第五周 第3天 函数奇偶性的概念 暑假自学配套同步分层练习 2026-2027学年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 2026新高一暑假自学同步分层练习，聚焦函数奇偶性，设青铜、黄金、王者三层次，梯度从概念巩固到综合应用，适配分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|奇偶性定义、基本性质判断|单选与多选结合，直接考查f(0)=0、对称性等基础考点，夯实概念理解| |黄金局|分段函数奇偶性、参数求解|含图象补全题，融合函数值计算与性质应用，培养几何直观| |王者局|抽象函数奇偶性证明|通过抽象函数性质推导，提升逻辑推理能力，体现数学思维深度|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第五周 第 3天 函数奇偶性的概念 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(-4)=-5，则f(4)+f(0)等于(　　) A.5 B.-5 C.4 D.-4 答案　A 解析　由f(x)是奇函数，则f(4)=-f(-4)=5，又f(0)=0，故f(4)+f(0)=5. 2.函数f(x)=|x+1|-|x-1|的图象关于(　　) A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线y=x对称 答案　B 解析　f(x)的定义域为R，关于原点对称， 因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x)， 所以f(x)是奇函数，f(x)的图象关于原点对称. 3.(多选)下列函数中是偶函数的是(　　) A.f(x)=|x| B.f(x)=x2-4x-2 C.f(x)=4x2-|x|-3 D.f(x)= 答案　AC 解析　对于A，f(x)=|x|，定义域为R，且满足f(x)=f(-x)，所以该函数是偶函数；对于B，f(x)=x2-4x-2，不满足f(x)=f(-x)，所以该函数不是偶函数；对于C，f(x)=4x2-|x|-3，定义域为R，且满足f(x)=f(-x)，所以该函数是偶函数；对于D，f(x)=结合其图象(图略)可知该函数不是偶函数. 4.已知y=f(x)，x∈(-a，a)，F(x)=f(x)+f(-x)，则F(x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案　B 解析　∵F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)， 又x∈(-a，a)，定义域关于原点对称， ∴F(x)是偶函数. 5.(多选)下列叙述正确的是(　　) A.偶函数的图象一定与y轴相交 B.奇函数的图象一定通过原点 C.若奇函数f(x)在x=0处有定义，则恒有f(0)=0 D.若函数f(x)为偶函数，则有f(x)=f(-x)=f(|x|) 答案　CD 解析　函数f(x)=是偶函数，但其图象与y轴不相交，所以A不正确； 函数f(x)=是奇函数，但图象不过原点，所以B不正确； 由奇偶性的定义知C，D正确. 6.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)的图象上的是(　　) A.(a，-f(a)) B.(-a，f(a)) C.(-a，-f(a)) D.(a，f(-a)) 答案　C 解析　因为y=f(x)为奇函数，f(-a)=-f(a)， 故点(-a，-f(a))在y=f(x)的图象上. 7.(多选)关于函数f(x)=下列结论正确的是(　　) A.f(x)的图象过原点 B.f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 C.f(x)是定义域上的增函数 D.f(x)在区间(1，+∞)上单调递减 答案　ABD 解析　函数f(x)==1+f(0)=0，A正确；由f(x)的定义域为(-∞，1)∪(1，+∞)可知，该函数的定义域不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，B正确；f(x)在(-∞，1)，(1，+∞)上单调递减，在整个定义域上不具有单调性，故D正确，C错误. 8.(5分)设偶函数f(x)的定义域为[-5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是　　　　　　　　. 答案　{x|-5≤x<-2或2<x≤5} 解析　因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解集. 因为当x∈[0，5]时，f(x)<0的解集为{x|2<x≤5}， 所以当x∈[-5，0]时，f(x)<0的解集为{x|-5≤x<-2}. 所以f(x)<0的解集是{x|-5≤x<-2或2<x≤5}. 9.(5分)已知函数f(x)=(a+1)x3-(a+2)x-bx2是定义在[a-3，a+1]上的奇函数，则f(2a+3b)=　　　　　　. 答案　10 解析　根据题意，由函数f(x)=(a+1)x3-(a+2)x-bx2是定义在[a-3，a+1]上的奇函数，得(a-3)+(a+1)=0，解得a=1，则f(x)=2x3-3x-bx2，若其为奇函数，必有b=0，则f(x)=2x3-3x，又a=1，b=0，则f(2a+3b)=f(2)=10. 10.(10分)判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=；(2分) (2)f(x)=；(2分) (3)f(x)=(3分) (4)f(x)=.(3分) 解　(1)函数f(x)的定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以f(x)=是非奇非偶函数. (2)f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，1]，关于原点对称. f(-x)==-f(x)，所以f(x)为奇函数. (3)f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称， 当x>0时，-x<0， 则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x)； 当x<0时，-x>0， 则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x)， 所以f(x)是偶函数. (4)易知，x的取值必须满足 解得-≤x<0或0<x≤所以f(x)的定义域为[-0)∪(0]，关于原点对称. 于是|x+2|-2=x+2-2=x，从而f(x)=显然它是奇函数. 黄金局 提能力·融会贯通 11.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x-若f(2)+f(0)=1，则f(-3)等于(　　) A.-4 B.-3 C.-2 D.1 答案　A 解析　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0， 又因为f(2)+f(0)=1，所以f(2)=4-=1，解得a=6， 所以f(x)=2x-(x>0)， 所以f(-3)=-f(3)=-=-4. 12.函数f(x)=是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案　B 解析　若x是有理数，则-x也是有理数， f(-x)=f(x)=1； 若x是无理数，则-x也是无理数， f(-x)=f(x)=0.∴函数f(x)是偶函数. 13.(5分)设函数f(x)=为奇函数，则实数a=　　　　. 答案　-1 解析　因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)， 即=- 显然x≠0，整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a，故a+1=0，得a=-1.经检验，符合题意. 14.(10分)(1)如图①，给出奇函数y=f(x)在y轴左侧的图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(5分) (2)如图②，给出偶函数y=f(x)在y轴左侧的图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.(5分) 解　(1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x，f(-x))关于原点的对称点为P'(x，-f(-x))，图③为图①补充后的图象， 易知f(3)=-2. (2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x，f(-x))关于y轴的对称点为P'(x，f(-x))，图④为图②补充后的图象， 易知f(1)>f(3). 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(5分)已知函数f(x)=若f(a)=则f(-a)=　　　　. 答案　 解析　根据题意，f(x)==1+ 而h(x)=是奇函数， 故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-[1+h(a)] =2-f(a)=2-. 16.(12分)已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)， (1)求证：f(x)是奇函数；(6分) (2)若f(-3)=a，试用a表示f(12).(6分) (1)证明　由已知f(x+y)=f(x)+f(y)， 令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)， 令x=y=0得f(0)=2f(0)， 所以f(0)=0.所以f(x)+f(-x)=0， 即f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数. (2)解　由(1)知f(x)为奇函数. 所以f(-3)=-f(3)=a，所以f(3)=-a. 又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3)， 所以f(12)=-4a. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第五周 第 3天 函数奇偶性的概念 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(-4)=-5，则f(4)+f(0)等于(　　) A.5 B.-5 C.4 D.-4 2.函数f(x)=|x+1|-|x-1|的图象关于(　　) A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线y=x对称 3.(多选)下列函数中是偶函数的是(　　) A.f(x)=|x| B.f(x)=x2-4x-2 C.f(x)=4x2-|x|-3 D.f(x)= 4.已知y=f(x)，x∈(-a，a)，F(x)=f(x)+f(-x)，则F(x)是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 5.(多选)下列叙述正确的是(　　) A.偶函数的图象一定与y轴相交 B.奇函数的图象一定通过原点 C.若奇函数f(x)在x=0处有定义，则恒有f(0)=0 D.若函数f(x)为偶函数，则有f(x)=f(-x)=f(|x|) 6.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x)的图象上的是(　　) A.(a，-f(a)) B.(-a，f(a)) C.(-a，-f(a)) D.(a，f(-a)) 7.(多选)关于函数f(x)=下列结论正确的是(　　) A.f(x)的图象过原点 B.f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 C.f(x)是定义域上的增函数 D.f(x)在区间(1，+∞)上单调递减 8.(5分)设偶函数f(x)的定义域为[-5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是　　　　　　　　. 9.(5分)已知函数f(x)=(a+1)x3-(a+2)x-bx2是定义在[a-3，a+1]上的奇函数，则f(2a+3b)=　　　　　　. 10.(10分)判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=；(2分) (2)f(x)=；(2分) (3)f(x)=(3分) (4)f(x)=.(3分) 黄金局 提能力·融会贯通 11.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x-若f(2)+f(0)=1，则f(-3)等于(　　) A.-4 B.-3 C.-2 D.1 12.函数f(x)=是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 13.(5分)设函数f(x)=为奇函数，则实数a=　　　　. 14.(10分)(1)如图①，给出奇函数y=f(x)在y轴左侧的图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(5分) (2)如图②，给出偶函数y=f(x)在y轴左侧的图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.(5分) 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(5分)已知函数f(x)=若f(a)=则f(-a)=　　　　. 16.(12分)已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)， (1)求证：f(x)是奇函数；(6分) (2)若f(-3)=a，试用a表示f(12).(6分) 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $