精品解析：江苏泰州市2025-2026学年高二下学期期末数学试卷

高二数学试卷 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，若向量，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 若随机变量的概率分布如下： 2 3 4 0.3 0.1 则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 4. 已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果经验回归方程为，那么（ ） 0 1 3 4 2.2 4.3 4.8 A. 5.9 B. 6.3 C. 6.7 D. 6.9 5. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 6. 若，其中，，，，，，均为实数，则（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 7. 某电商随机调查2500名消费者的月消费金额与满意度评分，整理统计数据得到关于的经验回归方程为，与的相关系数，若月消费金额的标准差为6.4，则满意度评分的方差为（ ） 附：经验回归方程中回归系数；相关系数． A. 8 B. 20 C. 64 D. 400 8. 小明从楼梯底部开始往上走，每一步走1级台阶或2级台阶，走1级台阶的概率为，走2级台阶的概率为，则在小明走到第5级台阶的条件下，小明恰走了3步的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量，的取值落在内的概率约为，落在内的概率约为．已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若分布，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若随机变量，满足，，则 11. 我国北宋数学家贾宪有一部著作《黄帝九章算法细草》，其中有“开方作法本源”图，杨辉在《详解九章算法》一书中征引了贾宪的材料，“开方作法本源”图现称为“杨辉三角”（如图所示），则（ ） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 ………… A. 第10行第3个数为 B. 第7行所有数的和为128 C. 第16行共有12个偶数 D. 若第行存在连续三项成等差数列，则的最大值为98 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，从甲地到乙地有3条公路，从乙地到丙地有2条公路，从甲地不经过乙地到丙地有3条水路，则从甲地到丙地共有______种不同的走法． 13. 在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 14. 口袋中有6个大小、形状相同的球，其中有3个红球、3个黑球．规定“从口袋中随机摸出一个球，若摸到红球，则将其换成黑球后放回口袋；若摸到黑球，则将其换成红球后放回口袋”为一次操作，每次操作后口袋中始终有6个大小、形状相同的球．经过3次操作后，口袋中所有的球的颜色都相同的概率为_______；若恰好经过，（）次操作后，口袋中所有的球首次颜色都相同的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中，求： （1）第4项的二项式系数； （2）含的项的系数. 16. 随着人工智能技术的飞速发展与广泛普及，AI产品深度融入大学生的生活和学习．为调查学生性别与是否使用AI产品的关系，研究人员采用简单随机抽样的方法在全校范围内抽取了男生和女生各100名．整理统计数据得到如图所示的列联表． （1）是否有的把握认为该校学生性别与是否使用AI产品有关联？ 性别 是否使用AI产品 总计 是 否 男生 30 100 女生 40 100 总计 200 （2）为了比较使用AI产品的男生和女生在使用内容上的差异，研究人员从使用AI产品的学生中，采用简单随机抽样的方法抽取了2名男生和4名女生组成“访谈组”．现从“访谈组”中随机抽取3名学生进行深度访谈，设抽取的男生人数为随机变量，求的概率分布和数学期望． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 在长方体中，已知，，点在平面上的射影为． （1）设，求，的值； （2）已知，，其中．若平面，求的值． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，． （i）求直线与平面所成的角的大小； （ii）求二面角的正弦值． 19. 在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，输一球得0分，当比分为之后，双方每球需交换发球，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．现在甲、乙两名运动员的比分为，已知每次交手中甲得1分的概率为，乙得1分的概率为，各次交手的结果相互独立．现从比分为开始记录交手次数，记随机变量为该局比赛结束时的交手次数，记“该局甲获胜”为事件，“”为事件． （1）当时，求，； （2）求（用含的式子表示）； （3）证明：，独立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 （考试时间：120分钟；总分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，若向量，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量坐标运算中“向量等于终点的坐标减去起点的坐标”，即可计算出点B的坐标. 【详解】设点的坐标为，已知，， 所以 ，，，解得，，. 因此点的坐标为. 2. （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】 3. 若随机变量的概率分布如下： 2 3 4 0.3 0.1 则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，解得， 所以. 4. 已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，如果经验回归方程为，那么（ ） 0 1 3 4 2.2 4.3 4.8 A. 5.9 B. 6.3 C. 6.7 D. 6.9 【答案】A 【解析】 【详解】，则， ，解得． 5. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，丙不站在两端，则不同的排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】采用捆绑法和特殊位置优先法，结合分步乘法计数原理可求得结果． 【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将丁、戊和甲乙的整体首先安排到两端，则有种方法， 再安排丙和剩余的人，有有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 故选：B． 6. 若，其中，，，，，，均为实数，则（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 【答案】C 【解析】 【详解】当时，可得，解得， 当时，可得， 所以. 7. 某电商随机调查2500名消费者的月消费金额与满意度评分，整理统计数据得到关于的经验回归方程为，与的相关系数，若月消费金额的标准差为6.4，则满意度评分的方差为（ ） 附：经验回归方程中回归系数；相关系数． A. 8 B. 20 C. 64 D. 400 【答案】C 【解析】 【分析】结合回归系数、相关系数的公式推导二者与变量标准差的关系，先求满意度评分的标准差，再计算其方差 【详解】设月消费金额的标准差为，满意度评分的标准差为， 由方差定义得， 联立回归系数与相关系数的公式：， 消去公共分子项后化简可得：，将已知， 代入得，因此满意度评分的方差为. 8. 小明从楼梯底部开始往上走，每一步走1级台阶或2级台阶，走1级台阶的概率为，走2级台阶的概率为，则在小明走到第5级台阶的条件下，小明恰走了3步的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率和全概率公式求解即可. 【详解】设事件为“小明走到第5级台阶”，事件为“小明恰走了3步走到第5级台阶”， 事件包含三种情况：①小明走了5步到第5级台阶，概率为， ②小明走了4步到第5级台阶，概率为， ③小明走了3步到第5级台阶，概率为， 所以， 因此，即在小明走到第5级台阶的条件下，小明恰走了3步的概率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量，的取值落在内的概率约为，落在内的概率约为．已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的基本性质，结合正态分布的对称性和题干给出的特殊区间概率即可判断各选项正误； 【详解】由可得：均值，标准差 选项AB：，，A正确；B错误； 选项C：根据对称性，，C正确； 选项D：，D错误； 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若分布，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若随机变量，满足，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，设概率为，则，解得或，再由即可判断；对于B，根据二项分布的方差公式计算；对于C，根据超几何，则；对于D，根据期望的线性运算求解． 【详解】解：若分布，设概率为， 则，解得或， 或，故A错误； 若，则，故B正确； 若，则，故C正确； ，故D正确． 11. 我国北宋数学家贾宪有一部著作《黄帝九章算法细草》，其中有“开方作法本源”图，杨辉在《详解九章算法》一书中征引了贾宪的材料，“开方作法本源”图现称为“杨辉三角”（如图所示），则（ ） 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1 ………… A. 第10行第3个数为 B. 第7行所有数的和为128 C. 第16行共有12个偶数 D. 若第行存在连续三项成等差数列，则的最大值为98 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据杨辉三角中各数与对应二项式系数的关系规律易判断A，B项；根据杨辉三角的前几行的奇偶性排列规律即可分析判断C项；设第行存在连续三项成等差数列，可得，化简推得，求出，通过换元得到或，结合计算即可判断D项. 【详解】对于A，因杨辉三角第行的数对应二项式系数， 则第10行第3个数为，故A正确； 对于B，因杨辉三角第行所有数的和为， 则第7行所有数的和为，故B正确； 对于C，第16行的数依次为， 在杨辉三角中，各数对应的二项式系数满足， 所以奇偶性满足奇+奇=偶；奇+偶=奇；偶+偶=偶. 从杨辉三角的前几行的奇偶性可见：第0行1个奇数； 第1行2个奇数；第2行2个奇数；第3行4个奇数； 第4行2个奇数；第5行4个奇数；第6行4个奇数；第7行8个奇数；第8行2个奇数；…， 可见当时，第行只有首尾两个数是奇数， 其余均为偶数，故第16行的数中只有两个奇数，其余共15个偶数，故C错误； 对于D，若第行存在连续三项成等差数列，则， 即， 化简得， 即，解得（*）， 设，为奇数，令，则由， 可得，代入（*），得或， 因，由，可知当取10时，取到最大值98， 且当时存在(或)满足条件，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，从甲地到乙地有3条公路，从乙地到丙地有2条公路，从甲地不经过乙地到丙地有3条水路，则从甲地到丙地共有______种不同的走法． 【答案】 【解析】 【详解】根据分步和分类计数原理可知，甲地到丙地共有条不同的走法. 13. 在平行六面体中，底面是矩形，，，，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】用基底表示出，再根据向量数量积运算律计算. 【详解】如图所示，记，以为基底. 由题意，. . . . 14. 口袋中有6个大小、形状相同的球，其中有3个红球、3个黑球．规定“从口袋中随机摸出一个球，若摸到红球，则将其换成黑球后放回口袋；若摸到黑球，则将其换成红球后放回口袋”为一次操作，每次操作后口袋中始终有6个大小、形状相同的球．经过3次操作后，口袋中所有的球的颜色都相同的概率为_______；若恰好经过，（）次操作后，口袋中所有的球首次颜色都相同的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据条件概率公式求出第1，2，3次操作后状态的概率，从而即可得到第3次操作后，满足条件的概率；再根据前三次操作后状态的概率推出次操作后满足条件的递推概率公式，进而即可求解． 【详解】记状态表示口袋中有个红球，个黑球，， 记经过次操作后状态的概率为，， 初始状态为， 第1次操作后的状态只可能为，或， 则，， 第2次操作后的状态只可能为，或， 则， ， ， 第3次操作后的状态只可能为，，或， 则， ， ， ， 当口袋中所有的球的颜色都相同时，状态只可能为，或， 所以经过次操作后，口袋中所有的球的颜色都相同的概率为． 不妨将操作后口袋中所有的球首次颜色都相同约定为操作成功，否则为操作失败． 记经过次操作后，操作成功为，操作失败为， 除第1次操作外， 第偶数次操作后的状态只可能为，或， 第奇数次操作后的状态只可能为，，或， 若恰好经过，（）次操作后，操作成功， （即第次操作失败，第次操作后的状态只可能为，或，第次操作后的状态只可能为，或，第次操作后的状态只可能为，或）， 则， ， 所以， 由恰好经过次操作后，操作成功， 有，， 若恰好经过次操作后，操作成功（即第次操作失败，共次失败）， 则，， 若恰好经过次操作后，操作成功（即第，次都操作失败，共次失败）， 则，， ... 若恰好经过次操作后，操作成功（即第，，...，次操作失败，共次失败）， 则，， 若恰好经过次操作后，操作成功（即第，，...，，次操作失败，共次失败）， 则， 所以恰好经过，（）次操作后，口袋中所有的球首次颜色都相同的概率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中，求： （1）第4项的二项式系数； （2）含的项的系数. 【答案】（1）35 （2）280 【解析】 【分析】（1）先写出通项公式，根据二项式系数的定义进行求解； （2）先写出通项公式，找到含有的项，然后可得系数. 【小问1详解】 由二项式定理可知，在展开式中， 第项为. 所以第4项的二项式系数为. 【小问2详解】 由二项式定理可知，在展开式中， 第项为. 当时，展开式中含的项的系数为. 【点睛】易错点点睛：要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“某一项的系数”这两个概念： ①二项式系数是组合数 (r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中“某一项的系数”不一定相等； ②第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号. 16. 随着人工智能技术的飞速发展与广泛普及，AI产品深度融入大学生的生活和学习．为调查学生性别与是否使用AI产品的关系，研究人员采用简单随机抽样的方法在全校范围内抽取了男生和女生各100名．整理统计数据得到如图所示的列联表． （1）是否有的把握认为该校学生性别与是否使用AI产品有关联？ 性别 是否使用AI产品 总计 是 否 男生 30 100 女生 40 100 总计 200 （2）为了比较使用AI产品的男生和女生在使用内容上的差异，研究人员从使用AI产品的学生中，采用简单随机抽样的方法抽取了2名男生和4名女生组成“访谈组”．现从“访谈组”中随机抽取3名学生进行深度访谈，设抽取的男生人数为随机变量，求的概率分布和数学期望． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有99.9%的把握认为该校学生性别与是否使用AI产品有关联； （2） X 0 1 2 P 数学期望. 【解析】 【分析】（1）先根据题意完成列联表，代入公式可得，即可得到结论； （2）依题意可得X的所有可能取值为0，1，2，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到的分布列和期望值． 【小问1详解】 列联表如下图： 性别 是否使用AI产品 总计 是 否 男生 30 70 100 女生 60 40 100 总计 90 110 200 由题意：， ， 所以有99.9%的把握认为该校学生性别与是否使用AI产品有关联； 【小问2详解】 易知6名“访谈组”有2名男生和4名女生，现从“访谈组”中随机抽取3名学生进行深度访谈， 所以的所有可能取值为0，1，2， 且服从超几何分布： ，，， 故所求分布列为 X 0 1 2 P 可得. 17. 在长方体中，已知，，点在平面上的射影为． （1）设，求，的值； （2）已知，，其中．若平面，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据题意得到垂直关系，从而得到方程组，求出答案； （2）求出平面的法向量，根据平行关系得到，从而得到方程，结合（1）中结论得到方程，求出答案 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，则， 点在平面上的射影为，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， ， 由得 ， 即， ， 由得， 故，则， 将其代入中，可得， 整理得，解得， 【小问2详解】 ， 设，， 因为，，所以， 所以，， 所以，， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，其中． 故， 若平面，则，即， 故， 其中，故， 上式可化简得， 若，此时，故，即两点重合，不合要求，舍去， 故，解得 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，． （i）求直线与平面所成的角的大小； （ii）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：因底面为正方形，，分别为，的中点, 则,又因，则,因平面， 故平面. （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）先证，，再由线面垂直的判定定理即得证； （2）（i）依题建系，求出相关点的坐标，计算出平面的法向量，利用向量夹角的坐标公式即可求得线面角；（ii）接着求出平面的法向量，利用向量夹角的坐标公式即可求得二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）在平面中，过点作于点， 由（1）得平面，因平面，则， 又因平面，故平面. 过点作的平行线，交于点，则， 故可以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 因，，， 则， 则， 故， 设平面的法向量为， 则，故可取； 设与平面所成的角为，则， 因，则，即直线与平面所成的角为. （ii）设平面的法向量为， 则，故可取. 设二面角的平面角为，因， 则， 即二面角的正弦值为. 19. 在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，输一球得0分，当比分为之后，双方每球需交换发球，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．现在甲、乙两名运动员的比分为，已知每次交手中甲得1分的概率为，乙得1分的概率为，各次交手的结果相互独立．现从比分为开始记录交手次数，记随机变量为该局比赛结束时的交手次数，记“该局甲获胜”为事件，“”为事件． （1）当时，求，； （2）求（用含的式子表示）； （3）证明：，独立． 【答案】（1） （2） （3）证明：设甲最终获胜的概率， 开局后：甲要么前两球取胜（概率），要么前两球打平（概率），回到平局后甲获胜概率仍为， 故  整理得：  即，即得，因此相互独立，得证. 【解析】 【分析】(1)分析的取值对应比赛结束的场次，用独立事件概率乘法计算对应概率，分步计算各阶段概率再相乘. (2)用条件概率公式计算. (3)验证成立即可. 【小问1详解】 表示球结束比赛，即甲连赢球或乙连赢球， 则  代入得： ； 表示前球未分胜负，后球分出胜负，前球未分胜负即甲乙各赢球，概率为， 则  代入得： . 【小问2详解】 事件为且甲获胜，分为两种情况： ①甲胜（概率为），②甲胜（前球打平，后球甲连赢，概率为）， 则  为，即或，  则， 故 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $