第一单元专项05 商不变的规律及商的变化规律（典例专项训练）四年级数学上册典例专项精讲（苏教版 新教材）

**基本信息** 聚焦商不变及商变化规律，通过多样化题型构建从概念理解到灵活应用的逻辑链条，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |规律理解与应用|30题|含规律直接应用、错误输入修正、余数变化分析、算式变形推理等|以商不变规律为核心，延伸至单因素变化对商的影响，构建"概念-变式-应用"的递进逻辑，覆盖被除数/除数单独或同时变化的全场景|

第一单元专项05 商不变的规律及商的变化规律（典例专项训练） 1．、都不等于，若扩大为原来的10倍，扩大为原来的5倍，则商（    ）。 A．扩大为原来的50倍 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的5倍 D．扩大为原来的10倍 2．已知a÷b＝20（a、b均不为0），如果被除数a乘5，除数b不变，商是（    ）。 A．4 B．20 C．100 D．5 3．用计算器计算740÷24，错误输入为7400÷24，要想得到正确答案，可以（    ）。 A．×10 B．÷10 C．＋10 D．－10 4．淘淘想用计算器计算216000÷2700，他错误地输入21600÷2700。聪明的笑笑帮助淘淘弥补了他的错误，下列（    ）是笑笑的做法。 A．把得数乘100 B．把得数除以100 C．把得数乘10 D．把得数除以10 5．在一个除法算式中，被除数不变，除数扩大到原来的2倍，商（    ）。 A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的4倍 6．平平计算435÷35时，把35写成了“5”计算结果。若想得到正确答案应再（    ）。 A．乘7 B．乘30 C．除以7 D．除以30 7．在计算150÷25时，如果被除数加上300，要使商不变，除数应该（    ）。 A．乘2 B．乘3 C．加300 D．不变 8．把算式……26的被除数和除数同时乘10，那么结果是（    ）。 A．11……26 B．11……260 C．110……260 D．110………26 9．如果※÷11＝12，那么（※× ）÷（11×5）＝12，横线上应填的是（    ）。 A．11 B．12 C．5 D．0 10．下列算式中，与270÷30的商相等的是（    ）。 A．（270×10）÷（30÷10） B．（270÷10）÷（30÷10） C．（270＋10）÷（30＋10） 11．下面算式中，计算结果和400÷25不相等的是（    ）。 A．（400×4）÷（25×4） B．（400÷4）÷（25÷4） C．（400÷4）÷（25×4） 12．算式△÷□＝600，要使商变成6，可以进行（    ）运算。 A．（△×10）÷（☐÷10） B．（△÷10）÷（☐×10） C．（△÷10）÷（☐÷10） D．（△×10）÷（☐×10） 13．某商店一周的营业额为980元，老板用计算器计算每天收入的钱数“980÷7”时，错误地输入了980÷70。下列做法（    ）可以弥补他的错误。 A．商乘10 B．商除以10 C．商除以5 14．三道除法算式95÷16，（95×10）÷（16×10），（95×100）÷（16×100）的结果相比，（    ）。 A．商和余数都相同 B．商相同，余数不相同 C．商不相同，余数相同 15．92÷3＝30……2，如果被除数和除数同时扩大到原来的100倍，余数是（    ）。 A．2 B．20 C．200 D．2000 16．根据135÷15＝9，直接写出下面各题的商。 1350÷150＝（ ）    135÷5＝（ ）    2700÷15＝（ ） 17．根据180÷45＝4，直接写出下列算式的结果。 360÷45＝（ ）        360÷90＝（ ） 18．根据，直接写出下面各式的得数。 （ ）        （ ） 19．已知396÷12＝（ ），那么1584÷48＝（ ），792÷6＝（ ）。 20．计算机编程中，△÷□＝16，那么（△×4）÷（□×4）＝（ ） ；（△×2）÷（□÷2）＝（ ） ；（△÷4）÷（□×4）＝（ ）。 21．已知……，那么（ ）……（ ）。 22．如果A÷B＝10……2，那么（A×3）÷（B×3）＝（ ）……（ ）；如果A÷B＝24，那么（A×5）÷B＝（ ）。 23．400÷25＝16，如果商不变，400乘2，则25应该（ ）；如果除数25不变，商16变成8，被除数400应该变成（ ）。 24．两个数相除，商是25，余数是7。如果被除数和除数同时乘5，商是（ ），余数是（ ）。 25．根据，直接写出下面算式的得数，☆代表的数不为0。 （ ）        （ ） （ ）        （ ） 26．472除以一个两位数，要使商是一位数，则这个两位数最小是（ ）。240÷20＝120÷（ ）＝（ ）。 27．在计算☐60÷28时，可以把除数28看成（ ）来试商、初商可能偏（ ）；△÷☐＝16……4，如果被除数和除数同时乘10，那么余数是（ ）。 28．（△×4）÷（☆×4）＝15……16，那么△÷☆的结果是（ ），算式24÷12中，如果被除数增加48，要使商不变，除数要乘（ ）。 29．若A÷B＝3，则的商是（ ）。若A÷B＝3……15，则B最小是（ ），这时A是（ ）。 30．M÷N＝36，如果把M和N同时除以4，商是（ ）；若M不变，N乘2，商是（ ）。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元专项05 商不变的规律及商的变化规律（典例专项训练） 1．、都不等于，若扩大为原来的10倍，扩大为原来的5倍，则商（    ）。 A．扩大为原来的50倍 B．扩大为原来的2倍 C．扩大为原来的5倍 D．扩大为原来的10倍 【答案】B 【分析】在除法算式里，被除数乘几，商也乘几；除数乘几，商就除以几，据此作答。 【解答】商应该先乘10，再除以5， 10÷5＝2 商扩大为原来的2倍。 2．已知a÷b＝20（a、b均不为0），如果被除数a乘5，除数b不变，商是（    ）。 A．4 B．20 C．100 D．5 【答案】C 【分析】在除法算式里，除数不变，被除数乘几（0 除外），商也乘几。已知原来的商是20，被除数乘5，除数不变，因此新的商应该是原来的商乘5，据此计算即可得出结果。 【解答】根据商的变化规律，当被除数a乘5，除数b不变时，商也要乘5。计算新的商：20×5＝100。 3．用计算器计算740÷24，错误输入为7400÷24，要想得到正确答案，可以（    ）。 A．×10 B．÷10 C．＋10 D．－10 【答案】B 【分析】根据商的变化规律，被除数扩大到原来的几倍，除数不变，商也扩大到原来的几倍；要使商不变，再除以扩大的倍数即可。 【解答】由题可知，被除数扩大到原来的10倍，除数不变，商也扩大到原来的10倍，要想得到正确答案，可以÷10。 4．淘淘想用计算器计算216000÷2700，他错误地输入21600÷2700。聪明的笑笑帮助淘淘弥补了他的错误，下列（    ）是笑笑的做法。 A．把得数乘100 B．把得数除以100 C．把得数乘10 D．把得数除以10 【答案】C 【分析】根据商的变化规律：当除数不变时，被除数除以10，商也跟着除以10。要得到正确的商，则得数乘10。 【解答】淘淘想用计算器计算216000÷2700，他错误地输入21600÷2700，相当于被除数除以10，要得到正确的商，那么把得数乘10，就能弥补淘淘的错误。 5．在一个除法算式中，被除数不变，除数扩大到原来的2倍，商（    ）。 A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的4倍 【答案】C 【分析】在除法算式中，被除数不变时，除数扩大到原来的几倍，商会缩小到原来的几分之一。除数扩大到原来的2倍，商缩小到原来的。可通过举例验证结论。 【解答】设原被除数为16，原除数为2，则商为。除数扩大到原来的2倍后，新除数为6，新商为。3是6的，因此商缩小到原来的。 故答案为：C 6．平平计算435÷35时，把35写成了“5”计算结果。若想得到正确答案应再（    ）。 A．乘7 B．乘30 C．除以7 D．除以30 【答案】C 【分析】根据题意原式是，平平把除数35写成了5，被除数435保持不变，除数的变化：，也就是除数除以了7。根据商的变化规律“被除数不变，除数除以一个不为0的数，商反而乘这个数”的规律，此时错误计算得到的商是正确商的7倍。因此，要得到正确答案，需要把错误的商除以7，据此解答。 【解答】根据分析可得： 被除数不变，除数除以了7，商应该乘7，此时的商是错误的，正确的商应该再除以7。 故答案为：C 【点睛】这是一道“错中求解”类型的题目，根据商的变化规律来解答。 7．在计算150÷25时，如果被除数加上300，要使商不变，除数应该（    ）。 A．乘2 B．乘3 C．加300 D．不变 【答案】B 【分析】题目中原来的被除数是150，现在被除数加上300，所以需要用原来的被除数加上300得到新的被除数；要判断被除数的变化情况，需要用新的被除数除以原来的被除数，得到的商就是被除数扩大的倍数；根据商不变的性质是：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。因为被除数扩大到原来的几倍，所以除数也要扩大到原来的几倍。 【解答】原来的算式：150÷25＝6 新的被除数：150＋300＝450 因为3×150＝450，所以被除数扩大到原来的3倍。 根据商不变的性质，除数也要扩大到原来的3倍，即除数应该乘3。 故答案为：B 8．把算式……26的被除数和除数同时乘10，那么结果是（    ）。 A．11……26 B．11……260 C．110……260 D．110………26 【答案】B 【分析】根据题意，被除数和除数同时乘或者除以一个相同的数（0除外），商不变。余数随之同时乘或者除以这个数。据此即可解答。 【解答】26×10＝260 即把算式……26的被除数和除数同时乘10，那么结果是11……260。 故答案为：B 9．如果※÷11＝12，那么（※× ）÷（11×5）＝12，横线上应填的是（    ）。 A．11 B．12 C．5 D．0 【答案】C 【分析】本题考查商不变的性质。商不变的性质指的是如果被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。根据已知算式※÷11＝12，对比目标算式可知商保持不变。观察除数的变化，除数11乘5，依据商不变的性质，被除数※也应乘相同的数，由此确定横线上的数。 【解答】根据分析可知 除数11乘5，要使商不变，被除数※也要乘5，所以横线上的数是5。 故正确的选项是C。 10．下列算式中，与270÷30的商相等的是（    ）。 A．（270×10）÷（30÷10） B．（270÷10）÷（30÷10） C．（270＋10）÷（30＋10） 【答案】B 【分析】先计算出原算式的商，然后根据商不变的规律（被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变）或直接计算各选项的商进行比对。 【解答】原算式：。 A．被除数乘10，除数除以10，不符合商不变的规律。 计算验证：，，此选项错误。 B．被除数和除数同时除以10，符合商不变的规律。 计算验证：，，此选项正确。 C．被除数和除数同时加上10，不符合商不变的规律。 计算验证：，，此选项错误。 11．下面算式中，计算结果和400÷25不相等的是（    ）。 A．（400×4）÷（25×4） B．（400÷4）÷（25÷4） C．（400÷4）÷（25×4） 【答案】C 【分析】根据商不变的性质，被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变。题目要求找出计算结果不相等的算式，需逐项分析各选项中被除数和除数的变化情况。 【解答】A．，被除数和除数同时乘4，商不变，结果相等，此选项不符合题意； B．，被除数和除数同时除以4，商不变，结果相等，此选项不符合题意； C．，被除数除以4，除数乘4，商发生变化，结果不相等，此选项符合题意。 12．算式△÷□＝600，要使商变成6，可以进行（    ）运算。 A．（△×10）÷（☐÷10） B．（△÷10）÷（☐×10） C．（△÷10）÷（☐÷10） D．（△×10）÷（☐×10） 【答案】B 【分析】已知原商是600，目标商是6，商需要除以100。根据商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；除数不变，被除数除以几（0除外），商就除以几；被除数不变，除数乘几（0除外），商就除以几。结合选项中被除数和除数的变化情况进行逐项分析，找出商变为6的选项。 【解答】原算式为△÷□＝600，要使商变成6，因为600÷100＝6，所以商需要除以100。 A．（△×10）÷（□÷10）与原算式相比，被除数乘10，商扩大到原来的10倍；除数除以10，商扩大到原来的10倍。综合起来商扩大到原来的100倍，600×10×10＝60000。此选项错误； B．（△÷10）÷（□×10）与原算式相比，被除数除以10，商除以10；除数乘10，商除以10。综合起来商除以100，600÷10÷10＝6。此选项正确； C．（△÷10）÷（□÷10）与原算式相比，被除数和除数同时除以10，根据商不变的规律，商不变，结果仍为600。此选项错误； D．（△×10）÷（□×10）与原算式相比，被除数和除数同时乘10，根据商不变的规律，商不变，结果仍为600。此选项错误。 13．某商店一周的营业额为980元，老板用计算器计算每天收入的钱数“980÷7”时，错误地输入了980÷70。下列做法（    ）可以弥补他的错误。 A．商乘10 B．商除以10 C．商除以5 【答案】A 【分析】根据商的变化规律可知，被除数不变，除数从7变成70，则除数扩大为原来的十倍，商也缩小为原来的十分之一。要使商不变，应再乘10即可。 【解答】A．商乘10能弥补错误； B．商除以10不能弥补错误； C．商除以5不能弥补错误。 14．三道除法算式95÷16，（95×10）÷（16×10），（95×100）÷（16×100）的结果相比，（    ）。 A．商和余数都相同 B．商相同，余数不相同 C．商不相同，余数相同 【答案】B 【分析】商的变化规律：被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变，但余数会跟着乘同一个数。计算验证即可。 【解答】由分析得出，三道除法算式，，的结果相比，商相同，余数不相同； 计算验证： 三个算式的商都是5，余数分别是15、150、1500，因此商相同，余数不相同。 15．92÷3＝30……2，如果被除数和除数同时扩大到原来的100倍，余数是（    ）。 A．2 B．20 C．200 D．2000 【答案】C 【分析】根据题意，有余数的商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，余数也同时乘或除以相同的数。以此答题即可。 【解答】根据分析可知：2×100＝200 92÷3＝30……2，如果被除数和除数同时扩大到原来的100倍，余数是200。 16．根据135÷15＝9，直接写出下面各题的商。 1350÷150＝（ ）    135÷5＝（ ）    2700÷15＝（ ） 【答案】9 27 180 【分析】在除法算式中，被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），则商就除以或乘相同的数。 除数不变，被除数乘几或除以几（0除外），商就乘或除以相同的数；被除数和除数同乘或同除以相同的数（0除外），商不变。 被除数和除数同时乘或者除以一个相同的数（0除外），商不变。 【解答】被除数和除数都乘10，商不变，所以1350÷150＝9。 被除数135不变，15÷3＝5，那么商乘3，9×3＝27，所以135÷5＝27。 除数不变，被除数135×20＝2700，商也乘20，9×20＝180，那么2700÷15＝180。 17．根据180÷45＝4，直接写出下列算式的结果。 360÷45＝（ ）        360÷90＝（ ） 【答案】8 4 【分析】（1）除数45不变，被除数从180变成360，扩大到原来的2倍，商也跟着扩大2倍。 （2）根据被除数和除数同时乘（或除以）几（0除外），商不变。 【解答】180÷45＝4 360÷45＝180×2÷45＝180÷45×2＝4×2＝8 360÷90＝（180×2）÷（45×2）＝4 18．根据，直接写出下面各式的得数。 （ ）        （ ） 【答案】16 540 【分析】被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变；除数不变，被除数乘几，商也乘几；被除数不变，除数乘几，商反而除以几。 【解答】864÷16＝54，864÷54＝16 864和54同时乘10，商不变，所以8640÷540＝16； 864乘10，16不变，商也乘，所以108640÷16＝540。 19．已知396÷12＝（ ），那么1584÷48＝（ ），792÷6＝（ ）。 【答案】33 33 132 【分析】根据商不变的性质：在除法算式中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（除外），商不变。 【解答】396÷12=33 ，，被除数是的倍，除数是的倍，被除数和除数同时扩大倍，商不变，所以。 ，，被除数是的倍，除数是的倍，可先将变形为，，，相当于的被除数扩大倍，除数不变，则商扩大倍，所以。 所以已知396÷12＝33，那么1584÷48＝33，792÷6＝132。 20．计算机编程中，△÷□＝16，那么（△×4）÷（□×4）＝（ ） ；（△×2）÷（□÷2）＝（ ） ；（△÷4）÷（□×4）＝（ ）。 【答案】16 64 1 【分析】被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变；被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几；除数不变，被除数乘几或除以几，商就乘几或除以几。据此解答即可。 【解答】已知△÷□＝16 （1）对于（△×4）÷（□×4），被除数△乘4，除数□也乘4，因此（△×4）÷（□×4）＝16。 （2）对于（△×2）÷（□÷2），被除数△乘2，商乘2，除数□除以2，商乘2，因此：（△×2）÷（□÷2）＝16×2×2＝64。 （3）对于（△÷4）÷（□×4），被除数△除以4，商除以4，除数□乘4，商除以4，因此：（△÷4）÷（□×4）＝16÷4÷4＝1 21．已知……，那么（ ）……（ ）。 【答案】29 40 【分析】根据商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，余数同时乘或除以相同的数，据此解答即可。 【解答】已知……，那么29……40。 22．如果A÷B＝10……2，那么（A×3）÷（B×3）＝（ ）……（ ）；如果A÷B＝24，那么（A×5）÷B＝（ ）。 【答案】10 6 120 【分析】商不变规律：被除数和除数同时乘相同非零数，商不变。因此原商保持不变。 余数变化：被除数和除数同时乘3，余数也需乘3，据此计算即可。 商的变化规律（除数不变）：被除数乘几，商也乘几。据此计算即可。 【解答】计算（A×3）÷（B×3）的商和余数： 根据商不变规律，商仍为10；余数由2变为2×3＝6 计算（A×5）÷B的商： 原式A÷B＝24，被除数乘5、除数不变时，商变为24×5＝120。 23．400÷25＝16，如果商不变，400乘2，则25应该（ ）；如果除数25不变，商16变成8，被除数400应该变成（ ）。 【答案】乘2 200 【分析】商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变； 根据商的变化规律：被除数不变，除数扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一）（0除外），则商缩小到原来的几分之一（或扩大相同的倍数）。据此解答。 【解答】400÷25＝16，如果商不变，400乘2，则25应该乘2； 商16变成8（除以2），则被除数400也要除以2，即400÷2＝200，所以如果除数25不变，商16变成8，被除数400应该变成200。 24．两个数相除，商是25，余数是7。如果被除数和除数同时乘5，商是（ ），余数是（ ）。 【答案】25 35 【分析】在有余数的除法中，当被除数和除数都乘一个相同的数（除外）时，商不变，余数随之乘这个数。 【解答】 商是，余数是。 25．根据，直接写出下面算式的得数，☆代表的数不为0。 （ ）        （ ） （ ）        （ ） 【答案】3600 40 20 20 【分析】被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变。被除数不变，除数扩大到原来的几倍（或缩小到原来的几分之一）（0除外），则商缩小到原来的几分之一（或扩大相同的倍数）。 ①除数扩大到原来的10倍，商不变，则被除数也要扩大到原来的10倍，即360×10＝3600； ②被除数扩大到原来的2倍，除数不变，则商也要扩大到原来的2倍，即20×2＝40； ③被除数÷除数＝商，所以除数×商＝被除数； ④被除数和除数同时乘☆，商不变。 【解答】3600 40 20 20 26．472除以一个两位数，要使商是一位数，则这个两位数最小是（ ）。240÷20＝120÷（ ）＝（ ）。 【答案】48 10 12 【分析】要使三位数除以两位数的商是一位数，被除数的前两位必须小于除数。也就是：47＜除数，大于47的最小两位数就是我们要找的答案。 根据商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 【解答】根据题意，大于47的最小两位数是48，所以472除以一个两位数，要使商是一位数，则这个两位数最小是48。 240÷20＝12，被除数240÷2＝120，除数20也要除以2，20÷2＝10，所以240÷20＝120÷10＝12。 27．在计算☐60÷28时，可以把除数28看成（ ）来试商、初商可能偏（ ）；△÷☐＝16……4，如果被除数和除数同时乘10，那么余数是（ ）。 【答案】30 小 40 【分析】把除数看作和它接近的整十数来试商，如果看作的数小于除数，那么商偏大，如果看作的数大于除数，商可能偏小； 商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变，余数也随着乘或除以这个相同的数。 【解答】在计算☐60÷28时，把除数28看作30来试商，因为30大于28，初商可能会偏小。 4×10＝40 △÷☐＝16……4，如果被除数和除数同时乘10，那么余数是40。 28．（△×4）÷（☆×4）＝15……16，那么△÷☆的结果是（ ），算式24÷12中，如果被除数增加48，要使商不变，除数要乘（ ）。 【答案】15……4 3 【分析】根据商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。余数也同时乘或者除以几。据此解答第一空。 先用被除数24＋48算出结果，再用此结果除以24，计算出相当于被除数24乘几，根据商不变的规律，被除数乘几，要使商不变，除数也要乘几。 【解答】（△×4）÷（☆×4）与△÷☆相比，相当于被除数和除数同时乘4，商不变，即商是15。余数也会与被除数和除数一样乘4，即余数乘4后是16，则余数为：16÷4＝4。所以△÷☆的结果是15……4。 24＋48＝72 72÷24＝3 即算式24÷12中，被除数增加48，相当于被除数乘3，要使商不变，除数要乘3。 29．若A÷B＝3，则的商是（ ）。若A÷B＝3……15，则B最小是（ ），这时A是（ ）。 【答案】3 16 63 【分析】根据商不变的规律，被除数和除数同时除以相同的数（非0），商不变；在除法计算中，除数永远大于余数，被除数＝除数×商＋余数，据此解答。 【解答】A÷B＝3，＝3 B＞15，所以B最小为16。 16×3＋15 ＝48＋15 ＝63 所以若A÷B＝3，则的商是3。若A÷B＝3……15，则B最小是16，这时A是63。 30．M÷N＝36，如果把M和N同时除以4，商是（ ）；若M不变，N乘2，商是（ ）。 【答案】36 18 【分析】商不变规律：被除数和除数同时乘/除以同一个不为0的数，商不变。题目中M（被除数）和N（除数）同时除以4，所以商不变，还是原来的36。 当被除数不变，除数乘几（不为0），商反而除以相同的数。这里M不变，N（除数）乘2，所以商要除以2：36÷2＝18。 【解答】36÷2＝18 M÷N＝36，如果把M和N同时除以4，商是36；若M不变，N乘2，商是18。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $