精品解析：广东广州市玉岩中学2025-2026学年高一下学期数学限时训练（二）试卷

广州市玉岩中学2025学年第二学期高一年级限时训练（二） 高一数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，共11题共58分，第Ⅱ卷为非选择题，共92分，全卷共150分．考试时间为120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若复数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 A. 328 B. 253 C. 007 D. 860 3. 如图，为平面四边形用斜二测画法作出的直观图，其中，，，则四边形的面积为（ ）． A. B. C. 5 D. 4. 设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 陀螺也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，分别是棱的中点，点是棱上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知一组大小不等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（ ） A. 平均数为 B. 方差为 C. 标准差为 D. 极差为 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，，则符合条件的有两个 D. 若，则是锐角三角形 11. 如图，已知圆台的轴截面为四边形EFGH，FG=4，EH=2，EF=3，沿着该圆台侧面从E到G的路径的长度为a.在该圆台内有一个棱长为b的正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则（ ） A. 圆台的高为 B. 圆台的体积为 C. a的最小值为 D. b的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 某学校高一年级在校人数为人，其中男生人，女生人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为cm，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为cm，则可估计该校高一学生的平均身高为_______cm. 13. 一个圆锥的母线长为2，当它的轴截面面积最大时，该圆锥的表面积为__________． 14. 锐角的面积为，且，若恒成立，则实数的最大值为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. （1）求图中的值； （2）利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 16. 在中，内角的对边分别为， （1）若的面积为2.求角； （2）若为锐角三角形，，且外接圆半径为2，求的取值范围. 17. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，且，求点到平面的距离． 18. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上．设． （1）用表示， （2）如果海里，且，求岛屿到补给站的距离； （3）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 19. 如图，已知四边形满足，现将沿着翻折得到形成四棱锥，记二面角的平面角大小为． （1）若，证明：． （2）在线段上是否存在一点使得平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． （3）三棱锥的外接球球心为，二面角和的平面角大小分别为，求（记，结果用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市玉岩中学2025学年第二学期高一年级限时训练（二） 高一数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题，共11题共58分，第Ⅱ卷为非选择题，共92分，全卷共150分．考试时间为120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若复数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数模的几何意义，将复数转化为复平面上的点，根据圆上点到定点的最大距离为圆心到定点的距离加半径求解即可. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4， 则的最大值为． 2. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 A. 328 B. 253 C. 007 D. 860 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机数表读法，依次读取数据，判断结果. 【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253，313，457（舍），860（舍），736（舍），253（舍），007，328，所以第四个数为328. 故选：A. 3. 如图，为平面四边形用斜二测画法作出的直观图，其中，，，则四边形的面积为（ ）． A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【详解】四边形为直角梯形，且，，，， 4. 设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量等式推出外心是中点，因此为直径，角为直角，再由线段相等得出是等边三角形，从而确定各角大小，最后利用几何关系算出向量投影，得到结果. 【详解】如图所示，由知，为中点，即为外接圆直径， 故，为直角三角形. 又，且为中点，故，为等边三角形，，. 过点作，垂足为点，则向量在向量上的投影向量为， 又因为点为线段的中点，则，向量在向量上的投影向量为. 5. 陀螺也叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为4，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了4周，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出圆锥侧面展开扇形的圆心角，进而可求得母线长，再根据圆锥的侧面积公式即可得解. 【详解】由题意可得圆锥侧面展开扇形的圆心角为， 设圆锥的母线长为，则 该圆锥的侧面积为． 6. 已知直四棱柱的底面是边长为的正方形，分别是棱的中点，点是棱上的一点，且，则过点的平面截直四棱柱所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点，连接，交于点，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积即可. 【详解】设直线分别交的延长线于点，连接，交于点， 连接，交于点，连接， 所以过点的平面截直四棱柱的截面为五边形. 由平行线分线段比例可知：，故， 故为等腰直角三角形，所以， 故，则，. 连接，易知， 所以五边形可以分成等边三角形和等腰梯形两部分， 等腰梯形的高， 则等腰梯形的面积为. 又， 所以五边形的面积为. 7. 在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】为确定F点位置，先找过与平面平行且与平面相交的平面，分别取的中点，连接，可知平面平面，故F在线段上，可知线面角为，分析其正切值即可求出. 【详解】设平面与直线交于点，连接，则为的中点. 分别取的中点，连接，则， ∵平面，平面， ∴平面，同理可得平面. ∵是平面内的两条相交直线， ∴平面平面，且平面， 可得直线平面，即点是线段上的动点. 设直线与平面所成角为，运动点并加以观察，可得： 当点与点（或）重合时，与平面所成角等于，此时所成角达到最小值，满足； 当点与中点重合时，与平面所成角达到最大值， 此时，∴与平面所成角的正切值构成的集合为，故选D. 【点睛】本题主要考查了面面平行的判定与性质，线面角，及线面角正切的最值问题，属于难题. 8. 在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形作出二面角的平面角，利用几何知识可求，，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，根据求解半径． 【详解】如图1，过作垂足为，取的中点，连接， ∵，∴，， 又，，则，， 中，， 过作，且=，连接，则， ∴，， 根据题意可得为二面角的平面角， 即，则， 由题意可得，则，则， 如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心， 则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接 ，则 ∴△的外接圆半径，则 设三棱锥的外接球的半径为，则 即，解得 则表面积为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 已知一组大小不等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（ ） A. 平均数为 B. 方差为 C. 标准差为 D. 极差为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平均数，方差，标准差，极差的定义及性质可得答案. 【详解】因为一组大小不等的数据的平均数为，而，所以数据的平均数为，所以A正确； 数据的方差为，由方差的性质可得数据的方差为，所以B正确； 标准差为方差的算术平方根，取非负数，所以数据的标准差为，所以C错误； 极差为最大值减最小值，所以原数据极差，新数据的极差应为，所以D错误. 10. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，，则符合条件的有两个 D. 若，则是锐角三角形 【答案】ACD 【解析】 【详解】三角形中，大角对大边，若，则，由正弦定理， 则，即，故A正确； 由正弦定理， 已知，则， 由余弦定理，说明是锐角，无法确定是否是锐角， 故三角形不一定是锐角三角形，故B错误； 已知，，，则， ， ，， 可能是大于的锐角或钝角，即符合条件的有两个，C正确； ， ，由大角对大边可知为最大角， 要证是锐角三角形，只需证， 由三角形的性质知， ， ，令，则，， ， 即， ， ，故是锐角三角形，故D正确． 11. 如图，已知圆台的轴截面为四边形EFGH，FG=4，EH=2，EF=3，沿着该圆台侧面从E到G的路径的长度为a.在该圆台内有一个棱长为b的正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则（ ） A. 圆台的高为 B. 圆台的体积为 C. a的最小值为 D. b的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据高与上下底面半径以及母线的几何关系可判断A；根据圆台的体积公式可判断B；根据侧面展开图结合弦长公式以及余弦定理可判断C；根据正方体的外接球直径不大于圆台的内切球直径可判断D . 【详解】已知圆台的轴截面是等腰梯形，下底底半径，上底上底半径，母线长， 圆台的高，A错误； 圆台的体积，B正确； 将圆台补成圆锥，由相似比得小圆锥母线长，大圆锥母线长， 侧面展开圆心角。 设圆锥顶点为，展开后，，， 由余弦定理： 得， 故，C正确； 正方体能任意转动等价于：正方体的外接球完全容纳在圆台内，且圆台恰好有内切球（满足母线长）， 内切球半径， 正方体外接球直径等于体对角线：，解得， 故最大值为，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 某学校高一年级在校人数为人，其中男生人，女生人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为cm，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为cm，则可估计该校高一学生的平均身高为_______cm. 【答案】 【解析】 【分析】通过分层随机抽样，平均数的概念求解. 【详解】由题意可知，，且， 所以该校高一学生平均身高的估计值， 故该校高一学生的平均身高的估计值为． 13. 一个圆锥的母线长为2，当它的轴截面面积最大时，该圆锥的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，可得，分析可知当时，轴截面面积取到最大值，进而可得底面半径和表面积. 【详解】对于圆锥的轴截面（为圆锥的顶点，为底面圆的圆心）， 设，则， 可得， 可知：当，即时，轴截面面积取到最大值2， 此时底面半径，所以该圆锥的表面积为. 故答案为：. 14. 锐角的面积为，且，若恒成立，则实数的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式得到，由面积公式得到，即可得到，根据三角形为锐角三角形求出的取值范围，即可得解. 【详解】解：因为，由正弦定理得， ∴， ∴或（舍去）， 所以． ∵的面积为， ∴， ∴． 所以 ． ∵为锐角三角形， ∴，解得， ∴，即，则， ∴，即． 其中，解得或（舍去）， ∴． ∴， ∴实数的最大值为． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. （1）求图中的值； （2）利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】（1），； （2）餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【小问1详解】 B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为. 频率分布直方图组距为2，故 所有区间频率和为，即，解得. 【小问2详解】 餐厅满意指数平均数. 餐厅满意指数平均数. 故. 【小问3详解】 B餐厅第三组频率为，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1. 混合数据平均数. 方差. 16. 在中，内角的对边分别为， （1）若的面积为2.求角； （2）若为锐角三角形，，且外接圆半径为2，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合三角形面积公式可得，进而可求角； （2）由为锐角三角形，先求得，再利用正弦定理可得，然后化简式子，根据对勾函数的性质求范围即可． 【小问1详解】 解：由余弦定理，得①， 由面积公式，得②. ②÷①，得，即. 由，得. 【小问2详解】 由题意，得外接圆的直径为4， 则由正弦定理，得， 所以. 因为是锐角三角形， 所以解得， 所以，则， 所以， 由对勾函数的性质，得在上单调递减， 所以的取值范围为. 17. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，且，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：取的中点，连接，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； 方法二：取的中点，连接，分别证得平面和平面，证得平面平面，即可证得平面． （2）连接，求得，以及，及，设点到平面的距离为，结合体积列出方程，即可求解. 【小问1详解】 证明：方法一：取的中点，连接， 因为分别是的中点，所以，且， 又因为，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，且平面，所以平面. 方法二：取的中点，连接， 因为分别是的中点，所以，可得平面， 因为分别是的中点，所以，可得平面， 因为，所以平面平面，所以平面． 【小问2详解】 解：在直三棱柱中，因为，且， 连接，则， 且， ， 所以． 设点到平面的距离为，则，即， 解得，即点到平面的距离为． 18. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上．设． （1）用表示， （2）如果海里，且，求岛屿到补给站的距离； （3）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 【答案】（1）； （2）岛屿到补给站的距离 （3）岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里． 【解析】 【分析】（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解； （2）利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得，从而再次利用数量积运算法则即可得解. （3）由，化简得到，结合正弦定理得到，利用三角形的面积公式，求得，进而求得的最小值，得到答案. 【小问1详解】 依题意，得，因为点为中点，所以， 又在靠近岛屿的的三等分点上所以， 又，所以， ； 【小问2详解】 依题意，得，， 所以，即， 所以，则， 又，所以， 所以 ， 所以岛屿到补给站的距离； 【小问3详解】 由，可得， 即， 可得，即， 设，由正弦定理知， 而 ， 所以， 因为，所以，得， 所以当，即时，取得最小值， 即的最小值为，所以岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里． 19. 如图，已知四边形满足，现将沿着翻折得到形成四棱锥，记二面角的平面角大小为． （1）若，证明：． （2）在线段上是否存在一点使得平面，若存在，求出；若不存在，请说明理由． （3）三棱锥的外接球球心为，二面角和的平面角大小分别为，求（记，结果用表示）． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在且满足，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在平面内过作，垂足为，连接，则利用空间中垂直关系的转化可得，结合勾股定理可得. （2）利用面面平行的判定定理可证平面平面，故可得时平面； （3）利用球心的性质结合二面角的构造方法构造出各二面角，根据关联直角三角形的边角关系可得. 【小问1详解】 若，则平面平面， 在平面内过作，垂足为，连接， 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面，故. 在直角中，，，故， 而，故在直角中，， 所以， 而，故. 【小问2详解】 存在且满足，使得平面，证明如下： 取（1）中，由（1）可得，连接，由旋转不变性可得， 而且平面，故， 而平面，平面，故平面， 而且，故，同理可得平面， 而平面，故平面平面， 而平面，故平面. 【小问3详解】 由旋转过程中形成四棱锥，故， 若，取的中点分别为，连接， 因为为三棱锥的外接球球心，故平面，平面， 因为平面，故，而为中位线，故， 故，因，平面， 故平面，而平面，故， 故为二面角的平面角，故， 同理可证：，， 在直角三角形中，，同理， 故在直角三角形中有， 故即， 且， 故. 当时，此时重合，且， 满足， 当，此时且在平面的下方， 同理可得， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $