第07讲 反证法（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

第07讲 反证法 预习目标 知识回顾 1.了解反证法的思想以及反证法的表达方式(重点) 2.会写出一些常见陈述句的否定形式，进一步理解反证法证明问题的表达方式，初步会用反证法证明一些典型问题(重点) 1.理解充分条件、必要条件以及充要条件的含义，在简单的情形下作出正确的判断;能够通过反例说明既非充分又非必要条件(重点) 2.能借助推出关系判断充分条件、必要条件(重、难点) 3.在证明充要条件的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言的使用，发展逻辑推理的素养(难点) 新知导图 预习精讲 知识点1 反证法的定义 要判断命题＂若 ，则 ＂是假命题，只要存在一个满足条件 但不满足结论 的对象就行．但是要判断命题＂若 ，则 ＂是真命题，就需要证明所有满足条件 的对象都满足结论 ，有时直接验证这一点并不是一件容易的身。我们可以首先假设结论 丕成立，然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明＂ 为假＂是不可能发生的，即结论 是正确的，这样的证明方法叫反证法． 一些常用的否定形式 陈述句 的否定形式 至少有2个 最多有1个 至多有2个 至少有3个 都是对的 不都是对的(至少有一个是错的) 至少存在一个不满足性质 至少存在一个满足性质 命题“，若 ，则或”用反证法证明时应假设为 ． 【答案】且 【分析】由或的否定为且，从而可得结果. 【详解】因为或的否定为且，所以反证法证明时应假设“且”. 故答案为：且. 知识点2 反证法证明 反证法是间接论证的方法之一,亦称“逆证”是通过断定与结论相矛盾的论断的虚假来确立结论的真实性的论证方法 反证法的论证过程如下，根据结论设定与结论相矛盾的论断,并依据推理规则进行推演,证明与结论相矛盾的论断为假最后根据排中律,既然与结论相矛盾的论断为假,则结论便是真的 反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难而否定比较浅显时,就需要运用反证法。 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种,那么否定一种就可以了;如果有多种，那么必须一一否定 反证法的步骤 (1)假设结论不成立. (2)从假设出发推出矛盾. (3)假设不成立,则结论成立. 若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 【答案】证明见解析 【分析】本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，即证明，不可能都不小于2，假设，都不小于2，则，进而变形可得矛盾，以此来证明结论成立． 【详解】证明：假设，都不小于2，则 因为a＞0，b＞0，所以1＋b≥2a,1＋a≥2b, 则1＋1＋a＋b≥2（a＋b） 即2≥a＋b,这与已知a＋b＞2相矛盾，故假设不成立 综上，中至少有一个小于2． 题型速练 题型一、反证法的概念辨析 用反证法证明结论“、、至少有一个是正数”时，应假设（   ） A．、、都是正数 B．、、都不是正数 C．、、至多有一个正数 D．、、至多有两个正数 【答案】B 【分析】由反证法的定义，假设结论的否定即可. 【详解】因为 “、、至少有一个是正数”的否定为“、、都不是正数”， 由反证法的定义，故应假设：、、都不是正数. 故选：B 用反证法证明命题“，若可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（    ） A．中至多有两个能被5整除 B．都能被5整除 C．不都能被5整除 D．都不能被5整除 【答案】D 【分析】根据命题的结论的否定进行判断即可. 【详解】“至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”， 故选：D. 用反证法证明：“已知，，求证：”时，应假设（   ） A．已知，且 B．已知，或 C．且 D．且 【答案】B 【分析】用反证法知识进行解答即可. 【详解】反证法的步骤是先假设命题的结论不成立. 原结论是 “”，其否定是 “或”（因为 “且” 的否定是 “或”）. 所以在证明时应假设 “已知，或”， 故选： B. 用反证法证明“若，则或”这个命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即________． 【答案】且 【分析】根据反证法步骤，否定结论即可. 【详解】先假设该命题的结论不成立，即假设“且”. 故答案为：且. 已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设____________________. 【答案】且 【分析】根据反证法步骤,要证明命题结论成立，先假设结论的否定成立即可. 【详解】由题意，应假设且， 故答案为：且 用反证法证明：“若且，则且”时，第一步应假设___________． 【答案】或 【分析】根据反证法的定义判断即可. 【详解】对于用反证法证明命题“若且，则且”时， 第一步应假设的是“且”的否定，即：或. 故答案为：或. 用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 【答案】不都为零 【分析】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结论. 【详解】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立， 而的否定为“不都为零”. 故答案为：不都为零. 用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是___________． 【答案】且 【分析】根据反证法的基本思想求解即可. 【详解】由题意应假设且， 故答案为：且 用反证法证明命题：“若，则”时，应假设________. 【答案】或 【分析】利用反证法的概念直接求解. 【详解】用反证法证明命题“若，则”，应假设为“或”. 故答案为：或. 用反证法证明：“已知是整数，若为偶数，则中至少有两个是偶数.”时，应假设：________． 【答案】假设中至多有一个是偶数 【分析】由反证法的定义即可得到结果； 【详解】由题意可得，应假设：中至多有一个是偶数. 故答案为：中至多有一个是偶数 题型二、反证法证明 已知、、，用反证法证明：若，则、、中至少有一个小. 【答案】证明见解析 【分析】假设，，，利用不等式的基本性质推出矛盾，结合反证法的原理得出所证结论成立. 【详解】假设，，，由不等式的基本性质得，这与矛盾， 故假设不成立，故、、中至少有一个小. 证明：对于三个实数a、b、c，若，则或． 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法即可证明. 【详解】用反证法证明. 假设结论不成立，即且，则，与矛盾. 所以若，则或成立. 设.证明：若是偶数，则n也是偶数. 【答案】证明见解析 【分析】结合数论知识以及反证法即可得证. 【详解】用反证法证明，理由如下： 若n不是偶数，且是偶数， 结合前提可设，此时有， 因为是偶数， 所以是奇数，这与是偶数矛盾， 故假设不成立，命题得证. 设，证明：“”不是“”的必要条件. 【答案】证明：假设“”是“”的必要条件， 则集合是的子集， 所以，显然此不等式组无解，即假设矛盾， 所以“”不是“”的必要条件. 【分析】利用充分、必要条件的定义结合集合间的基本关系，根据反证法计算即可. 【详解】略 用反证法证明：“已知，若，则.” 【答案】证明见解析 【分析】根据反证法定义提出合理假设，得出假设与命题矛盾即可. 【详解】假设， 则， 与矛盾， 故假设不成立，所以原命题成立. 平面几何中，“过在同一条直线上的三点、、不能作圆”，如何证明这个命题？ 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法来证明. 【详解】假设过在同一条直线上的三个点可以作一个圆． 则该圆与直线有三个交点，这与直线与圆最多有2个交点相矛盾， 所以假设不成立，即过在同一条直线上的三点不能作圆． 用反证法证明：若、、，且，，，则中至少有一个不小于0． 【答案】证明见解析 【分析】假设、、都小于0，根据题意结合配方法可得，得出矛盾即可. 【详解】假设、、都小于0，即，则， 因为、、，且，，， 则， 当且仅当时，等号成立， 这与矛盾， 可知假设不成立，所以、、中至少有一个不小于0. 设. (1)求证：； (2)若，求证：中至少有一个数是奇数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据求解，即可证明； （2）利用反证法，即可证明. 【详解】（1）假设，则， 与矛盾，则假设不成立，故. （2）假设中都是偶数， 则， 两式相加并整理，得， 与矛盾，故假设不成立， 则中至少有一个数是奇数. （1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 【答案】（1）证明见解析 （2） 【分析】（1）假设都是非负数，利用反证法推出可得答案； （2）根据题意可得是的真子集，分类讨论、两种情况即可得解. 【详解】（1）假设都是非负数， 因为，，所以， 又， 故，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立； （2）若的充分非必要条件为，则是的真子集， 若，则，解得； 若，则，解得， 综上所述，的取值范围是. 基础过关 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【答案】D 【分析】假设结论的反面成立即可． 【详解】自然数都不是偶数的反面为自然数至少有一个是偶数. 故选：D 用反证法证明命题“任何中最多只有一个内角是钝角”时，第一步是假设存在一个，该三角形的三个内角（    ） A．至少有一个内角是钝角 B．至少有两个内角是钝角 C．至少有一个内角不是钝角 D．至少有两个内角不是钝角 【答案】B 【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，由此得出结论． 【详解】解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，而命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的否定为：“三角形中至少有两个内角是钝角”，故应假设的内容是：三角形中至少有两个内角是钝角． 故选：B． 用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（    ） A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除 C．或不能被5整除 D．都不能被5整除 【答案】D 【分析】根据反证法的性质进行判断即可. 【详解】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有” 故选：D 用反证法证明命题“ab可以被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时假设的内容应该是（    ） A．a、b都不能被5整除 B．a、b都能被5整除 C．a、b不都能被5整除 D．b能被5整除 【答案】A 【分析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，进而可得答案. 【详解】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”. 故选：A. 用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为__________. 【答案】且 【分析】直接利用反证法的步骤，即可得到答案. 【详解】由反证法解题思路，应假设且， 故答案为：且 用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设__________. 【答案】已知是偶数，则n是奇数 【分析】根据反证法证明命题的原理即可得解. 【详解】命题“设，已知是偶数，则n是偶数”， 可得题设为，“（a，）为偶数， 反设的内容是：假设已知是偶数，则n是奇数. 故答案为：已知是偶数，则n是奇数. 若要用反证法证明“若，则且”，应假设为______ 【答案】或 【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结果. 【详解】要证命题的结论为且，它的否定为或. 故答案为：或. 证明：若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形． 【答案】证明见解析 【分析】利用反证法假设该梯形是等腰梯形，证明结论与题意矛盾，可证得原结论成立. 【详解】证明： 假设该梯形是等腰梯形，设梯形，， 连接，交于， 因为该梯形是等腰梯形，所以，，， 所以，可得，则为等腰三角形， 同理可得为等腰三角形， 所以，，所以， 与条件矛盾. 所以假设不成立，即该梯形不是等腰梯形. 求证: (1)若整数满足能被3整除，则也能被3整除； (2)是无理数； (3)是无理数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】利用反证法，即可证明结论. 【详解】（1）反证法：假设不能被3整除，则， 故，则不能被3整除， 与“能被3整除”矛盾， 故假设不成立，原命题成立，即整数满足能被3整除，则也能被3整除； （2）反证：假设为有理数，即，（互质）， 则，即能被3整除， 故由（1）得，代回到得， 同理有，即均能被3整除，与“互质”矛盾， 故假设不成立，则是无理数； （3）反证：假设为有理数，则， 而，故， 又有理数集关于四则运算封闭，故，与“为无理数”矛盾， 故假设不成立，则为无理数. 能力提升 ①已知，求证，用反证法证明时，可假设；②设为实数，，求证与中至少有一个不小于，由反证法证明时可假设，且，以下说法正确的是 A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确 【答案】C 【分析】反证法应用时，要对结论进行否定；或命题的否定为且命题，分别判断即可. 【详解】解：①已知：p3+q3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，假设应为p+q >2，所以①正确； ②设a为实数，f（x）=x2+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不大于． 用反证法证明时假设应为|f（1）|>且|f（2）|>，所以②错误． 故选C. 【点睛】本题考查了反证法的应用，掌握反证法就是对结论否定，注意否定的形式即可，属于基础题. 著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______． 【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【分析】从命题的否定入手可解. 【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题. 已知集合，，且．用反证法证明． 【答案】证明见解析 【分析】求出集合A，假设，可得矛盾. 【详解】由，解得或3，所以， 假设，则必有，与矛盾，所以假设错误，所以． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 反证法 预习目标 知识回顾 1.了解反证法的思想以及反证法的表达方式(重点) 2.会写出一些常见陈述句的否定形式，进一步理解反证法证明问题的表达方式，初步会用反证法证明一些典型问题(重点) 1.理解充分条件、必要条件以及充要条件的含义，在简单的情形下作出正确的判断;能够通过反例说明既非充分又非必要条件(重点) 2.能借助推出关系判断充分条件、必要条件(重、难点) 3.在证明充要条件的过程中，初步学会准确、简洁的逻辑语言的使用，发展逻辑推理的素养(难点) 新知导图 预习精讲 知识点1 反证法的定义 要判断命题＂若 ，则 ＂是假命题，只要存在一个满足条件 但不满足结论 的对象就行．但是要判断命题＂若 ，则 ＂是真命题，就需要证明所有满足条件 的对象都满足结论 ，有时直接验证这一点并不是一件容易的身。我们可以首先假设结论 丕成立，然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明＂ 为假＂是不可能发生的，即结论 是正确的，这样的证明方法叫反证法． 一些常用的否定形式 陈述句 的否定形式 至少有2个 最多有1个 至多有2个 至少有3个 都是对的 不都是对的(至少有一个是错的) 至少存在一个不满足性质 至少存在一个满足性质 命题“，若 ，则或”用反证法证明时应假设为 ． 知识点2 反证法证明 反证法是间接论证的方法之一,亦称“逆证”是通过断定与结论相矛盾的论断的虚假来确立结论的真实性的论证方法 反证法的论证过程如下，根据结论设定与结论相矛盾的论断,并依据推理规则进行推演,证明与结论相矛盾的论断为假最后根据排中律,既然与结论相矛盾的论断为假,则结论便是真的 反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证比较困难而否定比较浅显时,就需要运用反证法。 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种,那么否定一种就可以了;如果有多种，那么必须一一否定 反证法的步骤 (1)假设结论不成立. (2)从假设出发推出矛盾. (3)假设不成立,则结论成立. 若，用反证法证明：和中至少有一个小于2． 题型速练 题型一、反证法的概念辨析 用反证法证明结论“、、至少有一个是正数”时，应假设（   ） A．、、都是正数 B．、、都不是正数 C．、、至多有一个正数 D．、、至多有两个正数 用反证法证明命题“，若可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应该是（    ） A．中至多有两个能被5整除 B．都能被5整除 C．不都能被5整除 D．都不能被5整除 用反证法证明：“已知，，求证：”时，应假设（   ） A．已知，且 B．已知，或 C．且 D．且 用反证法证明“若，则或”这个命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即________． 已知x，y是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设____________________. 用反证法证明：“若且，则且”时，第一步应假设___________． 用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 用反证法证明命题“若，则或”的过程中，应当作出的假设是___________． 用反证法证明命题：“若，则”时，应假设________. 用反证法证明：“已知是整数，若为偶数，则中至少有两个是偶数.”时，应假设：________． 题型二、反证法证明 已知、、，用反证法证明：若，则、、中至少有一个小. 证明：对于三个实数a、b、c，若，则或． 设.证明：若是偶数，则n也是偶数. 设，证明：“”不是“”的必要条件. 用反证法证明：“已知，若，则.” 平面几何中，“过在同一条直线上的三点、、不能作圆”，如何证明这个命题？ 用反证法证明：若、、，且，，，则中至少有一个不小于0． 设. (1)求证：； (2)若，求证：中至少有一个数是奇数. （1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 基础过关 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 用反证法证明命题“任何中最多只有一个内角是钝角”时，第一步是假设存在一个，该三角形的三个内角（    ） A．至少有一个内角是钝角 B．至少有两个内角是钝角 C．至少有一个内角不是钝角 D．至少有两个内角不是钝角 用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（    ） A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除 C．或不能被5整除 D．都不能被5整除 用反证法证明命题“ab可以被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时假设的内容应该是（    ） A．a、b都不能被5整除 B．a、b都能被5整除 C．a、b不都能被5整除 D．b能被5整除 用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为__________. 用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设__________. 若要用反证法证明“若，则且”，应假设为______ 证明：若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形． 求证: (1)若整数满足能被3整除，则也能被3整除； (2)是无理数； (3)是无理数. 能力提升 ①已知，求证，用反证法证明时，可假设；②设为实数，，求证与中至少有一个不小于，由反证法证明时可假设，且，以下说法正确的是 A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确，②的假设错误 D．①的假设错误，②的假设正确 著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______． 已知集合，，且．用反证法证明． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $