精品解析：江西省赣州市章贡区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

江西省赣州市章贡区2024−2025学年八年级下学期期末考试数学试题 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列式子中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，且不含分母，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. 1，2，2 C. 2，3，4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故能作为直角三角形三边长； B、，故不能作为直角三角形三边长； C、，故不能作为直角三角形三边长； D、，故不能作为直角三角形三边长． 故选：A． 3. 根据某市统计局发布的该市近5年的年度GDP增长率的有关数据，经济学家评论说，该市近5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的（　　）比较小． A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据方差比较小． 【详解】解：由于方差反映的是数据的波动大小，故增长率相当平衡是指明方差比较小． 故选：D． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 4. 如图，点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：根据题意，当时，， ∴方程的解是． 故选：B． 5. 如图，在中，是中位线，点在上，，若，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出，计算即可．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：在中，为的中点，， ， 为的中位线，， ， ， 故选：C． 6. 如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 【详解】解：设菱形的高为h，有三种情况： ①当P在AB边上时，如图1， y=AP•h， ∵AP随x的增大而增大，h不变， ∴y随x的增大而增大， 故选项C不正确； ②当P在边BC上时，如图2， y=AD•h， AD和h都不变， ∴在这个过程中，y不变， 故选项A不正确； ③当P在边CD上时，如图3， y=PD•h， ∵PD随x的增大而减小，h不变， ∴y随x的增大而减小， ∵P点从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D， ∴P在三条线段上运动的时间相同， 故选项D不正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，解题的关键是根据点P的位置的不同，运用分类讨论思想，分三段求出△PAD的面积的表达式． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得． 【详解】解：由题意可得， ， ， 故答案为：． 8. 将直线y＝﹣2x向下平移1个单位长度，平移后直线的解析式为 ___． 【答案】y＝﹣2x-1 【解析】 【分析】由题意根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律求解． 【详解】解：将直线y＝﹣2x向下平移1个单位长度，平移后直线的解析式为y＝﹣2x-1. 故答案为：y＝﹣2x-1. 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的原则是解答此题的关键． 9. 已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是_____． 【答案】5.5 【解析】 【详解】【分析】先判断出x，y中至少有一个是5，再用平均数求出x+y=11，即可得出结论． 【详解】∵一组数据4，x，5，y，7，9的众数为5， ∴x，y中至少有一个是5， ∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6， ∴（4+x+5+y+7+9）=6， ∴x+y=11， ∴x，y中一个是5，另一个是6， ∴这组数为4，5，5，6，7，9， ∴这组数据的中位数是×（5+6）=5.5， 故答案为5.5． 【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数等概念，熟练掌握众数、平均数、中位数的概念、判断出x，y中至少有一个是5是解本题的关键. 10. 如图，小刚用七巧板拼了一个对角线长为的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，根据正方形的性质可知是等腰直角三角形，由此即可求证的长，拼成长方形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，正方形，， ∴，是等腰直角三角形， 在中，，且， ∴， ∴， 拼成一个长方形如图所示，，连接， ∴， 在中，， ∴长方形的对角线长为． 【点睛】本题主要考查正方形与长方形的综合，掌握正方形，长方形的性质，勾股定理求边长是解题的关键． 11. 如图，正方形的边长为，P为对角线上动点，过P作于E，于F，连接，则的最小值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定及性质、正方形的性质、勾股定理． 连接，，再根据已知条件可得四边形是矩形，从而可得当点P是正方形对角线和的交点时，此时最小，进而可得的最小值．本题考查了正方形的性质、三角形三边的关系、勾股定理、矩形的判定与性质，解决本题的关键是能够明确四边形是矩形． 详解】解：连接，， ∵正方形的边长为，，， ∴   ，，四边形是矩形， ∴ ∵， ∴当点P是正方形对角线和的交点时，此时最小，且， ∴的最小值为2， 故答案为：2． 12. 在平面直角坐标系中，直线和直线分别交轴于、两点，两直线交点是点，在内部作矩形，使得矩形的四个顶点都落在的边上，且矩形的长是宽的倍，则矩形的宽的长度是___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，①当矩形的长在上时，②当矩形的宽在上时，③当矩形的宽在上时，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】∵直线和直线分别交轴于、两点，两直线交点是点， 当时，，当时，,， 则，，， ∴ 设矩形的宽为，则矩形的长为, ①当矩形的长在上时，如图所示， ∴，又， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 解得：； ②当矩形的宽在上时， 同理可得， 则， 解得：； ③当矩形的宽在上时，如图所示， 依题意，，又， ∴， 解得：， ④当矩形的长在上时，同③的情形一样，可得， 综上所述，矩形的宽的长度是或或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，矩形的性质，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在中，的平分线交于点，若，求的周长． 【答案】（1）；（2）16 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，平行四边形的性质，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平方差公式去括号求解即可； （2）由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 14. 如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． （1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）当，，，求剩余部分的面积． 【答案】（1）； （2）384． 【解析】 【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可； （2）根据（1）所列出的式子，再把，，代入即可求出答案． 【小问1详解】 剩余部分的面积为：； 【小问2详解】 把，，代入得： ． 【点睛】此题主要考查二次根式的应用，用代数式表示正方形、矩形的面积，需熟记公式，且认真观察图形，得出等量关系． 15. 在人教版八下数学教材第36页数学活动一《测量学校旗杆高度》中，聪聪想到了一种新颖的求解方式，聪聪从点C观察旗杆顶端的仰角为（即），接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为（即）． （1）请你帮助聪聪判断的形状，并说明理由； （2）根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1）等腰三角形；理由见解析 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理. （1）由题意可得，因此，根据等角对等边即可得出答案； （2）根据含角的直角三角形的性质，可得， 在中，根据勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 由（1）可知， ∴， ∴， 在中，米． 16. 如图，在矩形中，P，M分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，以为边作一个非特殊的平行四边形； （2）在图2中，以为边作一个菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，则四边形即为所求． （2）连接交于点，连接并延长与边交于，则四边形即为所求. 【小问1详解】 解：如图1，四边形即所求． 理由如下： ∵矩形， ∴， ∵P，M分别是，中点． ∴，，，， 而，， ∴四边形为平行四边形，，. 【小问2详解】 解：如图2，四边形即为所求． 理由如下： 同理可得：，，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ∴，即， ∴四边形为菱形. 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，三角形的中位线的性质，熟练的作图是解本题的关键. 17. 如图，已知一次函数的图象经过两点，并且交轴于点，交轴于点． （1）求该一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形面积； （1）把代入，再建立方程组求解即可； （2）先求解点坐标为，结合的面积为：，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：把代入得， 解得 所以一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得， 点坐标为， 的面积为： 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某校为调查学生对数学史知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下不完整的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）本次调查共抽测了　　名学生，并直接在答题卡中补全频数直方图； （2）在扇形统计图中m的值是　　，70﹣80所对应的扇形圆心角的度数是　　度； （3）已知“80﹣90”这组的数据如下：82，83，83，85，85，85，86，87，88，88，88，89，抽取的n名学生测试成绩的中位数是　　分； （4）若成绩达到60分以上（含60分）为合格，请你估计该校2000名学生中有多少名学生对数学史知识了解情况为合格． 【答案】（1）50，作图见解析；（2）16，72；（3）84；（4）约1840名 【解析】 【分析】（1）可先根据成绩在80﹣90之间的人数求出总人数n的值，从而求出90﹣100的人数，补全直方图即可； （2）从直方图中读出60﹣70的人数，再除以总人数即可得到百分比，即可得到m的值， 从直方图中读出70﹣80的人数，再除以总人数即可得到百分比，所占的百分比再乘以一个圆的圆心角即可得到70﹣80所对应的扇形圆心角的度数； （3）根据中位数的概念计算中位数； （4）计算样本的合格率，用样本合格率估计总体即可求解． 【详解】（1）由直方图可知，成绩在80﹣90之间的人数为12人， ∴ 被调查的总人数为：n=12÷24%=50（人）， ∴ 成绩在90﹣100之间的人数为：50-4-8-10-12=16（人）． 补全直方图如图所示： （2）从直方图中可得，成绩在60﹣70之间的人数为8人， ∴成绩在60﹣70之间的人数占总人数的百分比为：100%=16%， ∴ m=16， 从直方图中可得，成绩在70﹣80之间的人数为10人， ∴成绩在70﹣80之间的人数占总人数的百分比为：100%=20%， ∴ 70﹣80所对应的扇形圆心角的度数为：20%=． （3）把这50名学生的成绩从低到高排列，第25，26个成绩分别为 83 分，85分， 故中位数为=84（分）． （4）∵成绩达到60分以上（含60分）的百分比为100%=92%， ∴ 估计该校2000名学生对数学史知识了解情况为合格的学生人数为200092%=1840（名）． 【点睛】本题考查扇形统计图与频率分布直方图，中位数以及用样本估计总体，结合扇形统计图与频率分布直方图求解出样本的总量是解题的关键． 19. 2025年春节即将来临，某商场为满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元． （1）请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？ （2）该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？ 【答案】（1）香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元 （2）总利润的最大值是元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元，根据“购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子，利用总利润＝每千克香蕉的销售利润×购进香蕉的数量+每千克橙子的销售利润×购进橙子的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设香蕉的进价是x元，橙子的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：香蕉的进价是8元，橙子的进价是10元； 【小问2详解】 设购进m千克香蕉，购进的香蕉和橙子全部售出后获得的总利润为w元，则购进千克橙子， 根据题意得：， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为（元）． 答：总利润的最大值是元． 20. 如图1，是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（单位：）随的长度x（单位：）的变化规律如图2所示． （1）指出图中点P坐标的实际意义； （2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围： （3）直接写出B，D之间距离的变化范围． 【答案】（1）当的长度为时，千斤顶的高度为； （2） （3）大于等于，小于等于． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得点P的坐标的实际意义为当的长度为时，千斤顶的高度为； （2）连接交于O，当时，，由菱形的性质得到，则由勾股定理得到，当时，则，由勾股定理得，则； （3）根据（2）所求分别求出当和时的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，点P的坐标的实际意义为当的长度为时，千斤顶的高度为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接交于O， 当时，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得； 由于菱形的边长不发生变化， ∴是定值， 当时，则， 在中，由勾股定理得， ∴，即； 【小问3详解】 解：在中，当时，；当时，； ∴B，D之间距离的变化范围为大于等于，小于等于． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式，菱形的性质和勾股定理，正确读懂函数图象是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 结合函数的学习过程，探究函数，已知当时，；当时，． （1）求这个函数的解析式； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出这个函数的两条性质； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集________________． 【答案】（1） （2）画图见解析；①当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；②当时，函数有最小值； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，画一次函数图象，一次函数图象的性质，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先列表，再描点连线画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）求出函数与函数的交点坐标，再结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：依题意可得， 解得， ∴这个函数的解析式为； 【小问2详解】 解：列表如下： … 0 2 … … … 该函数的图象如图所示： 由函数图象可得，①当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；②当时，函数有最小值； 【小问3详解】 解：当时，， 联立，解得； 当时，， 联立，解得； ∴由函数图象可得不等式的解集为． 22. 【课本再现】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 已知：如图，，分别是的，的中点．求证：且． （1）小明想到了“延长至点，使，连接”，如图．请按照小明的提示完成证明． 【迁移应用】 （2）如图3，在四边形中，，分别为，的中点，试判断线段，，之间有何数量关系，并说明理由． 拓展应用】 （3）如图4，在中，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长是______________． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）通过延长线段构造全等三角形，利用全等三角形性质得到边和角的关系，再结合平行四边形判定与性质，证明三角形中位线定理． （2）延长线段构造全等三角形，将转化为，再利用三角形中位线定理，找出与、的数量关系． （3）延长线段构造特殊三角形，结合周长平分条件，利用三角形中位线定理和特殊三角形（含角的直角三角形、等边三角形相关性质 ），计算的长度． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接， ∴ 是的中点， ， 在和中， ， ， ∴， 是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：， 理由如下： 连接并延长交的延长线于点，如图： ， ， 是的中点， ， ， ， 是的中点，是的中点， ， ． （3）解：延长至，使，连接，作于， 平分的周长， ，又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及特殊三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，灵活运用构造全等三角形、特殊三角形的方法是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【问题探究】四边形是正方形，点是射线上的一个动点，连接，过点作交正方形的外角的平分线于点． （1）当点在边上时； ①如图1，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由． ②如图2，过点作交直线于点，再过点作于点，求证：； 【思维拓展】 （2）当点在射线上运动时，若．过点作交直线于点，再过点作于点．则线段的长为_____________（直接写出答案）． 【答案】（1）①猜想：，理由见解析；②证明见解析；（2）4或12 【解析】 【分析】（1）①在上截取，先证，进而证明，可得．②在上截取，和均为等腰直角三角形，证明，可得； （2）分两种情况：当在上时，当在延长线上时，参照（1）②中的方法，添加辅助线构造全等三角形，等腰直角三角形，分别求解即可． 【详解】解：（1）①猜想：． 理由如下：如图，在上截取． 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． ． ． ②证明：在上截取，连接． 则， 直角三角形， 是等腰直角三角形， ，则， ， ， ． ； （2）线段的长为4或12． 解：当在线段上时，同（1）②，在上截取，连接，则是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ，即， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 当在延长线上时，延长，使，连接， 则是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴ 综上，线段的长为4或12． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线，注意分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西省赣州市章贡区2024−2025学年八年级下学期期末考试数学试题 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 下列式子中，最简二次根式（ ） A B. C. D. 2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. B. 1，2，2 C. 2，3，4 D. 3. 根据某市统计局发布的该市近5年的年度GDP增长率的有关数据，经济学家评论说，该市近5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的（　　）比较小． A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 4. 如图，点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，在中，是中位线，点在上，，若，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 6. 如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为　　 A. B. C. D. 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________． 8. 将直线y＝﹣2x向下平移1个单位长度，平移后直线的解析式为 ___． 9. 已知一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的中位数是_____． 10. 如图，小刚用七巧板拼了一个对角线长为的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为__________． 11. 如图，正方形的边长为，P为对角线上动点，过P作于E，于F，连接，则的最小值为_______． 12. 在平面直角坐标系中，直线和直线分别交轴于、两点，两直线交点是点，在内部作矩形，使得矩形的四个顶点都落在的边上，且矩形的长是宽的倍，则矩形的宽的长度是___________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，在中，的平分线交于点，若，求的周长． 14. 如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． （1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）当，，，求剩余部分的面积． 15. 在人教版八下数学教材第36页数学活动一《测量学校旗杆高度》中，聪聪想到了一种新颖的求解方式，聪聪从点C观察旗杆顶端的仰角为（即），接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为（即）． （1）请你帮助聪聪判断的形状，并说明理由； （2）根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 16. 如图，在矩形中，P，M分别是，的中点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，以为边作一个非特殊的平行四边形； （2）在图2中，以为边作一个菱形． 17. 如图，已知一次函数的图象经过两点，并且交轴于点，交轴于点． （1）求该一次函数的解析式； （2）求的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 某校为调查学生对数学史知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下不完整的频数直方图和扇形统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）本次调查共抽测了　　名学生，并直接在答题卡中补全频数直方图； （2）在扇形统计图中m的值是　　，70﹣80所对应的扇形圆心角的度数是　　度； （3）已知“80﹣90”这组的数据如下：82，83，83，85，85，85，86，87，88，88，88，89，抽取的n名学生测试成绩的中位数是　　分； （4）若成绩达到60分以上（含60分）为合格，请你估计该校2000名学生中有多少名学生对数学史知识了解情况为合格． 19. 2025年春节即将来临，某商场满足顾客需求计划购进一批香蕉和橙子．已知购进2千克香蕉和3千克橙子共需46元；购进1千克香蕉和2千克橙子共需28元． （1）请问香蕉和橙子的进价分别是多少元？ （2）该商场准备购进香蕉和橙子共1000千克，已知香蕉的售价为12元/千克，橙子的售价为15元/千克，其中香蕉的进货量不低于350千克，且不高于450千克．在可以全部售出的情况下，请问总利润的最大值是多少？ 20. 如图1，是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即B，D之间的距离）．在手柄转动过程中，B，D之间的距离y（单位：）随的长度x（单位：）的变化规律如图2所示． （1）指出图中点P坐标实际意义； （2）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围： （3）直接写出B，D之间距离的变化范围． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 结合函数的学习过程，探究函数，已知当时，；当时，． （1）求这个函数的解析式； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出这个函数的两条性质； （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集________________． 22. 【课本再现】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 已知：如图，，分别是，的中点．求证：且． （1）小明想到了“延长至点，使，连接”，如图．请按照小明的提示完成证明． 【迁移应用】 （2）如图3，在四边形中，，分别为，的中点，试判断线段，，之间有何数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长是______________． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【问题探究】四边形是正方形，点是射线上的一个动点，连接，过点作交正方形的外角的平分线于点． （1）当点在边上时； ①如图1，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由． ②如图2，过点作交直线于点，再过点作于点，求证：； 【思维拓展】 （2）当点在射线上运动时，若．过点作交直线于点，再过点作于点．则线段的长为_____________（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$