2026年人教版六升七暑假预习 4.1 整式 分层预习讲义

2026六升七暑假预习 4.1 整式 分层预习讲义（人教版七上） 基础巩固 + 提升培优 + 变式训练（含完整解析） 一、分层学习目标 1. 基础目标：能准确区分单项式与多项式；能找出单项式的系数和次数；能分清多项式的各项、常数项以及多项式的次数。 2. 提升目标：能根据文字描述列出相应的整式；能判断含有字母和数字的组合是否为整式。 3. 培优目标：已知单项式的次数或多项式的次数，能反向求出字母参数的值。 二、重点和难点 重点：单项式的系数与次数；多项式的项与次数的识别。 难点：π是数字而不是字母；含多个字母的单项式次数是所有字母指数的和；多项式中最高次项的判断。 三、课前预习导学 1. 由数或字母的___组成的式子叫做单项式；单独一个数、单独一个字母___单项式。 2. 单项式中的___因数叫做系数；单项式里所有字母的___叫做单项式的次数。 3. 几个单项式的___叫做多项式；多项式里每个单项式叫做多项式的___；不含字母的项叫做___。 4. 多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的___；单项式和多项式统称为___。 5. 注意：π是固定数字，计算次数时不能当作___。 预习疑问（请写出你的困惑）： ____________________________________________________________ 四、概念精讲（补充讲解） 1. 单项式： （1）定义：由数或字母的积组成的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 如：5、-3x、4ab²、-7都是单项式。 （2）系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 如：-3x的系数是-3；4ab²的系数是4；单独一个数-7的系数是-7。 （3）次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 如：4ab²中，a的指数是1，b的指数是2，次数为1+2=3。 （4）特别提醒：π是常数（数字），不是字母！如单项式-4πxy²的系数是-4π，次数是x的指数1加y的指数2，等于3。 2. 多项式： （1）定义：几个单项式的和叫做多项式。 如：2x³ - 5x + 7 = 2x³ + (-5x) + 7，是多项式。 （2）项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项。其中不含字母的项叫做常数项。 如：2x³ - 5x + 7的项为2x³、-5x、7，常数项为7。 （3）次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。 如：2x³ - 5x + 7中，最高次项2x³的次数为3，所以它是三次三项式。 3. 整式：单项式和多项式统称为整式。 五、典例精讲 + 配套变式 【典例1】识别单项式的系数与次数 说出单项式 -4πxy² 的系数和次数。 解：数字因数含π，所以系数是 -4π；字母部分x的指数为1，y的指数为2，总次数 = 1 + 2 = 3。 答案：系数为 -4π，次数为 3。 易错提醒：π是常数，不是字母，系数中要包含π；次数是所有字母指数的和，数字的指数不计算在内。 变式1：单项式 3a²b 的系数是____，次数是____。 （答案：系数3，次数3，因为a的指数2加b的指数1等于3。） 【典例2】识别多项式的项与次数 指出多项式 2x³ - 5x + 7 的各项、常数项和多项式的次数。 解：项为 2x³、-5x、7；常数项为 7；最高次项为 2x³，次数为3，所以多项式是三次三项式。 答案：项：2x³、-5x、7；常数项：7；次数：3。 变式2：多项式 -y² + 4xy - 9 的各项是____，最高次项是____，次数是____。 （答案：项：-y²、4xy、-9；最高次项：-y²（次数为2，4xy次数也为2，任选其一）；次数：2。） 【典例3】根据文字描述列整式（提升） （1）一个数a的3倍与5的差； （2）长方形的长为x，宽为y，求周长。 解：（1）a的3倍为3a，与5的差为3a-5。 （2）长方形周长 = 2(长+宽) = 2(x+y) = 2x+2y。 答案：（1）3a-5；（2）2x+2y。 易错提醒：“与5的差”要分清谁减谁，是“3a-5”而不是“5-3a”。 变式3：（1）某数x的平方与3的和；（2）三角形的底为a，高为h，求面积。 （答案：（1）x²+3；（2）·a·h。） 【典例4】已知次数求参数（培优重点） 若单项式 -2 y³ 的次数为6，求m的值。 解：单项式次数 = 所有字母指数之和 = m + 3 = 6，所以 m = 3。 答案：m = 3。 易错提醒： 表示x的指数为m，不是x乘以m。 变式4：单项式 5a² 的次数为5，求k的值。 （答案：2 + k = 5，k = 3。） 【典例5】已知多项式次数求参数（培优重点） 若多项式 + 2x - 5 是二次多项式，求n的值。 解：多项式的次数由最高次项决定。已知是二次多项式，则最高次项的次数为2。 的次数为 n-1，要使该多项式为二次，需 n-1 = 2，所以 n = 3。 （2x是一次项，-5是常数项，不影响次数判断。） 答案：n = 3。 易错提醒：注意观察哪个项的次数最高，以此来确定参数值。 变式5：若多项式 3a^(m+1) - 2a² + 7 是三次多项式，求m的值。 （答案：最高次项为3，m+1=3，m=2。） 六、四层分层习题 A组 基础巩固（全员必做，单一概念） 1. 填空： （1）单项式 5m 的系数是____，次数是____； （2）多项式 3x - 1 有____项，常数项是____； （3）单项式 -7 的系数是____，次数是____。 2. 判断（对的打√，错的打×）： （1）0是单项式。（ ） （2）是单项式。（ ） （3）πr² 的系数是π，次数是2。（ ） 3. 简单区分：下列哪些是整式？ 2a、xy、、-7、x+y 整式有：____________________ B组 提升培优（中档综合） 1. 列式表示： （1）一个数a的3倍与5的差； （2）长方形的长为x，宽为y，周长的整式； （3）某商品原价为m元，先涨价20%，再打8折，现价是多少元？（用含m的整式表示） 2. 指出多项式 4a²b - ab + 6 的最高次项与次数。 3. 下列各式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ -3x、2a+b、、、x²-2x+1、0 单项式：________________ 多项式：________________ 整式：__________________ C组 培优拓展（分班考选做题，参数题型） 1. 若单项式 -2 y³ 的次数为6，求m的值。 2. 多项式 + 2x - 5 是二次多项式，求n的值。 3. 若单项式 (m-2)x²y³ 的次数为5，且系数不为0，求m的取值范围。 4. 已知多项式 2 - 3x² + 1 是三次三项式，求k的值。 配套变式训练（对应培优难题） 1. 单项式 5a² 的次数为5，求k的值。 2. 若多项式 3 - 2a² + 7 是三次多项式，求m的值。 3. 单项式 -3y² 与 4x³ 的次数相同，均为5，求p和q的值。 七、洛阳特色情境题（把数学融入生活） 情境1（洛阳牡丹文化节游客量） 第43届中国洛阳牡丹文化节期间，累计接待游客超过1800万人次，旅游收入超过150亿元。 （1）若用x表示游客人数（单位：万人次），收入y（单位：亿元）与游客人数x之间的关系近似为 y =·x（每12万人次对应1亿元收入），请写出表示收入的整式； （2）当x = 1800时，求y的值。 情境2（洛阳牡丹盆花产业） 2025年，洛阳市牡丹盆花生产量突破90万盆。某花农有a个温室大棚，每个大棚平均培育b盆牡丹。 （1）用整式表示该花农一共培育的牡丹盆数； （2）若a = 6，b = 1500，求总盆数。 情境3（洛阳拖拉机产量） 洛阳已形成以中国一拖为龙头的完整农机产业链，具备年产15万台拖拉机的生产能力。 （1）某工厂计划生产x台拖拉机，已经完成了，用整式表示还剩下的台数； （2）若x = 15000，求还剩下多少台？ 情境4（洛阳龙门石窟游客量） 2025年，龙门石窟累计接待游客851万人次。 （1）若成人票每张a元，学生票每张b元，某日共售出成人票m张、学生票n张，用整式表示该日门票总收入； （2）若a = 90，b = 45，m = 50000，n = 20000，求总收入。 情境5（洛阳“三品一标”农产品） 洛阳市“三品一标”农产品总数达457个，稳居全省首位。其中绿色食品和有机食品有320个，名特优新农产品110个，地理标志农产品27个。 （1）用整式表示三种农产品的总数（用a、b、c分别表示三类数量）； （2）验证：a+b+c是否等于457。 情境6（洛阳餐饮消费） 2025年上半年，洛阳市餐饮消费额达119亿元。某连锁餐饮品牌在洛阳有n家分店，上半年平均每家分店营业额为p万元。 （1）用整式表示该品牌上半年在洛阳的总营业额； （2）若n = 12，p = 580，求总营业额。 八、趣味记忆口诀（帮助快速记忆） 整式识别顺口溜 数和字母来相乘，单独数或字母也行， 这样的式子叫单项，系数次数要分清。 几个单项加起来，这样的式子叫多项， 每项都有名和姓，常数项里没字母。 单项式和多项式，统称整式要牢记。 π是数字不是字母，算次数时别糊涂！ 九、综合自测小卷（建议用时：20分钟，满分40分） 一、选择题（每题3分，共9分） 1. 下列式子中是单项式的是（ ） A. 2x + 1 B. -3 C. D. x² - y² 2. 单项式 -2a²b³ 的系数和次数分别是（ ） A. -2，5 B. 2，5 C. -2，6 D. 2，6 3. 多项式 3x³ - 2x² + x - 7 是（ ） A. 三次三项式 B. 三次四项式 C. 四次三项式 D. 四次四项式 二、填空题（每题3分，共15分） 4. 单项式 -·xy² 的系数是____，次数是____。 5. 多项式 2a²b - 3ab + 5 的项是________，常数项是____。 6. 若单项式 - y² 的次数为5，则m = ____。 7. 多项式 + 3x - 2 是二次多项式，则k = ____。 8. 用整式表示：x的3倍与y的2倍的和是________。 三、解答题（共16分） 9.（8分）指出下列多项式的各项、最高次项和次数： （1）4x³ - 2x² + x - 5； （2）-a²b + 3ab² - 7。 10.（8分）洛阳某牡丹园的门票价格为：成人票每张p元，学生票每张q元。某日售出成人票a张，学生票b张。 （1）用整式表示该日门票总收入； （2）若p = 60，q = 30，a = 800，b = 450，求总收入。 十、参考答案与完整分步解析 【预习导学答案】 1. 积，也是 2. 数字，指数和 3. 和，项，常数项 4. 次数，整式 5. 字母 六、四层分层习题 【A组答案】 1.（1）5，1；（2）2，-1；（3）-7，0（单独一个数的次数为0） 2.（1）√；（2）×（分母含字母，不是整式）；（3）√（π是数字） 3. 整式：2a、xy、-7、x+y（不是整式，因为分母含字母） 【B组答案与解析】 1.（1）3a-5；（2）2x+2y；（3）m×(1+20%)×0.8 = 0.96m（元） 2. 最高次项：4a²b（次数为2+1=3）；次数：3 3. 单项式：-3x、、0；多项式：2a+b、x²-2x+1；整式：-3x、2a+b、、x²-2x+1、0（不是整式） 【C组答案与解析】 1. m + 3 = 6，m = 3 2. n - 1 = 2，n = 3 3. 次数 = 2 + 3 = 5（与m无关），系数为m-2，系数不为0则m-2≠0，m≠2 4. 最高次项为2，次数为k+1=3，k=2 【配套变式训练答案】 1. 2 + k = 5，k = 3 2. m + 1 = 3，m = 2 3. 第一个单项式次数：p+1+2 = p+3 = 5，p=2；第二个单项式次数：3+q = 5，q=2 七、洛阳特色情境题（把数学融入生活） 【洛阳情境题答案】 情境1：（1）y =；（2）150亿元 情境2：（1）ab盆；（2）9000盆 情境3：（1）·x台；（2）6000台 情境4：（1）am+bn元；（2）5400000元 情境5：（1）a+b+c；（2）320+110+27=457，正确 情境6：（1）np万元；（2）6960万元 九、综合自测小卷（建议用时：20分钟，满分40分） 【综合自测小卷答案与解析】 一、选择题 1. B（-3是单独一个数，是单项式；2x+1和x²-y²是多项式；5/x分母含字母，不是整式） 2. A（系数-2，次数2+3=5） 3. B（三项？4项：3x³、-2x²、x、-7，共4项，最高次3次，所以是三次四项式） 二、填空题 4. 系数-，次数3（1+2=3） 5. 项：2a²b、-3ab、5；常数项：5 6. m+2=5，m=3 7. k-1=2，k=3 8. 3x+2y 三、解答题 9.（1）项：4x³、-2x²、x、-5；最高次项：4x³；次数：3 （2）项：-a²b、3ab²、-7；最高次项：-a²b和3ab²（次数均为3）；次数：3 10.（1）ap + bq 元；（2）60×800+30×450=48000+13500=61500元 学科网（北京）股份有限公司 $