第03讲 集合之间的关系（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

第03讲 集合之间的关系 预习目标 知识回顾 1.掌握子集、真子集、空集的定义及其表示方法(重点) 2.能用符号和维恩图表示集合间的关系(重点) 3.理解和辨识集合之间的包含、相等、真包含关系 4.感悟分类讨论思想与数形结合思想(重、难点) 5.通过对子集定义的辨析、类比实数的大小关系，理解包含关系的三个结论(重点) 1. 自然语言：用文字描述集合元素特征 2. 列举法：大括号内逐一写出全部元素 3. 描述法：大括号内标注代表元素与限定条件 4. 区间：实数集合专用简化表达，包含开区间、闭区间 新知导图 预习精讲 定义 对于两个集合与,如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作（或），读作＂包含于＂（或＂包含＂）．对任何集合，规定． 我们常用维恩图来直观表示集合以及集合之间的关系．如图是的维恩图． （1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线. （2）用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显． 集合间关系的有关性质 （1）对于集合之间的包含关系，我们有下列结论： ① ； ②若且，则； ③传递性：若且，则． （2）集合关系中的＂若且，则＂与实数大小关系中＂若且 ，则＂类似． 下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可. 对于①，两个数集不能用符号，应为，①错误； 对于②，任何集合都是本身的子集，②正确； 对于③，空集是任何集合的子集，③正确； 对于④，集合是数集，有2个元素，集合是点集，只有1个元素，④错误； 所以正确的个数有2个. B. （2025·上海杨浦·期末）已知集合，且，则_____． 根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可． 由题意，, 若时，，满足题意； 若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 又，故若时，解得或， 若时，，满足题意， 当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 综上所述，. . 定义 对于两个集合与，如果，且中至少有一个元素不属于（即不是的子集），那么称集合是集合的真子集，记作（或），读作＂ 真包含于＂（或＂真包含＂）． 【注意：有的教材对真子集符号表示为，真包含于（或真包含）】 对于常用的数集，我们有如下的包含关系： 性质 （1）任何集合都不是它本身的真子集． （2）若，且，则． （3）若，且，则． （1）若 和 同时成立，则 更能准确表达集合 、 之间的关系． （2）真子集是子集的一种特殊情况. （3）真子集的定义同时也给出了证明是的真子集的方法，即欲证，可先证，再证中至少有一个元素不是集合中的元素． 满足的集合的个数为____________. 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 根据得到集合中一定有元素，再与其他几个数进行组合，得到满足要求的集合，得到答案. 因为 所以集合中一定有元素， 所以满足要求的集合有，，，，，，，共7个， 7 设集合，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 将两集合结构化为一致即可判断. ， 代表所有奇数，代表所有整数 所以 B 定义 已知两个集合与，若，且 ，则称这两个集合相等，记作．如图是集合 的维恩图． 两个集合相等除了用定义、互为集合子集的包含关系外，也可以用若两个集合相等，则集合元素之和、之积相等来解答问题 ＂＂与＂＂的区别 ＂＂是元素与集合之间的关系，如 ，不能写成；＂＂是集合与集合之间的关系（表示集合间关系的还有真包含关系＂＂），如，不能写成． 已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 根据集合中的元素满足的特征可得和，即可求解. 由于同号，又，所以均为负数，故则，故 对于任意中的元素，满足集合，故，因此， C 1.空集的定义 不含有任何元素的集合称为空集,记作 2.空集的性质 （1）空集是任何集合的子集,即 （2）空集是任何非空集合的真子集,即 （3）空集只有一个子集,即它本身. 空集是一个特殊且重要的集合,它不含任何元素,在解题过程中容易被忽视,特别是在隐含有空集参与的集合问题中,往往容易因忽视空集的特殊性而导致错误. 与的关系 与 与 与 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 是集合而是元素 不含任何元素； 含一个元素 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 或 写出集合 的所有子集，并指出哪些是真子集． 可以按照子集的元素个数分类： 不含任何元素的子集 1 个：空集 ； 含 1 个元素的子集 3 个： ； 含 2 个元素的子集 3 个： ； 含 3 个元素的子集 1 个： 。 除集合 本身外，其余 7 个都是真子集． 集合 的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 1 0 3 2 8=23 7 6 2n （2024·上海宝山阶段练习）满足的集合M的个数为____个. 通过列举法即可求解. 由题意可知：可以是：，，共3个， 3. 1. 数轴法 对于由连续实数组成的集合,通常用数轴来表示,这也属于集合表示的图示法:在数轴上,若端点值是集合中的元素则用实心点表示;若端点值不是集合中的元素,则用空心点表示. 集合与用数轴表示分别如图所示． 2. 数轴表示集合间的关系 （1）集合与集合的关系是 ，用数轴表示如图所示． （2）集合或与集合的关系是 ，用数轴表示如图所示． 题型速练 题型一．判断两个集合是否相同 下列表示同一集合的是（　　） A．，，， B．， C．， D．，， 【答案】 【分析】直接根据集合相等的概念进行判断即可． 【详解】解：对于选项，由集合元素具有无序性可得：，，，故正确； 对于选项，集合表示直线上所有的点构成的集合，而集合表示直线上所有的点的纵坐标的取值集合，两者不相同，故不正确； 对于选项，点与点是不同的点，故不正确； 对于选项，集合中有两个元素2和4，而集合中仅有1个元素，故不正确． 故选：． 【方法总结】 集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．元素一一对应：两个集合相同，需确保每个元素都在两个集合中出现，且没有遗漏．直接对比：对于简单集合，可以直接对比元素列举是否完全一致． 下列各项中两个集合不是同一个集合的是（　　） A．，，， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】根据集合相等的定义判断即可． 【解答】解：对于，由集合中元素具有无序性可知，，，，故错误； 对于，两个集合都是数集，且范围都是全体实数，所以是同一个集合，故错误； 对于，两个集合都是数集，描述的都是大于1的数，所以是同一个集合，故错误； 对于，两个集合都是点集，在平面直角坐标系中，点与点是不同的，不是同一个集合，故正确． 故选：． 下列表示同一集合的是（　　） A．，，， B．， C．， D．，， 【答案】 【分析】直接根据集合相等的概念进行判断即可． 【解答】解：对于选项，由集合元素具有无序性可得：，，，故正确； 对于选项，集合表示直线上所有的点构成的集合，而集合表示直线上所有的点的纵坐标的取值集合，两者不相同，故不正确； 对于选项，点与点是不同的点，故不正确； 对于选项，集合中有两个元素2和4，而集合中仅有1个元素，故不正确． 故选：． 下列各组中，集合与集合相等的一组是（　　） A．， B．， C．，，， D．，，， 【答案】 【分析】逐个分析四个选项中，元素的特点，即可得到判断． 【解答】解：由于中，，，所以与不表示同一个集合， 而中，中的元素不表示同一个点，所以与不表示同一个集合， 中，，3，5，7，，，，5，7，，元素不全相同，所以与不能表示同一个集合． 中，，，，元素相同，元素相同，表示同一集合． 故选：． 题型二．两个集合相等的应用 已知集合，2，，，1，，若，则　 　 ． 【分析】根据集合元素的性质可求，的值，即可解答． 【详解】解：因为集合，2，，，1，， 若， 则，，故． 故答案为：6． 【方法总结】 集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性． 已知集合，0，，，0，，且，则 　 　． 【答案】1． 【分析】根据集合相等的条件，由元素的相等列方程求解并检验集合中元素的互异性． 【详解】解：集合，0，，，0，，且，则， 解得或， 当，，0，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； ，，0，，符合题意． 故答案为：1． 含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，，，则　 　 ． 【答案】． 【分析】利用集合元素的互异性与集合相等计算即可． 【详解】解：由题意可知，，，， 所以根据集合元素的互异性可知，则， 则，此时需，即，所以． 故答案为：． 设集合，集合，． （1）若且，求集合． （2）若且，记的最小值为，写出集合的所有真子集． 【答案】（1），或，； （2），，． 【分析】（1）根据元素与集合的关系，以及集合相等的定义求解； （2）由，可得，即，再利用基本不等式求解即可． 【详解】解：（1）若，则， 因为，且集合，中有2个元素， 所以集合中也有2个元素， 所以，， 当时，，此时，， 所以，则，， 当时，，此时，， 所以，则，， 综上所述，，或，； （2）由，可得，即， 又因为，所以，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为2，即， 所以，， 所以集合的所有真子集为，，． 题型三．判断两个集合的包含关系 对任意的集合、，下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则、至少有一个为空集 D．若，则、至多有一个为空集． 【答案】 【分析】利用为任何集合的子集，为任何非空集合的真子集，判断选项，，利用特殊值法结合交集定义判断选项，利用并集定义结合含义判断选项． 【详解】解：对于选项，若，则是任何非空集合的真子集，当时，不是的真子集，故选项错误； 对于选项，因为为任何集合的子集，所以当，成立，故选项正确； 对于选项，当，时，，但，均为非空集合，故选项错误； 对于选项，若，则必须且，故选项错误． 故选：． 【解题方法点拨】 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 设集合，，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】将两集合结构化为一致即可判断． 【详解】解：， ， 代表所有奇数，代表所有整数， 所以． 故选：． 以下关系式错误的有几个（　　） ①； ②； ③； ④，，； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】结合元素与集合，集合与集合的关系检验各命题即可求解． 【详解】解：①错误； ②正确； ③正确； ④，，正确； ⑤错误． 故选：． 设集合，满足，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由并集的结果，判断两个集合的关系 【详解】解：因为， 所以， 即是的子集，不一定是真子集，也不一定相等． 故选：． 下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】 【分析】利用空集的性质以及子集，真子集的定义、元素与集合的属于关系、集合与集合的包含关系对各个问题逐个判断即可求解． 【详解】解：．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意； ．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意； ．若且，则，正确，符合题意； ．若且，则，不一定相等，故错误，不符合题意． 故选：． 题型四．Venn图表集合的包含关系 已知非空集合、，具有性质，具有性质．如果命题“如果，那么”为假命题，那么下列哪张关于集合、包含关系的图象一定不成立（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】“如果，那么”为假命题，集合具有的性质，集合不一定没具，根据集合的关系判断即可． 【详解】解：由题意，“如果，那么”为假命题，说明集合具有的性质，集合不一定没具有， 根据集合的基本关系，可得选项不满足题意； 故选：． 【解题方法点拨】 1.明确集合：了解每个集合的元素和定义． 2.绘制圆圈：使用圆圈表示集合，每个集合一个圆圈． 3.包含关系：一个集合完全包含于另一个集合，用一个圆圈完全包含另一个圆圈表示． 某中学为丰富社团活动，对初一学生进行了关于是否愿意加入动漫社、志愿者社、篮球社的意向调查，要求每位学生至少选择一个社团．统计结果如下：有52人愿意加入动漫社，40人愿意加入志愿者社，35人愿意加入篮球社；同时愿意加入动漫社和志愿者社的有20人，同时愿意加入动漫社和篮球社的有14人，同时愿意加入志愿者社和篮球社的有11人；三个社团都愿意加入的有5人．则参与此次意向调查的初一学生总人数为（　　） A．87 B．90 C．93 D．96 【答案】 【分析】根据题意，用韦恩图表示集合，可求解． 【详解】解：根据题意，设参加动漫社的同学组成集合， 参加志愿者社的同学组成集合，参加篮球社的同学组成集合， 因为52人愿意加入动漫社，40人愿意加入志愿者社，35人愿意加入篮球社；同时愿意加入动漫社和志愿者社的有20人，同时愿意加入动漫社和篮球社的有14人，同时愿意加入志愿者社和篮球社的有11人；三个社团都愿意加入的有5人， 用韦恩图表示集合，可得下图： 所以此次意向调查的总人数为：人． 故选：． 某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生．用来表示有限集合中元素的个数，若，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】将已知条件用图表示出来，然后逐项求解即可判断． 【详解】解：将已知条件用图表示出来如下图， 对，故错误； 对，故正确； 对，故错误； 对，故错误． 故选：． 学校举办秋季趣味运动会，高一（6）班共42名学生报名参加，已知报名参加跑步的有16人，参加跳绳的有24人，参加踢毽子的有12人，其中有8人兼报了两个项目，则兼报三个项目的共 　 　人． 【答案】1人． 【分析】根据重复计算的数量来计算出正确答案． 【详解】解：由题意可知，兼报三个项目的人数为人． 故答案为：1人． 上海某高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有　 　 人． 【答案】18． 【分析】假设只参加集体项目比赛的有人，根据题设及容斥原理列方程求值即可． 【详解】解：由题可得：此参加比赛项目的总人数为， 因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人， 设只参加集体项目比赛一项的有人， 则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人． 故答案为：18． 题型五．集合的包含关系的应用 设，集合，，若，则符合条件的实数组成的集合为　 　 ． 【答案】． 【分析】由集合间的包含关系确定中的元素都在中，进而讨论的取值即可． 【详解】解：由题意可知，集合，，因为， 当时，，符合题意， 当时，， 则或， 解得或， 综上，实数组成的集合为． 故答案为：，，． 【解题方法点拨】 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 已知集合，，，3，，若，则　 　 ． 【答案】4． 【分析】利用子集的定义求解． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：4． 已知集合，，，，，且，则实数的值为 　 　 ． 【分析】由集合包含关系得到即可求解； 【详解】解：因为集合，，，，，且， 所以， 解得． 故答案为：． 已知集合为不等式的解集． （1）求集合； （2）若，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）解不等式可得集合； （2）根据集合间的关系列不等式组求解． 【详解】解：（1）原不等式等价于，即， 解得； （2）， 若，则，， 解得实数的取值范围是，． 记关于的不等式的解集为，不等式的解集为． （1）若，求． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）把分式不等式转化为整式不等式，求出集合即可； （2）由，可得，先求出集合，对分情况讨论，求出结合，进而根据列出不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：（1）当时，，即，即， 解得， 所以集合； （2）由，可得， 由不等式，可得， 解得， 所以集合， 不等式可化为：，即， 等价于， 当时，不等式的解集为， 即， 由，可得， 当时，不等式的解集为，即，符合， 当时，不等式的解集为， 即， 由，可得， 综上所述，实数的取值范围为，． 题型六．集合中元素个数的最值 已知集合，2，3，，，，若对于中的任意两个不同的元素，，都有，则中元素个数的最大值为（　　） A．675 B．676 C．2025 D．2026 【答案】 【分析】根据题意可以得到中的任意两个不同的元素，，若，都有，进而得到的最小值为3，进而求解即可． 【详解】解：依题意，，不妨设，都有． 要想所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3． 将这2027个元素按如下分组： ，2，，，5，，，8，，，，2024，，，， 故应在前675组中按周期3每组取一个元素，且第一组中不能取3， 第一组中取1时，可得，4，7，，2023，或，4，7，，2023，这样的集合， 第一组取2可得，5，8，，2024，， 其中任意两元素满足都有， 所以所含元素个数的最大值为． 故选：． 设，，，，是均含有2个元素的集合，且，，2，3，，，记，则中元素个数的最小值是 　 　． 【答案】5． 【分析】先得到与的元素不同，则元素个数为4，并得到中元素个数至少4个，进而对元素的个数由小到大进行分类分析验证是否满足． 【详解】因为，，2，3，，， 所以元素个数为4，所以中元素个数至少4个， ①假设集合中含有5个元素，可设，，，， ，，，，，，满足题意． ②假设集合中含有4个元素，可设，，则，， ，，这与矛盾； 综上所述，集合中元素个数最少为5． 故答案为：5． 已知集合为非空数集，定义集合，，，集合，，． （1）若集合，，直接写出集合、； （2）若集合，，，，，且，求证：且； （3）若集合，，，求集合中元素个数的最大值． 【答案】（1）集合，，则，5，，，． 证明：（2）由于集合，，，，， 且，所以中也只包含四个元素，即，，，， 剩下的，所以， 因为，所以集合对应元素有如下关系：，，，， 故必有；再由，即， 即得成立， 故，且成立． （3）1350． 【分析】（1）直接根据题目中条件，直接求出集合，元素即可． （2）利用条件中，通过两个集合对应元素相等即可证明结论成立． （3）根据题意，结合题目中的条件定义和要求，解题过程和表达格式可以自主创新，先求得最大值结果，再进行证明即可． 【详解】解：（1）集合，，则，5，，，； 证明：（2）由于集合，，，，，且； 所以中也只包含四个元素，即，，，； 剩下的，所以； 因为，所以集合对应元素有如下关系：，，，， 故必有； 再由，即； 即得成立； 故，且成立． 解：（3）设，，，满足题意，其中， 则； 记丨丨表示集合中元素的个数，丨丨表示集合中元素的个数， 丨丨表示集合中元素的个数； 则丨丨，； 所以丨丨，因为，丨丨丨丨丨丨， 中最小的元素为0，最大的元素为，所以丨丨， 所以，所以， 因为，所以； 实际上当，677，678，，时满足题意． 证明如下：设，，，，，， 则，，，，，，1，2，，， 依题意有，即，故的最小值为676， 于是当时，中元素最多， 即，677，678，，时满足题意． 综上所述：集合中元素个数的最大值为1350． 设为正整数，集合，，，，，，2，，，对于集合中的任意元素，，，和，，，，记． （1）当时，若，1，，，1，，求和的值； （2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素、，当、相同时，是奇数，当、不同时，是偶数，求集合中元素个数的最大值． 【分析】（1）直接根据定义计算． （2）注意到1的个数的奇偶性，根据定义反证证明． 【详解】解：（1），． （2）考虑数对，只有四种情况：、、、，相应的分别为0、0、0、1， 所以中的每个元素应有奇数个1， 所以中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素） ，0，0，0 、，1，0，、，0，1，、，0，0，， ，1，1，、，0，1，、，1，0，、，1，1，， 对于任意两个只有1个1的元素，都满足是偶数， 所以四元集合，0，0，、，1，0，、，0，1，、，0，0，满足 题意， 假设中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素， 除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素， 则互补元素中含有1个1的元素与之满足不合题意， 故中元素个数的最大值为4． 【特别提醒】 求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决． 题型七．子集的判断与求解 若集合的子集只有两个，则实数　 　． 【分析】用描述法表示的集合元素个数问题，用到一元方程解的个数，用判别式与零的关系，当方程有一个解时，判别式等于零． 【详解】解：因为集合的子集只有两个， 所以中只含一个元素． 当时，； 当时，若集合只有一个元素，由一元二次方程判别式 △得． 综上，当或时，集合只有一个元素． 故答案为：0或． 【特别提醒】 ①空集是所有集合的子集； ②所有集合都是其本身的子集； ③空集是任何非空集合的真子集. 已知集合，的所有子集只有两个，则实数的值为　 　 ． 【答案】0或4． 【分析】由题意可知，集合中只有一个元素，分和两种情况求解即可． 【详解】解：因为集合，的所有子集只有两个， 所以集合中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，则△， 解得， 综上所述，实数的值为0或4． 故答案为：0或4． 设集合，若集合的子集有且仅有两个，则实数的值为　 　 ． 【答案】0或1． 【分析】由题意确定集合为单元素集，再通过和两种情况讨论即可． 【详解】解：因为集合的子集有且仅有两个， 所以集合为单元素集， ①当时，要使方程只有一解，则△， 此时集合，符合题意； ②当时，，解得，此时集合，符合题意； 综上，实数的值为0或1． 故答案为：0或1． 满足条件，，2，3，，的集合的个数为　 　 ． 【答案】4． 【分析】根据集合间的运算结果可得集合的个数． 【详解】解：由题意，，4，，2，， 则集合可能为，4，，，3，4，，，3，4，，，2，，共4种情况． 故答案为：4． 设集合，，，，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则　 　． 【答案】8． 【分析】利用子集的定义计算即可． 【详解】解：易知的非空子集为，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，，， 则所有非空子集的元素之和为． 故答案为：8． 题型八．空集及空集的性质 集合为空集，则实数的取值范围是　 　 ． 【答案】． 【分析】根据集合为空集，由方程无解得解． 【详解】解：由可得， 当，即时，方程无解，即， 则实数的取值范围是． 故答案为：． 两条平行直线的交点组成的集合是 　 　．（用符号表示） 【答案】． 【分析】直接根据平行线的定义及空集的符号得到答案． 【详解】解：两条平行直线没有交点，所以它们交点组成的集合是空集． 故答案为：． 设，是实数，若关于，的方程组的解集为，则实数，所满足的条件为 　 　． 【答案】且． 【分析】由题意方程组消元后所得方程无解即可． 【详解】解：关于，的方程组的解集为， 则消元后无解， 故，解得且． 故答案为：且． 已知集合为空集，则　 　． 【答案】0． 【分析】根据已知条件，结合空集的定义，即可求解． 【详解】解：集合为空集， 则． 故答案为：0． 不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是　 　． 【分析】从反面分析，根据题意，的解集为，若这个不等式组的解集是空集，则有，即的解集为的子集，分析可得的范围，进而可得答案． 【详解】解：根据题意，的解集为， 若这个不等式组的解集是空集， 则，即的解集为的子集， 分析可得，当，成立； 故当时，该不等式组的解集不是空集， 故答案为． 【方法点拨】 解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝B⇔B⊆A，实际上包含3种情况： ①B＝∅； ②B⊂A且B≠∅； ③B＝A；往往遗漏B是∅的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则”，就是首先考虑空集． 题型九．子集的个数 已知集合满足，，，，，，，，则不同的有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】 【分析】根据集合间的关系以及子集定义可解． 【详解】解：已知集合满足，，，，，，，， 若中有三个元素，则，，； 若中有四个元素，则，，，或，，，或，，，； 若中有五个元素，则，，，，或，，，，或，，，，； 若中有六个元素，则，，，，，，共有8个． 故选：． 【方法总结】 一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集． 已知，则集合的非空真子集的个数为 　 　． 【答案】6． 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，可知，3，，即可求得结果． 【详解】解：由题意，是15的约数，又， 则可以是3，5，15，此时，3，13，得，3，， 所以集合的非空真子集的个数为个． 故答案为：6． 设集合满足，，0，1，2，，则满足条件的集合有　 　 个． 【答案】8． 【分析】根据，2，的子集共有个，即可求解． 【详解】解：，2，的子集共有个， 由于集合满足，，0，1，2，，故中一定含，0，可能含1，2，3中的0个，1个，2个或3个， 故符合条件的集合有8个． 故答案为：8． 满足，，1，2，3，4，条件的集合的个数有　 　 个． 【答案】15． 【分析】依题意可得，，且，，求出集合，2，4，的非空子集个数，即可得解． 【详解】解：因为，，1，2，3，4，， 所以，，且，， 即中除了元素1和3外至少还有一个元素， 所以集合的个数即为集合，2，4，的非空子集个数，即个． 故答案为：15． 已知集合，，若集合有3个真子集，则实数的取值范围为 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据真子集个数可得集合中元素，据此求出参数范围． 【详解】解：由集合，有3个真子集， 得中有2个元素，可得，， 所以，解得． 故答案为：． 若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为________ ． 【分析】由题意可知，集合有1个元素，即方程有1个解，从而求出的值即可． 【详解】解：因为集合有且仅有两个子集， 所以集合有1个元素， 即方程有1个解， 即方程有1个解， 所以方程有1个解， 所以或， 解得或， 实数的取值集合为，． 故答案为：，． 满足，，，，的集合有　 　 个． 【答案】15． 【分析】分析可知集合的个数即为集合，，，的非空子集的个数，进而可得结果． 【详解】解：因为，，，，， 所以集合一定含元素，可能含，，，，且， 所以的个数即集合，，，的非空子集的个数， 所以满足条件的集合的个数为：． 故答案为：15． 设集合满足，，0，1，，则满足条件的集合有　 　 个． 【答案】3． 【分析】利用子集、真子集的定义直接求解． 【详解】解：集合满足，，0，1，， ，，，0，，，0，， 满足条件的集合的个数为3． 故答案为：3． 基础过关 若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据集合子集的性质可得 【详解】因为集合共含有个元素， 因此A的子集个数为 集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【详解】因为， 所以集合有5个元素，故的非空子集个数是． 满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 已知集合满足，则实数的值是（   ） A．0或 B．1或 C．0或或1 D．0或 【答案】C 【分析】分、两种情况讨论，分别确定集合，即可求出参数的集合. 【详解】因为，且， 当时，符合题意； 当时，又，所以或，解得或， 综上可得实数的取值集合为. 故选：C. 满足条件的集合的个数是___________． 【答案】3 【分析】根据给定条件，写出的所有可能结果即可得解. 【详解】由，得集合有可能情况为， 所以集合的个数是3. 故答案为：3 下列表达式中正确的序号是________. ①；②；③； ④. 【答案】②④ 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系，逐个判定，即可求解. 【详解】因为是无理数，所以，故①错误； 因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确； 根据集合之间的关系，可得，所以③错误； 由集合为自然数集，为整数集，所以，所以④正确. 故答案为：②④. 已知集合，则__________．（请在横线上填写“”､“”或“”） 【答案】 【分析】根据，为奇数即可求解. 【详解】由于，为奇数， 而为任意整数， 所以，即. 故答案为： 已知集合，，若，则____________. 【答案】 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由题意得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意得：，所以． 故答案为：. 已知集合，，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】先解方程得，再根据集合间的基本关系，分类讨论计算参数即可. 【详解】由可得或，则， 而当时，此时，符合题意； 当时，则，即， 要符合题意，需，或，即或， 综上所述实数的取值范围是. 故答案为： 已知集合，，且.若，求实数的值. 【答案】 【分析】解出，由题意知或或，由此即可解出实数的值. 【详解】因为 所以 解得或， 所以， 因为且， 所以或或， 当时，，方程无解； 当时，； 当时，，方程无解； 综上所述：. 能力提升 6．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 设，已知集合，若集合是集合的个不同非空子集，且，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】A 【分析】根据所有子集的并集不等于集合可知集合中至少比所有非空子集的并集多一个元素，仅多一个元素时可以求得最大，再进行反证法验证即可. 【详解】由可知所有非空子集的并集缺少集合中至少一个元素， 假设缺少元素1，则所有非空子集均不含元素1，即是集合非空子集， 集合的非空子集个数为，且这些子集的并集必不含1，满足条件. 假设，要满足所有非空子集的并集不等于集合，必须至少有一个集合中的元素不在任何一个子集中，否则并集就会等于， 设这个缺失的元素是1，那么个非空子集都不含元素1， 即每个子集都是集合的非空子集， 而集合只有个不同的非空子集， 所以无法从中取出至少16个不同的非空子集， 因此假设不成立，必须小于16，所以的最大值为15， 故选：A. 已知非空数集满足：若任意，则，且，给出以下命题：①若是有限集，则；②若，则；③若，则；④存在集合，使得；则真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据非空数集的性质，结合有理数、无理数的性质、子集的定义逐一判断即可. 【详解】①：是有限集，若， 所以为无限集，与是有限集矛盾， 所以，因此本序号说法正确； ②：，例如取，显然不成立，所以本序号说法不正确； ③：若，例如取，所以不成立，所以本序号说法不正确； ④：设， 显然当时， ， 当时，， 当时，， ， 当时，， 当时，， 所以符合题中定义，因此本序号说法正确. 故选：B 已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设，证明：若，则. 【答案】(1)254 (2)证明见解析 【分析】（1）先分类讨论求出集合A，然后求出集合A的非空真子集个数； （2）结合条件设，将7x变形为，即可证明. 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，； 所以，它有8个元素，有个非空真子集； （2）因为，所以设， 所以，得证. 挑战一刻 已知集合，其中．若存在正数，使得对任意，都有，则的取值集合为___________． 【答案】 【分析】先得到，，根据得到不等式组，求出，求出，得到答案. 【详解】，显然，故， 因为，，则， 又为正数，则，其中， 结合题设可得为的子集， 因为，则且， 由得， 由得， 所以，解得， 故答案为：. 已知全集，非空集合，若在平面直角坐标系中，对S中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在S中，则以下命题： ①若，则； ②若，则中至少有8个元素； ③若，则中元素的个数可以为奇数． 其中正确命题的序号为______． 【答案】① 【分析】对于①，根据定义和点关于坐标轴对称的性质可判断；对于②，若，则S中至少有4个元素，故错误；对于③，若，则中元素的个数一定为成对出现，故为偶数； 【详解】S中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称， 所以当，则有，，， 进而有：，，，， ①若，则，故①正确； ②若，则，，，能确定4个元素，故②不正确； ③根据题意可知，，若，能确定4个元素， 当，也能确定个，当，能确定4个或8个， 所以若，则S中元素的个数一定为偶数，故③错误； 综上：①正确． 故答案为：①． 已知集合，集合、、满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的积为___________. 【答案】 【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可. 【详解】因为、、满足:①每个集合都恰有4个元素；②， 所以、、一定各包含4个不同数值， 根据题意、、的最小元素必有，最大元素必有， 要使最小，则、、中最小元素分别为，而除外的另两个最大元素要尽量小， 如的最小元素为，最大元素为，此时要使、中最大元素尽可能小， 则，必属于，此时还剩下的最大数为， 则必为、中的最大元素，不妨令，要使中最大元素尽可能小， 则、必属于，此时还剩下的最大数为，即中最大元素为， 如，特征数为； ，特征数为；，特征数为； 此时最小，最小值为； 同理，当集合中元素的最小值分别是1，4，7，最大值是12，11，10时， 特征数的和最大，如：，特征数为； ，特征数为；，特征数为； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的积为. 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 集合之间的关系 预习目标 知识回顾 1.掌握子集、真子集、空集的定义及其表示方法(重点) 2.能用符号和维恩图表示集合间的关系(重点) 3.理解和辨识集合之间的包含、相等、真包含关系 4.感悟分类讨论思想与数形结合思想(重、难点) 5.通过对子集定义的辨析、类比实数的大小关系，理解包含关系的三个结论(重点) 1. 自然语言：用文字描述集合元素特征 2. 列举法：大括号内逐一写出全部元素 3. 描述法：大括号内标注代表元素与限定条件 4. 区间：实数集合专用简化表达，包含开区间、闭区间 新知导图 预习精讲 定义 对于两个集合与,如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作（或），读作＂包含于＂（或＂包含＂）．对任何集合，规定． 我们常用维恩图来直观表示集合以及集合之间的关系．如图是的维恩图． （1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线. （2）用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显． 集合间关系的有关性质 （1）对于集合之间的包含关系，我们有下列结论： ① ； ②若且，则； ③传递性：若且，则． （2）集合关系中的＂若且，则＂与实数大小关系中＂若且 ，则＂类似． 下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可. 对于①，两个数集不能用符号，应为，①错误； 对于②，任何集合都是本身的子集，②正确； 对于③，空集是任何集合的子集，③正确； 对于④，集合是数集，有2个元素，集合是点集，只有1个元素，④错误； 所以正确的个数有2个. B. （2025·上海杨浦·期末）已知集合，且，则_____． 根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可． 由题意，, 若时，，满足题意； 若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 又，故若时，解得或， 若时，，满足题意， 当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 综上所述，. . 定义 对于两个集合与，如果，且中至少有一个元素不属于（即不是的子集），那么称集合是集合的真子集，记作（或），读作＂ 真包含于＂（或＂真包含＂）． 【注意：有的教材对真子集符号表示为，真包含于（或真包含）】 对于常用的数集，我们有如下的包含关系： 性质 （1）任何集合都不是它本身的真子集． （2）若，且，则． （3）若，且，则． （1）若 和 同时成立，则 更能准确表达集合 、 之间的关系． （2）真子集是子集的一种特殊情况. （3）真子集的定义同时也给出了证明是的真子集的方法，即欲证，可先证，再证中至少有一个元素不是集合中的元素． 满足的集合的个数为____________. 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 根据得到集合中一定有元素，再与其他几个数进行组合，得到满足要求的集合，得到答案. 因为 所以集合中一定有元素， 所以满足要求的集合有，，，，，，，共7个， 7 设集合，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 将两集合结构化为一致即可判断. ， 代表所有奇数，代表所有整数 所以 B 定义 已知两个集合与，若，且 ，则称这两个集合相等，记作．如图是集合 的维恩图． 两个集合相等除了用定义、互为集合子集的包含关系外，也可以用若两个集合相等，则集合元素之和、之积相等来解答问题 ＂＂与＂＂的区别 ＂＂是元素与集合之间的关系，如 ，不能写成；＂＂是集合与集合之间的关系（表示集合间关系的还有真包含关系＂＂），如，不能写成． 已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 根据集合中的元素满足的特征可得和，即可求解. 由于同号，又，所以均为负数，故则，故 对于任意中的元素，满足集合，故，因此， C 1.空集的定义 不含有任何元素的集合称为空集,记作 2.空集的性质 （1）空集是任何集合的子集,即 （2）空集是任何非空集合的真子集,即 （3）空集只有一个子集,即它本身. 空集是一个特殊且重要的集合,它不含任何元素,在解题过程中容易被忽视,特别是在隐含有空集参与的集合问题中,往往容易因忽视空集的特殊性而导致错误. 与的关系 与 与 与 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 是集合而是元素 不含任何元素； 含一个元素 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 或 写出集合 的所有子集，并指出哪些是真子集． 可以按照子集的元素个数分类： 不含任何元素的子集 1 个：空集 ； 含 1 个元素的子集 3 个： ； 含 2 个元素的子集 3 个： ； 含 3 个元素的子集 1 个： 。 除集合 本身外，其余 7 个都是真子集． 集合 的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 1 0 3 2 8=23 7 6 2n （2024·上海宝山阶段练习）满足的集合M的个数为____个. 通过列举法即可求解. 由题意可知：可以是：，，共3个， 3. 1. 数轴法 对于由连续实数组成的集合,通常用数轴来表示,这也属于集合表示的图示法:在数轴上,若端点值是集合中的元素则用实心点表示;若端点值不是集合中的元素,则用空心点表示. 集合与用数轴表示分别如图所示． 2. 数轴表示集合间的关系 （1）集合与集合的关系是 ，用数轴表示如图所示． （2）集合或与集合的关系是 ，用数轴表示如图所示． 题型速练 题型一．判断两个集合是否相同 下列表示同一集合的是（　　） A．，，， B．， C．， D．，， 【方法总结】 集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．元素一一对应：两个集合相同，需确保每个元素都在两个集合中出现，且没有遗漏．直接对比：对于简单集合，可以直接对比元素列举是否完全一致． 下列各项中两个集合不是同一个集合的是（　　） A．，，， B．， C．， D．， 下列表示同一集合的是（　　） A．，，， B．， C．， D．，， 下列各组中，集合与集合相等的一组是（　　） A．， B．， C．，，， D．，，， 题型二．两个集合相等的应用 已知集合，2，，，1，，若，则　 　 ． 【方法总结】 集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性． 已知集合，0，，，0，，且，则 　 　． 含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，，，则　 　 ． 设集合，集合，． （1）若且，求集合． （2）若且，记的最小值为，写出集合的所有真子集． 题型三．判断两个集合的包含关系 对任意的集合、，下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则、至少有一个为空集 D．若，则、至多有一个为空集． 【解题方法点拨】 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 设集合，，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 以下关系式错误的有几个（　　） ①； ②； ③； ④，，； ⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 设集合，满足，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 题型四．Venn图表集合的包含关系 已知非空集合、，具有性质，具有性质．如果命题“如果，那么”为假命题，那么下列哪张关于集合、包含关系的图象一定不成立（　　） A． B． C． D． 【解题方法点拨】 1.明确集合：了解每个集合的元素和定义． 2.绘制圆圈：使用圆圈表示集合，每个集合一个圆圈． 3.包含关系：一个集合完全包含于另一个集合，用一个圆圈完全包含另一个圆圈表示． 某中学为丰富社团活动，对初一学生进行了关于是否愿意加入动漫社、志愿者社、篮球社的意向调查，要求每位学生至少选择一个社团．统计结果如下：有52人愿意加入动漫社，40人愿意加入志愿者社，35人愿意加入篮球社；同时愿意加入动漫社和志愿者社的有20人，同时愿意加入动漫社和篮球社的有14人，同时愿意加入志愿者社和篮球社的有11人；三个社团都愿意加入的有5人．则参与此次意向调查的初一学生总人数为（　　） A．87 B．90 C．93 D．96 某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，记是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生．用来表示有限集合中元素的个数，若，，，，则（　　） A． B． C． D． 学校举办秋季趣味运动会，高一（6）班共42名学生报名参加，已知报名参加跑步的有16人，参加跳绳的有24人，参加踢毽子的有12人，其中有8人兼报了两个项目，则兼报三个项目的共 　 　人． 上海某高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有　 　 人． 题型五．集合的包含关系的应用 设，集合，，若，则符合条件的实数组成的集合为　 　 ． 【解题方法点拨】 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 已知集合，，，3，，若，则　 　 ． 已知集合，，，，，且，则实数的值为 　 　 ． 已知集合为不等式的解集． （1）求集合； （2）若，且，求实数的取值范围． 记关于的不等式的解集为，不等式的解集为． （1）若，求． （2）若，求实数的取值范围． 题型六．集合中元素个数的最值 已知集合，2，3，，，，若对于中的任意两个不同的元素，，都有，则中元素个数的最大值为（　　） A．675 B．676 C．2025 D．2026 设，，，，是均含有2个元素的集合，且，，2，3，，，记，则中元素个数的最小值是 　 　． 已知集合为非空数集，定义集合，，，集合，，． （1）若集合，，直接写出集合、； （2）若集合，，，，，且，求证：且； （3）若集合，，，求集合中元素个数的最大值． 设为正整数，集合，，，，，，2，，，对于集合中的任意元素，，，和，，，，记． （1）当时，若，1，，，1，，求和的值； （2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素、，当、相同时，是奇数，当、不同时，是偶数，求集合中元素个数的最大值． 【特别提醒】 求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决． 题型七．子集的判断与求解 若集合的子集只有两个，则实数　 　． 【特别提醒】 ①空集是所有集合的子集； ②所有集合都是其本身的子集； ③空集是任何非空集合的真子集. 已知集合，的所有子集只有两个，则实数的值为　 　 ． 设集合，若集合的子集有且仅有两个，则实数的值为　 　 ． 满足条件，，2，3，，的集合的个数为　 　 ． 设集合，，，，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则　 　． 题型八．空集及空集的性质 集合为空集，则实数的取值范围是　 　 ． 两条平行直线的交点组成的集合是 　 　．（用符号表示） 设，是实数，若关于，的方程组的解集为，则实数，所满足的条件为 　 　． 已知集合为空集，则　 　． 不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是　 　． 【方法点拨】 解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝B⇔B⊆A，实际上包含3种情况： ①B＝∅； ②B⊂A且B≠∅； ③B＝A；往往遗漏B是∅的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则”，就是首先考虑空集． 题型九．子集的个数 已知集合满足，，，，，，，，则不同的有（　　） 【方法总结】 一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集． 已知，则集合的非空真子集的个数为 　 　． 设集合满足，，0，1，2，，则满足条件的集合有　 　 个． 满足，，1，2，3，4，条件的集合的个数有　 　 个． 已知集合，，若集合有3个真子集，则实数的取值范围为 　 　 ． 若集合有且仅有两个子集，则实数的取值集合为________ ． 满足，，，，的集合有　 　 个． 设集合满足，，0，1，，则满足条件的集合有　 　 个． 基础过关 若，则A的子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 集合且的非空子集的个数为（   ） A．15 B．31 C．32 D．64 满足   的所有集合的个数是（   ） A． B． C． D． 已知集合满足，则实数的值是（   ） A．0或 B．1或 C．0或或1 D．0或 满足条件的集合的个数是___________． 下列表达式中正确的序号是________. ①；②；③； ④. 已知集合，则__________．（请在横线上填写“”､“”或“”） 已知集合，，若，则____________. 关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为__________． 已知集合，，则实数的取值范围是_______. 已知集合，，且.若，求实数的值. 能力提升 6．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 设，已知集合，若集合是集合的个不同非空子集，且，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 已知非空数集满足：若任意，则，且，给出以下命题：①若是有限集，则；②若，则；③若，则；④存在集合，使得；则真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设，证明：若，则. 挑战一刻 已知集合，其中．若存在正数，使得对任意，都有，则的取值集合为___________． 已知全集，非空集合，若在平面直角坐标系中，对S中的任意点，与关于轴、轴以及直线对称的点也均在S中，则以下命题： ①若，则； ②若，则中至少有8个元素； ③若，则中元素的个数可以为奇数． 其中正确命题的序号为______． 已知集合，集合、、满足：①每个集合都恰有4个元素；②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的积为___________. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $