1.2 反比例函数的图象与性质 暑期预习导学案（附同步作业）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

1.2 反比例函数的图象与性质 【学习目标】 1.知识目标 （1）会用描点法画反比例函数 的图象，掌握双曲线的图象特征； （2）熟练掌握反比例函数 的性质，区分 时图象与性质的差异； （3）掌握待定系数法求反比例函数解析式的步骤，能结合点坐标、图象信息求解解析式。 2.能力目标 通过画图、探究、归纳，培养数形结合思想、分类讨论思想，提升利用函数性质解决计算、比较大小的能力。 3.素养目标 建立代数表达式与几何图象的关联，养成规范解题、归纳总结的数学学习习惯。 【学习重难点】 重点：反比例函数的图象特征与性质；待定系数法求反比例函数解析式的步骤 难点：利用反比例函数性质比较函数值大小；理解 的几何意义；数形结合综合应用 【课前预习・自主学习】 一、温故知新 正比例函数解析式： ，图象是 ，性质由 决定； 一次函数解析式： ，图象是 ，增减性由 _决定； 反比例函数的定义：形如 （ 为常数， ）的函数叫做反比例函数，自变量 的取值范围是 。 二、预习教材，完成填空 反比例函数 的图象名称： 画函数图象的三步法： 、 、 ； 待定系数法核心思路：先 ，再 ，最后 。 三、预习疑问 请写下你预习中不懂的问题： 【课堂探究・合作学习】 探究一：反比例函数的图象（描点法画图） 活动 1：绘制函数图象 任务：用描点法画出 和 的图象 步骤 1：列表（取值原则：正负对称、避开 0、取整数） -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 步骤 2：描点：在平面直角坐标系中描出上表对应的点 步骤 3：连线：用平滑的曲线分别连接各象限内的点（注意：不能连接坐标轴两侧的曲线） 活动 2：观察图象，归纳图象特征 1.形状：反比例函数图象是双曲线，由两支独立的曲线组成； 2.与坐标轴关系：双曲线永远不与 x 轴、y 轴相交（因为 ）； 3.对称性： （1）中心对称：关于 对称； （2）轴对称：关于直线 、 对称。 探究二：反比例函数 的性质 小组讨论：结合画出的图象，完成下表，分类归纳性质 分类 图象分布象限 第 、 象限 第 、 象限 增减性（核心易错） 在每个象限内， 随 的增大而 在每个象限内， 随 的增大而 图象趋势 无限靠近坐标轴，永不相交 无限靠近坐标轴，永不相交 【易错警示】 错误表述：当 时， 随 的增大而减小 正确表述：在每个象限内， 随 的增大而减小 （跨象限比较函数值时，不能直接用增减性！） 拓展： 的几何意义 过反比例函数 图象上任意一点 ，作 x 轴、y 轴的垂线： 1.围成矩形的面积： 2.围成直角三角形的面积： 探究三：待定系数法求反比例函数解析式 1. 方法原理 反比例函数解析式只有1 个待定系数 ，因此只需知道图象上1 个点的坐标，即可求出解析式。 2. 标准解题步骤（四步法，必背） 一设：设反比例函数解析式为 二代：把已知点的坐标代入解析式，得到关于 的一元一次方程 三解：解方程求出 的值 四写：将 代回所设解析式，写出最终函数表达式 3. 对比区分 · 正比例函数：1 个系数，1 个点求解析式 · 一次函数：2 个系数，2 个点求解析式 · 反比例函数：1 个系数，1 个点求解析式 【例题精讲・规范答题】 例 1（图象性质应用） 已知反比例函数 ，根据条件求 的取值范围： （1）图象在第一、三象限； （2）在每个象限内， 随 增大而增大。 解：（1）∵图象在一、三象限 ∴ ，即 ，解得 （2）∵每个象限内 随 增大而增大 ∴ ，即 ，解得 <2}) 例 2（待定系数法基础） 已知反比例函数图象经过点 ，求该函数解析式。 解：①设：设解析式为 ②代：将 代入，得 ③解：解得 ④写：∴反比例函数解析式为 例 3（k 的几何意义） 点 在反比例函数 图象上，过 作坐标轴垂线，围成矩形面积为 8，求 。 解：由 的几何意义得 ，∴ 或 例 4（易错：跨象限比较大小） 已知点 、 在 上，比较 大小。 分析：，A 在第二象限，B 在第一象限 解： 错误！第二象限 ，第一象限 ，∴ 【当堂检测・课堂过关】 一、填空题 1. 反比例函数 的图象在第 象限，在每个象限内， 随 增大而 ； 2. 函数 图象在一、三象限，则 的取值范围是 ； 3. 反比例函数过点 ，则解析式为 ； 4. 反比例函数图象上一点作坐标轴垂线，三角形面积为 3，则 。 二、选择题 1. 下列函数是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于 ，下列说法正确的是（ ） A. 图象过原点 B. 图象在二、四象限 C. 时， 随 增大而减小 D. 与坐标轴相交 3. 点 在 上，则（ ） A. B. C. D. 无法比较 三、解答题 1.用待定系数法求解：已知反比例函数图象经过点 ， （1）求函数解析式； （2）判断点 是否在该函数图象上。 【课堂小结・思维导图】 1. 反比例函数三要素：定义（）、图象（双曲线）、性质（由定象限、增减性） 2. 核心禁忌：不能跨象限用增减性 3. 待定系数法：一设二代三解四写（1 个点求解析式） 4. 高频考点： 的几何意义 【课后作业・分层训练】 基础题（必做） 1.已知 ，若在每个象限内 随 增大而减小，求 的取值范围。 提升题（选做） 1. 反比例函数 经过点 和点 ，求 的值； 2. 如图，反比例函数图象上一点 P，矩形面积为 10，求解析式。 拓展题（培优） 已知点 在 上，比较 的大小。 1.2 反比例函数的图象与性质 一．选择题（共8小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y（k≠0）上有A，B两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，H为OB的中点，S△AHO＝6，则k的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16 2．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在反比例函数的图象上，则y1，y2满足（　　） A．2y1+y2＝0 B．y1+2y2＝0 C．2y1﹣y2＝0 D．y1﹣2y2＝0 3．反比例函数的图象位于（　　） A．第一，第三象限 B．第一，第四象限 C．第二，第三象限 D．第二，第四象限 4．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（　　） A． B． C． D．12 6．正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1） 7．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x1 8．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　） A．2≤k B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k 二．填空题（共6小题） 9．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m），B（3，n）均在反比例函数y（k≠0）的图象上，且OA＝OB，则k的值为　 　 ． 10．如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）与反比例函数交点A的横坐标为1，当y1＞y2时，x的取值范围是　 　 ． 11．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为　 　 ． 12．如图，是反比例函数y和y（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为 　 　 ． 13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，C（0，﹣3），CD＝3AD，点A在反比例函数y图象上，且y轴平分∠ACB，求k＝　 　 ． 14．如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD＝9，则S△OBD的值为　 　 ． 三．解答题（共4小题） 15．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于A（1，4），B（2，n）两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若2≤y2≤6，求x的取值范围． 16．如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式； （2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 　 　 ； （3）点P是x轴上一点，当S△PACS△AOB时，请直接写出点P的坐标为 　 　 ． 17．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点． （1）求一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出的x的取值范围； （3）求△AOB的面积． 18．已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标； （3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解：设B（x，y），其中x＜0，y＞0，则xy＝k， 由条件可知OB＝2OH， ∵BD⊥x轴，AC⊥x轴， ∴AC∥BD， 由图可知点H在线段AC上， ∴△OHC∽△OBD， 相似比为， ∴， 由条件可知， ∴， ∵点A在双曲线上，AC⊥x轴， ∴， ∵S△AHO＝S△AOC﹣S△HOC， ∴， ∴， ∴|k|＝16， ∵双曲线位于第二象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣16． 故选：D． 2．【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）在反比例函数的图象上， ∴﹣2y1＝y2， ∴2y1+y2＝0． 故选：A． 3．【解答】解：∵k＝﹣8＜0， ∴函数图象位于第二、第四象限． 故选：D． 4．【解答】解：∵ab＜0，∴分两种情况： （1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 故选：B． 5．【解答】解：∵四边形OCBA是矩形， ∴AB＝OC，OA＝BC， 设B点的坐标为（a，b）， ∵BD＝3AD， ∴D（，b）， ∵点D，E在反比例函数的图象上， ∴k，∴E（a，）， ∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝abk•（b）＝9， ∴k， 故选：C． 6．【解答】解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2）， ∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称， ∴另一个交点是（﹣1，﹣2）． 故选：A． 7．【解答】解：∵反比例函数y中k＝﹣1＜0， ∴此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵y1＜0＜y2＜y3， ∴点（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）、（x3，y3）两点均在第二象限， ∴x2＜x3＜x1． 故选：D． 8．【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A， ∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y， ∴k≥2． 随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意， 经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y＝﹣x+7， ，得x2﹣7x+k＝0 根据△≥0，得k 综上可知2≤k． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 9．【解答】解：∵点A（2，m），B（3，n）在反比例函数的图象上， ∴m，n， ∵OA＝OB， ∴OA2＝OB2， ∴22+m2＝32+n2 解得k＝±6， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴k＞0， ∴k＝6． 故答案为：6． 10．【解答】解：一次函数经过原点，故此时为正比例函数，点A，B关于原点对称， ∵A的横坐标为1， ∴B的横坐标为﹣1 ∴由图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1． 故答案为：﹣1＜x＜0或x＞1． 11．【解答】解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4）， ∴点D的坐标为（﹣3，2）， 把（﹣3，2）代入双曲线， 可得k＝﹣6， 即双曲线解析式为y， ∵AB⊥OB，且点A的坐标（﹣6，4）， ∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y， y＝1， 即点C坐标为（﹣6，1）， ∴AC＝3， 又∵OB＝6， ∴S△AOCAC×OB＝9． 故答案为：9． 12．【解答】解：设A（a，b），B（c，d）， 代入得：k1＝ab，k2＝cd， ∵S△AOB＝2， ∴cdab＝2， ∴cd﹣ab＝4， ∴k2﹣k1＝4， 故答案为：4． 13．【解答】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E， ∵C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO ∴△ADE∽△CDO， ∴， ∴AE＝1； 又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD， ∴BO＝OD， ∵∠ABC＝90°， ∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE， ∴△ABE∽△DCO， ∴ 设DE＝n，则BO＝OD＝3n，BE＝7n， ∴， ∴n ∴OE＝4n ∴A（，1） ∴k． 故答案为：． 14．【解答】解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E． ∵Rt△OAB中，∠OBA＝90°， ∴CE∥AB， ∵C为Rt△OAB斜边OA的中点C， ∴CE为Rt△OAB的中位线， ∵△OEC∽△OBA， ∴． ∵双曲线的解析式是y，即xy＝k ∴S△BOD＝S△COE|k|， ∴S△AOB＝4S△COE＝2|k|， 由S△AOB﹣S△BOD＝S△AOD＝2S△DOC＝18，得2kk＝18， k＝12， S△BOD＝S△COEk＝6， 故答案为：6． 三．解答题（共4小题） 15．【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得， m＝1×4＝4， 所以反比例函数解析式为． 将点B坐标代入反比例函数解析式得，n＝2， 所以点B坐标为（2，2）． 将A，B两点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数解析式为y1＝﹣2x+6； （2）因为4＞0， 所以当x＞0时，y2随x的增大而减小． 因为当y2＝2时，x＝2， 当y2＝6时，x， 所以x的取值范围是． 16．【解答】解：（1）将A（2，8），B（8，2）代入y1＝ax+b得， 解得， ∴一次函数为y1＝﹣x+10， 将A（2，8）代入y2得8，解得k＝16， ∴反比例函数的解析式为y2； （2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2， 故答案为x＞8或0＜x＜2； （3）由题意可知OA＝OC， ∴S△APC＝2S△AOP， 把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10， ∴D（10，0）， ∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD30， ∵S△PACS△AOB30＝24， ∴2S△AOP＝24， ∴2yA＝24，即2OP×8＝24， ∴OP＝3， ∴P（3，0）或P（﹣3，0）， 故答案为P（3，0）或P（﹣3，0）． 17．【解答】解：（1）分别把A（m，6），B（3，n）代入得6m＝6，3n＝6， 解得m＝1，n＝2， 所以A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2）， 分别把A（1，6），B（3，2）代入y＝kx+b得， 解得， 所以一次函数解析式为y＝﹣2x+8； （2）当0＜x＜1或x＞3时，； （3）如图，当x＝0时，y＝﹣2x+8＝8，则C点坐标为（0，8）， 当y＝0时，﹣2x+8＝0，解得x＝4，则D点坐标为（4，0）， 所以S△AOB＝S△COD﹣S△COA﹣S△BOD 4×88×14×2 ＝8． 18．【解答】解：（1）将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6， ∴A（2，6）， 将A（2.6）代入 得 ，解得k＝12， ∴反比例函数表达式为 ； （2）设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m）， 由 可得xy＝12，所以3m（m+3）＝12， 解得 m1＝1，m2＝﹣4 （舍去）， ∴B（1，3）； （3）如图2，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H， 过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°， ∴∠HEB+∠EBH＝90°， ∵点A绕点B顺时针旋转 90°， ∴∠ABE＝90°，BE＝BA， ∴∠EBH+∠ABF＝90° ∴∠BEH＝∠ABF， ∴△EHB≌△BFA（AAS）， 设点B（n，3n），EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n， ∴点E（6﹣2n，4n﹣2）， ∵点E在反比例函数图象上， ∴（4n﹣2）（6﹣2n）＝12， 解得 ，n2＝2（舍去）． ∴点E（3，4） 学科网（北京）股份有限公司 $