精品解析：陕西省西安市西咸新区部分学校2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025～2026学年度第二学期期末检测试题（卷） 八年级数学（北师大版） 注意事项；满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 要使分式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 音乐是人类文化中不可或缺的一部分，它充满魅力，能够唤起人们各种各样的情感体验．下列音乐符号中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，是延长线上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是边的中点，是边上一点，且，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 6. 如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的中位线，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 8. 如图，在平行四边形中，于点，，交的延长线于点．若，且平行四边形的周长为30，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：__________． 10. 如图，将边长相等的正八边形与正六边形的一条边重合，点分别为正八边形和正六边形的顶点，则的度数为______ ． 11. 不等式的最大整数解是______． 12. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则的长为______． 13. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前_______天完成任务． 14. 如图，在平行四边形中，分别是边上的动点．将四边形沿直线折叠，点的对应点为，点的对应点恰好落在边上，连接，其中交于点．若，，，则的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解：． 16. 解不等式组： 17. 解方程：． 18. 如图，已知．请用尺规作图法，求作一点，使得点到边，的距离相等，且的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，．将先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到，其中点的对应点分别为． （1）画出； （2）点是内一点，平移到后，点的对应点为，则点的坐标为______． 21. 蓝天小组想要测量某路灯最高点到地面的距离．如图，已知该小组成员在点处将无人机竖直上升至点处（即），此时无人机测得路灯最高点的仰角为（即），当小组成员向方向行进至点的位置时（即），利用激光测得．已知图中各点均在同一平面内，且，根据以上测量结果，请你帮助该小组计算该路灯最高点到地面的距离． 22. 如图，已知在中，点是边上的一个动点，过点作交于点，且平分，在边上取点，使． （1）试说明为等腰三角形； （2）若，，求的长． 23. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 24. 如图，平行四边形中，是对角线的中点，在的延长线上取一点，连接并延长，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的面积． 25. 围棋起源于中国，是棋类鼻祖．象棋也是中华民族的文化瑰宝，源远流长，趣味浓厚．某棋类俱乐部计划去商场购买象棋和围棋，经了解，某商场中围棋和象棋的单价分别为30元／副和20元／副，经过协商，商场给出两个不同的优惠方案： 方案一：买1副围棋赠送1副象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． 已知该俱乐部决定购买40副围棋和副象棋，按照方案一、方案二购买的总费用分别为元，元． （1）分别写出关于的函数表达式； （2）该俱乐部选择哪种方案支付的费用较少？ 26. 【问题提出】观察图形，解决问题： （1）如图，在中，，且，交于点，，分别是，的中点，连接，若，则的长为______； （2）如图，在中，平分，过点作，交的延长线于点，且，试探究与之间存在的数量关系； 【问题解决】 （3）如图，是某农场的一块育苗基地规划图（周围空地可利用），，基地的出入口在边上，且满足，灌溉点，分别为小路，的中点，延长与交于点，为育苗基地扩建的新区域，沿和铺设小路，根据设计要求，小路，，为了合理购买铺设小路的材料，请根据以上信息，求小路的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末检测试题（卷） 八年级数学（北师大版） 注意事项；满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 要使分式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不等于0， ∴， 解得． 2. 音乐是人类文化中不可或缺的一部分，它充满魅力，能够唤起人们各种各样的情感体验．下列音乐符号中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图，在中，是延长线上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形，邻补角．解题的关键是熟练掌握平行四边形性质，邻补角性质． 根据平行四边形对角相等，求出，再根据邻补角的定义求出即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴． 故选：C． 4. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式性质对各选项逐一判断即可，不等式两边同时加(或减)同一个数，不等号方向不变，同时乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变，同时乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：∵， A选项，不等式两边同时加，不等号方向不变，∴，A错误． B选项，不等式两边同时乘，是负数，不等号方向改变，∴，B正确． C选项，举反例，当，时，满足，但，C错误． D选项，，，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，，D错误． 5. 如图，在中，是边的中点，是边上一点，且，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据，判断是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到，求出底边一半，最后在直角三角形内用勾股定理计算长度． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形． ∵D是中点， 根据等腰三角形三线合一，可得，即． ∵，为中点 ∴ 在中，， 由勾股定理得： ． 6. 如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只需要找到直线在直线上方即二者的交点处时自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集是． 7. 如图，是的中位线，的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的性质、角平分线的定义和平行线的性质，解题关键是利用中位线定理得到线段平行与长度关系，再结合角平分线与等腰三角形的判定求解．先利用中位线定理求的长度，再利用平行线与角平分线的性质求的长度，最后计算． 【详解】解：已知是的中位线，根据中位线定理： ，且， 是的中点，， ， ， （两直线平行，内错角相等）， 又平分， ， ， ， ． 8. 如图，在平行四边形中，于点，，交的延长线于点．若，且平行四边形的周长为30，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用平行四边形周长得到邻边之和，借助等面积法列方程求出邻边长度，最后在 中利用勾股定理求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平行四边形周长为30， ∴， ， 设，则 ∵，， ∴ 解得： ∴，，即 ∵， ∴为直角三角形， 由勾股定理得： ． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 先提取公因式m，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 如图，将边长相等的正八边形与正六边形的一条边重合，点分别为正八边形和正六边形的顶点，则的度数为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形内角和问题，根据多边形内角和定理及正多边形每个内角相等求解即可得到答案； 【详解】解：∵边长相等的正八边形与正六边形的一条边重合， ∴，， ∴， 故答案为：． 11. 不等式的最大整数解是______． 【答案】3 【解析】 【分析】先根据一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再在解集中找出最大的整数即可． 【详解】解：， 去括号得 ， 移项得 ， 合并同类项得 ， 系数化为得 ， 因此不等式的最大整数解是． 12. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【详解】根据旋转可得：，， 在中，由勾股定理得：， ． 13. 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树a棵．原计划每天种b棵树，由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前_______天完成任务． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式减法的应用．根据题意列出代数式，再计算，即可． 【详解】解：根据题意得： ， 即结果提前天完成任务． 故答案为： 14. 如图，在平行四边形中，分别是边上的动点．将四边形沿直线折叠，点的对应点为，点的对应点恰好落在边上，连接，其中交于点．若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，在上截取，连接，根据折叠的性质得到垂直平分，，，求得，得到，根据平行四边形的性质得到，，，求得，是等边三角形，，根据全等三角形的性质得到，，得到；作，交的延长线于点F，得，求得，，设，则，，根据勾股定理得到，，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接，在上截取，连接， ∵平行四边形折叠，点B的对应点落在边上， ∴垂直平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，是等边三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 作，交的延长线于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别算出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分，即可作答． 【详解】解： 解不等式①，得 ． 解不等式②，得 ． 因此，原不等式组的解集为． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程的两边都乘以， 得， 解这个方程，得． 检验：当时，． 所以，是原方程的根． 18. 如图，已知．请用尺规作图法，求作一点，使得点到边，的距离相等，且的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点即为所求． 由角平分线的性质可知，点到边，的距离相等， ∵垂线段最短， ∴的长度最短． 【解析】 【分析】先用尺规作图画出的平分线，再过点作的平分线的垂线，交点即为点． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先进行括号内的运算，再利用分式的混合运算法则化简，最后代入计算得出答案． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，．将先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到，其中点的对应点分别为． （1）画出； （2）点是内一点，平移到后，点的对应点为，则点的坐标为______． 【答案】（1）如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平移的方式确定点，然后问题可求解； （2）根据平移方式可确定点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵将先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到，点是内一点， ∴． 21. 蓝天小组想要测量某路灯最高点到地面的距离．如图，已知该小组成员在点处将无人机竖直上升至点处（即），此时无人机测得路灯最高点的仰角为（即），当小组成员向方向行进至点的位置时（即），利用激光测得．已知图中各点均在同一平面内，且，根据以上测量结果，请你帮助该小组计算该路灯最高点到地面的距离． 【答案】． 【解析】 【分析】作交于点C，可知四边形是矩形，得到，，根据30度角的性质及勾股定理求出，即可得到最高点到地面的距离． 【详解】解：如图，作交于点C， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴最高点到地面的距离． 22. 如图，已知在中，点是边上的一个动点，过点作交于点，且平分，在边上取点，使． （1）试说明为等腰三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可； （2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【小问1详解】 解：平分， ， 又， ， ， ， 为等腰三角形， 【小问2详解】 过点作， 为等腰三角形， ， ， 在中，， ， 则的长为． 23. 在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同． （1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？ （2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？ 【答案】（1）购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元 （2）购买吊兰的数量最多为17盆 【解析】 【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，然后可得方程为，进而求解即可； （2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，然后可列不等式进行求解． 【小问1详解】 解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：当时，则， ∴是原方程的解， ∴， 答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得： ， 解得：， ∵m是整数， ∴m取最大值为17； 答：购买吊兰的数量最多为17盆． 【点睛】本题主要考查分式方程及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的应用是解题的关键． 24. 如图，平行四边形中，是对角线的中点，在的延长线上取一点，连接并延长，交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形． ． ． 是对角线的中点． ． ， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得．则有，然后可得，则有，然后问题可求证； （2）过点A作于点H，由题意易得，，然后可得，，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点H， 在中，． ，， ． ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 25. 围棋起源于中国，是棋类鼻祖．象棋也是中华民族的文化瑰宝，源远流长，趣味浓厚．某棋类俱乐部计划去商场购买象棋和围棋，经了解，某商场中围棋和象棋的单价分别为30元／副和20元／副，经过协商，商场给出两个不同的优惠方案： 方案一：买1副围棋赠送1副象棋； 方案二：按购买总金额的八折付款． 已知该俱乐部决定购买40副围棋和副象棋，按照方案一、方案二购买的总费用分别为元，元． （1）分别写出关于的函数表达式； （2）该俱乐部选择哪种方案支付的费用较少？ 【答案】（1）， （2）当时，此时两种方案支付的费用相同；当时，此时选择方案二支付的费用较少；当时，此时选择方案一支付的费用较少 【解析】 【分析】（1）根据两种优惠方案分别列出函数表达式； （2）分别计算当时，当时，当时，对应的的值或取值范围，即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得：， 此时两种方案支付的费用相同； 当时，即， 解得：， 此时选择方案二支付的费用较少； 当时，即， 解得：， 又因为， 所以时，此时选择方案一支付的费用较少． 26. 【问题提出】观察图形，解决问题： （1）如图，在中，，且，交于点，，分别是，的中点，连接，若，则的长为______； （2）如图，在中，平分，过点作，交的延长线于点，且，试探究与之间存在的数量关系； 【问题解决】 （3）如图，是某农场的一块育苗基地规划图（周围空地可利用），，基地的出入口在边上，且满足，灌溉点，分别为小路，的中点，延长与交于点，为育苗基地扩建的新区域，沿和铺设小路，根据设计要求，小路，，为了合理购买铺设小路的材料，请根据以上信息，求小路的长． 【答案】（1）； （2）解：，理由如下， 如图，延长交的延长线于点， ∵平分，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 取的中点，连接，则有是的中位线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）． 【解析】 【分析】由平行四边形性质可得，，，所以，得出，，由勾股定理得，然后通过中位线定理即可求解； 延长交的延长线于点，证明，所以，取的中点，连接，则有是的中位线，故有，，再证明，则，又，，从而得； 连接，取中点，连接、，先证明是等边三角形，是等边三角形，可得，再得出，通过直角三角形的性质可得，又，所以，求得，则，，最后通过即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，连接，取中点，连接、， ∵是的中点，是中点， ∴是的中位线，， ∴，， ∵是的中点，是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $