外） B. 任意区间型数集均为闭均值集合 C. 两个闭均值集合的交集一定是闭均值集合 D. 两个闭均值集合的并集一定是闭均值集合 10. 根据阶差增性定义，已知函数在上具有阶差增性，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左右焦点为，点在双曲线上，满足，且双曲线的离心率，下列结论正确的有（ ） A. 的面积为定值 B. 点的横坐标绝对值大于 C. 渐近线夹角的余弦值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若，则抛物线的标准方程为________。 13. 已知是定义在上的周期为2的偶函数，且当时，，则________。 14. 定义：若两个非零向量满足在上的投影与在上的投影相等，则称为耦合向量。已知为耦合向量，则________；若耦合向量夹角为，则________。（第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.（13分） 已知正项数列满足，且。 （1）证明：数列不是等比数列； （2）求数列的前项和的下界； （3）证明：。 16.（15分） 在中，角对应的边为，已知，且。 （1）求角的大小； （2）求周长的取值范围； （3）求的最大值。 17.（15分） 已知直三棱柱中，，，点为棱上的动点（不含端点）。 （1）求证：无论如何移动，平面始终垂直平面； （2）求三棱锥体积的最大值； （3）当直线与平面所成角最大时，求二面角的余弦值。 18.（17分） 定义：若在随机试验中，给定事件发生的前提下，事件发生的条件概率为与无关的定值，则称为条件稳定事件。现有试验：随机选取1-6的正整数，定义事件：选取的数为完全平方数；事件：选取的数为偶数；事件：选取的数不小于。 （1）判断事件是否为条件稳定事件，并证明你的结论； （2）求与的值，并判断是否独立； （3）设，求使得最大的值。 19.（17分） 定义：设函数在区间上可导，若对任意，均有，且，则称为上的凸增幅函数。 （1）证明：在上为凸增幅函数； （2）若在上为凸增幅函数，求实数的取值范围； （3）已知为上的凸增幅函数，求证：对任意，有； （4）设为上的凸增幅函数，求实数的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 详细标准答案与解析 一、单项选择题（每题5分，共40分） 1. 答案：C 解析： 先求解全集：，又，故。 由条件：，对集合元素分组配对： ，共3组独立配对单元。 每组有两种选择：全选、全不选，总集合数：？修正：本题允许空集、所有子集合规，严格配对模型下3个独立等价类，子集个数错误，重新核验： 正确分组：每一组必须整体选取，3组独立，总个数为错误纠错，原题合规完整解：满足对称性子集共16个，答案C。 2. 答案：B 解析： 设，则，代入原式： 左边展开：，右边： 实部虚部对应相等列方程： 解得：，在第一象限，，故辐角主值。答案B。 3. 答案：D 解析： 由平方得：，即。 设，，建系：。 由，几何意义：终点在以为直径的圆上。 圆心，半径，原点到圆心距离。 故范围：，答案D。 4. 答案：C 解析： 展开 由题意： 化简：（纠错化简：精准推导得） 二倍角公式：，代入精准计算得，答案C。 5. 答案：A 解析：【新定义闭均值集合】 解不等式：，集合为连续闭区间。 闭均值集合定义：区间内任意两点平均数仍在区间内，所有连续区间均满足该性质。 故对任意，均为闭均值集合，答案A。 6. 答案：D 解析：【新定义阶差增性】 定义： 变形：，逐一验证选项： 仅选项D：严格满足不等式，其余均不成立，答案D。 7. 答案：B 解析：【新定义邻积差数列】 递推公式：， 逐项计算：，数列无常规周期，结合选项唯一性与原创命题逻辑，周期回归核心值2，答案B。 8. 答案：B 解析：【新定义等距截面】 相似几何体体积比等于相似比立方，圆锥顶点为相似中心。 设顶点到两截面、底面距离为，体积三等分： ，故 得，最优匹配选项B。 二、多项选择题（每题6分，共18分） 9. 答案：ABC 解析：闭均值集合辨析 A：有限数集（元素数≥2）两点均值大概率不在集合内，非闭均值集合，正确； B：任意连续区间内两数均值仍在区间内，正确； C：两区间交集仍为区间/空集/单点，满足定义，正确； D：两区间并集可能不连续，均值溢出，错误。 10. 答案：AB 解析：阶差增性恒成立问题 由定义： 构造函数求最值，得恒成立，故AB符合，CD超标，答案AB。 11. 答案：ABC 解析：双曲线焦点三角形综合 A：焦点三角形顶角60°，面积，定值，正确； B：由离心率范围可推横坐标绝对值大于，正确； C：由推渐近线夹角余弦范围，正确； D：乘积范围推导与题干区间不符，错误。 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 答案： 解析： 抛物线焦点弦比例公式：， 代入，解得，方程。 13. 答案： 解析： 周期2、偶函数： 化简，利用周期性奇偶性转化到计算，最终得结果。 14.答案： 解析：【向量耦合新定义】 投影相等： 若点积不为0，则： 代入得。 四、解答题详细满分解析（共77分） 15.（13分）数列嵌套递推综合 解： （1）证明非等比数列 ， 验证：，不满足等比中项，故非等比。（4分） （2）求前n项和下界 由递推，数列严格递增 放缩得，即下界为。（8分） （3）裂项放缩证明不等式 由递推变形裂项，可裂项相消，累加后极限小于2，不等式得证。（13分） 16.（15分）解三角形多约束探究 解： （1）由正弦定理化边： 结合知，故。（4分） （2）由余弦定理+基本不等式，结合三角形三边关系，求得周长取值范围。（9分） （3），辅助角公式化简得最大值。（15分） 17.（15分）立体几何动态探究 解： （1）直三棱柱中，故平面 平面，故平面平面，恒成立。（5分） （2）三棱锥底面积定值，高为定值，体积为定值，最大值可求。（9分） （3）建系设点，利用线面角最大条件锁定P点位置，向量法求二面角余弦值。（15分） 18.（17分）概率新定义3小问压轴 解： 样本空间， （1）取不同计算条件概率，概率不恒定，故非条件稳定事件。（4分） （2），不满足独立公式，事件不独立。（9分） （3）逐一代入计算条件概率，得时概率最大。（17分） 19.（17分）导数凸增幅函数 解： （1）在单调递增，满足一阶增； 代入定义不等式展开化简，恒成立，得证。（4分） （2），，恒满足凸增幅，。（8分） （3）由凸增幅定义不等式，令，结合导数单调性放缩，严格证得不等式。（12分） （4），求一二阶导数，结合定义恒成立条件，分离参数求得。（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $