1.2.1 二次函数的图象（第1课时）（题型专练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本同步练习以二次函数y=ax²图象为核心，通过基础概念辨析、性质应用到综合探究的三层设计，构建从单一知识点到跨领域应用的巩固路径，培养抽象能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|点与函数关系、参数求解、图象绘制|以选择填空为主，直接应用概念，如判断点是否在抛物线上| |能力层|顶点对称轴、开口大小比较、图象性质探究|结合表格与图象分析，如通过多函数图象比较开口大小| |拓展层|几何综合、新定义问题|融合正方形、菱形等几何图形，如二次函数与菱形面积计算，培养推理意识|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.2二次函数的图象（第1课时) A 基础达标题 判断点是否在函数图象上 已知函数经过的点求参数 ①基础达标题 画出二次函数的图象】 二次函数的顶点，对称轴 二次函数图象探究 Qy=ax2函数的图象 二次函数与几何综合 ②能力提升题 二次函数中新定义类 ③拓展培优题 高分冲刺题型 题型一：判断点是否在y=ax2上 1.(25-26九年级上安徽合肥期末)下列各点在抛物线y=2x2上的是() A.0,2 B.1,2 c.-1,-2 D.以上都不对 2.（2526八年级下全国课后作业)下列各点在函数y=之X的图象上的是（） A.0,1 B.1,2 c.2,2 D.4,4 3.(2026上海金山.一模)在抛物线y=x2上的一个点是() A.1,2 B.1,-1 C.2,2 D.0,0 1/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26九年级上河南驻马店期中)函数y=-2x的图象不经过下列中的点() A.-1,-2 B.0,0 c.1,-2 D.2,8 5.(25-26九年级上·福建福州期中)下列各点在抛物线y=2x上的是() A.-2,1 B.2,-1 c.-1,-2 D.1,2 题型二：已知函数经过的点求参数 1. (2025九年级全国.专题练习)已知点A-3,a在抛物线y=-x2上. ()。的值为 (2)点A关于y轴的对称点B的坐标是什么？如果点A,B关于x轴的对称点分别为点C,D,请判断C,D两点 是否在抛物线y=x2上 2.(25-26九年级上·吉林松原阶段检测)已知抛物线y=ax经过点1,3. (1)求a的值： (2)当x=2时，求y的值. 3.(25-26九年级上·天津西青·阶段检测)已知抛物线y=ax经过点A-2,-8. (1)求此抛物线的函数解析式： (2)判断点B-1,-4是否在此抛物线上： (3)求出抛物线上纵坐标为-18的点的坐标， 4.（25-26九年级上山东淄博·阶段检测)己知函数 y=m+3X23m-2是关于x的二次函数. (1)求m的值： (2)当为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 5。(25-26九年级上：吉林松原阶段检测)已知y=k+2引X-7+10是二次函数，且当x<0时，y随x的增 大而增大. (1)求k的值： (2)若点M-5,n在此抛物线上，直接写出n的值. 2/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三：画出y=ax2的图象 1. (2526九年级上·北京课后作业)在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： ③y=2x2:④y=-2x2. -2 -1 0 1 2 @y- 2 2 0 1-2 ② -2 -1 2 0 2 -2 ③y=2x2 8 2 0 2 ④ -8 -2 0 -2 -8 y=-2x2 2.(25-26九年级上，北京课后作业)在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象. 0料 ②y=4x2: ④y=-4x2. … -2 -101 2 1 1 4 0 图象如下所示： 3.(25-26九年级上·北京课后作业)分别在同一坐标系内作出下列函数的图象. ayxy= 2 3/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)y=3x2, y-2.y -4 -2 0 2 4 8 2 0 2 8 -8 -2 0 -2 -8 -2 -1 0 1 2 y=3x2 12 3 0 3 12 y=-2x2 -8 -2 0 -2 -8 -6 -3 0 3 6 12 3 0 3 12 4. 2526九年级上北京课后作业)在同一平面直角坐标系中作出y专X、y三一号X和y三X的图象 5.（25-26九年级上，北京课后作业)在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x和y=x的图象，并指出 这两个函数图象的交点坐标， 5432192345六 X -2 -1 0 1 y=x -2 -1 0 1 2 y=x2 4 1 0 1 4 4/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型四：二次函数y=x的顶点，对称轴 1.(（25-26九年级下.全国课后作业)根据函数图象填空： (1)抛物线y=3x的对称轴是 ,顶点坐标是，当x 时，抛物线上的点都在x轴 的上方： (2)抛物线y=- X的开口向 ,除顶点外，抛物线上的点都在x轴的 方，它的顶点是 3 抛物线上的最 点 2.(25-26九年级上广西崇左阶段检测)抛物线y=x的对称轴方程是一，顶点坐标是 3.(25-26九年级上·江苏泰州阶段检测)已知二次函数 -2025俊上有两个不同的点Pt,引 1, 则t+t2 4.（24-25九年级上甘肃武威期中)二次函数、， 数y=aX(a≠0的图象是一，当。>0时，开口向：当 a<0时，开口向，顶点坐标是，对称轴是一 题型五：利用图象比较开口大小 1.(25-26九年级上内蒙古乌兰察布阶段检测)已知二次函数y=ax2,y=bx2,y=cx2,y=dx的图 象如图所示，则a,b,c,d的大小关系为 (用“>”连接)· VA y=ax v=bx2 V=Cx =dx2 2.(24-25九年级上山东临沂阶段检测)如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=ax;② 5/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=bx;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系为 y 1 x=1③④ 3.（2425九年级上甘肃武威：期中)在同一坐标系中，二次函数y,=0,x2y,=a,X”y,=0,X2的图象 如图所示，则a1,a2,a3的大小关系为 （用“>”连接). y yi=ax2 y2=a2x2 y3=axx2 4.(2025九年级全国专题练习)如图，四个函数图象对应的表达式分别为①y=ax,②y=bx2,③ y=cx2, y=dx2,则a,b,c,d的大小关系是 (用“>”连接). ①② 5.(24-25九年级上辽宁鞍山期中)已知四个二次函数的图像如图所示，那么a1,a2,a3,a4的大小关 系是（请用“>”连接排序） y个y=a,x /Y=ax2 y=ax 6/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型六：二次函数y=ax图象探究 1.(25-26九年级上北京阶段检测)小静根据学习函数的经验，对函数y= 1的图象与性质进行了 x-22 探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： )函数y= 1 的自变量，的取值范围是 x-22 (2)下表是y与x的几组对应值. 5 -1 0 1 3 3 4 y 1 1 4 m 4 4 表中的m= _ (3)如图，在平面直角坐标系x○y中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图 象，并写出一个该函数图象的性质 6 5 4 2 2-1,01234567 -2 -3 网结合函数图象，点Ao,y和点B5-a,y在函数y=的图象上，且y,广y,成立，则g的取值范 x-22 围是 2.（25-26九年级上·浙江·课后作业)如图为二次函数y=x的图象，请在同一坐标系中画出二次函数 y=2X和y=号x的图象，并回答下列问思。 7/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2 -1 0 1 y=x2 0 1 4 y=2x2 y 9 8 7 5 11+ 4 32 1 8-7-6-5-4-3-2-1Q 之34678 (1)二次函数y=2X和y= X图象的形状是一·开口向一，对称销是，项点坐标是_，在对称轴的左侧， y随x的增大而一；在对称轴的右侧，y随x的增大而-·当x=时，y有最_值为-· (2)如果a>0,a越大，即a越大.抛物线y=ax的开口越_（填“大”或“小”）. … -2 -1 0 1 2 y=x2 … 2 0 4 … y=2x2 P 0 8 2 1-2 0 2 2 3.(24-25九年级上.黑龙江绥化期末)已 y=k+2x:k4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而 增大 8/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 4 32 -5-4-3-219 345 3 (1)则k的值为；对称轴为 (2)已知，点A1,-1在该二次函数图象上，则点A在该图象上对称点的坐标为一 (3)请画出该函数图象，并根据图象写出当-2≤x<4时，y的范围为 -2 -1 2 4 y=-x2 -16 -4 -1 0 -1 -4 -16 4. （24-25九年级上四川泸州阶段检测)请按要求画出函数y=x的图象： y 5 3 2 -5-4-3-2-1 012345x 3 -3 -2-1 0 1 2 3 (1)列表并画出图象； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性与最值： 9/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -3 -2 -1 0 1 2 3 9 1 0 14 9 5. (25-26九年级上·福建南平阶段检测)用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映 1 出两个变量之间的函数关系. 请用描点法画函数y=2X的图象，并按照要求回答下列问题： -3 -2 -1 0 4.5 0.5 0 2 4.5 y个 9 8 7 5 3 2 -5-4-3-2-1 2345x (1)补齐上表； (2)在所给坐标系内描出表格中的点； (3)将上述各点用平滑曲线连线。 (4)由图象可知：当X=4时，y=_;当y<2时，x的取值范围是_， B 能力提升题 题型一：二次函数y=x2与几何综合 1.(2025九年级上全国.专题练习)如图，已知点A2,0、B6,0和C4,2,平移△ABC得到 △ABC,顶点A、B、C分别与顶点A、B、C对应如果点A、B都在抛物线y=号X2上，那么点C 10/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 到点。的距离是 0 B 2.(25-26九年级上·江苏苏州·期中)如图，正方形ABCD的顶点B,D在开口向上的二次函数y=ax的 图象上，点B在点D的左侧，点A在y轴正半轴上，设点B,D的横坐标分别为、，已知n-m=2,则 d= D B 3.(25-26九年级上·辽宁大连阶段检测)若抛物线y=ax上两点A和B,与原点O点围成等腰直角三角 形，且斜边ABx轴，AB=4.则a= VA 4.(25-26九年级上广东广州阶段检测)二次函数y=x的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正 半轴上，点B、C在二次函数y=x的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠BAC=60°，则菱形OBAC的 面积为· B 5.(25-26九年级上吉林长春阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，A1,2、B1,-1、C2,2,抛 11/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 物线y=aX1a≠0经过△ABC区域（包括边界），则a的取值范围是 (提示：两种情况) 31 2 A 1 -2-10 723x -1B -2 6.(25-26九年级上·浙江杭州阶段检测)如图，在平面直角坐标系中有M1,2,N3,3两点，如果抛物 线y=ax与线段MN没有公共点，则a的取值范围是 4 3 2F M 12 34 题型二：二次函数y=x2中新定义类 1.(25-26九年级上浙江-期中)在平面直角坐标系中，对于点AX1,y,Bx2,y,若满足 y+y2=tx+X2则称A'B两点互为“倍点”. (1)已知直线y=2x-3上的点B是点A的“2倍点”， ①若点A在x轴上，求点A的横坐标 ②若点A在抛物线y=x2上，求点A的坐标. (2)已知A2,0,若在抛物线y=x2-2x+8上存在唯一的点B是点A的“t倍点”，求t的值. 2.（2026四川德阳模拟预测)在平面直角坐标系中，将点p,a,b-a定义为点pa,b的“关联点”。 如图，点AX,y在函数y=x的图象上，点A的“关联点”是点A1. 12/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如果点A1在函数y=x2-2的图象上，求点A的坐标： 2将点p,a,b-a称为点Pa,b的“待定关联点”（其中n≠0）.如果点AX,y的“待定关联点”A,在 函数y=x2-n的图象上，试用含n的代数式表示点A的坐标. 3.（2025安徽淮准北三模)定义：若一个函数图像上至少存在两个点关于y轴对称，则称该函数为“纵轴 点对称函数”，对称点叫作“纵轴对称点”. (1)概念理解： ①请写出一个已学过的“纵轴点对称函数”： ②若函数y 4(x<0), 是“纵轴点对称函数”，请写出它的“纵轴对称点”· 4x2(x≥0) (2)概念应用： ①一次函数y=kx+b(k≠0)是否为“纵轴点对称函数”？请说明理由： ②已知函数y=aX+bx(a>0是“纵轴点对称函数”，与直线y=x+nm≠0'n>0》交于点 M(xyN(x,y2且x1+x,=xx若y=mx+n经过定点p:求点p的坐标. 4.(2025江西.二模)如图，抛物线的顶点为M,平行于x轴的直线与该抛物线交于点A,B(点A在点B 左侧)，根据对称性可知，△AMB为等腰三角形.我们规定：当△AMB为等腰直角三角形时，就称 △AMB为该抛物线的“完美三角形”· 13/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)与y=x的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是 (填序号) ①y=x2+1;②y=2x2;③y=x2-2 (2)若抛物线y=ax2+6的“完美三角形”的斜边长为8，求a的值： (3)若抛物线y=ax2+2的“完美三角形”的斜边长为m,抛物线y=bx2+3的“完美三角形”的斜边长为n, 且m=2n,求a与b的数量关系. 5.(24-25九年级上.北京阶段检测)在平面直角坐标系xOy中，对于已知的点P,Q,过点P分别作X轴 和y轴的垂线l1,12,记点Q到直线l1的距离为d1,点Q到直线l2的距离为d2,若d1≥d2,则点Q到点P的 “特征距离”为d1,若d1<d2,则点Q到点P的“特征距离”为d2. (1)已知点A-1,2 ①点B(2,3到点A的“特征距离”为 ②点c在函数y=X的图象上，若点c到点A的“特征距离”为1，则点c的坐标为 (2)已知点P-3,4,点Ea,0,F0,b为平面内的动点，其中a≤0，b≥0，且满足EF=2,以EF为边作 正方形EFGH(E、F、G、H按逆时针方向排列)，记线段GH上一动点Q到点P的“特征距离”为t, 直接写出t的最大值和最小值，以及相应的H点的坐标. 拓展培优题 1.(25-26九年级上浙江金华期末)已知三个二次函数的图象如图所示，那么Q1,a2,Q3的大小关系是 () 14/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1y,=a1x2 y:=a3x '2=a2x2 A.a1<a2<a3B.a3<a1<a2 C.a1<a3<a2 D.a3<a2<a1 2.(25-26九年级上·新疆昌吉期末)关于函数y=2x2,下列叙述错误的是() A.函数图象经过原点 B.函数图象的顶点坐标为0,0 C.函数图象开口向下 D.函数图象的对称轴为y轴 3.(2025云南楚雄模拟预测)如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A1,1,B3,1,Ca,4将 △ABC进行平移，平移后的△ABC的三个顶点都在抛物线y=X上，则a的值是(） 1,1)B(3,1) 0 A.2 B.-2 C.2或-2 D.0或4 4.(25-26九年级上河南新乡期中)有下列二次函数：①y=-3X:②y=子x,③y=- 31 4x2.在同一 平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是() A.①②③ B.①③② C.②③① D.②①③ 6。《2526九年级上海期中）下列关于抛物线yX和yX的关系的说法中，正确的是( A.它们的形状相同，开口方向也相同； B.它们都关于y轴对称： C.它们的顶点不相同： D.点-2,2既在抛物线y= 上也在y=上 15/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26八年级下.黑龙江绥化阶段检测)如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角 1 坐标系，作出函数y= 3术与y3X的图像，则阴影部分的面积是 7.（25-26九年级上·上海阶段检测)若抛物线 y=1-mx有最低点，则m的取值范围是 8.(25-26九年级上江苏南京阶段检测)定义：对于任意两点PX,y,小QX,y小我们称有序实数对 x,-X1,y,-y,为点Q关于点p的相对位置.现有两点4、B,若点A在抛物线y=aX上运动，点B关于点 A的相对位置为m,n,则点B的运动轨迹为 (用含a、、n的表达式来表示)， 9.(25-26九年级上江苏徐州期中)已知点A(3,5)、B(0,1),若点M在抛物线y= 子上运动则 AM+BM的最小值为 10.(2025九年级上江苏连云港.专题练习)如图，点A-2,1、B4,m在y=ax的图象上.直线AB与 y轴交于点C,连接OA、OB. v=ax (a=---m=—1 (2)求直线AB的函数表达式： (3)当-2<x<4时，y的取值范围为· 11.(2025九年级·全国.专题练习)如图，在平面直角坐标系中，四条直线X=1,x=2,y=1,y=2围成正 16/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方形ABCD 2 A D B 0 12x (1)若抛物线y=ax与正方形ABCD有公共点，求a的取值范围. (2)若抛物线y=ax与正方形ABCD没有公共点，则a的取值范围为 12.(25-26九年级上安徽安庆阶段检测)如图，点P、P、Q、Q在函数y=x的图像上，且点P、P和 点Q、Q分别关于y轴对称，点P的横坐标为1，点Q的纵坐标为4 (1)求点P的纵坐标和点Q的横坐标，并写出点P、Q的坐标； (2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数y=一x的图像. 17/17 1.2 二次函数的图象（第1课时） 题型一：判断点是否在y=ax2上 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列各点在抛物线上的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 通过将每个点的坐标代入验证是否成立即可． 【详解】A：当时，，点不在抛物线上，故A错误； B：当时，，点在抛物线上，故B正确； C：当时，， 点不在抛物线上，故C错误； D：B说法正确，故D错误． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 3．（2026·上海金山·一模）在抛物线上的一个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上的点，根据二次函数图象上的点的横纵坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，；当时，； 故只有D选项的点在抛物线上，符合题意； 故选D． 4．（25-26九年级上·河南驻马店·期中）函数的图象不经过下列中的点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上的点，明确点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 通过将各点的x坐标代入函数解析式，计算对应的y值，与给定y值比较，判断点是否在图象上． 【详解】解：∵ 函数解析式为 ， A ：，当时，，点在图象上，此选项不符合题意； B：，当时，，点在图象上，此选项不符合题意； C：，当时，，与给定y值一致，点在图象上，此选项不符合题意； D：，当时，，点不在图象上，此选项符合题意． 故选：D． 5．（25-26九年级上·福建福州·期中）下列各点在抛物线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征：点的坐标需满足函数解析式．将每个点的x坐标代入抛物线方程计算对应的y值，与点的y坐标比较，判断是否在抛物线上． 【详解】解：∵抛物线方程为， A项：对于点：当 时，，∴点不在抛物线上； B项：对于点：当时，，∴点不在抛物线上； C项：对于点：当时，，∴点不在抛物线上； D项：对于点：当时，，∴点在抛物线上， 故选：D． 题型二：已知函数经过的点求参数 1．（2025九年级·全国·专题练习）已知点在抛物线上． (1)的值为______． (2)点关于轴的对称点的坐标是什么？如果点关于轴的对称点分别为点，请判断两点是否在抛物线上． 【答案】(1) (2)点的坐标是；两点在抛物线上 【分析】（1）将点代入，即可求出的值； （2）由（1）可知，点的坐标是，分别求出点、、的坐标，然后判断两点是否在抛物线上即可． 【详解】（1）解：将点代入得，， 故答案为：． （2）解：由（1）可知，点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标分别为． 对于抛物线，当时，；当时，， 两点在抛物线上． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（25-26九年级上·吉林松原·阶段检测）已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式． （1）把点代入抛物线解析式，借助于方程可以求得a的值； （2）把代入函数解析式即可求得相应的y的值． 【详解】（1）解：把点代入抛物线，得，， 解得； （2）解：由（1）知，，则该抛物线解析式为：． 把代入，得， 即． 3．（25-26九年级上·天津西青·阶段检测）已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】(1)； (2)点B不在此抛物线中； (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及二次函数的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，此题难度不大． 把点代入抛物线中求得a的值，即可求得此抛物线的解析式； 把代入此函数解析式即可判断； 把代入抛物线的解析式中求得x的值即可． 【详解】（1）抛物线经过点， 把点代入抛物线中：， ， 此抛物线的函数解析式为：； （2）当时，， 点不在此抛物线上； （3）此抛物线上一点的纵坐标为， 把代入此抛物线中得：， ， 此抛物线上纵坐标为的点的坐标为或． 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，该函数图象的开口向下 (3)当时，最小值为 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ，即 ∵抛物线顶点坐标为， ∴该函数最小值为． 5．（25-26九年级上·吉林松原·阶段检测）已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． (1)求k的值； (2)若点在此抛物线上，直接写出n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的定义以及性质，解题的关键是掌握二次函数的定义以及性质． （1）根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出函数解析式； （2）将代入解析式即可求解. 【详解】（1）解：∵是二次函数，且当时，y随x的增大而增大，得 ， 解得：或（舍去）， 答: （2）由可得：二次函数的解析式为， 当时，， 即 题型三：画出y=ax2的图象 1．（25-26九年级上·北京·课后作业）在同一个平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： ①；②；③；④． 【答案】见解答 【分析】本题考查画二次函数的图象，在对称轴两侧分别取点，描点，连线即可． 【详解】解：二次函数①；②；③；④的对称轴都为y轴， 在对称轴两侧分别取点，列表如下： 0 1 2 ① 2 0 2 ② 0 ③ 8 2 0 2 8 ④ 0 描点、连线可得图象为： 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象． ①； ②； ③； ④． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键；因此此题可根据列表、描点、连线的方法分别取原点及左右对称的四个点绘制函数图象． 【详解】解：函数列表如下： x …… 0 1 2 …… y …… 1 0 1 …… 图象如下所示： 同理可分别作出②③④的函数图象如图所示． 3．（25-26九年级上·北京·课后作业）分别在同一坐标系内作出下列函数的图象． (1)，； (2)，，． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查二次函数的图象，用描点法画函数图象． （1）根据描点法，可得，的函数图象； （2）根据描点法，可得，，的函数图象． 【详解】（1）解：各取个点，坐标如下： 在平面直角坐标系中，画出，的图象： （2）解：各取个点，坐标如下： 在平面直角坐标系中，画出y＝3x2，y＝﹣2x2，yx2的图象， 4．（25-26九年级上·北京·课后作业）在同一平面直角坐标系中作出、和的图象． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了运用描点法画函数图象、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 利用列表、描点、连线画出函数、的图象，再根据的图象和的图象关于x轴对称作图即可，． 【详解】解：观察三个函数表达式可知，三个函数图象都以y轴为对称轴，都以坐标原点为顶点． 函数图象如图所示： 5．（25-26九年级上·北京·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出函数和的图象，并指出这两个函数图象的交点坐标． 【答案】画图见解析， 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的图象，熟练掌握一次函数与二次函数图象的画法是解题的关键；利用描点法作出两种函数的图象后直接写出交点坐标即可． 【详解】解：列表得： 0 1 2 0 1 2 4 1 0 1 4 函数图象如图所示： 由图象可知：交点坐标为． 题型四：二次函数y=ax2的顶点，对称轴 1．（25-26九年级下·全国·课后作业）根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 2．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）抛物线的对称轴方程是___，顶点坐标是___． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握形如的抛物线对称轴方程是，顶点坐标为原点是解题的关键． 根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：对于抛物线，其中，则对称轴方程是，顶点坐标是． 故答案为：；． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知二次函数图像上有两个不同的点 ，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．根据解析式可得对称轴为轴，再由、两点的纵坐标相同可得点、关于轴对称，据此可得答案. 【详解】解：对于二次函数，对称轴为轴， 点 ，纵坐标相等， 点、关于轴对称， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）二次函数的图象是____，当时，开口向____；当时，开口向____，顶点坐标是____，对称轴是____． 【答案】 抛物线 上 下 y轴 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 根据二次函数图象的开口方向与二次项系数的关系，以及二次函数的图象和性质可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，当时，开口向上，当时，开口向下，顶点坐标是，对称轴是y轴， 故答案为：抛物线，上，下，，y轴． 题型五：利用图象比较开口大小 1．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）已知二次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系为________（用“>”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此可根据“当时，开口向上，当时，开口向下，越大，开口也就越小”进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：； 故答案为． 2．（24-25九年级上·山东临沂·阶段检测）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【详解】解：直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为________（用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小，据此解答即可． 【详解】解：∵抛物线皆开口向上， ∴各二次函数中的二次项系数都为正数， ∵二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小， ∴． 故答案为：． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图，四个函数图象对应的表达式分别为①，②，③，④ ，则a，b，c，d的大小关系是___________（用“>”连接）． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数图象，解题的关键是采用取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小 【详解】解：∵直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ∴， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）已知四个二次函数的图像如图所示，那么，，，的大小关系是_____（请用“”连接排序） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次项系数与图像的关系是解题的关键． 直接利用二次函数的图像开口大小与a的关系即可得出答案． 【详解】解：根据图像可知，的图像和的图像的开口向上，且的图像的开口小于的图像的开口， ∴， 根据图像可知，的图像和的图像的开口向下，且的图像的开口大于的图像的开口， ∴， ∴． 故答案为：． 题型六：二次函数y=ax2图象探究 1．（25-26九年级上·北京·阶段检测）小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是________； (2)下表是与的几组对应值． … 0 1 3 4 … … 1 4 1 … 表中的________； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数图象的性质________； (4)结合函数图象，点和点在函数的图象上，且成立，则的取值范围是________． 【答案】(1) (2)4 (3)作图见解析，函数图象关于直线对称（答案不唯一，正确即可） (4)或 【分析】（1）根据分式的分母不等于零求解即可； （2）将代入求解即可； （3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；观察图象即可得出该函数的性质； （4）由图象可得，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．图象上的点离对称轴越近，相应的函数值越大．根据点A与点B位于图象的位置分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的自变量x应满足，即， ∴函数的自变量的取值范围是． 故答案为：； （2）解：当时，， 即． 故答案为：4； （3）解：如图所示， 由图象可得，函数图象关于直线对称（答案不唯一，正确即可）； （4）解：由图象可得，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．图象上的点离对称轴越近，相应的函数值越大． ∴①若点和点都在函数图象的左半支上，要使，则 ，该不等式组无解； ②若点和点都在函数图象的右半支上，要使，则 ，解得； ③若点在函数图象的左半支上，点在函数图象的右半支上，要使，则 ，解得； ③若点在函数图象的右半支上，点在函数图象的左半支上，要使，则 ，该不等式组无解； 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】此题考查函数的图象和性质，函数的自变量的取值范围，分式有意义的条件，求函数值，画函数图象，比较函数值大小等知识，掌握相关知识，运用数形结合思想，分类讨论思想是解题的关键． 2．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图为二次函数的图象，请在同一坐标系中画出二次函数和的图象，并回答下列问题． x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … … … … (1)二次函数和图象的形状是 ．开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．当x＝ 时，y有最 值为 ． (2)如果，a越大，即越大．抛物线的开口越 （填“大”或“小”）． 【答案】(1)抛物线，上，y轴，，减小，增大，0，小，0； (2)小 【分析】本题结合图象考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题． 先列表，描点、连线作出函数的图象． （1）根据画出的函数图象并结合其性质即可求解； （2）根据图象即可得到结论． 【详解】（1）列表： x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 4 … … 8 2 0 2 8 … … 2 0 2 … 描点、连线画出函数的图象如图： 二次函数和图象的形状是抛物线．开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是．在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．当时，y有最小值为0． （2）解：由图象可知，如果，a越大，即越大．抛物线的开口越小． 3．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)则的值为______；对称轴为______； (2)已知，点在该二次函数图象上，则点在该图象上对称点的坐标为______； (3)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【答案】(1)，轴； (2)； (3)画图见解析，． 【分析】（）根据二次函数的定义先求出，，然后由当时，随的增大而增大，则有，然后根据二次函数的性质即可求解； （）据二次函数的性质即可求解； （）根据列表，描点，连线的方法即可出图象，再由图象即可求出的取值范围； 本题考查求二次函数的定义，二次函数的性质，画二次函数图象，根据二次函数与不等式的关系结合图象求解，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， 解得：，， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，即轴， 故答案为：，轴； （2）解：∵点在该二次函数图象上，对称轴为直线，即轴， ∴点在该图象上对称点的坐标为， 故答案为：； （3）解：列表： 如图， 根据图象可知：当时， ∴的取值范围， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·四川泸州·阶段检测）请按要求画出函数的图象： x …… 0 1 2 3 y …… (1)列表并画出图象； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性与最值； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】该题主要考查了描点法画函数图象，二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性，解题的关键是画出函数图象． （1）利用描点法可画出函数图象； （2）再结合图象可求得开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性． 【详解】（1）解：列表如下： x …… 0 1 2 3 y …… 9 4 1 0 1 4 9 描点、连线，画出图象如下： （2）解：根据图象可得： 抛物线的开口方向向上；顶点坐标为；对称轴为y轴；函数有最小值0，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 5．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点法画函数的图象，并按照要求回答下列问题： x … 0 1 2 3 … y … 4.5 0.5 0 2 4.5 …    (1)补齐上表； (2)在所给坐标系内描出表格中的点； (3)将上述各点用平滑曲线连线． (4)由图象可知：当时， ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析； (4)8，； 【分析】（1）根据计算填空即可； （2）在坐标系内描点即可； （3）将各点用平滑曲线连接即可； （4）通过图象可知：当时，图象上对应点的纵坐标即为答案；当时，可直接写出的取值范围． 【详解】（1）当时，； 当时，； 故答案为：． （2）描点如下图． （3）用平滑曲线连线如下图．    （4）由图象可知： 当时，； 当时，． 【点睛】本题考查二次函数的性质、图象，及图象上点的坐标的特征．描点并作图是学习函数部分必备的基本能力，一定要熟练掌握． 题型一：二次函数y=ax2与几何综合 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得、的值，进而求出点到点的距离即可． 【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形ABCD的顶点B，D在开口向上的二次函数的图象上，点B在点D的左侧，点A在y轴正半轴上，设点B，D的横坐标分别为m、n，已知，则________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，过点B作轴于点F，过点D作轴于点E，结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得，进而求解即可．解题的关键是构造全等三角形． 【详解】解：过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示： ∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上， ， ． ∵四边形是正方形， ，， ． ， ， ，， ，， ， ， ∵点B，D在y轴的同侧， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）若抛物线上两点和，与原点点围成等腰直角三角形，且斜边轴，．则_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，求二次函数的解析式．由题意得到两点关于轴对称的解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质，且斜边轴，即可得到两点关于轴对称，再由的长度即可求出点的坐标，最后利用待定系数法即可求出的值． 【详解】解：是等腰直角三角形，且斜边轴， 轴垂直平分线段， 两点关于轴对称， ， ， 把代入中，解得． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）二次函数的图象如图，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，解含有的直角三角形，以及二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出的点B的坐标是解决本题的关键． 设点，根据，可得，再根据勾股定理与含有的直角三角形求解出a与b的关系，由此可得与的长度，再由菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接交于点D，如图， 设点，即，， ∵四边形为菱形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即，即点， ∵点B在二次函数上， ∴，解得，（舍）， 即，， ∴，， ∴菱形的面积为． 故答案为： ． 5．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，、、，抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是__________（提示：两种情况） 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．二次函数的二次项系数决定了抛物线开口的方向和开口的大小，，开口向上，，开口向下，越大，开口越小，据此分两种情况讨论即可． 【详解】解：如图所示： 分两种情况进行讨论： 当时， 抛物线经过点时，，抛物线的开口最小，取得最大值， 抛物线经过区域（包括边界）， 的取值范围是：； 当时， 抛物线经过点时，，抛物线的开口最小，取得最小值， 抛物线经过区域（包括边界）， 的取值范围是：； 综上，抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是或， 故答案为：或． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是__________． 【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．分别把M、N点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 【详解】解：当时， 把点代入，得； 把点代入，得， 如图： ∵如果抛物线与线段没有公共点， ∴a的取值范围为或． 当时。抛物线开口向下，与线段没有公共点， 综上，a的取值范围是或或． 故答案为：或或． 题型二：二次函数y=ax2中新定义类 1．（25-26九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，，若满足，则称，两点互为“倍点”． (1)已知直线上的点是点的“2倍点”， ①若点在轴上，求点的横坐标． ②若点在抛物线上，求点的坐标． (2)已知，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”，求的值． 【答案】(1)①；②点的坐标或 (2)2或  − 14 【分析】本题考查解一元一次方程，二次函数性质，解一元二次方程，根的判别式等． （1）①设，点，根据题意列式计算即可求出本题答案；②设点，列式，整理得，解出即可； （2）设点，再列式，利用根的判别式即可求出本题答案． 【详解】（1）解：①∵直线上的点是点的“2倍点”， ∴设，点， ，解得：， ②∵点在抛物线上， ∴设点，，即，解得，． 点的坐标或； （2）解：∵，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”， ∴设点， 有唯一解， 即， ，解得，． 即的值为2或． 2．（2026·四川德阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换规则与函数图象上点的坐标满足函数解析式等知识，解题关键是依据“关联点”“待定关联点”的定义确定新点坐标，再利用函数图象上点的坐标满足函数解析式这一性质列等式求解． （1）根据关联点的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入, 得到，解得，即可求得点的坐标； （2）根据待定关联点的定义和图象上点的坐标特征得到然后代入, 得到, 解得, 即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意，得点的关联点为， 由点在抛物线上，可得 又在抛物线上， ， 解得， 将代入得， 点的坐标为； （2）点的待定关联点为 在抛物线的图象上， ， ， 又， ， 当时，， 点的坐标为. 3．（2025·安徽淮北·三模）定义：若一个函数图像上至少存在两个点关于y轴对称，则称该函数为“纵轴点对称函数”，对称点叫作“纵轴对称点”． (1)概念理解： ①请写出一个已学过的“纵轴点对称函数”：________； ②若函数是“纵轴点对称函数”，请写出它的“纵轴对称点”． (2)概念应用： ①一次函数是否为“纵轴点对称函数”？请说明理由； ②已知函数是“纵轴点对称函数”，与直线（，）交于点，，且．若经过定点，求点的坐标． 【答案】(1)①（答案不唯一）②和 (2)①不是，理由如下： 设点、均在直线上， 则两式相减，得． ， ，此时点和点为同一个点， 故不是“纵轴点对称函数”； ② 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点坐标变换规律，二次函数与一次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活运用所学的知识是解题的关键． （1）①根据“纵轴对称点”的定义以及二次函数的性质，写出一个对称轴为轴的二次函数，即可求解； ②根据关于轴对称的点的坐标特征，设对称点为和，分别代入反比例函数和二次函数，求得的值，即可求解； （2）①设点、均在直线上，得出，则点和点为同一个点，即可判断不是“纵轴点对称函数”； ②若函数是“纵轴点对称函数”，则，得出，根据点，均为抛物线与直线的交点，得出、是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而可得当时，，即可得出定点的坐标． 【详解】（1）解：①根据“纵轴对称点”的定义以及二次函数的性质，对称轴为轴的二次函数，都符合题意， 故答案为：（答案不唯一）； ②设对称点为和，则，， ，解得， 当时，，所以纵坐标对称点坐标为和． （2）①略； ②若函数是“纵轴点对称函数”，则， ． 当时，， 点，均为抛物线与直线的交点， 、是方程的两根， ，， ， ， ， ， 当时，， 点的坐标为． 4．（2025·江西·二模）如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”． (1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号） ①；②；③ (2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值； (3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)； (3)． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰直角三角形的性质． （1）根据抛物线的性质得出二次项系数相同抛物线的“完美三角形”全等，据此求解即可； （2）由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数的性质得出的值，然后得出，由此列出方程，求解即可； （3）由（2）的结论，列式整理即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线①；③的形状与抛物线相同， ∴抛物线和与的“完美三角形”的斜边长相等； 故答案为：①③； （2）解：设交轴于， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设点坐标为，代入抛物线， 得， ∴，（舍去）， ∴， ∴， ∵抛物线与抛物线的形状相同， ∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等， ∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为8， ∴，∴； （3）解：由（2）知抛物线的“完美三角形”的斜边长为， 抛物线的“完美三角形”的斜边长为， ∵， ∴， 整理得． 5．（24-25九年级上·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于已知的点，，过点分别作轴和轴的垂线，，记点到直线的距离为，点到直线的距离为，若，则点到点的“特征距离”为，若，则点到点的“特征距离”为． (1)已知点 ①点到点的“特征距离”为________； ②点在函数的图象上，若点到点的“特征距离”为1，则点的坐标为________； (2)已知点，点，为平面内的动点，其中，，且满足，以为边作正方形（、、、按逆时针方向排列），记线段上一动点到点的“特征距离”为，直接写出的最大值和最小值，以及相应的点的坐标． 【答案】(1) 3 或 (2)当时，到点的“特征距离”最大，此时；当，到点的“特征距离”最小， 【分析】（1）①分别求出，，然后比较即可得到答案； ②设，分和两种情况进行讨论求解即可； （2）当时，过点H作轴于点D；先证明，得到，，，，同理可以求出；当且Q与G重合时，此时Q到P的特征距离最小，从而可求得的值，进而由勾股定理求得b的值；当时，E与原点重合，H在x轴上，且Q点与H点重合时，此时求得特征值的最大值． 【详解】（1）解：①∵， ∴直线为，直线为； ∵， ∴，， ∵， ∴点到点的“特征距离”为3； 故答案为：3； ②设，则，； 当时， 即， 解得：或， 而当或时， 则， 故不符合题意； 当时， 即， ∴或 解得：或； 当或时，，不符合题意， 故或， 则或； 故答案为：或； （2）解：当时，过点H作轴于点D，如图； ∴； 由题意可得； ∵四边形是正方形， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 同理可以求出； 当正方形运动时，随着点Q由H向G运动过程中，增大，减小，且，再到，继续运动时，则， 显然当且Q与G重合时，到点的“特征距离”最小，即t最小； 此时， ∴， 解得：； 在中，由勾股定理得：， 则，t的最小值为； 当时，如图所示， 当E与原点重合，H在x轴上，且Q点与H点重合时，此时特征值有最大值4， ∴此时； 综上，当时，到点的“特征距离”最大，此时；当，到点的“特征距离”最小，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数的图象与性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 2．（25-26九年级上·新疆昌吉·期末）关于函数，下列叙述错误的是（   ） A．函数图象经过原点 B．函数图象的顶点坐标为 C．函数图象开口向下 D．函数图象的对称轴为y轴 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，由表达式得到二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，由此即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标为，图象经过原点，故选项AB正确，不符合题意， ，二次函数开口向上，C选项错误，符合题意； 对称轴为y轴，选项D正确，不符合题意， 故选：C． 3．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，的三个顶点的坐标分别为，，将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上，则a的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．0或4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的变化——平移，观察坐标特征得出平移的方向和距离是解题的关键．根据A、B点的坐标特征可知向左平移2个单位满足题意，则平移后的C点的坐标为，代入抛物线解析式，即可求得a的值． 【详解】解：，，轴， 将进行平移，平移后的的三个顶点都在抛物线上， 向左平移2个单位满足题意， 平移后的C点的坐标为， 代入得，，解得或4， 故选：D． 4．（25-26九年级上·河南新乡·期中）有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小．比较三个函数的值即可得出开口大小顺序． 【详解】解：二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小， 对于①，； 对于②， ； 对于③， ． 从小到大为：②③①， 故开口从大到小为：②③①，即②③①． 故选：C． 5．（25-26九年级上·上海·期中）下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（   ） A．它们的形状相同，开口方向也相同； B．它们都关于y轴对称； C．它们的顶点不相同； D．点既在抛物线上也在上． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可． 【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等， ∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误； 它们的对称轴都是y轴，故B正确； 它们的顶点都是，故C错误； 把代入得：， ∴点在抛物线上， 把代入得：， ∴点不在抛物线上，故D错误． 故选：B． 6．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 7．（25-26九年级上·上海·阶段检测）若抛物线有最低点，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象开口的方向与二次项系数的关系是解题的关键． 根据题意，函数有最低点可知二次函数图象开口向上，由此解出答案． 【详解】解：抛物线有最低点， 二次函数图象开口向上，即，解得． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）定义：对于任意两点，，我们称有序实数对为点关于点的相对位置．现有两点A、B，若点在抛物线上运动，点关于点的相对位置为，则点的运动轨迹为________（用含a、m、n的表达式来表示）． 【答案】 【分析】本题考查了相对位置，二次函数点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设点的坐标为，则，根据相对位置的定义，，，然后通过坐标变换即可得到点的轨迹方程． 【详解】解：设点的坐标为，则； ∵点关于点的相对位置为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动轨迹为：． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知点、，若点M在抛物线上运动，则的最小值为________． 【答案】6 【分析】本题考查二次函数的性质与图象，解题关键是找出抛物线上的点到点B的距离的特点． 设点，用含m代数式表示，可得点M到点B的距离与点M到直线的距离相等，进而求解． 【详解】解：设点M的横坐标为m，则点，即点M到x轴距离为， ∴点M到直线的距离为， ∵， ∴点M到点B的距离与点M到直线的距离相等， ∵点A横坐标为， ∴当点M为直线与抛物线的交点时，最小， 如图，设直线与直线交点， ∴最小值为，． 故答案为： 6． 10．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）观察图象，利用数形结合法求解即可； 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 11．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四条直线围成正方形． (1)若抛物线与正方形有公共点，求的取值范围． (2)若抛物线与正方形没有公共点，则的取值范围为______ 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据抛物线经过点时，可得抛物线中的值最大，抛物线经过点时，可得抛物线中的值最小； （2）根据抛物线与正方形没有公共点，可得抛物线中值大于抛物线经过点时的值，抛物线中值小于抛物线经过点时的值． 【详解】（1）解：由越大，抛物线开口越小，得抛物线经过点时，的值最大；拋物线经过点时，的值最小． ，解得． ，解得． 综上所述，当抛物线与正方形有公共点时，的取值范围是． （2）解：由（1）得，当或时，开口向上的抛物线与正方形没有公共点； 当时，抛物线开口向下，抛物线与正方形没有公共点， 综上所述：当或或时，抛物线与正方形没有公共点． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了二次函数的性质：越大，抛物线开口越小． 12．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 (2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 【答案】(1)点的纵坐标为，点的横坐标为，， (2)图见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键． （1）根据点在函数的图像上，可得点的坐标，再根据点的纵坐标为和点、分别关于轴对称即可得解； （2）根据二次函数的对称性进行画图即可． 【详解】（1）解：点在函数的图像上， 当时，， ， 点的纵坐标为， 点、关于轴对称， , 点在函数的图像上，点、关于轴对称， 当时，， 解得， 、， 点的横坐标为； （2）解：∵和关于x轴对称， ∴画图如下所示 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $