专题9 一元一次不等式（组）与一元二次不等式的求解（3大知识点+9大题型+真题检验）讲义-2025年初升高衔接数学沪教版

2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题09 一元一次不等式（组）与一元二次不等式的求解 知识点01：含参不等式（组）的求解 1.能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. 2.不等式组中各个不等式解集的交集称为不等式组的解集. 3.系数化为1时注意，注意字母系数分类讨论。 【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 知识点02：一元二次不等式的概念及解法 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式 （1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)； 都是一元二次不等式； 知识点03：一元二次不等式的解法 1、将一元二次不等式转化为一元一次不等式组 把或先分解因式，借用初中学过的积的符号法则将其实现等价转化一次不等式组，进而求出其解集的并集. 2、利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的内在关系，结合二次函数的图像，解不等式。 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3、一元二次不等式在求解时应当注意事项 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； （2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 4、含参数的一元二次不等式讨论依据 1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。 知识点四、一元二次不等式在R上恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ 注意：只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况． 知识点一、含参一元一次不等式（组）的求解 题型01：含参一元一次不等式的求解 【例1】设，解关于x的不等式：． 【例2】已知，为常数，且不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【跟踪训练】 1.设a为实数，求一元一次不等式ax<1的解集； 2.若关于x的不等式的解集为，则实数 题型02：含参一元一次不等式组的求解 【例3】设a为实数，解一元一次不等式组； 【例4】设a为实数，解一元一次不等式组. 【跟踪训练】 1．解关于的一元一次不等式组. 2.已知关于x的不等式组无解，求a的取值范围； 3．已知关于的不等式组的解集是，求、的值． 知识点二、一元二次不等式的求解 题型03：一元二次不等式的概念 【例5】给出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有 ．(填序号) 【跟踪训练】 1．观察下面几个式子或不等式，它们有什么区别？ ①；②；③；④. 2. 下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 . 题型04：解一元二次不等式 【名师点拨】解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 【例6】解下列不等式： (1)； (2)．(1)；（4） 【例7】解下列不等式： （1）(2)；(3)．（4）； 【跟踪训练】 1．解下列不等式： (1)；(2)；（3）；    （4）；         2.解下列不等式： (1)； (2)；(3).（4）； 3.解关于的不等式组： 4.解下列不等式： （1） （2） （3） 题型05：解含参数的一元二次不等式 【名师点拨】解含参数的一元二次不等式时 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【例8】解关于x的不等式x2+（m+1）x+m＞0． 【例9】当b≠0时，解关于x的不等式bx2﹣2x+2﹣b≤0． 【例10】已知二次函数，且的解集为． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于的不等式的解集为时，求的取值范围． 【跟踪训练】 1.解关于的不等式： 2.解关于x的不等式 3．设二次函数． （1）若方程有实根，则实数的取值范围是 ； （2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是 ； （3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是 ． 4.已知f（x）＝x2﹣a（a2+1）x+a4（a∈R）． （1）若f（8）＞0，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式f（x）＜0． 题型06：根据一元二次不等式的解集求参数 【例11】已知关于的不等式的解集为，则 . 【例12】已知关于x的不等式的解集为M，若，则a的取值范围为（ ） A．[－2，4] B．（－2，4） C． D． 【例13】已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 【跟踪训练】 1.设a、b为常数，若关于x的不等式的解集为，则 ． 2.若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集为 　 　． 3.已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a＜0的解集是（　　） A． B． C．{x|x或x} D．{x|x或x} 4.若关于x的不等式的解集为，则ab的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．－1 5.若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 知识点三、综合提升 题型07：有关一元二次不等式恒成立问题 【名师点拨】不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为 【例14】对于任意实数x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1＜a＜0 【例15】关于的不等式的解集为空集，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 【跟踪训练】 1.若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B．C． D． 2.已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是 . 4.已知关于x的不等式. (1)若该不等式的解集为或，求实数k的值； (2)若该不等式的解集为空集，求实数k的取值范围. 题型08：一元二次不等式的实际应用 【名师点拨】一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 【例16】汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个主要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：s甲＝0.1x+0.01x2，s乙＝0.05x+0.005x2． 则交通事故的主要责任方是　 　（填“甲”或“乙”）． 【例17】某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是　 　台． 【跟踪训练】 1.某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租，若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？（答案用集合表示） 2.某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x（x＞0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． （1）写出税收y（万元）与x的函数关系式； （2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 题型09：综合压轴题 【例18】若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 【例19】已知一元二次不等式 (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； 【跟踪训练】 1.关于不等式组的整数解的集合为，则实数k的取值范围是 . 2.已知函数f（x）＝x2﹣（a+3）x+2a+b+1． （1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，求a，b的值． （2）若关于x的不等式f（x）＜b﹣1解集中恰好有1个整数，求实数a的取值范围． 3.已知，关于的不等式． (1)若不等式解集为，求实数的取值范围； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 一、填空题 1.（2025上海高一课时作业）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 2.（2024-2025上七宝中学高一期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2024-2025上格致中学高一期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 4．（2023上海市大同中学高一阶段练习）关于的不等式的解集为或，则关于的不等式，以下结论正确的是（       ） A．当时，解集为 B．当时，解集为 C．当时，解集为或 D．以上都不正确 二、选择题 5．（2024-2025高一上·上海·期中）已知，若关于的不等式的解集为，则 . 6．（2024-2025上黄浦区高一期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 7．（2022·上海杨浦·高一期末）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是____________. 8．（2024上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）不等式的解集为_________________. 9．（2023延安中学高一月考）不等式的解集为__________． 10.（2024-2025高一上·上海杨浦·期中）若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为 . 11．（2021·上海市实验学校高一期末）若关于的不等式的解集是，则________ 12．（2021·上海市金山中学高一阶段练习）若不等式的解集为，则___________. 13．（2024上海市第三女子中学高一期中）若关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围是____________. 14.（2024-2025高一上·上海静安·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 . 15．（2024上海·南洋中学高一期中）已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围为______ 3、 解答题 16．（2024-2025高一上徐汇区期中）若不等式组有解，求实数的取值范围． 17.解下列不等式： (1) ； (2)； (3) ； (4) ；(5)； 18．（2020·上海·高一专题练习）解不等式(为参数) 19．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）解关于x的不等式 20．（2021·上海市第二中学高一期中）1.已知集合，集合． (1)求常数m、n的值； (2)设，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 21.（2024-2025高一上·上海宝山·阶段练习）若不等式的解集是． (1)求实数的值； (2)当的解集为时，求实数的取值范围． 22.（2024-2025高一上·上海·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)已知命题：关于的方程有两个不等的负根；命题：关于的不等式的解集为．若一真一假，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题09 一元一次不等式（组）与一元二次不等式的求解 知识点01：含参不等式（组）的求解 1.能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. 2.不等式组中各个不等式解集的交集称为不等式组的解集. 3.系数化为1时注意，注意字母系数分类讨论。 【注意】若不等式中所含不等式解集的交集为时，则不等式组的解集为； 知识点02：一元二次不等式的概念及解法 一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式； 【注意】一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即：一元二次不等式的一般形式 （1）ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；（2）ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；（3）ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；（4）ax2＋bx＋c≤0(a≠0)； 都是一元二次不等式； 知识点03：一元二次不等式的解法 1、将一元二次不等式转化为一元一次不等式组 把或先分解因式，借用初中学过的积的符号法则将其实现等价转化一次不等式组，进而求出其解集的并集. 2、利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的内在关系，结合二次函数的图像，解不等式。 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 3、一元二次不等式在求解时应当注意事项 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正； （2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式； （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根； （4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图； （5）写解集：根据图象写出不等式的解集。 4、含参数的一元二次不等式讨论依据 1、对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； 2、当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； 3、当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集。 知识点四、一元二次不等式在R上恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ 注意：只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况． 知识点一、含参一元一次不等式（组）的求解 题型01：含参一元一次不等式的求解 【例1】设，解关于x的不等式：． 【答案】当时，R；当时，；当时，． 【分析】首先把不等式整理为，然后分，，三种情况求解即可. 【详解】由，得， 当时，原不等式为，所以不等式的解集为R； 当时，由，得，所以不等式的解集为； 当时，由，得，所以不等式的解集为. 综上知：当时，解集为R；当时，解集为； 当时，解集为． 【例2】已知，为常数，且不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】先由不等式的解集求出与之间关系，进而代入所求不等式，即可得出结果. 【解析】因为不等式的解集为， 所以，即， 因此不等式可化为，则，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.设a为实数，求一元一次不等式ax<1的解集； 【解析】当时，解集为；当时，解集为R；当a<0时，解集为. 2.若关于x的不等式的解集为，则实数 【答案】 【分析】不等式可化为，对分等于，大于，小于三种情况进行讨论即可. 【详解】由不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为，符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 当，即时，不等式可化为，不符合题意； 综上，实数. 故答案为：. 题型02：含参一元一次不等式组的求解 【例3】设a为实数，解一元一次不等式组； 【答案】当时，解集为；当时，解集为空集Ø. 【解析】 根据不等式的性质，原不等式组等价于，整理得； 当时，解集为；当时，解集为空集Ø； 【例4】设a为实数，解一元一次不等式组. 【答案】答案见解析 【分析】根据不等式的性质运算求解. 【详解】因为，整理得， 当时，解集为； 当时，解集为. 【跟踪训练】 1．解关于的一元一次不等式组. 【答案】当时，方程组无解；当时，方程组的解集为． 【分析】先对每个不等式进行变形化简，再对参数进行分类讨论，解得不等式组的解集； 【解析】由①得；由②得． 当，即时，方程组无解； 当，即时，方程组的解集为． 综上所述，当时，方程组无解；当时，方程组的解集为． 2.已知关于x的不等式组无解，求a的取值范围； 【解析】解不等式①，得x≤3，解不等式②，得x＞a.因为该不等式组无解， 所以不等式①和②的解集在数轴上的表示如图所示． 所以a＞3. 当a＝3时，代入不等式组，得x≤3，且x＞3， 此时，不等式组也无解，满足题意，所以a的取值范围为a≥3； 3．已知关于的不等式组的解集是，求、的值． 【答案】 【分析】解不等式组，再与解集对照，得到方程组，求出答案. 【解析】记原不等式组为 解不等式①，得； 解不等式②，得． 因为原不等式组的解集为，所以 解得 知识点二、一元二次不等式的求解 题型03：一元二次不等式的概念 【例5】给出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有 ．(填序号) 【答案】⑥⑦ 【分析】根据一元二次不等式的定义逐一分析每个选项即可. 【解析】①不是，是二元一次不等式； ②不一定是，当时是一元二次不等式，当时不是一元二次不等式； ③不是，未知数的最高次数是； ④不是，是二元二次不等式； ⑤不一定是，原因同②； ⑥是，因为，二次项系数非零，也符合一元二次不等式的定义； ⑦是，因为符合一元二次不等式的定义． 故答案为：⑥⑦ 【跟踪训练】 1．观察下面几个式子或不等式，它们有什么区别？ ①；②；③；④. 【答案】答案见解析 【分析】略 【详解】①为二次函数；②为一元一次不等式；③④为一元二次不等式. 2. 下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 对于A：，当时，不含二次项，故不是一元二次不等式，故C错误； 对于B：，当时不是一元二次不等式，故D错误. 对于C：根号含有未知数，不是一元二次不等式，故C错误. 故选：D 3．若是关于的一元二次不等式，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式的概念及辨析 【分析】由一元二次不等式定义可知二次项系数不为零，可求得结果. 【详解】根据一元二次不等式的定义可得， 解得. 因此可得的取值范围是. 故答案为： 题型04：解一元二次不等式 【名师点拨】解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 【例6】解下列不等式： (1)； (2)．(1)；（4） 【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是． （2）不等式可化为，∴不等式的解集是或． （3）原不等式化为，∴． 故所求不等式的解集为． （4）不等式可化为，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. 【例7】解下列不等式： （1）(2)；(3)．（4）； 解：（1），， 所以不等式的解集是； （2）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （3）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （4），整理得：，即 解得：，不等式解集为：. 【跟踪训练】 1．解下列不等式： (1)；(2)；（3）；    （4）；         【解析】（1）解：方法一：由方程， 因为， 方程的两个实数根为，． 函数的简图，如图所示， 所以不等式的解集是． （2）不等式，即， 解得，所以不等式的解集为. 方法二：因为原不等式， 结合一元二次不等式的解法，可得原不等式的解集是． （3）等价于等价于，解得：或，所以不等式的解集为；          （4）等价于，解得：或，所以不等式的解集为；         2.解下列不等式： (1)； (2)；(3).（4）； 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）通过配方即可得解； （2）化为一元二次不等式的标准形式，根据判别式即可得解； （3）先判断判别式，然后即可得解. 【详解】（1）原不等式对应的一元二次方程为，可化为：， 方程的根为， 不等式的解集为（或写为）. （2）原不等式可化为， 此不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. （3）原不等式对应的一元二次方程的根的判别式， 原不等式的解集为. （4），整理得： ，故不等式再实数范围内无解 不等式解集为：. 3.解关于的不等式组： 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】解两个一元二次不等式，再求交集即可. 【详解】原不等式组可化为，即， 所以原不等式组的解集为. 4.解下列不等式： （1） （2） （3） 解：（1）令，，所以恒成立， 所以等价为，即， 解得或，故解集为或. （2）不等式，可化为， 因为恒成立，所以， 解得或，故解集为或. （3）不等式，可化为，即， 所以，解得或，故解集为或 题型05：解含参数的一元二次不等式 【名师点拨】解含参数的一元二次不等式时 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【例8】解关于x的不等式x2+（m+1）x+m＞0． 【解题思路】△＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，讨论f（x）＝0的解，结合函数图象得出不等式的解集． 【解答过程】解：△＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，方程f（x）＝0的解为﹣m，﹣1， ①当m＝1时，x≠﹣1， ②当m＜1时，x＞﹣m或x＜﹣1， ③当m＞1时，x＞﹣1或x＜﹣m． 综上，当m＝1时，不等式的解集为{x|x≠﹣1}， 当m＜1时，不等式的解集为{x|x＞﹣m或x＜﹣1}， 当m＞1时，不等式的解集为{x|x＞﹣1或x＜﹣m}． 【例9】当b≠0时，解关于x的不等式bx2﹣2x+2﹣b≤0． 【解题思路】不等式化为（x﹣1）（bx﹣2+b）≤0，讨论b的取值情况，求出对应不等式的解集． 【解答过程】解：b≠0时，不等式bx2﹣2x+2﹣b≤0化为（x﹣1）（bx﹣2+b）≤0； b＞0时，不等式化为（x﹣1）（x1）≤0； 当0＜b＜1，即1＞1时，解不等式得1≤x1； 当b＝1，即1＝1时，解不等式得x＝1； 当b＞1，即1＜1时，解不等式得1≤x≤1； 当b＜0时，不等式化为（x﹣1）（x1）≥0， 且1＜1，解得x1或x≥1； 综上知，0＜b＜1时，不等式的解集为[1，1]； b＝1时，不等式的解集是{1}； b＞1时，不等式的解集为[1，1]； b＜0时，不等式的解集为（﹣∞，1]∪[1，+∞）． 【例10】已知二次函数，且的解集为． (1)求二次函数的解析式； (2)当关于的不等式的解集为时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，是方程的两根，结合韦达定理求解即可； （2）由题意得要满足题意只需，列式计算求解即可. 【详解】（1）因为的解集为， 所以，是方程的两根， 所以，解得， 所以； （2）因为，所以二次函数的图象开口向下， 要使的解集为，只需，即，所以， 所以当时，的解集为． 【跟踪训练】 1.解关于的不等式： 【解析】方程的解为，， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 2.解关于x的不等式 【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】关于x的不等式，可化为 （1）当时，，解得． （2）当，所以 所以方程的两根为-1和， 当，即时，不等式的解集为或}， 当，即时，不等式的解集为． 当，即时，不等式的解集为或}． （3）当时， 因为方程的两根为—1和， 又因为，所以． 即不等式的解集是， 综上所述：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为或}. 3．设二次函数． （1）若方程有实根，则实数的取值范围是 ； （2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是 ； （3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是 ． 【答案】 或. 【分析】根据方程的解或不等式的解的情况结合判别式可得相应的结果. 【解析】对于（1），因为方程有实根，故，解得或. 对于（2），因为不等式的解集为，故，解得. 对于（3），不等式的解集为R，故，故. 4.已知f（x）＝x2﹣a（a2+1）x+a4（a∈R）． （1）若f（8）＞0，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式f（x）＜0． 【解题思路】（1）由f（8）＞0，得（a﹣8）（a3﹣8）＞0，解一元二次不等式即可． （2）把不等式f（x）＜0化为（x﹣a）（x﹣a3）＜0，再分类讨论a与a3的大小，然后写出解集即可． 【解答过程】解：（1）由f（x）＝x2﹣a（a2+1）x+a4， 若f（8）＞0，得（a﹣8）（a3﹣8）＞0， 可得a＜2或a＞8， 故实数a的取值范围为（﹣∞，2）∪（8，+∞）． （2）不等式f（x）＜0可化为（x﹣a）（x﹣a3）＜0， 又由a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1）， ①当a＝0或a＝﹣1或a＝1时，不等式f（x）＜0的解集为∅， ②当a＞0时， 若0＜a＜1时，a＞a3，此时不等式f（x）＜0的解集为（a3，a）， 若a＞1时，a＜a3，此时不等式f（x）＜0的解集为（a，a3）， ③当a＜0时， 若﹣1＜a＜0时，a＜a3，此时不等式f（x）＜0的解集为（a，a3）， 若a＜﹣1时，a＞a3，此时不等式f（x）＜0的解集为（a3，a）， 综上：当a＝0或一1或1时，不等式f（x）＜0的解集为∅， 当0＜a＜1或a＜﹣1时，不等式f（x）＜0的解集为（a3，a）， 当﹣1＜a＜0或a＞1时，不等式f（x）＜0的解集（a，a3）． 题型06：根据一元二次不等式的解集求参数 【例11】已知关于的不等式的解集为，则 . 【答案】16 【分析】根据给定的条件，利用一元二次方程根与系数的关系计算作答. 【详解】因关于x的不等式的解集为，则是方程的二根， 则有，解得，所以. 故答案为：16. 【例12】已知关于x的不等式的解集为M，若，则a的取值范围为（ ） A．[－2，4] B．（－2，4） C． D． 【答案】A 【解析】由于，所以， 即，解得， 所以的取值范围是.故选：A 【例13】已知关于不等式的解集为，则关于不等式的解集为（   ） A． B． C．｛或｝ D． 【答案】C 【分析】依题意可得是方程的两根，利用韦达定理可得与的关系，再代入目标不等式，解出即可. 【详解】不等式的解集为， 则，即， 由得， 即，解得或. 故选：C. 【跟踪训练】 1.设a、b为常数，若关于x的不等式的解集为，则 ． 【答案】 【分析】分别讨论、，其中时，根据解集为得，均为的根，即可列式求解. 【详解】当，不等式的解集为，与题意不符； 当，不等式的解集为，则，∴为的根，且，则，解得. 故答案为： 2.若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集为 　 　． 【解题思路】根据不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集求出a、b的值，代入不等式bx2﹣ax﹣1＞0中，求解集即可． 【解答过程】解：因为不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}， 所以2和3是一元二次方程x2﹣ax﹣b＝0的两个实数根， 由根与系数的关系知， 解得a＝5，b＝﹣6； 所以不等式bx2﹣ax﹣1＞0化为﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0， 因式分解为（3x+1）（2x+1）＜0， 解得x， 所以该不等式的解集为{x|x}． 故答案为：{x|x}． 3.已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a＜0的解集是（　　） A． B． C．{x|x或x} D．{x|x或x} 【解题思路】由题意可知，﹣3和2是方程ax2﹣5x+b＝0的两根，再结合韦达定理以及十字相乘法，即可得解． 【解答过程】解：由题意可知，﹣3和2是方程ax2﹣5x+b＝0的两根，且a＜0， ∴﹣3+2，（﹣3）×2，∴a＝﹣5，b＝30， ∴不等式bx2﹣5x+a＜0为30x2﹣5x﹣5＜0， 即5（3x+1）（2x﹣1）＜0， 解得x． 故选：A． 4.若关于x的不等式的解集为，则ab的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．－1 【答案】A 【解析】由题意知，解得，故选：A． 5.若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式，即， 当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数， 这3个整数只能是4，5，6，故； 当时，不等式解集为，此时不符合题意； 当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数， 这3个整数只能是0，1，2，故； 故实数m的取值范围为．故选：C 知识点三、综合提升 题型07：有关一元二次不等式恒成立问题 【名师点拨】不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为 【例14】对于任意实数x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1＜a＜0 【解题思路】讨论a是否为0，不为0时，根据开口方向和判别式建立不等式组，解之即可求出所求． 【解答过程】解：1°a＜0时，△＝4a2+4a（a+2）＝8a2+8a＜0，∴8a（a+1）＜0，∴﹣1＜a＜0 2°a＝0时，﹣2＜0成立 综上，实数a的取值范围是﹣1＜a≤0 故选：C． 【例15】关于的不等式的解集为空集，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】因不等式的解集为空集， 则当时，不成立，因此，满足题意， 当时，必有，解得， 综上得，所以实数k的取值范围是：.故选：A 【跟踪训练】 1.若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，当时利用判别式可求得结果. 【详解】当，即时，不等式为对一切恒成立． 当时，需满足， 即，解得. 综上可知，实数a的取值范围是． 故选：C 2.已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，该不等式为，成立； 当时，要满足关于的不等式对任意恒成立， 只需，解得， 综上所述，的取值范围是，故选：A. 3．若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是 . 【答案】/ 【详解】当时，，不对任意的恒成立，不符合； 当时，由题可知，且，解得，故实数的最大值是. 故答案为： 4.已知关于x的不等式. (1)若该不等式的解集为或，求实数k的值； (2)若该不等式的解集为空集，求实数k的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据一元二次不等式解集，结合根与系数关系求k的值； （2）由题设及对应二次函数的性质有，即可求解集. 【详解】（1）由题设，且是方程的两个根， 所以，故，即实数k的值为. （2）由不等式解集为空，则，解得. 题型08：一元二次不等式的实际应用 【名师点拨】一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 【例16】汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个主要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：s甲＝0.1x+0.01x2，s乙＝0.05x+0.005x2． 则交通事故的主要责任方是　 　（填“甲”或“乙”）． 【解题思路】先由题意列出不等式组，分别求解甲、乙两种车型的事发前的车速，看它们是不是超速行驶，谁超速谁应负主要责任． 【解答过程】解：由题意，解0.1x+0.01x2＞12得，x＜﹣40或x＞30， ∵x＞0， ∴x甲＞30km/h， 解0.05x+0.005x2＞10得，x＜﹣50或x＞40， ∵x＞0， ∴x乙＞40km/h， ∴乙车超过限速，应负主要责任． 故答案为：乙． 【例17】某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是　 　台． 【解题思路】首先应该仔细审题分析成本y与产量x的关系以及以及获利与产量的关系，再结合企业不亏本即收入要大于等于支出即可得到关于x的一元二次不等式解之． 【解答过程】解：由题意可知：要使企业不亏本则有总收入要大于等于总支出， 又因为总收入为：25x， 总支出为：3000+20x﹣0.1x2 ∴25x≥3000+20x﹣0.1•x2 解得：x≥150或x≤﹣200 又x∈（0，240） ∴x≥150 故答案为：150． 【跟踪训练】 1.某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租，若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？（答案用集合表示） 【答案】 【分析】设每床每晚的租金提高10的倍，由题意可得，解不等式可得的范围，再计算每个床位的定价的取值范围即可求解. 【详解】设每床每晚的租金提高10的倍，即为元， 出租的床位会减少10的倍张，即为张， 由题意可得该旅社每晚的收入为， 整理可得： 解得：， 因为，所以可取6，7，8，9， 此时每个床位的定价即为110，120，130，140， 所以每个床位的定价的取值范围是， 故答案为：. 2.某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x（x＞0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． （1）写出税收y（万元）与x的函数关系式； （2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 【解题思路】（1）降低税率后的税率为（10﹣x）\%，农产品的收购量为a（1+2x\% ）万担，收购总金额为200a（1+2x\% ）万元，然后直接列出税收y（万元）与x的函数关系式； （2）由题意可得原计划税收为200a×10%＝20a万元，则（50+x）•（10﹣x）≥20a×83.2%，求解不等式得答案． 【解答过程】解：（1）降低税率后的税率为（10﹣x）%，农产品的收购量为a（1+2x% ）万担，收购总金额为200a（1+2x% ）万元． 依题意有y＝200a（1+2x% ）•（10﹣x）%（0＜x＜10）； （2）原计划税收为200a×10%＝20a万元， 依题意有（50+x）•（10﹣x）≥20a×83.2%， 化简得x2+40x﹣84≤0，解得﹣42≤x≤2， 又0＜x＜10，∴0＜x≤2． ∴x的取范围是{x|0＜x≤2}． 题型09：综合压轴题 【例18】若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】一元二次不等式组有且仅有两个整数解，分类讨论，即可. 【详解】由，解得或， 由，解得或， 当时，的解为， 因为不等式有且仅有两个整数解， 所以，解得， 当时，的解为， 因为不等式有且仅有两个整数解， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是 故答案为：. 【例19】已知一元二次不等式 (1)若不等式的解集为，求不等式的解集； (2)当时，求不等式的解集； 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）依据题意可知是方程的根可得，然后代入利用一元二次不等式解法计算即可. （2）将代入不等式，然后对的范围进行讨论计算即可. 【详解】（1），所以， 所以不等式为，所以解集为. （2）当时，不等式，即 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 【点睛】方法点睛： 利用根的性质建立方程：通过已知不等式的解集，推断出方程的根，从而得到系数关系. 不等式的因式分解法：通过将不等式分解为两个因式形式并讨论符号，能够清晰地得出解集. 【跟踪训练】 1.关于不等式组的整数解的集合为，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论，并结合不等式组的整数解的集合即可求解. 【详解】由或， 由可知， 当时，， 因为不等式组整数解的集合为，所以； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为，不满足题意； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为空集，不满足题意， 综上所述，实数k的取值范围为. 故答案为：. 2.已知函数f（x）＝x2﹣（a+3）x+2a+b+1． （1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，求a，b的值． （2）若关于x的不等式f（x）＜b﹣1解集中恰好有1个整数，求实数a的取值范围． 【解题思路】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程根的关系，根据韦达定理即可求出； （2）不等式化为（x﹣2）（x﹣（a+1））＜0，分类讨论即可求出． 【解答过程】解：（1）由已知可得方程x2﹣（a+3）x+2a+b+1＝0的两个根为x1＝2，x2＝3， 由韦达定理可得， 解得：a＝2，b＝1， （2）不等式f（x）＜b﹣1可化为x2﹣（a+3）x+2（a+1）＜0， 因式分解得（x﹣2）（x﹣（a+1））＜0， （i）若a+1＞2，由题意可得，解得2＜a≤3， （ii）若a+1＜2，由题意可得，解得﹣1≤a＜0， （iii）若a+1＝2与题意不符， 综上：﹣1≤a＜0或2＜a≤3． 3.已知，关于的不等式． (1)若不等式解集为，求实数的取值范围； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）分析可知，，可得出，即可解得实数的取值范围； （2）由（1）可知，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为不等式的解集为， 则不等式对任意的实数恒成立， 当时，即当时，原不等式即为，解得，不合乎题意； 所以，，由题意可得，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）解：因为不等式对一切实数恒成立， 由（1）可知，，则，解得， 所以，实数的取值范围是. 一、填空题 1.（2025上海高一课时作业）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对参数与的关系以及与的关系进行分类讨论，从而求解不等式即可. 【详解】当时，，则，不等式解集为； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为空集； 当时，若，则原不等式等价于，不等式解集为； 当时，，则，不等式解集为； 故不等式解集不可能为. 故选：C. 2.（2024-2025上七宝中学高一期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求解不等式，再根据必要不充分条件，转化为子集问题，即可求解. 【详解】， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：A 3.（2024-2025上格致中学高一期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集的关系求结果. 【详解】由题设且， 所以，所以不等式的解集为. 故选：B 4．（2023上海市大同中学高一阶段练习）关于的不等式的解集为或，则关于的不等式，以下结论正确的是（       ） A．当时，解集为 B．当时，解集为 C．当时，解集为或 D．以上都不正确 【答案】C 【分析】由题意，为方程的两个根，可得，，再代入不等式可得，分，，三种情况讨论，即可判断 【详解】由题意，为方程的两个根 代入方程 解得：， 于是关于的不等式，即为 令，对应的二次函数开口向上 当时，解集为或 当时，解集为 当时，解集为或 故选：C 二、选择题 5．（2024-2025高一上·上海·期中）已知，若关于的不等式的解集为，则 . 【答案】1 【知识点】解不含参数的一元一次不等式 【分析】由题意知不等式的解集为，则，解之即可求解. 【详解】原不等式可化为， 又不等式的解集为， 所以一次函数的图象都在轴的下方， 则，解得， 故答案为： 6．（2024-2025上黄浦区高一期中）若关于的不等式组的解集非空，则满足条件的最大整数 . 【答案】0 【知识点】利用不等式求值或取值范围、解含参数的一元一次不等式 【分析】先化简不等式组，依题意表示得出的范围，再取最大整数值即可. 【详解】由可得：要使不等式组的解集非空， 须使即：故满足条件的最大整数0. 故答案为：0. 7．（2022·上海杨浦·高一期末）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是____________. 【答案】 【分析】求得不等式组的解集为，则0一定为不等式组的一个整数解，分不等式的4个整数解为0，1，2，3和不等式的4个整数解为两种情况讨论，即可得出答案. 【详解】解：关于x的一元一次不等式组的解集为，则， 故0一定为不等式组的一个整数解， 若不等式的4个整数解为0，1，2，3时， 则，解得； 当不等式的4个整数解为时， 则，不等式组无解， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 8．（2024上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）不等式的解集为_________________. 【答案】或. 【分析】利用一元二次不等式的求解方法进行求解. 【详解】因为，所以，所以或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. 9．（2023延安中学高一月考）不等式的解集为__________． 【答案】或 【分析】十字相乘法因式分解可解得结果. 【详解】由得，得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 10.（2024-2025高一上·上海杨浦·期中）若方程有唯一的实数根2，则不等式的解集为 . 【答案】或或或 【分析】首先根据方程的类型分类讨论，再根据一次函数和二次函数的图象求解即可. 【详解】①时，由题意知方程有唯一的实数根2，此时，且， 得不等式，即， 则当时，；当时，. ②当时，由题意知方程有唯一的实数根2， 即二次函数的图象与轴只有一个交点， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 综上所述，不等式的解集为或或或； 故答案为：或或或 11．（2021·上海市实验学校高一期末）若关于的不等式的解集是，则________ 【答案】 【解析】根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系求解出结果即可． 【详解】解：由题设可知：关于的一元二次方程的两根为与， 由韦达定理可得：，解得：，， 故答案为：． 12．（2021·上海市金山中学高一阶段练习）若不等式的解集为，则___________. 【答案】28 【分析】根据根与系数的关系即可求得. 【详解】由题意，方程的两根为，则 故答案为：28. 13．（2024上海市第三女子中学高一期中）若关于的不等式的解集为R，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【分析】分和讨论，结合二次函数的性质可得答案. 【详解】解：当时，不等式为，解集为R； 当时，关于的不等式的解集为R，则， 解得， 综合得. 故答案为：. 14.（2024-2025高一上·上海静安·阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据不等式的解集得出a与b、c的关系，再代入不等式中化简求解集即可． 【详解】不等式的解集为， 所以和1是的实数根，且， 所以，可得， 所以不等式可化为，即， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 15．（2024上海·南洋中学高一期中）已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围为______ 【答案】 【分析】解出一元二次不等式，利用是的充分条件，得到两个集合的包含关系，从而利用端点值的大小，求出m的取值范围 【详解】，解得： ∵ ∴ ∴的解集为： ∵是的充分条件 ∴ ∴ 解得： 故答案为： 3、 解答题 16．（2024-2025高一上徐汇区期中）若不等式组有解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】分别求解两个不等式，根据不等式组有解可得. 【详解】解不等式，得． 解不等式，得． 因为不等式组有解，所以，即． 所以实数的取值范围为. 17.解下列不等式： (1) ； (2)； (3) ； (4) ；(5)； 【解析】(1)由题，即，解得或，即； (2)不等式化为：，解得，所以的解集为. (3)因为， 所以方程有两个不等实根 ，. 又二次函数的图象开口向上，所以原不等式的解集为或 (4)因为， 所以方程有两个不等实根，即，. 又二次函数的图象开口向下，所以原不等式的解集为． (5)可得，∴∴该不等式解集为； 18．（2020·上海·高一专题练习）解不等式(为参数) 【答案】当或时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为或； 【分析】将不等式化为，然后分与的大小进行分类讨论得出答案. 【详解】原不等式可化为 若，则，即，原不等式的解集为或；； 若，即或，则原不等式的解集为或； 若，即或， 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 综上所述：当或时，原不等式的解集为或 当时，原不等式的解集为或； 19．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）解关于x的不等式 【分析】将不等式变形为，然后分，，，，分别求解，即可得到答案． 【详解】不等式，变形为， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为或； ③当时， 若时，，不等式的解集为； 若时，，不等式的解集为； 若时，，不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 20．（2021·上海市第二中学高一期中）1.已知集合，集合． (1)求常数m、n的值； (2)设，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把不等式的解集转化为方程的两个根，用韦达定理求解；（2）先求集合B，注意对a进行分类讨论，利用p是q的充分不必要条件，转化为集合之间的包含关系，求解a的取值范围 (1)因为，所以-1和3是方程的两个根，由韦达定理得：，，解得：， (2)，解得：当时，集合，当时，集合，当时，解集为 因为p是q的充分不必要条件，， 当时，，此时p是q的必要不充分条件，不满足题意，舍去 当时，需要满足，此时，解得： 当时，需要满足，此时，解得： 综上：实数a的取值范围为 21.（2024-2025高一上·上海宝山·阶段练习）若不等式的解集是． (1)求实数的值； (2)当的解集为时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题得出的两个解为，代入即可； （2）分类讨论是否为0，然后结合二次函数图像判断取值范围. 【详解】（1）由题得的两个解为， 代入得，解得, 所以. （2）由（1）得的解集为， 当时： 当时，原不等式等价为，显然为，合题意； 当，原不等式等价为，显然不为，舍去； 当时，要想的解集为， 需要，解得，即， 综上b的取值范围为. 22.（2024-2025高一上·上海·阶段练习）根据要求完成下列问题： (1)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)已知命题：关于的方程有两个不等的负根；命题：关于的不等式的解集为．若一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式先计算两个命题对应变量的范围，再结合必要不充分条件的定义计算即可； （2）分类讨论两个命题的真假结合一元二次方程根的情况计算即可； 【详解】（1）由，记； 由，记． 因为是的必要不充分条件，所以，则 且等号不同时成立，解得， 综上，的取值范围为； （2）若命题为真，设为的两个不等的负根，则 ，解得； 若命题为真，则当时，不等式化为，恒成立； 当时，，解得，于是的范围是． 若真假，则， 若假真，则， 综上，若一真一假，则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$