1.5相似三角形的性质 2025-2026学年湘教版九年级上册数学同步练习

**基本信息** 湘教版九上数学1.5相似三角形性质同步练，分层设计梯度清晰，从单一性质应用到综合问题解决，适配新授课知识巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|对应高、中线、角平分线、周长的比|直接应用性质，如选择1-6考查比的关系，夯实概念理解| |中档|相似比与面积比、周长计算|结合平行四边形、中点等图形，如解答18用相似比求面积，提升推理能力| |综合|复杂图形与实际应用|联系矩形裁剪等情境，如解答23设计矩形面积问题，培养模型意识与创新意识|

2025-2026年度湘教版九上数学第一章1.5相似三角形的性质答案 1．如果两个三角形相似且相似比9︰16，那么这两个三角形对应边上的高的比是（　　） A．81︰256 B．9︰16 C．3︰4 D．16︰9 解：∵两个相似三角形的相似比为9︰16， ∴这两个三角形对应边上的高之比为9︰16，故选：B． 2．两个相似三角形的面积比为2︰3，则这两个三角形对应中线比为（　　） A．2︰3 B．︰ C．4：9 D．︰3 解：∵两个相似三角形的面积比为2︰3，∴两个三角形对应中线比为︰，故选：B． 3.若两个相似三角形的周长之比为，则它们对应边的比为（ ） A. B. C. D. 解：∵ 两个相似三角形的周长之比为， ∴ 它们对应边的比为． 故选．  4.已知，如果它们的相似比为，那么它们的面积比应是（ ） A. B. C. D. 解：∵ ，它们的相似比为， ∴ 它们的面积比应是， 故选：． 5．如果两个三角形相似，一对对应角平分线的长分别是2和3，那么这两个三角形的对应高之比为（　　） A．2︰3 B．4︰9 C．3︰5 D．︰ 解：∵两个三角形相似，一对对应角平分线的长分别是2和3，∴它们的相似比为：2︰3，∴两个相似三角形对应高线的比是2︰3，故选：A． 6．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为（　　） A．2︰3 B．4︰16 C．3︰2 D．16︰4 解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，∴△ABC与△DEF对应边上中线的比是2︰3，故选：A． 7．若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，则＝（　　） A． B． C． D． 解：∵△ABC∽△DEF，∴＝，∵BC＝6，EF＝4，∴＝＝，故选：D． 8．已知△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的一边长为2，则△DEF的周长为（　　） A．7.5 B．6 C．5或6 D．5或6或7.5 解：∵△ABC∽△DEF， 如果2与4是对应边，则△DEF的周长：△ABC的周长＝2︰4，即＝， ∴△DEF的周长为7.5； 如果2与5是对应边，则△DEF的周长：△ABC的周长＝2︰5，即＝， ∴△DEF的周长为6； 如果2与5＝6是对应边，则△DEF的周长：△ABC的周长＝2︰6，即＝， ∴△DEF的周长5．故选：D． 9．如下图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE︰EC＝2︰3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△ABF等于（　　） A．2︰3 B．2︰5 C．4︰9 D．4︰25 解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，CD＝AB．∴△DFE∽△BFA，∴＝()2． ∵DE︰EC＝2︰3，∴DE︰DC＝DE︰AB＝2︰5，∴S△DEF︰S△ABF＝4︰25故选：D． 10.如图，在四边形中，，，，，是上的动点，连接，，若，则这样的点共有（        ） A.个 B.个 C.个 D.个 【解答】 解：设， 则， ∵ ， ， 即， 解得，， 所以当或时， ， 即这样的点有个． 故选． 二、填空题 11．若△ABC∽△DEF，相似比为3︰2，则对应高的比为　3︰2　． 解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3︰2，∴对应高的比为：3︰2．故答案为：3︰2 12．如图，已知△ABC∽△DEF，AB︰DE＝1︰2，点M、N分别是BC、EF的中点，则AM︰DN＝　1︰2　． 解：∵△ABC∽△DEF，∴BC的对应边是EF，∵点M、N分别是BC、EF的中点， ∴AM，DN分别是△ABC的中线，DN是△DEF的中线，且是对应的中线， ∵AB︰DE＝1︰2，∴BC︰EF＝AB︰DE＝1︰2．故答案为：1︰2． 13．若两个相似三角形的对应边之比为3︰5，则这两个相似三角形的周长之比为　3︰5　． 解：两个相似三角形的对应边之比为3︰5，则这两个相似三角形的周长之比3︰5． 故答案为3︰5． 14．如图3，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，DE∥BC，△ADE与△ABC的周长比为2︰5，则AD︰DB＝　2︰3　． 解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC， ∵△ADE与△ABC的周长比为2︰5，∴＝，∴＝，∴AD︰DB＝2︰3，故答案为：2︰3． 如图3 如图4 15．如图4，在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是　16　． 解：∵D、E为边AB、AC的中点，∴DE＝BC，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，∴＝()2＝， ∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积是16，故答案为：16． 三、解答题 16．已知：如图，Rt△ABC∽Rt△CAD，若AC＝3，BC＝4，求AD． 解：∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝5， ∵Rt△ABC∽Rt△CAD，∴＝，即：＝，解得：AD＝，∴AD的长为． 17.如图,已知△ABC∽△ACD,AC=6,AD=4,CD=2AD,求BD和BC的长. 【解析】∵AD=4,CD=2AD,∴CD=8, ∵△ABC∽△ACD,∴==,即==, 解得:AB=9,BC=12, ∴BD=AB-AD=5. 18.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,且==. (1)若DE=6,求BC的长; (2)若△ABC的面积为18,求△ADE的面积. 【解析】(1)∵==,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC, ∴==, ∵DE=6,∴BC=9; (2)∵△ADE∽△ABC, ∴=()2=, ∵△ABC的面积为18, ∴△ADE的面积为8. 19．如图，□ABCD中，AE︰EB＝2︰3，DE交AC于F， （1）求△AEF与△CDF周长之比； （2）如果△CDF的面积为25cm2，求四边形ABCD的面积． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠EAF＝∠DCF，∠AEF＝∠CDF，∴△AEF∽△CDF，∴＝， ∵AE︰EB＝2︰3，∴＝＝，∴＝； （2）∵△AEF∽△CDF，∴＝＝，∴＝， ∵△CDF的面积为25cm2，∴S△ADF＝10cm2，∴S△ACD＝35cm2，∴S四边形ABCD＝2S△ACD＝70cm2． 20．△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求： （1）A′B′边上的中线C′D′的长；（2）△A′B′C′的周长；（3）△ABC的面积． 【解答】解：（1）∵△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4cm， ∴＝，∴C′D′＝4cm×2＝8cm，∴A′B′边上的中线C′D′的长为8cm； （2）∵△ABC∽△A′B′C′，＝，△ABC的周长为20cm， ∴＝，∴C△A′B′C′＝20cm×2＝40cm，∴△A′B′C′的周长为40cm； （3）∵△ABC∽△A′B′C′，＝，△A′B′C′的面积是64cm2， ∴＝()2＝，∴S△ABC＝64cm2÷4＝16cm2，∴△ABC的面积是16cm2． 21.已知：如图，在四边形中，，，点在上，连接并延长，交的延长线于 求证：； 若，，，求的长. 【答案】 证明：∵ 四边形中，， ∴ 四边形是平行四边形， ， ∴ ， ； 解：∵ 四边形是平行四边形，且， ， 又， ， ， ， . 22. 如图，是一块锐角三角形余料，其中，高，现在要把它裁出一块正方形材料备用，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上. 证明：； 求出正方形的边长. 【解答】 证明：∵ 四边形是正方形， ∴ ，. 又为公共角， ∴ ． 解：∵ 四边形是正方形， ∴ . 设，则， ∵ ， ∴ ， 即， 解得， ∴ . 答：正方形边长为. 23．如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝80cm，AD＝60cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M． （1）试说明：＝的理由；（2）求这个矩形EFGH的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴∠AHG＝∠ABC， 又∵∠HAG＝∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴＝； （2）解：设HE＝xcm，MD＝HE＝xcm， ∵AD＝60cm，∴AM＝(60﹣x)cm，∵HG＝2HE，∴HG＝2xcm， 由（1）得：＝，可得： ＝，解得：x＝24， 故HE＝24，HG＝2x＝48，则矩形EFGH的面积＝24×48＝1152cm2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度湘教版九上数学第一章1.5相似三角形的性质 1．如果两个三角形相似且相似比9︰16，那么这两个三角形对应边上的高的比是（　　） A．81︰256 B．9︰16 C．3︰4 D．16︰9 2．两个相似三角形的面积比为2︰3，则这两个三角形对应中线比为（　　） A．2︰3 B．︰ C．4：9 D．︰3 3.若两个相似三角形的周长之比为，则它们对应边的比为（ ） A. B. C. D.  4.已知，如果它们的相似比为，那么它们的面积比应是（ ） A. B. C. D. 5．如果两个三角形相似，一对对应角平分线的长分别是2和3，那么这两个三角形的对应高之比为（　　） A．2︰3 B．4︰9 C．3︰5 D．︰ 6．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为（　　） A．2︰3 B．4︰16 C．3︰2 D．16︰4 7．若△ABC∽△DEF，BC＝6，EF＝4，则＝（　　） A． B． C． D． 8．已知△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的一边长为2，则△DEF的周长为（　　） A．7.5 B．6 C．5或6 D．5或6或7.5 9．如下图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE︰EC＝2︰3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△ABF等于（　　） A．2︰3 B．2︰5 C．4︰9 D．4︰25 10.如图，在四边形中，，，，，是上的动点，连接，，若，则这样的点共有（        ） A.个 B.个 C.个 D.个 二、填空题 11．若△ABC∽△DEF，相似比为3︰2，则对应高的比为 ． 12．如图，已知△ABC∽△DEF，AB︰DE＝1︰2，点M、N分别是BC、EF的中点，则AM︰DN＝ ． 13．若两个相似三角形的对应边之比为3︰5，则这两个相似三角形的周长之比为 ． 14．如图3，在△ABC中，点D，E在边AB，AC上，DE∥BC，△ADE与△ABC的周长比为2︰5，则AD︰DB＝ ． 如图3 如图4 15．如图4，在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是 ．． 三、解答题 16．已知：如图，Rt△ABC∽Rt△CAD，若AC＝3，BC＝4，求AD． 17.如图,已知△ABC∽△ACD,AC=6,AD=4,CD=2AD,求BD和BC的长. 18.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,且==. (1)若DE=6,求BC的长; (2)若△ABC的面积为18,求△ADE的面积. 19．如图，□ABCD中，AE︰EB＝2︰3，DE交AC于F， （1）求△AEF与△CDF周长之比； （2）如果△CDF的面积为25cm2，求四边形ABCD的面积． 20．△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求： （1）A′B′边上的中线C′D′的长；（2）△A′B′C′的周长；（3）△ABC的面积． 21.已知：如图，在四边形中，，，点在上，连接并延长，交的延长线于 求证：； 若，，，求的长. 22. 如图，是一块锐角三角形余料，其中，高，现在要把它裁出一块正方形材料备用，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上. 证明：； 求出正方形的边长. 23．如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝80cm，AD＝60cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M． （1）试说明：＝的理由；（2）求这个矩形EFGH的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $