2.2.3 一元二次方程的解法公式法（含根的判别式 Δ）暑期预习导学案（附同步作业）2026-2027学年九年级上册数学苏科版

2.2.3 一元二次方程的解法 —— 公式法（含根的判别式 Δ） 【学习目标】 1、能够利用配方法自主推导一元二次方程的求根公式；熟记根的判别式，分清三种根的存在情况；熟练掌握公式法的解题五步流程，能规范代入系数求解；可以逆用判别式，根据根的情况求解字母参数的取值范围。 2、经历从特殊方程配方，到一般字母系数方程推导公式的过程，体会从特殊到一般的数学思想，建立分类讨论的思维习惯。 3、提升逻辑推导的严谨性，强化代数运算能力，掌握一元二次方程的通用解法，完善解法选择的判断能力。 【学习重点】 求根公式的运用；根的判别式三种情况的判断；公式法的标准化解题步骤。 【学习难点】 一般形式下求根公式的完整推导；区分的正负符号；逆用判别式时牢记隐藏条件。 【课前温故・知识链接】 1、配方法回顾：二次项系数不为 1 时，先要方程两边同除以二次项系数，再进行配方。 2、一元二次方程一般形式：。 3、思考：对于任意一个一元二次方程，能不能总结一个通用的计算公式，不用每次反复配方？ 一、情境导入 现有一个任意的矩形，面积固定，列出方程。 尝试用配方法求解，计算过程繁琐；因式分解很难一眼看出来。 提出问题：有没有一种万能的计算公式，只要找准系数，直接代入就能算出方程的根？ 引出本节课内容：由配方法推导而来的公式法。 二、合作探究一：推导求根公式 探究任务：用配方法解通用形式 步骤 1：方程两边同时除以： 步骤 2：移项，常数项移至右侧： 步骤 3：配方，两边同时加上： 步骤 4：左侧写成完全平方，右侧通分合并： 小组讨论：等式左侧是平方，结果必然非负；分母，因此根的存在性完全由分子决定。 概念归纳：根的判别式 规定： 1. ：方程有两个不相等的实数根； 2. ：方程有两个相等的实数根； 3. ：方程没有实数根。 当时，两边开平方整理，得到求根公式： 公式法标准解题五步口诀 一化（化成一般形式）、二定（确定的值，带上正负号）、三算（计算判别式）、四判（判断有无实数根）、五代（代入公式求值）。 易错警示（高频错误） 1、找时忽略负号，例如中，； 2、没有先把方程整理成一般形式，就盲目代入系数； 3、当时，仍然强行代入公式计算； 4、逆用判别式求参数取值范围时，忘记的前提条件。 三、典例精讲（标准答题格式，可直接仿写） 例 1：用公式法解方程 解：方程已经是一般形式， ，方程有两个不等实根 例 2：解方程 解： ，∴此一元二次方程无实数根。 例 3：先整理再用公式法： 解：展开化简为一般形式： 确定，算出，再代入公式求解。 例 4（判别式逆用）：已知方程有两个相等实数根，求的值。 解：，解得或。 四、分层课堂当堂检测 【基础过关题（全员必做）】 1、写出方程中的数值：； 2、用公式法解方程：； 3、判断方程有没有实数根，说明理由。 【能力提升题（拔高选做）】 1、已知关于的方程有实数根，求的取值范围； 2、用公式法解方程 。 五、课堂自主小结（预留空白填写） 1、判别式表达式： 2、求根公式使用的前提条件： 3、使用公式法第一步必须把方程化成： 4、一元二次方程四种解法选择：能因式分解优先分解法；完全平方式用开平方法；其余全部选用公式法。 我的收获： 我的疑问： 参考答案 当堂检测答案 基础 1： 基础 2： 基础 3：，无实数根。 提升 1：分两种情况：时是一元一次方程，有根；时，解得且；综上。 提升 2：整理得，。 同步作业 一．选择题（共10小题） 1．下列关于x的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2+2x+2＝0 C．x2+2x+1＝0 D．x2+2x﹣1＝0 2．关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣2＝0的实数根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实数根的个数与k的取值有关 D．没有实数根 3．关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠0 B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k 5．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1＝0实数解的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 6．实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（　　） A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0 7．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac＞0； ②若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0； ③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ④若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 8．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5＝0，下列说法正确的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 9．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　） A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c 10．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（　　） A．6.5 B．7 C．6.5或7 D．8 二．填空题（共5小题） 11．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个根，则k的值为　 　 ． 12．关于x的方程mx2+x﹣m+1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是　 　 （填序号）． 13．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1＝0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为　 　 ． 14．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1＝0有实数根，则a的取值范围为　 　 ． 15．用公式法解一元二次方程，得：x，则该一元二次方程是 　 　 ． 三．解答题（共4小题） 16．关于x的方程x2﹣（m+6）x+5m+5＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 17．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 18．关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+6＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A、∵a＝1，b＝0，c＝1，∴Δ＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程没有实数根，不符合题意； B、∵a＝1，b＝2，c＝2，∴Δ＝22﹣4×1×2＝4﹣8＝﹣4＜0，方程没有实数根，不符合题意； C、∵a＝1，b＝2，c＝1，∴Δ＝22﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，不符合题意； D、∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 故选：D． 2．【解答】解：a＝1，b＝k，c＝k﹣2， 计算判别式得： Δ＝b2﹣4ac＝k2﹣4×1×（k﹣2）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4， ∵（k﹣2）2≥0， ∴Δ＝（k﹣2）2+4＞0恒成立， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．【解答】解：由条件可知根的判别式Δ＝32﹣4×1×m＞0， ∴9﹣4m＞0， ∴m 故选：C． 4．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根， ∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0， 解得：k且k≠0． 故选：C． 5．【解答】解：∵直线y＝x+a不经过第二象限， ∴a≤0， 当a＝0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解为x， 当a＜0时，关于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程， ∵Δ＝22﹣4a＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 6．【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0 当x＝﹣1时，原方程化为a﹣b+c＝0 所以一元二次方程为ax2+bx+c＝0有实数根， 所以b2﹣4ac≥0． 故选：C． 7．【解答】解：①若a+b+c＝0，那么x＝1为一个实数根． 如果原方程另一个实数根也是1，那么b2﹣4ac＝0， 因此①错误； ②把x＝﹣1代入方程得到：a﹣b+c＝0 （1） 把x＝2代入方程得到：4a+2b+c＝0 （2） 把（2）式加（1）式×2得到：6a+3c＝0， 即：2a+c＝0，故正确； ③方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根， 则它的Δ＝﹣4ac＞0， ∴b2﹣4ac＞0而方程ax2+bx+c＝0的Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴必有两个不相等的实数根．故正确； ④若b＝2a+c则Δ＝b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2， ∵a≠0， ∴4a2+c2＞0故正确． ②③④都正确， 故选：C． 8．【解答】解：∵Δ＝42﹣4×3×（﹣5）＝76＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 9．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝0， 又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c， 代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0， 即（a+c）2﹣4ac＝a2+2ac+c2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＝0， ∴a＝c． 故选：A． 10．【解答】解：∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根， ∴Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4k×6＝0， 解得k＝3， ∴一元二次方程为x2﹣6x+6＝0， ∴两腰之和为4， ∴△ABC的周长为4+3＝7， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．【解答】解：当等腰三角形的底边为3时， ∵另两边的长是关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个根， ∴Δ＝0，即（﹣10）2﹣4k＝0， 解得k＝25， 此时方程为x2﹣10x+25＝0，解得x1＝x2＝5， 当等腰三角形的腰为3时，x＝3是关于x的方程x2﹣10x+k＝0的一个根， ∴9﹣30+k＝0， 解得k＝21， 此时方程为x2﹣10x+21＝0， 解得x1＝7，x2＝3， ∵3+3＜7， ∴此时不能构成三角形， 综上所述，k的值为25； 故答案为：25． 12．【解答】解：当m＝0时，x＝﹣1，方程只有一个解，①正确； 当m≠0时，方程mx2+x﹣m+1＝0是一元二次方程，Δ＝1﹣4m（1﹣m）＝1﹣4m+4m2＝（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误； 把mx2+x﹣m+1＝0分解为（x+1）（mx﹣m+1）＝0， 当x＝﹣1时，m﹣1﹣m+1＝0，即x＝﹣1是方程mx2+x﹣m+1＝0的根，③正确； 故答案为：①③． 13．【解答】解：由题意可知：Δ＝4m2﹣2（1﹣4m）＝4m2+8m﹣2＝0， ∴m2+2m， ∴（m﹣2）2﹣2m（m﹣1） ＝﹣m2﹣2m+4 4 ， 故答案为： 14．【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+1＝0有实数根， ∴a﹣1≠0即a≠1，且△≥0，即有Δ＝（﹣1）2﹣4（a﹣1）＝5﹣4a≥0，解得a， ∴a的取值范围是a且a≠1． 故答案为：a且a≠1． 15．【解答】解：根据题意得：a＝3，b＝5，c＝1， 则该一元二次方程是3x2+5x+1＝0， 故答案为：3x2+5x+1＝0 三．解答题（共4小题） 16．【解答】（1）证明：关于x的方程x2﹣（m+6）x+5m+5＝0， ∵a＝1，b＝﹣（m+6），c＝5m+5， ∴Δ＝[﹣（m+6）]2﹣4（5m+5）＝（m﹣4）2≥0， ∴不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵方程x2﹣（m+6）x+5m+5＝0可化为x2﹣（m+6）x+5（m+1）＝0， （x﹣5）[x﹣（m+1）]＝0， ∴x﹣5＝0或x﹣（m+1）＝0， ∴x1＝5，x2＝m+1， ∵方程有一个根小于3， ∴m+1＜3， 解得m＜2． 17．【解答】解：（1）设方程的另一个根为x， 则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2， 解得：x，a， 即a，方程的另一个根为； （2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 18．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由如下， ∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0， ∴4b2﹣4a2+4c2＝0， ∴a2＝b2+c2， ∴△ABC是直角三角形； （2）∵当△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∵（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0， ∴2ax2+2ax＝0， ∴x1＝0，x2＝﹣1． 19．【解答】（1）证明：∵mx2﹣（3m+2）x+6＝0是关于x的一元二次方程， ∴m≠0， ∵Δ＝[﹣（3m+2）]2﹣4m×6＝9m2+12m+4﹣24m＝9m2﹣12m+4＝（3m﹣2）2≥0 ∴此方程总有两个实数根． （2）解：∵（x﹣3）（mx﹣2）＝0 ∴x1＝3，x2． ∵方程的两个实数根都是整数，且m是正整数， ∴m＝1或 m＝2 学科网（北京）股份有限公司 $