3.1.1 函数的概念（第1课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数概念的精准建构，从初中“变量说”函数概念回顾切入，通过“正方形周长与正比例函数是否同一函数”“y=3是否为函数”两问题引发认知冲突，再以复兴号列车路程与时间等四个现实实例为支架，搭建从具体对应关系到抽象概念的认知脉络。 其亮点在于以现实情境为载体发展数学眼光与思维，如列车时间取值范围讨论培养抽象能力，归纳实例共同特征引导自主概括函数“两非空数集、对应关系、唯一性”本质，用符号f:A→B规范表达体现数学语言。助力学生从具体到抽象理解函数，也为教师提供结构化探究素材，提升教学效率。

3.1.1 函数的概念 (第1课时) 一、知识回顾 在初中,我们已经接触过函数的概念: 在一个变化的过程中,若有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,则我们就说x是自变量,y是x的函数。 需要解决这些问题,我们将在初中的基础上,通过具体实例学习,用更精确的语言和对应关系刻画函数概念,加深对函数概念的认识。 问题 ①正方形的周长l与边长x的函数关系是l=4x, 那这个函数l=4x与正比例函数y=4x是同一个函数吗? ②y=3是函数吗? 问题1.某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内,列车行进的路程S与运行时间t 的关系可以表示为 S=350t. 思考:根据对应关系,列车加速到了350km/h后,运行1h就前进了350km,对吗? 这里,t和s是两个变量,且对于t的每一个确定的值,都有唯一确定的s与之对应,所以s是t的函数 错误,时间t有取值范围。 二、概念探究 4 追问:那如何用更精确的语言表示S与t的对应关系呢? 对于集合A1={t|0≤t≤0.5} 二、概念探究 5 3 问题2 .某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元,且每周付一次工资,一个工人的工资 (单位:元)与他工作天数d 的的关系为 思考 如何类比问题1用精确的语言来描述 与d 的关系? =350d d和 是两个变量,且对于的每一个确定的天数d,都有唯一确定的工资 与之对应,所以 是d的函数 6 3 思考:问题1和问题2中的函数有相同的对应关系,那它们是同一个函数吗?为什么? 不是同一函数,变量t和变量d的取值集合不同. 对于集合 思考 如何类比问题1用精确的语言来描述w 与d 的关系? 7 问题3 下图是北京市某日的空气质量指数I与任一时刻t的关系变化图. 对于集合A3=_的任一时刻t,按照图中曲线给定的对应关系,在集合B3=_中都有唯一确定的空气质量指数I和它对应. {I|0<I<150} {t|0≤t≤24} 思考 t与 I 是否为函数关系? 类比问题1和问题2,用更精确的语言描述 问题4 国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高. 对于集合A4=_的任一年份y,按照表格给定的对应关系,在集合B4=_中都有唯一确定的恩格尔系数r和它对应. 你认为恩格尔系数r是年份y的函数吗? {y∈Z|2012≤y≤2021} {r|0<r≤1} 年份y 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 恩格尔系数r(%) 32.0 30.1 30.0 29.7 29.3 28.6 27.7 27.6 29.2 28.6 类比前面的实例,你会用怎样刻画这个函数关系? 新知1.并集 6 归纳:上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征?由此你能概括出函数的本质特征吗? (3)对于数集A中的每一个x, 按照某种对应关系 f , 在数集B中都有唯一确定的y和它对应, 记作 f:A B. (1)都有两个非空数集,记为数集A,B (2)都有一个对应关系 (关系式、图象、表格等,为了方便,统一用符号 f 表示) 让学生按例子画韦恩图 10 函数的概念 设A、B是非空数集,如果按照某种对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A B为从集合A到集合B的一个函数 记作y=f(x) ,x∈A. x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (值域是集合B的子集即 ) 三、生成概念 11 A 1 2 3 A B 4 5 6 f B f f (1) A (2) f 1 2 3 4 6 B A (3) 1 2 3 4 5 6 7 B f 1 2 3 4 5 6 (4) 1 2 3 A 4 5 6 B (5) 1 2 3 中国 美国 英国 B f (6) A 1 下列对应关系能否构成定义在A到B上的函数 允许“一对一” “多对一” 不允许“一对多” 函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性. 题型一 函数的判断 微提醒 (1)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应.(2)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一,不表示y等于f与x的乘积,f(x)也不一定是解析式,还可以是图象或表格,或其他的对应关系.(3)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号表示 函数. (1)(多选)下列图形表示y是x的函数的是 选项A中至少存在一处如x=0,一个横坐标对应两个纵坐标,这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一,故选项A中的图形不是函数图象,其余B,C,D均符合函数定义.故选BCD. √ 典例1 √ √ (2)设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列五个图形: 其中,能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 √ (2)(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是 A.A=R,B={x|x≥0},f:x y=|x| B.A=Z,B=Z,f:x y=x2 C.A={0,1},B={-1,0,1},f:x y2=x D.A={x|-1≤x≤1},B={0},f:x y=0 选项A、B、D中对集合A中任意实数x,按给定的对应关系f,在集合B中都有唯一实数y与之对应,因此选项A、B、D符合函数的定义.选项C中,对于A中元素1,按对应法则f,在B中有元素-1和1与之对应,不符合函数的定义.故选ABD. √ √ √ 规律方法 1.判断一个对应关系是否为函数的方法 2.根据图形判断对应关系是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数. $