第13讲 方程与等式的性质（8类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材人教版

第13讲 方程与等式的性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断各式是否是方程 题型2 列方程 题型3 判断是否是一元一次方程 题型4 根据一元一次方程求参数的值 题型5 判断是否是一元一次方程的解 题型6 已知一元一次方程的解求参数的值 题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值 题型8 等式的基本性质 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 方程、等式、性质1、性质2、变形、化归、等量关系。 1. 理解方程的概念（含有未知数的等式），能区分方程与等式、代数式的区别。 2. 掌握等式的两个基本性质：性质1（两边同加减同一数或整式，仍相等）；性质2（两边同乘或除以同一不为0的数，仍相等）。 3. 能运用等式的性质对等式进行变形，解释变形依据，初步体会化归思想。 4. 能根据实际问题中的等量关系列出方程，感受方程作为刻画数量关系的工具价值。 学习重点：方程的概念，等式的两条基本性质，以及运用性质进行等式变形。 学习难点：理解等式性质2中“除以同一个不为0的数”的必要性，以及运用性质变形时符号和运算的正确处理（如除以一个数时注意符号变化）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 方程的有关概念 定义：含有未知数的等式叫做方程. 【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数． 【易错提醒】 方程概念易错警示：含有未知数的等式。注意：必须同时满足“等式”和“含未知数”两个条件。如2x+3（不含等号）不是方程，3+5=8（不含未知数）也不是方程。方程的解需代入验证。 即时即练1．已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查的是方程的定义，根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：不是等式，所以它不是方程； 是等式，但其中不含未知数，所以它不是方程； 不是等式，所以它不是方程； 都具备方程的两个条件，所以都是方程． 故选：C． 知识点02 一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 【易错提醒】 一元一次方程概念易错警示：必须同时满足：整式、一个未知数、未知数次数为1、且未知数系数不为0。如 x2-1=0是二次， =1是分式，0×x=5无解，均不是。化简后判断。 即时即练1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中，一元一次方程共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义进行分析即可． 【详解】解：①是代数式，不是方程，不合题意， ②是不等式，不合题意， ③，去括号为，未知数的次数是2，不合题意， ④是一元一次方程，符合题意， ⑤是一元一次方程，符合题意； ⑥是一元一次方程，符合题意； 故选：C 2．已知关于的方程是一元一次方程，则实数的取值是（    ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答． 熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ， 由①得， 由②得， 综上，． 故选：B． 知识点03 方程的解、解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解的过程. 【易错提醒】 方程的解与解方程易错警示：方程的解是使等式成立的未知数的值（具体数）；解方程是求这个值的过程。注意：代入检验时要两边同时计算，必须使左右相等。勿将化简过程误认为解。 即时即练1．下列方程中，解为的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，使方程左右两边相等的未知数的值即为方程的解，把代入各个选项中，比较方程左右两边的值，即可作答． 【详解】解：A、把代入，则，左右两边相等，故该选项是正确的； B、把代入，则，左右两边不相等，故该选项是错误的； C、把代入，则，左右两边不相等，故该选项是错误的； D、把代入，则，左右两边不相等，故该选项是错误的； 故选：A 知识点04 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【易错提醒】 方程的解与解方程易错警示：方程的解是使等式成立的未知数的值（具体数）；解方程是求这个值的过程。注意：代入检验时要两边同时计算，必须使左右相等。勿将化简过程误认为解。 即时即练1．下面利用等式性质对等式进行变形，错误的是（       ） A．若，则 B．，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：①等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；②等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．根据等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、若，则，正确，不符合题意； B、，则，前提是，选项错误，符合题意； C、若，则，正确，不符合题意； D、若，则，正确，不符合题意； 故选：B． 2．运用等式性质进行的变形，下列正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【知识点】等式的性质 【分析】根据等式的性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立．本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 【详解】解：A．若，则结论正确，故A错误，不符合题意； B．根据等式的基本性质：等式两边同减一个相等的式或数，等式仍然成立，故B错误，不符合题意； C．若，则结论正确，故C错误，不符合题意； D．如果，那么，即，故D正确，符合题意； 故选：D． 题型1 判断各式是否是方程 【例1】下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 根据方程的定义求解即可． 【详解】解：①中不含有未知数，不是方程； ②不是等式，不是方程； ③、④符合方程的定义； ⑤是代数式，不是等式，不是方程； 综上，方程有2个． 故本题选：A． 【例2】在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 【答案】A 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【详解】解：方程有：，，共2个， 故选：A． 【技巧归纳】 方程：含有未知数的等式。判断要点：有等号“=”，且含有字母（未知数）。如2x+1=0是方程，2+3=5不是（无未知数），2x>1不是（不等式）。注意等式两边可有代数式。有时含参数，需要区分已知数和未知数。直接找“=”和字母。 【变式1-1】下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．根据方程的定义可以解答． 【详解】解：，，，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程． 不是等式，因而不是方程． （a，b为已知数）不含未知数，所以不是方程． 故有3个式子是方程． 故选：C． 【变式1-2】下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 【答案】C 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查方程的定义，根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可。 【详解】解：①符合方程的定义，故本小题正确； ②不含有未知数，不是方程，故本小题错误； ③不是等式，故本小题错误； ④符合方程的定义，故本小题正确； ⑤不是等式，故本小题错误； ⑥不是等式，故本小题错误． ⑦符合方程的定义，故本小题正确； ⑧ 符合方程的定义，故本小题正确． 故选C． 题型2 列方程 【例3】列等式表示“的2倍与10的和等于8” ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】此题考查了列方程，根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为： 【例4】设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数x的2倍为，相反数为，据此根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【技巧归纳】 找等量关系（关键词：是、等于、比…多/少、倍、和、差）。设未知数，用代数式表示相关量，根据等量关系列方程。注意单位统一，分清已知与未知。多个条件时选择核心关系列式。检验方程是否反映题意。列完后检查左右意义一致。 【变式2-1】一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答． 【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米， 由题意可得：． 故答案为． 【变式2-2】蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共列方程，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 【详解】解：设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，则碳水化合物含量为，依题意可列方程，， 故答案为：． 题型3 判断是否是一元一次方程 【例5】下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元一次方程要分为两步：（1）判断是否是整式方程；（2）对整式方程化简，化简后判断是否只含有一个未知数，并且未知数的指数是1只含有一个未知数． 【详解】解：A．符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故正确，符合题意； B．含有两个未知数，是二元一次方程，故错误，不符合题意； C．未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故错误，不符合题意； D．分母含有未知数，是分式方程，故错误，不符合题意． 故选：A． 【例6】下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．一元一次方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都是整式．根据一元一次方程的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意； B、未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：A 【技巧归纳】 一元一次方程：含一个未知数，未知数最高次数1，且为整式方程（分母无未知数）。可化为ax+b=0（a≠0）。判断时：整理后看未知数个数、次数，分母有无未知数，系数a是否为零。如2x+3=0是一元一次，x²=4不是（次数2），1/x=3不是（分母含x）。 【变式3-1】已知下列方程：（1）；（2）；（3） ；（4）； （5）；（6）．其中一元一次方程的个数有（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，“只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0”．根据一元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：（1）是分式方程，故（1）不符合题意； （2），即，符合一元一次方程的定义，故（2）符合题意； （3），即，符合一元一次方程的定义，故（3）符合题意； （4）的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程，故（4）不符合题意； （5），即，符合一元一次方程的定义，故（5）符合题意； （6）中含有2个未知数，属于二元一次方程．故（6）不符合题意． 综上所述，一元一次方程的个数是3个． 故选：D． 【变式3-2】已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且． 【详解】解：①不是整式方程，不是一元一次方程； ②是一元一次方程； ③是一元一次方程； ④，函数2个未知数，不是一元一次方程； ⑤是一元一次方程． 一元一次方程有：②③⑤共3个． 故选：B 题型4 根据一元一次方程求参数的值 【例7】已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查一元一次方程的定义：等号两边是整式，只有一个未知数且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程，根据定义列式求解即可得到答案 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：1． 【例8】已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义列出关于m的方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【技巧归纳】 先将方程化为标准形式ax+b=0，令x的系数a≠0且x的指数为1。若方程含参数，根据条件（如方程是一元一次）列方程或不等式。如(m-2)x+3=0是一元一次，则m-2≠0得m≠2。若有二次项，需使二次项系数为0。解参数并检验。 【变式4-1】已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得且，据此即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式4-2】若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有种情况，分别讨论①当且时，②当且时，③当时是否满足该方程为一元一次方程即可． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 可考虑三种情况， ①当且时， 即且， 则，解得：， 此时，故排除； ②当且时， 即且， ，符合条件； ③当即时， ，符合条件； 综上：的值为或， 故答案为：或． 题型5 判断是否是一元一次方程的解 【例9】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】方程的解 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解．直接利用一元一次方程的解的意义分别判断得出答案． 【详解】解：A、当时，，故此选项不符合题意； B、当时，，故此选项符合题意； C、当时，，故此选项不符合题意； D、当时，，故此选项不符合题意． 故选：B． 【例10】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入每个方程，看看方程左右两边是否相等即可，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解）是解此题的关键． 【详解】解：A．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意； B．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意； C．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以是方程的解，故本选项符合题意； D．把代入方程，得左边，右边，左边右边， 所以不是方程的解，故本选项不符合题意． 故选：C． 【技巧归纳】 将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快速检验。 【变式5-1】下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解能够使方程两边左右相等是解题关键．将分别代入方程计算即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，牢记方程的解的定义“使方程中等号左右两边相等的未知数的值，就是方程的解”是解题的关键． 分别将依次代入每个方程，若等式左右两边相等，则为方程的解． 【详解】解：分别将依次代入每个方程， A. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； B. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； C. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； D. 左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 故选：． 题型6 已知一元一次方程的解求参数的值 【例11】若是方程的解，则 ． 【答案】1 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．将代入原方程进行解答即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：1． 【例12】是方程的解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了一元一次方程的解，将代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理解方程的解的概念及应用． 【详解】把代入方程得，， 解得：， 故答案为：． 【技巧归纳】 将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快速检验。 【变式6-1】若关于x的方程的解为， 则k的值为 ． 【答案】1 【知识点】方程的解 【分析】本题考查方程的解，将代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把，代入，得：， ∴； 故答案为：1． 【变式6-2】是方程的解，则 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．根据一元一次方程的解的概念解答即可． 【详解】∵是方程的解， ∴， 解得， 故答案为：． 题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值 【例13】若是方程的解，则的值为 ． 【答案】2035 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、方程的解 【分析】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是把解代入方程中，得到代数式．把代入方程，得出，进而可得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：2035． 【例14】若关于x的方程的解是，则的值为 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了方程解的概念，将代入方程，即可求解． 【详解】解：关于x的方程的解是， 将代入方程，有， 整理得，则， 故答案为：． 【技巧归纳】 将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快速检验。 【变式7-1】已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】方程的解 【详解】把代入方程中得，，即， ∴． 【变式7-2】如果是方程的解，那么 ． 【答案】1 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，先把代入方程得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的解， ， ． 故答案为：1． 题型8 等式的基本性质 【例15】运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 【例16】已知等式，下列变形不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质对各选项判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求； 故选：D． 【技巧归纳】 性质1：两边同加（减）同一个数，等式仍成立。性质2：两边同乘（除）同一个不为0的数，等式仍成立。应用：移项（性质1）、去分母（性质2）。注意除以一个式子时确保它不为0。性质2反向也成立（同除为0除外）。用于方程变形。 【变式8-1】下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【知识点】等式的性质 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，逐项判断，即得． 【详解】解：A、， 等号两边都减y加3， 得， 故本选项正确， 符合题意； B、， 当时，， 故本选项错误， 不符合题意； C、， 当时， ， 故本选项错误， 不符合题意； D、， 两边都乘以2， 得， 故本选项错误， 不符合题意． 故选：A． 【变式8-2】下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得， ∴或， ∴错误，符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 故选：． 一、单选题 1．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且等号两边都是整式的方程，逐一判断选项即可． 【详解】一元一次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为；③是整式方程． 依次判断各选项： 选项：，满足三个条件，是一元一次方程； 选项：，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件； 选项：，含有和两个未知数，不满足条件； 选项：，未知数的最高次数为，不满足条件； 故选． 2．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】根据等式两边同时加、减同一个数，等式仍然成立以及等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立逐一分析选项找出变形错误的一项． 【详解】A、如果，等式两边都除以，那么，A正确； B、如果，当时，得不出，B错误； C、如果，等式两边都减6，那么，C正确； D、等式两边都乘，得，D正确． 3．已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】方程的解满足方程，将已知解代入原方程，即可计算求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得：化简得， 移项计算得， 因此的值为． 4．解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的解代入求参数即可． 【详解】 解：将代入原方程可得， 解得处的数为． 5．关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】D 【分析】将代入方程，得到，从而，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入得， 即， ∴ ． 二、填空题 6．由“的2倍与3的和等于5”可列方程为_____． 【答案】 【分析】根据题意将文字描述转化为代数式，结合等量关系列出方程即可 【详解】解：x的2倍可表示为，x的2倍与3的和可表示为， 根据和等于5，列方程为 7．关于的方程的解为，则的值为 _____ 【答案】 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可求出的值． 【详解】解：将代入原方程，得， 解得：． 8．已知等式是关于x一元一次方程，则_________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1，一次项系数不为0的方程叫做一元一次方程，其一般形式为（a，b是常数且），据此列出关于m的关系式，即可求解得到m的值． 【详解】解：根据题意，由一元一次方程的定义得 且， 由可得或， 解得或， 结合即， 可得， 故答案为：1． 9．若关于的一元一次方程的解是，则的值是_______ 【答案】 【分析】由方程的解可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， ∴． 10．已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 【答案】 17 【分析】将已知解代入原方程，整理为关于的等式，根据等式对任意恒成立，得到关于和的关系式，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 因为无论为何值，方程的解总是，所以等式对任意恒成立， 因此， 解得：，， 将结果代入得． 三、解答题 11．判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质． (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查等式的基本性质：①等式两边同时加上（减去）同一个数，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个不为0数，等式仍然成立，熟记等式的基本性质是解决问题的关键． （1）由等式的基本性质1逐项验证即可得到答案； （2）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案； （3）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案； （4）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案． 【详解】（1）解：正确． 等式两边都加上同一个数，结果仍相等．依据：等式性质1； （2）解：正确． 等式两边都除以同一个不为0的数，结果仍相等．依据：等式性质2； （3）解：正确． 等式两边都乘同一个数，结果仍相等．依据：等式性质2； （4）解：正确． 由知，等式两边都乘以同一个不为0的数，结果仍相等．依据：等式性质2． 12．根据下列条件列出方程： (1)的倍与的和等于的倍与的差． (2)某数的比它本身小6．（设这个数为） (3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去．（设这个数为） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列一元一次方程，熟练掌握方程的列法是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可； （2）根据题意列出方程即可； （3）根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 13．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 14．请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程． (1)x与3的差是5． (2)代数式与的值相等． (3)两个正方形的边长分别为，，它们的面积差为． (4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x场，负了场，胜的场数大于负的场数． 【答案】(1)，是一元一次方程 (2)，不是一元一次方程 (3)，不是一元一次方程 (4)，不是一元一次方程 【分析】本题考查了列方程，一元一次方程的定义． （1）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （2）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （3）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （4）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，x与3的差是5，可得．该式只含一个未知数x，且未知数的次数为1，是一元一次方程； （2）解：根据题意，代数式与的值相等，可得．该式含有两个未知数x和y，不是一元一次方程； （3）解：根据题意，两个正方形的面积差为，可得．该式含有两个未知数x和y，且次数为2，不是一元一次方程； （4）解：根据题意，胜的场数大于负的场数，可得．该式不是等式，不是方程，因此不是一元一次方程． 15．已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 【答案】(1)① ， ；② (2)①；② (3)4或0或 【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）根据题意，求出m和k的值即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意知， ， ②因为，，，，…， 所以 （2）解：①因为 则当时， ②当时，， 则原方程为， 整理得，， 因为此方程有无数个解， 所以 （3）解：由题意知， 原多项式为 因为n为大于3的正整数， 所以是一个二项式． 因为该多项式是关于x，y的五次三项式， 所以或 当，即时，要使该多项式为五次的， 则， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或； 当，即时，要使该多项式为五次的， 则或， 由得，或， 经检验，都符合题意， 所以或0； 由得，或， 时，该多项式为九次三项式，故舍去； 当时，符合题意， 则， 综上所述，的值为4或0或 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第13讲方程与等式的性质 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破一析考点破方法：典型题型深度拆解 题型1判断各式是否是方程 题型2列方程 题型3判断是否是一元一次方程 题型4根据一元一次方程求参数的值 题型5判断是否是一元一次方程的解 题型6已知一元一次方程的解求参数的值 题型7已知一元一次方程的解求代数式的值 题型8等式的基本性质 04过关检测→练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解方程的概念（含有未知数的等式），能区分方程与等式、代数式的区 别。 方程、等式、性质 2.掌握等式的两个基本性质：性质1（两边同加减同一数或整式，仍相 1、性质2、变形、化 等)；性质2（两边同乘或除以同一不为0的数，仍相等）。 归、等量关系。 3.能运用等式的性质对等式进行变形，解释变形依据，初步体会化归思想。 4.能根据实际问题中的等量关系列出方程，感受方程作为刻画数量关系的工 具价值。 学习重点：方程的概念，等式的两条基本性质，以及运用性质进行等式变形。 学习难点：理解等式性质2中“除以同一个不为0的数”的必要性，以及运用性质变形时符号和运算 的正确处理（如除以一个数时注意符号变化）。 02 教材全解 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知|识I框|架 定义 含有未知数的等式 方程与算式混淆 方程的概念 必须是等式 等式性质2忽略除数不为0 高频易错点 条件 必须含未知数 解方程步骤错误 只含一个未知数 方程判断 定义 未知数次数为 等式性质应用 一元一次方程 高频考点 等号两边都是整式 解方程 方程与等式的性质 标准形式 ax+b=0(a*0) 解的正确性检验 方程的解 定义 使方程左右两边相等的未知数值 用性质消去常数项 解方程 求方程解的过程 步骤 用性质2化系数为1 利用等式的性质解方程 一个数或式子结果仍 性质1 代入原方程验证 检验 等式的性质 等式两边乘或除以同一个不为0的数结果 性质2 仍相等 知1识I精|讲 知识点01方程的有关概念 定义：含有未知数的等式叫做方程 【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数 【易错提醒】 方程概念易错警示：含有未知数的等式。注意：必须同时满足“等式”和“含未知数”两个条件。如2x+3 (不含等号)不是方程，3+5=8（不含未知数）也不是方程。方程的解需代入验证。 即时即练1.己知下列式子：3 +8=312-x-y=3:x+1=2x+13a2=102+5=7;x-1≠0：=1.其中 方程的个数为() A.3 B.4 C.5 D.6 知识点02一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元)，并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数， 【易错提醒】 -元一次方程概念易错警示：必须同时满足：整式、一个未知数、未知数次数为1、且未知数系数不为 2/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 。如2-1=0是三次，文1是分式，0xx=5无解，均不是。化简后判晒 即时即练1.下列式子：①9x+2;②x-1<2;③1-x1+)=3;④3x=0;⑤1-5y=3;⑥ x吉-中，一元-次方程共有() 1.1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.己知关于x的方程m-1)x-2=3m是一元一次方程，则实数m的取值是() A.1 B.-1 C.1或-1 D.0 知识点03方程的解、解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 2解方程：求方程的解的过程 【易错提醒】 方程的解与解方程易错警示：方程的解是使等式成立的未知数的值（具体数）；解方程是求这个值的过 程。注意：代入检验时要两边同时计算，必须使左右相等。勿将化简过程误认为解。 即时即练1.下列方程中，解为x=2的方程是() A -x+6=2x B.4-2(x-1)=1 C.3x-2=3 2x+1=0 D 知识点04等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式： 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式. 【易错提醒】 方程的解与解方程易错警示：方程的解是使等式成立的未知数的值（具体数）；解方程是求这个值的过 程。注意：代入检验时要两边同时计算，必须使左右相等。勿将化简过程误认为解。 即时即练1.下面利用等式性质对等式进行变形，错误的是() A.若a=5,则a2=5a B.bm=bn,则m=n 3/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m n C.若6=6，则m=n D.若28，则x=-16 2.运用等式性质进行的变形，下列正确的是() A.如果ac2=bc2,那么a=b B.如果a+c=b-c,那么a=b a b C.如果a=b,那么。 D.如果a+5=b+5:那么a=b 03 题型突破 题型1判断各式是否是方程 【例1】下列式子中，方程的个数是() 3+1=5×2:②y=2≥0：®3x+1=5v:④7x-1=2x+4；⑤x+ A.2 B.3 C.4 D.5 【例2】在13b+5>23;x+2.4x=30;42×3=126;1.5m=70;8n-3.6中，方程有()个. A.2 B.3 C.4 【技巧归纳】 方程：含有未知数的等式。判断要点：有等号“-”，且含有字母（未知数）。如2x+1=0是方程，2+3=5 不是（无未知数），2x>1不是（不等式）。注意等式两边可有代数式。有时含参数，需要区分已知数和未 知数。直接找“=”和字母。 【变式1-1】下列各式3x-2,2m+n=1,a+b=b+a(a,b为已知数)，y=0,x2-3x+2=0中，方程 有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1-2】下列各式：①2x-1=5;②4+8=12；③5x+8,④2x+3y=0:⑤x:⑥2x2-5x-1: ⑦x+1=2:⑧ 6=6y-9.其中是方程的有（） A.①②④⑤B.①②6⑦⑧ C.①④⑦⑧ D.8个都是 4/10 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型2列方程 【例3】列等式表示“x的2倍与10的和等于8” 【例4】设某数为x,如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 【技巧归纳】 找等量关系（关键词：是、等于、比多少、倍、和、差）。设未知数，用代数式表示相关量，根据等量 关系列方程。注意单位统一，分清已知与未知。多个条件时选择核心关系列式。检验方程是否反映题意。 列完后检查左右意义一致。 【变式2-1】一个长方形场地的周长为160米，长比宽的2倍少1米.如果设这个场地的宽为x米，那么可以 列出方程为 【变式22】蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素， 能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的15倍，碳水化合物，蛋白质 与脂肪的含量共30g.设蛋白质的含量为g,脂肪的含量为g,可列出方程为一 题型3判断是否是一元一次方程 【例5】下列方程是一元一次方程的是() A.5x+1=2 B.3x-2y=0 C.x-4=0 D. 25 【例6】下列方程中，是一元一次方程的是() 1 A.x=1 B.x2=1 C.x+y=1 D. =1 【技巧归纳】 一元一次方程：含一个未知数，未知数最高次数1，且为整式方程（分母无未知数）。可化为+=0 (≠0)。判断时：整理后看未知数个数、次数，分母有无未知数，系数a是否为零。如2x+3=0是一元 次，x2=4不是（次数2），1/3不是（分母含x)。 [支式31】已知下列方程：2-子。（②03x=1:（8)查5-，4-3：(5） x=6:(6)x+2y=0.其中一元一次方程的个数有() A.2 B.5 C.4 D.3 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-2】已知下列方程：①x-2= :②02x=1:®3x-3:④x-y=6:回x=0,其中-元一次 X 方程有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 题型4根据一元一次方程求参数的值 【倒】已知分3是关于的一元一次方程，那么m 【例8】己知(m-1)x-3=0是关于x的一元一次方程，则m的值为 【技巧归纳】 先将方程化为标准形式+b-0,令x的系数a≠0且x的指数为1。若方程含参数，根据条件（如方程是一 元一次)列方程或不等式。如m-2)x+3=0是一元一次，则m-2≠0得m≠2。若有三次项，需使二次项系数 为0。解参数并检验。 【变式41】已知关于x的方程(m-2)x=0是一元一次方程，则m= 【变式42】若关于x的方程m2+(m-)x-2=0是一元一次方程，则m的值为一 题型5判断是否是一元一次方程的解 【例9】下列方程中，解为x=1的是() A.x+1=0 B.2x-1=x C.-x-2=x D.1- 23 【例10】下列方程中，解为x=2的是() A.x+2=0 B.1-2x=3 C.x+1=3(x-1) D.0.2x=1 【技巧归纳】 将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号， 特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形 快速检验。 6/10 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式5-1】下列方程中，解是x=-1的方程是() A.2(x-1)=4 B.-2(x-1)=4 C.2(1-x)=-4 D.2-(1-x)=-2 【变式52】下列方程中，解是x=2的是() A. -2x=4 B.-2x-3=-1 4 4 题型6已知一元一次方程的解求参数的值 【例11】若x=2是方程8-3x=ar的解，则a=」 【例12】x=-1是方程3x-m-1=0的解，则m的值是 【技巧归纳】 将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号， 特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形 快速检验。 【变式61】若关于x的方程2x+k=3的解为x=1,则k的值为. 【变式6-2】x=2是方程2+a=x-1的解，则a= 题型7已知一元一次方程的解求代数式的值 【例13】若x=2是方程a-br=4的解，则-6b+3a+2023的值为. 【例14】若关于x的方程ax+2a+b=1的解是x=-3,则a-b的值为 【技巧归纳】 将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号， 特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形 快速检验。 【变式7-1】已知关于x的一元一次方程m(x+)+4n=6的解是x=1,则m+2n-3的值为 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式7-2】如果x=3是方程-ar-b=5-2x的解，那么3-6a-2b=_ 题型8等式的基本性质 【例15】运用等式性质进行的变形，正确的是() A,若ac=bc’则a=b B.若 0-b c,则a=b 1 C.若2a-b=4,则b=4-2a D.若-3x=6,则x=2 【例16】已知等式a=b,下列变形不正确的是() A. 3a-2=3b-2B.-3a=-3b D.a+1=b-1 【技巧归纳】 性质1：两边同加（减）同一个数，等式仍成立。性质2：两边同乘（除）同一个不为0的数，等式仍成 立。应用：移项（性质1）、去分母（性质2）。注意除以一个式子时确保它不为0。性质2反向也成立 (同除为0除外)。用于方程变形。 【变式81】下列等式变形正确的是() A.如果x-3=y-3,那么x-y=0 B.如果mx=my,那么x=y c.如限山，那么云 D.如果2x=6,那么x=3 【变式82】下列说法错误的是() A.若-2x=-2y,则x=y B.若x2=5x,则x=5 C.若a=b,则a-6=b-6 D.若c2+1e2+1,则a=b 04 过关检测 一、单选题 1.下列方程中，是一元一次方程的是() 8/10 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4x-5=3 B.m-3=2 C.x-3y=4 D.x2-3x=42 2.下列利用等式的基本性质变形，错误的是()· A.如果-2x=-2y,那么x=y B.如果x2=5x,那么x=5 a b C.如果a=b?那么a-6=b-6 D.如果c2+1c2+1:那么a=b 3.已知x=2是关于x的方程2x+m=6的解，则m的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 11 5 4.解方程2x- x=2米时， 墨水把其中一个数字染成了， 查阅答案方程的解为x=一弓，则米处 的数为() A.2 B.3 C.-3 D.-2 5.关于x的方程ax+b+3=0的一个解是x=2,则2026+2a+b=() A.2026 B.2025 C.2024 D.2023 二、填空题 6.由“x的2倍与3的和等于5”可列方程为一 7.关于x的方程x+2x-12=0的解为x=3,则m的值为 8.己知等式(m-3)x-4+5=0是关于x一元一次方程，则m= 9.若关于x的一元一次方程2ax-bx-6=0的解是x=2,则2a-b-4的值是 10.已知关于x的方程4kcx+2a=12+x-bk(a,b为常数)，无论k为何值，它的解总是x=1,则2a-b 的值是 三、解答题 11.判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质. (1)如果x=y,那么x+3=y+3: (2)如果-2a=-2b,那么a=b: 3)如果a=b,那么ac=bc: 如果后后，那么x=y 12.根据下列条件列出方程： (1)x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差. 9/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②)某数的2比它本身小6.（设这个数为x) 3)一个数的3倍加上5等于这个数的5倍减去11.（设这个数为x) 13.定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程 4x=8和x+1=0为“美好方程”. (1)若关于x的方程2x+m=0与方程4x-2=x+7是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n,求的值。 14.请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程. (1)x与3的差是5， (2)代数式2+x与2y-5的值相等. )两个正方形的边长分别为xcm,ycm,它们的面积差为7cm. (4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x场，负了8-X场，胜的场数大于负的场数. 15.已知两个整式M=x+y,N=x-y,将整式M与整式N求和后得到整式A=2x此操作记作第一次求 和操作：将第一次求和操作的结果A加上M+2N的结果记为A,,记作第二次求和操作；将第二次求和操 作的结果A加上2M+3N的结果记为A,记作第三次求和操作；将第三次操作的结果A加上3M+4N的 结果记为A4,记作第四次求和操作，…，以此类推。 根据以上材料，回答下列问题： (I)【理解定义】 ①计算：A,=一，A,=一（用含x,y的代数式表示）： ②观察前三次的结果，猜想A,= (用含n,x,y的代数式表示). (2)【初步应用】 当y=3x时， ①46= ②者关于的方程24-54+48=m行4+2)有无数个解，则网 (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，(4，-4)[(m-2)x2-(m-)y]+xy“是关于x,y的五次三项式（其中m和 k均为整数），则m+k的值为 10110