精品解析：广东广雅中学2025-2026学年第二学期高一数学期末质量检测试卷

2025学年第二学期高一级数学期末质量检测 命题人：荔湾校区高一数学备课组 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内； 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案； 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，虚数单位的幂次具有周期性，周期为4，所以， 所以，所以. 2. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据斜二测画法的性质，原图形面积与直观图面积满足关系. 本题中直观图是边长为的正方形，因此直观图面积. 代入公式得原图形面积. 3. 已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将向量和的模长平方求得两向量的数量积，再代入投影向量公式计算即可. 【详解】已知，为单位向量，故. 又，所以，即，所以. 所以向量在向量上的投影向量为. 4. 已知，，为不同的直线，，，为不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，，则，至少有一条与直线垂直 【答案】C 【解析】 【详解】对于选项A：因为，，则， 且，所以，故A正确； 对于选项B：若，，，如图所示， 设，，过直线上一点在平面内作直线， 由面面垂直的性质可知， 同理过在平面内作直线，则， 因为过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，所以重合， 即重合为平面和的交线，所以，故B正确； 对于选项C：若，，，则或异面，故C错误； 对于选项D：若，，，，，如图所示， 假设与不垂直，过直线任一点在平面内作直线，因为， 所以，又，则， 又因为，则是平面内两相交直线，因此，而，所以， 即直线中如果有一条不与垂直，则另一条必定与直线垂直，故D正确. 5. 某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为4的直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的结构特点以及侧面积公式求解即可, 【详解】因为圆锥的轴截面是等腰三角形，且轴截面是直角三角形，因此轴截面是等腰直角三角形. 设母线长为，底面圆半径为，则，化简得. 轴截面面积，解得，进而 圆锥侧面积为. 6. 设一组样本数据的极差为，方差为，若数据的极差为，则数据的方差为（ ） A. 0.02 B. C. 0.2 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【详解】设原样本数据的最大值为，最小值为，则， 所以数据的极差为， 所以， 根据方差的线性变换性质可知数据的方差. 7. 在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，若平面，则三棱锥与三棱柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交于点，连接，由线面平行的性质定理得，进而得，利用相似得，进而得，利用体积公式即可求解. 【详解】连接，交于点，连接， 由平面，平面，平面平面， 所以，所以， 又，是棱的中点，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 所以，， 又， 所以. 8. 已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意建立直角坐标系，设外接圆的半径，从而求得所需各点坐标，进而利用向量相等求得点坐标，代入外接圆的方程得到，由此利用基本不等式即可得解. 【详解】以边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图， （为边的中点），由外接圆的性质得， 因为为锐角且，所以， 设外接圆的半径，则， 因为，所以，， 所以，，，设， 则外接圆的方程为：， 因为， 所以. 则，解得， 则， 代入外接圆方程得： ，整理得：， 由基本不等式得：，当且仅当取等号. 化简得：，解得或， 由图知：，所以，故的最大值为. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分． 9. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球．设事件为“第一次摸出球的编号为奇数”，事件为“摸出的两个球的编号之和为5”，则（ ） A. 事件与事件为互斥事件 B. 事件与事件为独立事件 C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】从4个球中不放回地摸出两个球，共有种. 事件：“第一次摸出球的编号为奇数”，共有种，则； 事件：“摸出的两个球的编号之和为5”，有，，，这4种情况，则； 事件：“第一次摸出球的编号为奇数且摸出的两个球的编号之和为5”，有，这2种情况，则. 对于A，由，得事件与事件不是互斥事件，故A错误； 对于B，由，，，得，即事件与事件为独立事件，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 10. 已知的内角、、所对的边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若面积为，，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为直角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】A可根据正弦定理将角的正弦值转化为边的关系，再根据大边对大角判断即可；B可根据三角形面积公式和余弦定理求出角；C可根据三角函数的诱导公式和两角和的正切公式判断角的正负；D可根据正弦定理和同角三角函数的基本关系判断角的关系. 【详解】A，根据正弦定理（为外接圆半径），可得，， 由已知，即，又，所以， 根据三角形大边对大角的性质，可得，故A正确； B，已知，根据三角形面积公式及余弦定理， 即，所以， 化简得，即，又，所以，故B正确； C，因为，所以，则， 根据两角和的正切公式， 所以，移项可得， 即， 又，即， 因为、、为的内角，所以、、中必有一个小于0， 即、、中必有一个为钝角，所以为钝角三角形，故C正确； D，因为，根据正弦定理可得，即， 因为，所以，所以，即， 又，所以，所以或， 当时，可得，所以，所以为直角三角形， 当时，可得，所以，所以为钝角三角形，故D错误. 11. 正方体的棱长为2，为空间内一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当在线段上时，三棱锥的体积为定值 B. 当为中点时，过，，三点作正方体的截面，则截面的面积为5 C. 当在底面内（包括边界），满足直线与面所成角为60°的点的轨迹长度为 D. 若，当三棱锥体积最大时，该三棱锥外接球的表面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，应用三棱锥体积公式结合线面平行判断；对于B，应用截面结合边长计算判断；对于C，过作平面，则就是直线与上底面所成角，可得，即点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧上即可求解；对于D，利用三棱柱外接球性质结合球的表面积公式求解. 【详解】对于A，当在线段上时，设到平面的距离为，，不在平面内，平面，所以平面， 所以到平面的距离为是定值， 所以三棱锥的体积为 为定值，A选项正确； 对于C，过作平面， 则就是直线与上底面所成角， ，则， 所以点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧上，圆心角为， 所以点P的轨迹长度为，故C正确； 对于B，当P为中点时，设中点为，，所以四边形为平行四边形， 即四边形为截面Ω， 在中，，， 所以截面的面积为，故B不正确； 对于D，在正方体中， ，所以，所以，所以， 所以P为为直径的球面， 当到平面距离最大时，即在底面的射影是的中点时，三棱锥体积最大时， 在中，， 过作取平面，垂足为，连接，三棱锥的外接球也是三棱柱的外接球， 则三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积，故D正确； 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 从小到大排列的5个数分别是1，，4，7，11，它们的40%分位数是3，则它们的平均数是______． 【答案】 5 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求出参数的值，再代入计算5个数据的平均数. 【详解】已知数据个数，则所对应位置， 所以分位数为，解得， 所以这五个数的平均数为. 13. 在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意建立直角坐标系，把转化为，利用二次函数求最值即可. 【详解】   如图所示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则：、 不妨设 则 ∴， ∴的最小值为，当且仅当时取得. 14. 如图，在中，，，，，，分别为三边中点，将，，分别沿，，向上折起，使，，重合为点，设三棱锥的外接球为球，为中点，则过点的平面被球所截得的截面面积最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将三棱锥补充成一个长方体，进而求出该长方体的外接球的半径，最后求出过点与垂直的小圆面积即可. 【详解】由题意可知，，，， 即三棱锥的对棱相等，先将三棱锥补充成长方体，如图所示： 因为，解得， 所以， 设三棱锥的外接球球心为，半径为，则直径为，半径， 由题意可知、分别是、的中点，所以， 所以过点的平面被球所截得的截面小圆半径. 所以过点的平面被球所截得的截面为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，平行四边形中，与相交于点，设向量，，且，． （1）用，表示，，． （2）若，，，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对角线中点性质，结合向量线性运算即可分解得到目标向量； （2）由垂直向量数量积为0，代入表达式，结合数量积定义即可求解. 【小问1详解】 平行四边形中，. 又因，则， 故； 因，则， 故.  . 【小问2详解】 设与的夹角为，由得， 即， 已知，，整理得，解得. 因此与的夹角的余弦值. 16. 某中学举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取300人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数（结果保留整数） （2）若甲、乙两位同学组队进入复赛闯关，复赛共两轮答题，每轮每人各答1题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，甲、乙每轮是否答对互不影响，甲乙两轮共答对至少3题则组队闯关成功，求甲乙组队闯关成功的概率． 【答案】（1），中位数约为； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用频率之和为1求出，再估算初赛成绩的中位数. （2）根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式求解. 【小问1详解】 依题意，，则； 由，， 得初赛成绩的中位数，则，解得， 所以，初赛成绩的中位数约为73. 【小问2详解】 甲乙两轮共答对至少3题的事件为，甲答对两题乙答对一题的事件为，甲答对一题乙答对 两题的事件为，甲答对两题乙答对两题的事件为，彼此互斥，且， ， 因此， 所以甲乙组队闯关成功的概率是. 17. 如图1所示，在中，，，点，分别在线段，上，且，．如图2所示，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为，连接，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1），， ， ，又平面，平面， 平面； （2）由题意可知，在中，，. 因为，所以. 翻折后垂直关系没变，仍有，， 又平面，所以平面. 又平面，所以. 又因为，， 所以是二面角的平面角. 所以. 令，则，在中， 由余弦定理得. 所以，即. 又因为，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再由线面平行的判定即可证明； （2）由题可得平面，即得，再由勾股定理可得，即可得证； （3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，利用等体积法求出，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设， 则，， 由（2）知平面，平面， ，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， ， 解得， ． 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，为边上一点． （1）求； （2）若是的平分线，，的周长为15，求的长度； （3）若，设，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理即可求解； （2）由角平分线得，进而得，利用三角形的周长结合余弦定理即可求解； （3）由，可得，通过两边平方可得，结合角的范围可求解. 【小问1详解】 由余弦定理得：， 化简整理得：， 又由余弦定理得：， 又， 所以； 【小问2详解】 由是的平分线，所以， 所以， 所以， 所以， 又，的周长为15，所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以， 所以； 【小问3详解】 由，所以，所以， 所以， 所以， 所以， 又， 所以， 由正弦定理得：， 所以 ， 所以， 又，所以， 所以， 所以，即， 所以的取值范围为. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接． （1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）已知直线与直线所成角的余弦值为． ①求四棱锥在顶点处的离散曲率； ②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值． 【答案】（1）2 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）利用多面体在各顶点处的离散曲率计算公式计算即得； （2）①过点作交于，连接，可推得即为直线与直线所成角或其补角，依次求出，，利用求出，即得利用离散曲率计算公式即可求得； ②先证明平面平面，过作于，过作于，连接，证明平面，可推得为与平面所成角，为二面角的平面角，即，计算得到，利用差角的正切公式化简得到，借助于基本不等式即可求得其最大值. 【小问1详解】 因为，，，内角和均为，四边形内角和为， 则四棱锥在各顶点处的离散曲率和为； 【小问2详解】 ① 过点作交于，连接， 则即为直线与直线所成角或其补角， 因，平面多边形的外接圆圆心为与的交点， 则圆的直径，连接，则易得等边三角形，故有， 所以，，所以， 在中，因，解得． 即，可得： 则得， 即四棱锥在顶点处的离散曲率为 ②因为，所以为二面角的平面角， 因为，所以，则平面平面． 过作于，过作于，连接， 因平面，平面平面，故平面， 因平面，则， 又平面，则平面， 因平面，则，故为与平面所成角， 为二面角的平面角，则， 因为，所以， 则得，因，则， 故， 当且仅当时，等号成立． 则的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高一级数学期末质量检测 命题人：荔湾校区高一数学备课组 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内； 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案； 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，为不同的直线，，，为不同的平面，则下列说法错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，，则，至少有一条与直线垂直 5. 某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为4的直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设一组样本数据的极差为，方差为，若数据的极差为，则数据的方差为（ ） A. 0.02 B. C. 0.2 D. 0.4 7. 在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，若平面，则三棱锥与三棱柱的体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分． 9. 一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球．设事件为“第一次摸出球的编号为奇数”，事件为“摸出的两个球的编号之和为5”，则（ ） A. 事件与事件为互斥事件 B. 事件与事件为独立事件 C. D. 10. 已知的内角、、所对的边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若面积为，，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为直角三角形 11. 正方体的棱长为2，为空间内一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当在线段上时，三棱锥的体积为定值 B. 当为中点时，过，，三点作正方体的截面，则截面的面积为5 C. 当在底面内（包括边界），满足直线与面所成角为60°的点的轨迹长度为 D. 若，当三棱锥体积最大时，该三棱锥外接球的表面积是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 从小到大排列的5个数分别是1，，4，7，11，它们的40%分位数是3，则它们的平均数是______． 13. 在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______． 14. 如图，在中，，，，，，分别为三边中点，将，，分别沿，，向上折起，使，，重合为点，设三棱锥的外接球为球，为中点，则过点的平面被球所截得的截面面积最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，平行四边形中，与相交于点，设向量，，且，． （1）用，表示，，． （2）若，，，求与的夹角的余弦值． 16. 某中学举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取300人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数（结果保留整数） （2）若甲、乙两位同学组队进入复赛闯关，复赛共两轮答题，每轮每人各答1题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，甲、乙每轮是否答对互不影响，甲乙两轮共答对至少3题则组队闯关成功，求甲乙组队闯关成功的概率． 17. 如图1所示，在中，，，点，分别在线段，上，且，．如图2所示，将沿折起到的位置，使得二面角的大小为，连接，． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，为边上一点． （1）求； （2）若是的平分线，，的周长为15，求的长度； （3）若，设，求的取值范围． 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体Γ的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的点，且平面，平面，平面，平面为多面体的所有以为公共点的面．已知平面多边形的外接圆圆心为与的交点，如图①，且，将沿翻折到如图②，连接． （1）求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）已知直线与直线所成角的余弦值为． ①求四棱锥在顶点处的离散曲率； ②设为线段上的动点（不包括端点），与平面所成角为，二面角的平面角为，其中，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $