2.1 一元二次方程的概念 暑期预习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦苏科版新初三第二章“一元二次方程的概念”，引导学生从矩形花园、正方形剪角、梯子靠墙等实际问题抽象方程，对比一元一次方程建立新旧知识联系，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于以真实情境培养数学眼光，通过观察归纳构建概念发展推理意识，分基础、能力、拓展的习题设计助力学生用数学语言表达方程特征，提升应用意识与抽象能力，适合预习与教学使用。

2026年新初三数学《苏科版》第二章预习导学案 2.1 一元二次方程的概念 （*本导学案新版苏科版教材和苏科版（2012）均适用*） 一、学习目标 1. 经历从实际问题抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。 2. 理解一元二次方程的概念，能根据定义判断一个方程是否为一元二次方程。 3. 能将一元二次方程化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数和常数项。 4. 理解一元二次方程根（解）的概念，能检验一个数是否为已知方程的根。 二、情景引入 问题1（矩形花园）学校计划修建一个矩形花园，已知花园的长比宽多5 m，。设花园的宽为，则可列出方程： 问题2（正方形剪角）一块边长为10 cm的正方形铁皮，在四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，折成一个无盖长方体盒子。若盒子的底面积为，则可列出方程： 问题3（梯子靠墙）一个长为13 m的梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙5 m。如果梯子顶端下滑了x m，那么梯子底端滑开了多少？（用勾股定理建立方程） 答案：_________________________________________________________ 请你思考：上述方程有什么共同特征？与我们学过的一元一次方程有什么不同？ 3、 概念建构 3.1 一元二次方程的定义 观察与归纳： 将上面三个方程整理： 问题1： 问题2： 问题3： 共同特征： 1. 只含有一个未知数； 2. 未知数的最高次数是2； 3. 方程两边都是整式（分母不含未知数，根号下不含未知数）。 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 3.2 一元二次方程的一般形式 其中：是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 请注意：是"一元二次"的前提条件。若，方程退化为一元一次方程；若同时，则不是方程。 3.3 一元二次方程的根 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做这个一元二次方程的根（或解）。 一个一元二次方程可能： · 有两个不相等的实数根； · 有两个相等的实数根； · 没有实数根。 验根方法：将数值代入方程，看左右两边是否相等。 四、例题精讲 例1 判断下列方程是否为一元二次方程，若是，指出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1） （2） （3） （4） 例2 已知关于的方程：是一元二次方程，求m的值。 解： 由上可知，由，得。。 例3 已知是方程的一个根，求的值及方程的另一个根。 解答：将代入方程：。 所以，方程是，因式分解得：。。 综上，另一个根是。 五、课后巩固 A. 基础巩固 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　） A. B. C. D. 2. 方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　） A. B. C. D. 3. 将方程化为一般形式，正确的是（　） A. B. C. D. 4. 下列各数中，是方程的根是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 4 5. 已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ______。 （答案： 1~4 CABB 5. ） B. 能力提升 6. 已知是方程的一个根，则=___________。 7. 方程是关于的一元二次方程，尝试求a，若存在这样的值，请写出来；若不存在，请说明理由。 8. 将方程化为一般形式，并指出各项系数。 9. 已知是的一个根，下列结论一定正确的是（　） A. B. C. D. 10. 若m是方程的一个根，求的值。 （答案： 6. 0；7. 不存在这样的，使此方程为一元二次方程，证明略；8. 1、-4、4；9. A；10. 2024 ） C. 拓展挑战 11. 已知关于的方程。 （1）当m为何值时，方程是一元二次方程？ （2）当m为何值时，方程是一元一次方程？ 12. 若关于的方程满足，则方程必有一个根为 ______；若满足，则方程必有一个根为 ______。 13. 定义：若一元二次方程的两根，满足，则称该方程为"和谐方程"。 （1）方程是否为"和谐方程"？请说明理由； （2）若方程是"和谐方程"，求的值。 （答案：11.（1）（2）；12. ；13. （1）不是（2）不存在.） 6、 课堂小结 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $