专题04 函数（5年汇编）（河南专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 河南中考函数专题5年真题1年模拟汇编，覆盖平面直角坐标系、一次函数等6大考点，融合红色研学、科技传感器等真实情境，分层设计基础题与压轴题，适配中考命题规律。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|3-9分/题|平面直角坐标系（坐标变换）、反比例函数（k值几何意义）|结合2026年红军长征研学考函数图象信息，2024年折叠问题考坐标特征| |解答题|10-11分/题|一次函数应用（利润最值）、二次函数压轴（动点面积）|2025年二次函数结合工程问题，第一问求解析式送分，第三问考分类讨论；汇编2022-2026河南中考真题及2026各地一模创新题|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04函数 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 河南考情(2022-2026) 命题规律 基础考点，常与函数结合 考查；题型：选择、填 重点考查点的坐标特征、对称变换、平移规律、象限 考点01平面直角 符号判断；常与函数图象、几何图形结合考查：难度 空；分值：3分左右： 坐标系 2022-2026年作为函数题 较低，属基础得分点；坐标轴上点的特征、中点坐标 基础载体频繁出现 为常见考法 近5年高频考查；题型： 常以行程问题、工程问题、销售利润等实际情境为背 考点02从函数图 选择题第8-10题位置；分 景；考查从图象中读取关键点坐标、判断变化趋势、 值：3分；2022-2026年多 计算速度效率等；重点考查数形结合能力与信息提取 象获取信息 数年份考查，常出现在选 能力：易错点为横纵坐标含义混淆、分段函数分界点 择压轴位置 判断 近3年100%必考，6年6 重点考查解析式求解（待定系数法）、图象性质（增 考；题型：选择、填空、 减性、截距、经过象限)、实际应用：常与反比例函 考点03一次函数 中档解答题：分值：4-9 数、方程不等式综合考查；行程图象、利润最值为常 分：2022-2026年连续考 见实际模型；难度中等，属中档得分关键；表达式确 查，应用6年6考 定6年2考，应用6年6考 近6年4考，压轴核心基 重点考查三种解析式（一般式、顶点式、交点式）转 考点04二次函数 础考点：题型：选择题、 化、开口方向对称轴项点坐标、最值、系数符号判 解答题压轴第一问；分 断、平移变换；选择题常考系数a、b、c符号判断 的图象与性质 值：3-5分；2022-2026年 ("左同右异")；解答题第一问固定求解析式送分： 每年必考 2026年第22题以"黄金搭档点"新定义形式综合考查 近3年作为压轴题必考； 压轴题核心，常与几何图形综合考查；常见考法：动 点面积最值、特殊图形（等腰直角平行四边形）存在 考点05二次函数 题型：解答题第22/23 题：分值：10-11分： 性、参数探究、分类讨论；设问梯度清晰，第一问求 的应用 2022-2026年连续考查， 解析式为送分题；侧重考查分类讨论思想与逻辑推导 能力：是110叶高分核心分水岭；2025年第23题考查抛 为试卷核心拉分点 物线平移后区间最值 考点06反比例函 近3年100%必考；题 河南中考特色必考考点，固定聚焦k值几何意义、图象 型：填空第11-12题、解 数 对称性；常与一次函数、几何图形（直角三角形、矩 答题第18/19题：分值： 形)综合考查；常结合尺规作图命题；面积计算为高 1/33 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3-9分；2022-2026年连续 频题型：8年5考与几何图形综合；题型成熟稳定，方 考查，河南中考特色考点 法固定，极易稳分 五年真题分类园 品 考点01平面直角坐标系 1. (2026河南中考真题)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴上，对角线OB,AC 交于点P,OA=2,OC=4.将矩形OABC向左平移，当点P的对应点落在y轴上时，点A的对应点的坐 标为() B A.-2,2 B.-2,1 c.0,2 D.0,1 2.(2024河南中考真题)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为 -2,O,点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为O,6,则点E的 坐标为 y本 B 考点02从函数图象获取信息 3.(2026河南·中考真题)今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上 午8：00从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度V(km/h)与步行全程所用 时间t(h)的函数关系如图1所示. 2/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Av(km/h) y/km P 01234h00.250.751.251.752h 图1 图2 (I)求V关于t的函数表达式. (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过2.5h,那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发025h后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、 发放补给物品后，再去长征纪念广场.李老师、学生已走路程y(km)与学生步行时间t(h)的函数关系 如图2所示.下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为1h: ②李老师比学生先到达长征纪念广场： ③学生从学校到补给点所走路程为4km. 其中正确说法的序号是· 4.(2025河南·中考真题)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速 的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速Vkm/h之间的函数关系如图所示.下列说法中 错误的是() 0.9 0.75 0.71 025 60 v(km/h) A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B.当0≤V≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h D.若车速从25km/h增大到60km/h,则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 5.(2024河南·中考真题)把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线 会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电 流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图 3/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2),下列结论中错误的是() 超负荷了！ I/A个 Q/J个 440P/W 图1 图2 A.当P=440W时，I=2A B,Q随I的增大而增大 C.I每增加1A,Q的增加量相同 D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 6.(2022河南·中考真题)呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车. 酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R),R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2）， 血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3.下列说法不正确的是() 个R/2 1001 信息窗 80 M=2200×K×103mg/100ml 60 (M为血液酒精浓度，K为呼气酒精浓度) 40 非酒驾(Mk20mg/100ml) R2 A 酒驾(20mg/100ml,≤M≤80mg/100ml) 20 44-4-L--- 醉驾(M心80mg/100ml) 0 10203040KJ×10mg/100ml, 图1 图2 图3 A. 呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小B.当K=0时，R1的阻值为100 C.当K=10时，该驾驶员为非酒驾状态D.当R1=20时，该驾驶员为醉驾状态 品 考点03一次函数 7.（2026河南·中考真题)请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数表达式 8.(2022河南·中考真题)请写出一个y随X增大而增大的一次函数表达式 9.(2025河南·中考真题)为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两 种苹果.已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和 为800元. 4/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1)求甲、乙两种苹果每箱的售价. (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数.求该 公司最少需花费多少元 10.(2024河南中考真题)为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加 义务植树活动，并准备了A,B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g,营养成分表如下， 营养成分表 B A 营养成分表 项目 每50g 项目 每50g 热量 700kJ 热量 900kJ 蛋白质 10g 蛋白质 15g 脂肪 5.3g 脂肪 18.2g 碳水化合物 28.7g 碳水化合物 6.3g 钠 205mg 钠 236mg (1)若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A,B两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中 的蛋白质含量不低于90g,且热量最低，应如何选用这两种食品？ 11.（2022河南·中考真题)近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版)，将劳动 从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购 批菜苗开展种植活动。据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的2倍，用300元在市场上购买 的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆. (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格. (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买A,B两种菜苗共100捆，且A种菜苗 的捆数不超过B种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对A,B两种菜苗均提供九折优惠.求本次购 买最少花费多少钱 考点04二次函数的图象与性质 5/33 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2025河南·中考真题)在二次函数y=ax+bx-2中，x与y的几组对应值如下表所示. -2 0 -2 -2 1 4-3-2-10 4 (1)求二次函数的表达式， (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象， 3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为 5,请直接写出n的值， 13.(2026河南中考真题)定义：若点P,Q在同一抛物线上，且点Q的横坐标比点P的横坐标大3，则 称点Q是点P的“黄金搭档点”.例如，抛物线y=x2上，点3,9是点0,0的“黄金搭档点”. (1)点A0,-3和点B在抛物线y=x2+bx+c上，点B是点A的“黄金搭档点”，且点B的纵坐标为12.求 b,c的值. (2)点M,N在(1)中的抛物线上，且点N是点M的“黄金搭档点”· ①若点M,N的纵坐标相等，求点M,N的横坐标， ②抛物线上M,N两点之间的部分（含M,N两点）记为图象W,设点M的横坐标为，当 <m<0 时，若图象W上的最高点和最低点到x轴的距离之和为5，请直接写出m的值. 14。(2024河南中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度hm满足关系式h=-5t+v,t其 中t5是物体运动的时间，V,m/s是物体被发射时的速度。社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直 向上发射小球. (1)小球被发射后 s时离地面的高度最大（用含Vo的式子表示）· (2)若小球离地面的最大高度为20m,求小球被发射时的速度. 6/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的 时间为3s.”已知实验楼高15m,请判断他的说法是否正确，并说明理由. 15.(2023河南·中考真题)二次函数y=ax+bx的图象如图所示，则一次函数y=X+b的图象一定不经 过() b X=- A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点05二次函数的应用 16. (2023河南·中考真题)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛 进行技术分析，下面是他对击球线路的分析， 如图，在平面直角坐标系中，点A,C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m,CA=2m,击球点 P在y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度ym与水平距离xm近似满足一次函数关系 y=-0.4x+2.8;若选择吊球，羽毛球的飞行高度ym与水平距离xm近似满足二次函数关系 y=ax-12+3.2 y=a(x-1)2+3.2 y=-0.4x+2.8B A C (1)求点P的坐标和a的值 (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断 应选择哪种击球方式。 17.(2022河南·中考真题)小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得 7/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 喷水头P距地面0.7m,水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m;建立如图所示的 平面直角坐标系，并设抛物线的表达式 y=ax-h?+k:其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y (m)是水柱距地面的高度. 3.2 P 5 X 1)求抛物线的表达式： (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m,身高1.6的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好 接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离 考点06反比例函数 18. (2024河南中考真题)如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC, BD相交于点B,反比例函数y=kx>0的图象经过点A D 6 5 E以 4 3 2 12345678910x (1)求这个反比例函数的表达式： (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象. (3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 19.(2023河南·中考真题)小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中， 8/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 以反比例函数y=K图象上的点A3,1和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF,点D,E在x 轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC,连接BF. D 1)求k的值： (②)求扇形AOC的半径及圆心角的度数： 3)请直接写出图中阴影部分面积之和. 20.(202河南中考真思)如图，反比例函数y=x>0的图像经过点A2,4和点B,点B在点A的下 方，AC平分∠OAB,交X轴于点C B C ()求反比例函数的表达式. (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线.（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔 作图) 3)线段OA与(2)中所作的垂直平分线相交于点D,连接CD.求证：CDAB 21.(2025河南·中考真题)小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系○y中，其中含30°角 的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为2,2)，反比例函数 y=k(x>0)的图象经过点C. X 9/33 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求反比例函数的表达式. (②)将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标. 一年模拟练测园 一、单选题 1.(2026河南三门峡.一模)如图，宇树机器人小P在三角形地块上进行走路测试，它从点A出发沿折 线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止.设小P的运动路程为x,线段AP的长度为y,图2是y关于x 的函数图象，其中点F为曲线DE的最低点，当小P运动到BC上时，AP的最小值为() 10 101619 图1 图2 A.8 B.6 C.9 D.10 2. 《2026河南三门峡一模)已知关于x的二次函数y=-2X+8x+k的图象上有三个点：A-2,y B-1,y,C5,y则y,y2,y,的大小关系是() A.y1<y2=y3B.y1>y2=y3 C.y1<y2<y3 D.y1<y3<y2 3.(2026河南平顶山一模)根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强pPa是它的受 力面积S的反比例函数，其函数图象如图所示，下列结论中错误的是() 10133 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 p/Pa 4000 3000 2000 1000 00.10.20.30.43m A.当S=0.5m时，p=200Pa; B.当受力面积S大于0.1m时，压强p小于1000Pa C.S每增加0.1m2,p减小1000Pa D.当0.025<S<0.5时，压强p的变化范围为200<p<4000 4,(2026河南平顶山一模)二次函数y=aX+bxa≠0的图象如图所示，则方程aX2+bx=0 的根的情 况为(). A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.可能只有一个实数根 5.（2026河南三门峡.一模)小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图 1),有一横杆固定于桔槔上的O点，并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定400N 的物体，且OB=1m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F,当改变点A与点O的距离1时，横杆始终处 于水平状态，小星发现F与1有一定的关系，他记录了拉力的大小F与1的变化情况如图2所示，下列说法 错误的是() 11/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 本F/N 400 300 200 100 12345 1/m 图1 图2 A.拉力的大小F与1符合反比例函数关系 B.当OA的长增大时，拉力F在减小 C.OA长每增加1m,所施加的拉力减小200N D.当OA的长从1m增加到4m时，所施加的拉力减小了300N 6.(2026河南商丘一模)某“地磅检测”模拟电路的简化原理如图1所示，电源电压恒为3V,定值电 阻R的阻值为1k2,力敏电阻R的阻值随所受压力F的变化而变化，它们的关系如图2所示.当电压表示 数超过2V时，触发超载警报.下列说法正确的是() 知识小链接：①导体两端的电压UV小、导体的电阻RQ、通过导体的电流IA满足关系式I= R:②串 联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压， AR/Q 绝缘平板 2500 2000 力敏电阻R Ro 1500 1000 500 01020304050FN 图1 图2 A.力敏电阻R的阻值随压力F的增大而增大 B.压力F为40N时，电压表示数为2.5V C.触发警报时，力敏电阻R所受到的压力大于20N D.若将定值电阻R,更换为阻值更大的电阻，警报触发时对应的压力F会更大 7.（2026河南商丘·一模)在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程 随时间变化的关系”开展探究.如图1所示，设计一个由倾斜轨道和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从 12133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 倾斜轨道顶端由静止释放.从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上 的运动时间ts、运动速度vcm/s、运动路程ycm的数据，并根据数据绘制了如图2、图3所示的函数 图象.观察图象，我们可以用一次函数表示V与t的函数关系，用二次函数表示y与t的函数关系，则下列说 法不正确的是() y/cm ◆v(cm/s) 160 (20,140) 140 .(12,108) 10 120 16,128) 100 P 80 6 60 (8,80 40 2 20 (4,44) 04812162024於 2 4681012141618202224s 图1 图2 图3 A.弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度随运动时间的增大而逐渐减小 B.弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程相同 C.当弹珠在水平轨道上滚动80cm时，运动速度是8cm/s D.当弹珠停止滚动时，弹珠在水平轨道上的运动路程为144cm 8.(2026河南南阳.一模)如图是二次函数y=ax+bx+c的图象，则一次函数y=bx+aC的图象一定不 经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9. (2026河南平顶山一模)甲、乙两种固体物质的溶解度曲线如图所示，则下列叙述正确的是() 个溶解度g甲 112 温度/式 A.甲的溶解度大于乙的溶解度 B.将t2C时等质量的甲、乙饱和溶液降温到t1C,析出晶体的质量甲大于乙 13/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.将t1℃时甲、乙的饱和溶液升温至t,℃，甲溶液中溶质的质量分数比乙大 D.t1℃时，甲和乙溶液中溶质的质量分数一定相等 10.(2026河南洛阳一模)甲醛是一种常见的室内空气污染物，长期接触会对人体健康造成危害，不少 家庭会在入住新房时，用便携式甲醛检测仪来检测室内甲醛浓度，当甲醛质量浓度超过0.07mg/m3时， 检测仪就会报警，这种检测仪的核心部件是气敏电阻（如图①中的R)，R的阻值随空气中甲醛质量浓度 c的变化而变化（如图②），常温常压下，甲醛质量浓度mg/m)=甲醛体积浓度ppm×1.23:下列说法 不正确的是() R/Q 80H 40 20 低压电源 00.020.040.060.08c/mg/m) ① ② A. 空气中甲醛质量浓度C越大，R1的阻值越小 B.当0mg/m3时，R1的阻值为502 C.常温常压下，当空气中甲醛体积浓度是0.05ppm时，检测仪报警器为报警状态 D.当R1=102时，检测仪报警器为报警状态 1.(2026河南周口一模)已知二次函数y=aX+bx+cla≠0的部分对应值如表： 一1 0 2 3 0 3 3 0 下列说法：①抛物线开口向下；②对称轴为直线x=1;③当X>1时，y随x增大而减小；④方程 ax2+bx+c=0的一个根为：x=3,另一个根为x=-1.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.(2026河南南阳一模)如图(1)，在矩形ABCD中AD>AB,点P以每秒4个单位长度的速度从 点B沿着折线BAD运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B沿着折线BCD运动，当点P到达点D时， 点Q随之停止运动，连接PQ.△BPQ的面积y与点P的运动时间x(秒)之间的函数关系图象如图(2) 所示，则m的值为() 14133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 12 B m15 2 图(1) 图(2) 11 A.5 B.2 C.6 D.7 13.(2026河南漯河一模)在一定的温度下，某容器内充满了一定量的气体，该容器内气体的压强 pkPa是气体体积VmL的反比例函数，其图象如图所示，则下列说法中错误的是() p/kPa 400 300 200 100 010203040506077mL A.当V=15mL时，p=400kPa B.气体体积V大于20mL时，压强p小于300kPa C.气体体积V每增加l0mL,压强p减小100kPa D.当15mL<V<60mL时，压强p的变化范围为100kPa<p<400kPa 14.(2026河南平顶山：一模)如图1，在平行四边形ABCD中，AB<BC,an∠ABC=1 5,对角线 AC与BD交于点O,动点P从点A出发，沿着AB一BC→CD向点D运动，设点P的运动路程是x, △AOP的面积为y,y与x的函数关系图象如图2所示，则AB的长度是() 69 4 0 18 图1 图2 A.6 号 C.7 D号 15.(2026河南安阳一模)如图1，用弹簧测力计竖直向上拉一个正方体木块.在整个过程中，图2表示 15133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 弹簧测力计的示数与时间的关系，图3表示木块运动的速度与时间的关系，请结合函数图象信息，判断下 列说法错误的是() AFN 个v/(ms) F 0 1 234t/s 1234t/s 图1 图2 图3 A.前3s木块保持静止状态 B.拉力F与时间t的关系满足正比例函数关系，且当t=3s时，F=3N C.当3<t<4时，速度V随时间t增大而增大 D.在整个过程中，速度V随拉力F增大而增大 二、填空题 16.(2026河南鹤壁一模)已知一次函数y=-2x+3,当x>2时，y的值可以是 ·(写出一个合 理的值即可) 17.(2026河南平顶山一模)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P从点A出发，沿线段AC向 终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线A一B-C向终点C匀速运动，P,Q两点同时到达点C, 己知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接PQ.设点P运动的路程为x,△APQ的面积为y,并 绘制成如图2所示的图象.则点D的坐标为 0a16 图1 图2 18. (2026河南平顶山一模)将一次函数y=3x-2的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达 式为 19.(2026河南周口一模)己知点A-2,y,小，B1,y]在反比例函数y=k1k<0的图象上，则y1 16133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (填“”“<”或“=”) y2 20.(2026河南南阳一模)如图，矩形ABCD中，AB=6,C4,5,点P为x轴上一个动点，以CP为对 称轴将△CPB折叠得到△CPQ,点B的对应点为点Q,当点Q落在y轴上时，点P的坐标为 A P B 21. (2026河南南阳.一模)己知二次函数y=ax+bx+c的y与X的部分对应值如下表： -2 0 2 4 5 y 7 -5 -9 -5 0 则关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的解为 三、解答题 22.(2026河南南阳一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形0AB℃为矩形，点A的坐标为4,0， 点C的坐标为0,2，D为BC的中点.反比例函数y=x>0的图象过点D,交AB于点E. (1)求点D的坐标和反比例函数的表达式： (2)延长DE交X轴于点F,求△AFE的面积. 23.(2026河南商丘.一模)在平面直角坐标系中，将一块含有45°角的直角三角板按如图所示的方式放 置，直角顶点C的坐标为，0，顶点B的坐标为0,4，顶点A恰好落在反比例函数y=K(x>0)的图 象上. 17133 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求反比例函数的表达式. (2)将直线OA向上平移m>0)个单位长度后所得的直线与反比例函数y=K(x>0)的图象的交点的横坐 标为3，求的值. 24.(2026河南平顶山·一模)某大型商业楼前欲设计一个直径为10.4m的圆形喷水池，设计方案如图所 示，在喷水池的中心O(圆心)处竖直安装一个喷水管OP,P处是喷头，喷出水流的运动路线可以看作抛 物线的一部分，且喷出的水流关于OP轴对称.以O为原点，OA所在直线为x轴，OP所在直线为y轴， 建立平面直角坐标系，测得OP为2.5m.当喷出的水流最高为4.5m时，喷出水流与OP的水平距离为2m. A B市 (1)①求y轴右侧抛物线的表达式： ②请通过计算说明喷出的水流是否流到水池外 (2)安装师傅调试时发现，喷水管竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线形水流移 动时，保持对称轴及形状不变)·若想要喷出的水流刚好不流到水池外，应该把喷水管OP向上移动多少 米？ 25.(2026河南平顶山一模)在△ABC中，BC的长为x,BC边上的高为y,△ABC的面积为2. 18/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 YA 3 5-4-3-2-19 12.345x (1)关于y与x的函数关系式是 X的取值范围是 (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象， (3)直线y=x+3与y轴交于点D,与(1)中的函数交于点E,点P是x轴上的点，若△EOP的面积等于 △EDO面积的5倍，求点P的坐标， 2 2 8 4 2 26. (2026河南三门峡.一模)问题情境： 打铁花，又叫打树花，是流传于河南开封地区的一种民间烟火（社火）·表演者将高温铁水击向空中，铁 水在重力作用下散开，形成绚丽的火花.某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模 型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径. 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上.铁水运动路径的最高点距地面18m, 表演台中心与铁水落点的水平距离为27m. 数学建模： 用如图所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为N,对称轴为直线1，铁水落地点为A.以表演台中心 为原点O,水平向右为x轴正方向，过点O且竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系. N 27m 19/33 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 问题解决： (1)求该抛物线的表达式. (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于14m的水平飞行距离有多长？ 27.（2026河南南阳一模)多人跳绳是校园中常见的一项体育运动.当跳绳摇到最低处时，其形状可近 似看作抛物线的一部分.如图，摇绳时两人手（分别记作点A,B)离地面的距离均为1m,手之间的水平 距离AB为6m,以地面为x轴，过点A且垂直于地面的竖直线为y轴建立平面直角坐标系.己知图中所有 的点都在同一平面内 Ay/m x/m (1)求该抛物线的函数表达式. (2)小亮站在离点A水平距离为2的点C处，如果小亮从点C处竖直向上跳起，且当绳子甩到最低处时刚 好通过他的脚底，那么小亮跳起的高度为多少米？ (3)若多人齐跳，为保证安全要求相邻两人之间的距离为0.6m.假设所有跳绳的同学同时起跳且竖直向上 的起跳高度都是0.26m,当他们起跳到最高处时，绳子恰好甩到最低处，且绳子低于他们的脚底至少 10cm,试估计最多可供几人齐跳.（假设绳子摇到的最高处均超过跳绳同学的头项） 28.(2026河南平顶山一模)如图，已知正比例函数y=xla≠0与反比例函数y=kx>01的图象在第 X 一象限交于点A2,2V2 (1)求a,k的值. (2)将直线y=aX向上平移2个单位长度后与X轴交于点B,与反比例函数的图象交于第一象限的点C. ①求平移后的一次函数表达式及点C的纵坐标： ②M为反比例函数图象AC部分上一点，连接OC,当△BOM的面积小于△BOC的面积时，请直接写出 20/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点M的横坐标m的取值范围， 29.(2026河南安阳一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象与反比例函数 y=mx>0的图象交于A1,4,B4,n两点，与x轴交于点C,与y轴交于点D. X D (1)求反比例函数和一次函数的解析式. (2)求△AOB的面积. B)将线段AB沿某一方向进行平移后得到线段AB,使得点A落在反比例函数y=mX>0的图象上，点 X B落在X轴上，直接写出平移后点A的坐标. 30.(2026河南平顶山一模)某游乐场的圆形喷水池中心O处有一雕塑OA,从A点向四周喷水，喷出的 水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x 的点CD为水柱的落水点，第一象限内抛物线对应的函数表达式为y=二X一5 /m◆ D x/m (1)求雕塑OA的高： (2)求落水点C,D之间的距离： 3)若需要在OD上的一点E处竖立雕塑EF,OE=9m,EF=3.6m,EF⊥OD.雕塑EF的顶部F是否 会碰到水柱？请通过计算说明， 31.(2026河南南阳一模)河南某高速公路隧道截面轮廓可近似看作是抛物线的一部分.若隧道底部宽 12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系. 21133 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8 甲 乙 车 车 O 12 (1)求抛物线的函数解析式： (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内 并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）.若宽3米，高3.5米的两辆 车并排行驶，能否安全通过？请说明理由. 32.(2026河南三门峡一模)如图，点A是反比例函数y=2(x>0)上一动点，连接0A,过点0作 OB⊥OA交反比例函数y=-6(x<0)于点B,连接AB,过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BC⊥X 轴于点C. (1)图中△AOD与△BOC的面积之和为_： (2)若点A的坐标为1,2，求点B的坐标： 3)当点A在反比例函数图象上运动时，其他条件保持不变，∠OAB的度数是否保持不变？如果不变，请 直接写出∠OAB的度数；如果变化，请说明理由. 1 33。(2026河南濮阳一模)如图，抛物线y=-4X+bx+c的顶点A在正方形网格的格点上. 6 5 3 -4-3/-2-10 1 234567 22133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 I)求b和c的值； 2)请在给定的平面直角坐标系中画出直线y= 2X+4 设该直线=方x+4与能物线y=子2+hx+c 相交于点B和点C(点B在点C左侧)，请描出点B和点C,并直接写出当~ 2x+4>-1 x2+bx+c时x的 取值范围； B)将抛物线y=-X+bx+c沿直线y=m翻折后得到新的图象，若新图象与(2)中的线段BC只有一个 4 交点，请直接写出n的取值范围. 34.(2026河南平顶山一模)如图，正比例函数y=号x的图象与反比例函数y=《k≠0，x>0的图象交 3 X 于点Aa,3,点P为直线OA上位于点A右侧的一点，且OA=3AP,过点P作PQ⊥X轴，垂足为Q, 交反比例函数的图象于点M. (I)求反比例函数的表达式： (2)求点M的坐标. 35.(2026河南省直辖县级单位一模)如图，已知反比例函数y=m与一次函数y=-3x+9的图象交于 X 点B、点D,其中点B的坐标为(n,6),点D的纵坐标为3，一次函数y=-3x+9的图象与x轴交于点A. (I)求m和n的值； 2)根据图象，当？>-3x+9时，请直接写出x的取值范围： 23133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)将线段AB绕着点A逆时针旋转90°得到线段AC,点C恰好落在这个反比例函数图象上，请直接写出点 C的坐标. 36.(2026河南商丘.一模)己知二次函数y=ax2-X+c的图象的顶点坐标为1，-2. 7 --1-2 -5-4-3-2-10 12345衣 2 -4----- -3 -4 5 (1)求该二次函数的表达式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象。 (2)若点m,b在抛物线上，且满足b<3,求m的取值范围。 3)当n≤x≤n+3时，二次函数的最大值与最小值的差为2，请直接写出n的取值 37.（2026河南三门峡.一模)某校九（1)班利用班会举办“诗词大赛”，如图1所示，同学们对班级进 行了装饰，他们在班级的两墙之间悬挂一些彩带，建立如图2所示的平面直角坐标系后，每条彩带的形状 可以近似看成抛物线y=a2-号x+C,已知结AB=CD=3m,且AB,CD之间的水平距离BD为8m 个y(m) B(O) 图1 图2 m (1)请求出彩带所对应的抛物线的表达式及项点坐标： (2)小明作为活动主持人，需要从这条彩带下方来回走动，己知小明身高1.8m,到墙AB的距离为d,请你 求出小明直立能通过彩带时d的取值范围（小明不接触墙壁和彩带） 38.(2026河南南阳一模)如图，平行于y轴的矩形直尺与双曲线y=上(x>0交于点A和C,与x轴交 X 于点B和D,点A和B对应的刻度分别为5cm和2cm,直尺的宽度为2cm,OB=2cm, (注：平面直角 坐标系内一个单位长度为1cm) 24133 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 n A E c B D (1)求k的值. (②)过点C作CE⊥AB于点E,连接ED,AC.求证：四边形AEDC是平行四边形 39.(2026河南南阳一模)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A,C在 反比例函数y=k的图象上，且点A的坐标为m,61,点C的坐标为-m+4,-2,点B的坐标为a,a. 1)求k的值； (2)直接写出Q的值为 B)将菱形OABC向下平移，当点B落到反比例函数y=k的图象上时，求平移的距离。 40.(2026河南南阳一模)河南日报2026年2月2日报道，2025年河南省新能源发电量1211亿千瓦时， 占全社会用电量的26.8%，标志着河南能源体系绿色化转型取得决定性进展.河南某地区共建有10个小 型光伏发电站，每个发电站每月的发电量为40万千瓦时.该地区计划从今年某月月初开始对这10个小型 光伏发电站各进行一次改造升级.每月改造升级1个发电站，这个发电站当月停机，并于次月再投入发电， 每个发电站改造升级后，每月的发电量将比原来提高40%.从开始改造升级的第1个月开始往后算，该地 区第x(x是正整数且1≤x≤10)个月发电站的总发电量设为y万千瓦时). (1)第x个月时该地区对应的发电站改造及发电情况列表如下： 该月正在改造的发 已经改造好的发电 未改造的发电站 电站 站 25/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 数量/个 x-1 发电量万千瓦时 0 ①将上面表格补充完整（结果化到最简）； ②求y关于x的函数表达式。 (2)已知每个发电站改造升级的费用为2万元.如果每发1千瓦时电可以盈利0.05元，那么从第几个月开始 该地区的发电盈利额（盈利额=发电盈利一当月发电站改造升级的费用）将超过之前不改造升级时该月的发 电盈利额？ 该月正在改造的发 已经改造好的发电 未改造的发电站 电站 站 数量/个 1 x-1 10-x 发电量万千瓦时 0 56x-56 400-40x 41. (2026河南·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形0ABC为矩形，点A的坐标为4,0， 点C的坐标为0,2，D为BC的中点.反比例函数y= x>0的图象过点D,交AB于点E. D E (1)求反比例函数的表达式： (②)延长DE交X轴于点F,求△AFE的面积. 42.(2026:河南省直辖县级单位一模)已知二次函数y=aX+bx+ca≠0：与x轴交于点A-3,0和 B1,0,与y轴的正半轴交于点C,且OC=OA.其顶点为P. 26133 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 3 2 5 4-3-2-1 01234 5 (1)求二次函数的表达式. ②求二次函数y=aX+bx+cla≠0的顶点P的坐标，并在坐标系中画出函数y=aX+bx+ca≠0，的图 象 (3)若当m≤x≤m+3时，函数的最大值为-5，请直接写出m的值. 43.（2026河南平顶山·一模)消防事关千万家，我国水罐消防车是指车上除了装备消防水泵、器材，还 设有较大容量的贮水罐及水枪、水炮等，可将水和消防人员输送到火场独立进行扑救火灾.一次消防车演 练时，水流喷出的高度ym与水平距离xm之间的关系式是：y=-X+mx+nx>0? 水从距离地面的 管道口点A喷出，点A正下方为车与地面接触点O,水流形状如图所示. 81 08 (1)已知该消防车在距车水平方向8m处水流达到最高，最高点离地面81m,求该二次函数的解析式及OA 的长 (2)若消防车停在与建筑有6m宽的绿化带旁时，此时水流恰能扑灭多高楼层的火势？ 44.(2026河南平顶山一模)5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季.为了解樱桃的 收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园 B樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 第X天的利润y2(元)与X的关系可以 27133 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 项目 单价1（元/盒） 销售量/盒 第1天 50 20 近似地用二次函数y,=aX2+bx+25 第2天 48 30 刻画，其图象如图 第3天 46 0 3 第4天 44 50 905 … … … 495 012 15 第X天 10x+10 第X天的单价与X近似地满足一次函数关系，已 知每天的固定成本为745元. (1)A樱桃园第x天的单价是元/盒.（用含X的代数式表示） (2)求A樱桃园第x天的利润y1(元)与x的函数关系式.（利润=单价×销售量-固定成本） 3)求第几天两处樱桃园的利润之和（即y1+y2)最大，最大是多少元？ 45.（2026河南新乡一模)如图，抛物线y=ax2+x+c经过点A3,6,与x轴交于点B1,0和点C. A3,6) O/B(1,0)x D (1)求抛物线的解析式： (2)设此抛物线的顶点为D,点P为直线AC下方抛物线上的动点，过点P作PQ⊥X轴交AC于点Q,小红 认为当点P与顶点D重合时，PQ最长，你赞同小红的观点吗？请说明理由， 46.(2026:河南新乡一模)如图，一次函数y,=kcx+bk≠0的图象与反比例函数y,=mm≠0)的图象交 于A-1,6和B3,t两点. 28133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)请直接写出y1≥y2时x的取值范围. 47.(2026河南洛阳一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx-a-3的对称轴是直线x=1. (1)若抛物线经过点2，-2，求抛物线的解析式及顶点坐标： (2)若a>0,且当-2≤x≤3时，y的最大值是4，求a的值： 3)在(2)的条件下，已知点Mn-4,4和点Nn+3,4,若线段MN与抛物线只有一个公共点，请直接写 出n的取值范围. 48.（2026河南洛阳.一模)甲、乙两个制作团队分别同时制作两类文创产品，制作完成产品数量y (件)与时间x(天)之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题. y/件 1200 1000 600--- 2 6x/天 ()甲团队在开工后6天内，每天制作文创产品件： (②)当2≤x≤6时，求乙团队制作完成产品数量y(件)与时间x(天)之间的函数关系式； 3)请直接写出时间x(天)为何值时，甲，乙两团队制作的文创产品数量相差100件. 49.(2026河南洛阳·一模)如图，在平面直角坐标系Oy中，口ABCD的边BC经过原点O,点A,B关 于y轴对称，点A的坐标为-2,3，反比例函数y=二的图象经过点B,C. 29/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求此反比例函数的表达式： (②)将口ABCD向上平移，当点D落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离. 50.(2026河南商丘.一模)【问题引入】 如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂 一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动. 【问题情境】 学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以AB的中点O为原点，AB所在的直线 为X轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.经测量，拱门的宽AB=6m,拱门最高点P到地 面AB的距离为4m,AC和BD垂直于地面，高度均为1m. G D B衣 图1 图2 【问题解决】 (1)求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式. (2)如图2，线段EF和GH分别表示大门两侧悬挂的灯笼.已知每个灯笼的长为1.1m(含挂线)，灯笼悬 挂点G,E到最高点P的水平距离均为1.2m. ①求灯笼底端H到地面AB的距离， ②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校.若货车的高为2.7m, 宽为2.4m,请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点P处 移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据：V0.6≈0.77）， 51.(2026河南南阳一模)体育课上嘉嘉同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都 可以近似的看作是抛物线的一部分，如图1是嘉嘉连续两次蛙跳的运动示意图，规定嘉嘉距离地面的竖直 高度为ym,距离起跳点的水平距离为xm,第一个蛙跳的起跳点为原点，并在1,0.4达到最高点，在 30/33 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点A处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳，路线为抛物线L,:y=aX-h+k1a≠0？其开口大小和 方向均与第一个蛙跳的路线抛物线L1相同. (1)求嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线L1的函数解析式： (2)若嘉嘉第二个蛙跳后，在距离第一次蛙跳的起跳点2.6m时，到达最高点. ①求k的值： ②在距离原点3m处，水平放置一个距离地面高度为0.12m的可调节支撑杆，判断嘉嘉在第二个蛙跳中是 否会越过可调节支撑杆？并说明理由. 26河南南阳·一模)如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线y=(x>0)交于点 与x轴交于点B和D,点A、B的刻度分别为5cm和2cm,直尺的宽度为2cm,OB=2cm.(注：平面直 角坐标系内一个单位长度为1cm) B Q)求双曲线y=k的解析式，并直接写出点C的坐标： X (2)沿x轴正方向平移直尺，当CD的中点恰好落在双曲线上时，求平移的距离. 53.（2026河南南阳一模)如图。一次函数yx+2的图象与反比例函数y=人1k≠01的图象交于点 A2,b和点Ba,-1. 31133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求反比例函数解析式： (②)若点C在X轴上，且S△ABc=2,求点C坐标： (3)若点Pm,n在该反比例函数图象上，且它到x轴距离大于3，请根据图象直接写出m的取值范围. 54.(2026河南漯河一模)在二次函数y=x+bx中，X与y的几组对应值如下表所示： … -1 0 1 2 3 0 -1 0 3 4 2 -4-3-2-191.2.3.4x -2 -3 =4 (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y=x+bx的图象； (2)求出该二次函数的解析式： (3)将抛物线y=x+bx向下平移3个单位长度，把平移后的图象在y轴上及y轴右侧的部分记为L1,作L关 于y轴对称的图象，记为L2,若L1,L2组成的曲线为L,且L与直线y=x+m有三个公共点，求m的值 55.(2026河南平顶山一模)如图，从水平地面上，以16米/秒的速度斜抛一个小球，当抛射角与水平面 的夹角是60°时，小球运动过程中的水平距离x与时间t的函数关系为一次函数x=8t,小球运动过程中的 竖直距离h与时间t的函数关系是二次函数h=83t-4.9t2.(结果保留两位小数.参考数据V3心1.732， V2≈1.414) h 32133 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求竖直距离h关于水平距离x的函数解析式； (②)小球从斜抛离开地面，运动多长时间落地？落地点到抛出点的水平距离是多少米？小球运动过程中的最 大高度是多少？ (3)实验发现，当小球离开地面的速度一定，仍是16米/秒时，当抛射角为45°时，小球抛出的距离最远， 此时水平距离x、竖直距离h与时间的关系分别为x=8V2t,h=8V2t-4.9t2.运用上面的信息，直接写 出小球抛出的最远距离是 56.(2026河南安阳一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=mx+3mx. (1)当m=2时，求抛物线的顶点坐标. (2)若该抛物线经过点1,4，且与x轴交于点O,A两点，m为整数，求抛物线的解析式及A点的坐标. )已知PX,y,和QX,y,是抛物线上的两点.若对于x,=m2≤X,≤4：都有y<y直接写出m的取 值范围. 33/33函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04函数 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 考点01平面直角坐标系 1.A 2.3,10 考点02从函数图象获取信息 3.(0v=8 (2)学生步行的平均速度v至少为3.2km/h (3)②③ 4.C 5.C 6.C 考点03一次函数 7.y=x(答案不唯一) 8.y=X(答案不唯一) 9.(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为100元、80元： (2)该公司最少需花费1080元. 10.(1)选用A种食品4包，B种食品2包 (2)选用A种食品3包，B种食品4包 11.(1)20元 (2)2250元 1/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点04二次函数的图象与性质 12.1)y=x+2x-2 ②-1，-3 画出函数图象，如图， -4-3 -2 2 4 3)1+5或4-5 13.(1)b=2:c=-3 (2)①点M的横坐标为 点N的横坐标为：@-4+3或-4+5 5 4哈 (2)20m/s (3)小明的说法不正确， 理由如下： 由(2)，得h=-5t+20t, 当h=15时，15=-5t+20t, 解方程，得t1=1,t2=3, ∴.两次间隔的时间为3-1=2s, 小明的说法不正确。 15.D 考点05二次函数的应用 16.1)P0,2.8,a=-0.4, 2/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近 17.0y=-0.1x-52+3.2 (2)2或6m 考点06反比例函数 18.1y=6 X (2) 画图如下： y 7 6 5 X 3 2 1 012345678910x e明 19.1)3 (2)半径为2，圆心角为60° 633- 3 20.y=8 X (2)如图，直线EF即为所作； 3/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A F、 B C 3)证明：如图， ,直线EF是线段AC的垂直平分线， ..AD=CD. .∠DAC=∠DCA」 .AC平分∠OAB, .∠DAC=∠BAC, .∠BAC=∠DCA, ..CD AB. y A F、 D B C 21.1)反比例函数的表达式为：y= 4 X (2)D-1,4 一年模拟练测园 4/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.A 2.A 3.C 4.A 5.c 6.C 7.B 8.B 9.B 10.C 11.D 12.C 13.C 14.B 15.D 16.-2(答案不唯一，y<-1即可) 17.10,60 18.y=3x+1 19.> 0-6侵0 21.X1=5,X2=-1 22. 4)D2,2,y=4 X (2)1 23.0)y=,见详解 X 2m=2见详解 24.(1)①y=-0.5x2+2x+2.5;②喷出的水流没有流到水池外，理由见解析 (2)应该把喷水管OP向上移动0.62m 5/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25.0y=4x>0 X (2)见解析 6)点p的坐标为15,0 4 26.4)y=- 8（x-13.5+18 8 (2)9V2m .fxa om 3)最多可供5人齐跳 28.1)a=2,k=4 20y=2x+2'1,41:②1<m<2 29.0y-是y=-x*5 吗 n3 30.(1)雕塑OA的高为2m: 210+2V35m (3)雕塑EF的顶部F不会碰到水柱， 31.ay=-x-6+80≤x≤12 ②准交全通过，里白：知图，由腿意得：0A=6-3-子2（米） 点A的横坐标为2， 6/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 甲 车 车 2 把x=2代入y-号x-6+8.得y-一号×2-6+8- 9 .40 ·9 -35=17>0.5 18 能安全通过 32.(1)4 B-23,3 3)不变，∠OAB=60°，理由见详解 33.1)b=1,c=4 ②)x<0或x>6 Bn=3或1≤n<4 8 34.y=2 X 点M的坐标为12， } 35.1)m=6,n=1; 20<x<1或x>2 6)点C(-3,-2). 之见解析 (2)1-9V10<m<1+9/10 3)n的取值为-1或0 7/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5+3顶点坐标为】 y- 7 ②0<d<2或6<d<8 38.1)k=6 (2)见解析 39.1)k=-12 (2)a=4 (3)7 40.1)①10-x,56x-56,400-40x:②y=16x+344 (2)第7个月 41.Q)反比例函数的表达式为y=4 (②)△AFE的面积为1 42.1)y=-x2-2x+3 ②p-1,4见解析 3)2或-7 43.1)y=-x2+16x+17,0A=17 (2)此时水流恰能扑灭高度为77m楼层的火势 44.1)-2x+52: ②y=-20x2+500x-225 3)第10天两处樱桃园的利润之和（即y1+y2)最大，最大是4800元. (2) 解：不赞同小红的观点，理由如下： 对于y-+x多y-0.时2x3-0 解得X1=-3,X2=1 8/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .C-3,0, 设直线AC:y=mx+n,则 3m+n=6 -3m+n=0' m=1 解得n=3 .直线AC:y=X+3 pp,2p+p2引p<3Qlp,p+3 PQ=p+3 :当P=0时，PQ取得最大值为2： tp0,- 而抛物线y号×+x子号x+1-2约顶点D-1,-2 此时点P不与顶点D重合，故不赞同小红的观点， 46.)y=-2x+4,y,=二6 X 2)x≤-1或0<x≤3 47.1)y=-x2+2x-2,顶点坐标为1，-1 (2)a=1 62<n≤8或-5≤n<I 48.1)200 (2)y=100x+4002≤x≤6 3)当x=1或x=3或x=5时，甲，乙两团队制作的文创产品数量相差100件 49.)反比例函数的表达式为y=6 X (2)平移的距离为2 9/10 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 50.1)y=- 1x+4 2)02.42m3 ②0.43m 51.y=-0.4x-1+0.4 2)0k=18 ②嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆，理由见解析 125 2y-g:c4 (2)4cm 3.y=6 X ②-5,01或-3,0 6)-2<m<0或0<m<2 54.1)见解析 (2)y=x2-2x 3该￥ 55.a)h=3x-49x 640 (2)小球从斜抛离开地面，运动2.83秒落地，落地点到抛出点的水平距离是22.62米，小球运动过程中的最 大高度是9.80米 626.12米 56.1)-3,-18 (y=x2+3x-3,0 30<m<2或m<-1 10110 专题04 函数 5年真题1年模拟 考点分类 河南考情（2022-2026） 命题规律 考点01平面直角坐标系 基础考点，常与函数结合考查；题型：选择、填空；分值：3分左右；2022-2026年作为函数题基础载体频繁出现 重点考查点的坐标特征、对称变换、平移规律、象限符号判断；常与函数图象、几何图形结合考查；难度较低，属基础得分点；坐标轴上点的特征、中点坐标为常见考法 考点02 从函数图象获取信息 近5年高频考查；题型：选择题第8-10题位置；分值：3分；2022-2026年多数年份考查，常出现在选择压轴位置 常以行程问题、工程问题、销售利润等实际情境为背景；考查从图象中读取关键点坐标、判断变化趋势、计算速度/效率等；重点考查数形结合能力与信息提取能力；易错点为横纵坐标含义混淆、分段函数分界点判断 考点03 一次函数 近3年100%必考，6年6考；题型：选择、填空、中档解答题；分值：4-9分；2022-2026年连续考查，应用6年6考 重点考查解析式求解（待定系数法）、图象性质（增减性、截距、经过象限）、实际应用；常与反比例函数、方程不等式综合考查；行程图象、利润最值为常见实际模型；难度中等，属中档得分关键；表达式确定6年2考，应用6年6考 考点04 二次函数的图象与性质 近6年4考，压轴核心基础考点；题型：选择题、解答题压轴第一问；分值：3-5分；2022-2026年每年必考 重点考查三种解析式（一般式、顶点式、交点式）转化、开口方向/对称轴/顶点坐标、最值、系数符号判断、平移变换；选择题常考系数a、b、c符号判断（"左同右异"）；解答题第一问固定求解析式送分；2026年第22题以"黄金搭档点"新定义形式综合考查 考点05 二次函数的应用 近3年作为压轴题必考；题型：解答题第22/23题；分值：10-11分；2022-2026年连续考查，为试卷核心拉分点 压轴题核心，常与几何图形综合考查；常见考法：动点面积最值、特殊图形（等腰/直角/平行四边形）存在性、参数探究、分类讨论；设问梯度清晰，第一问求解析式为送分题；侧重考查分类讨论思想与逻辑推导能力；是110+高分核心分水岭；2025年第23题考查抛物线平移后区间最值 考点06 反比例函数 近3年100%必考；题型：填空第11-12题、解答题第18/19题；分值：3-9分；2022-2026年连续考查，河南中考特色考点 河南中考特色必考考点，固定聚焦k值几何意义、图象对称性；常与一次函数、几何图形（直角三角形、矩形）综合考查；常结合尺规作图命题；面积计算为高频题型；8年5考与几何图形综合；题型成熟稳定，方法固定，极易稳分 考点01 平面直角坐标系 1．（2026·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，得出矩形向左平移2个单位，即可求出结论． 【详解】解：在矩形中，，， ， ，即， ∵将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时， ∴点的对应点坐标，即矩形向左平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为． 2．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 【答案】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 考点02 从函数图象获取信息 3．（2026·河南·中考真题）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 【答案】(1) (2)学生步行的平均速度至少为 (3)②③ 【分析】（1）由题意知，是的反比例函数，设，代入，即可求解； （2）将代入，求得，结合题意，即可求解； （3）根据函数图象分析即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，是的反比例函数，设 当时， ∴ ∴ （2）把代入，得 ∴学生步行的平均速度至少为 （3）解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为，故①不正确； ②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确； ③学生从学校到补给点所走路程为，故③正确． 4．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 5．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（    ） A．当时， B．Q随I的增大而增大 C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可． 【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意； 根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意； 根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意； 故选：C． 6．（2022·河南·中考真题）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（    ） A．呼气酒精浓度K越大，的阻值越小 B．当K＝0时，的阻值为100 C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当时，该驾驶员为醉驾状态 【答案】C 【分析】根据函数图象分析即可判断A，B，根据图3公式计算即可判定C，D． 【详解】解：根据函数图象可得， A.随的增大而减小，则呼气酒精浓度K越大，的阻值越小，故正确，不符合题意； B. 当K＝0时，的阻值为100，故正确，不符合题意； C. 当K＝10时，则，该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意； D. 当时，，则，该驾驶员为醉驾状态，故该选项正确，不符合题意； 故选:C. 【点睛】本题考查了函数图像，根据函数图像获取信息是解题的关键． 考点03 一次函数 7．（2026·河南·中考真题）请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数表达式_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】正比例函数的一般形式为，由图象经过第一、三象限可得，写出一个满足条件的表达式即可． 【详解】解：取，满足， 因此图象经过第一、三象限的正比例函数表达式为（答案不唯一）． 8．（2022·河南·中考真题）请写出一个随增大而增大的一次函数表达式_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】在此解析式中，当x增大时，y也随着增大，这样的一次函数表达式有很多，根据题意写一个即可． 【详解】解：如，y随x的增大而增大． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】此题属于开放型试题，答案不唯一，考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键． 9．（2025·河南·中考真题）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； (2)该公司最少需花费元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最值即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． 10．（2024·河南·中考真题）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．    (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)选用A种食品4包，B种食品2包 (2)选用A种食品3包，B种食品4包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品4包，B种食品2包． （2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w最小． ∴． 答：选用A种食品3包，B种食品4包． 11．（2022·河南·中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 【答案】(1)20元 (2)2250元 【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可； （2）设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可． 【详解】（1）解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元， 解得 检验：将代入，值不为零， ∴是原方程的解， ∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元． （2）解：设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元， 由题意可知：， 解得， 又∵， ∴， ∵y随m的增大而减小 ∴当时，花费最少， 此时 ∴本次购买最少花费2250元． 【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键． 考点04 二次函数的图象与性质 12．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)； 画出函数图象，如图， (3)或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为； （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 13．（2026·河南·中考真题）定义：若点，在同一抛物线上，且点的横坐标比点的横坐标大3，则称点是点的“黄金搭档点”．例如，抛物线上，点是点的“黄金搭档点”． (1)点和点在抛物线上，点是点的“黄金搭档点”，且点的纵坐标为12．求，的值． (2)点，在（1）中的抛物线上，且点是点的“黄金搭档点”． ①若点，的纵坐标相等，求点，的横坐标． ②抛物线上，两点之间的部分（含，两点）记为图象，设点的横坐标为，当时，若图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①点的横坐标为，点的横坐标为；②或 【分析】（1）根据题意得出，然后利用待定系数法求解即可； （2）①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为，根据题意建立方程求解即可； ②根据题意得出对称轴为：，顶点坐标为，抛物线与x轴的交点为，点的横坐标为：，，然后分情况分析：当，时，当，时，当时，，结合图象建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点是点的“黄金搭档点”， ，点的纵坐标为12， ∴， ∵点和点在抛物线上， ∴， 解得：； （2）解：①设点M的横坐标为t，则点N的横坐标为， 由（1）得， ∵点，的纵坐标相等， ∴， 解得：， ∴， ∴点的横坐标为，点的横坐标为； ②由（1）得， 对称轴为：， 当时，， ∴顶点坐标为， 当时，， ∴ 解得：， ∴抛物线与x轴的交点为， ∵点是点的“黄金搭档点”，点的横坐标为，当时， ∴点的横坐标为：，， 当时，， ∵抛物线与x轴的一个交点为， ∴当，时，如图所示： 点M、N均在x轴下方，最低点为抛物线的顶点， ∵即， 即， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5， ∴点N到轴的距离为， 此时点N的纵坐标为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当，时，如图所示： 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为抛物线的顶点， ∴此时点N离对称轴较远，最高点为点N， ∵图象上的最高点和最低点到轴的距离之和为5， ∴点N到轴的距离为， 此时点N的纵坐标为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， 点M在x轴下方，点N在x轴上方，最低点为点M，最高点为点N， ∴， ∴即， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上可得：或． 14．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球． (1)小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）． (2)若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度． (3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)小明的说法不正确， 理由如下： 由（2），得， 当时，， 解方程，得，， ∴两次间隔的时间为， ∴小明的说法不正确． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）把，代入求解即可； （3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判断. 【详解】（1）解： ， ∴当时，h最大， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 当时，， ∴， ∴（负值舍去）； （3）略 15．（2023·河南·中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 考点05 二次函数的应用 16．（2023·河南·中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．    (1)求点P的坐标和a的值． (2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【答案】(1)，， (2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近 【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值； （2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近． 【详解】（1）解：在一次函数， 令时，， ∴， 将代入中，可得：， 解得：； （2）∵，， ∴， 选择扣球，则令，即：，解得：， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， 选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去）， 即：落地点距离点距离为， ∴落地点到C点的距离为， ∵， ∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键． 17．（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离． 【答案】(1) (2)2或6m 【分析】（1）根据顶点，设抛物线的表达式为，将点，代入即可求解； （2）将代入（1）的解析式，求得的值，进而求与点的距离即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为， （2）由，令， 得， 解得， 爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为(m)，或(m)． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键． 考点06 反比例函数 18．（2024·河南·中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 【答案】(1) (2) 画图如下： (3) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可； （3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴反比例函数的图象经过，，， 画图如下： （3）解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上， ∴平移后点E对应点的纵坐标为4， 当时，， 解得， ∴平移距离为． 故答案为：． 19．（2023·河南·中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值； (2)求扇形的半径及圆心角的度数； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】(1) (2)半径为2，圆心角为 (3) 【分析】（1）将代入中即可求解； （2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解； （3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得：； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如下图：   ， ， ， 半径为2； ， ∴， ， 由菱形的性质知：， ， 扇形的圆心角的度数：； （3）解：， ， ， 如下图：由菱形知，，   ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握的几何意义． 20．（2022·河南·中考真题）如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图） (3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)如图，直线即为所作； (3)证明：如图， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案； （2）利用基本作图作线段的垂直平分线即可； （3）根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到，然后利用平行线的判定即可得证. 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴当时，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了作图—基本作图，用待定系数法求反比例函数的解析式，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义等知识． 解题的关键是熟练掌握五种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 21．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为： (2) 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置； ∴， ∵的对应点在的图象上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键. 一、单选题 1．（2026·河南三门峡·一模）如图，宇树机器人小P在三角形地块上进行走路测试，它从点A 出发沿折线匀速运动至点A后停止．设小P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y关于x的函数图象，其中点 F为曲线的最低点，当小P运动到上时，的最小值为（   ） A．8 B．6 C．9 D．10 【答案】A 【分析】根据图象段得出长度，根据点为最低点得出，结合图象横坐标得出长度，利用勾股定理计算最小值． 【详解】解：由图象可知，当时，，此时到达点， 点为曲线的最低点 当运动到点对应位置时，最小，此时 由图象可知，此时运动的路程 在中， ． 2．（2026·河南三门峡·一模）已知关于的二次函数 的图象上有三个点：，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，根据开口向下的二次函数性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，计算三个点到对称轴的距离，即可比较函数值大小． 【详解】解：∵二次函数为 ，， ∴抛物线开口向下， 对称轴为：直线， 开口向下的二次函数中，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应函数值越小， 点到对称轴距离为：， 点到对称轴距离为：， 点到对称轴距离为：， ∵ ， ∴． 3．（2026·河南平顶山·一模）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，下列结论中错误的是（     ） A．当时，； B．当受力面积S大于时，压强p 小于 C．S每增加，p减小 D．当时，压强p的变化范围为 【答案】C 【分析】先根据图象上的点求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质及解析式逐项判断即可． 【详解】解：设， 图像经过点即， ∴． A．当时，，故A正确； B．由，则该函数在第一象限内p随S的增大而减小， 当时，， 即当时，，故B正确； C．当S从增加到时，p从1000减小到500，减小了500， 当S从增加到时，p从500减小到，减小量不为1000，故C错误，符合题意； D．当时，，当时，， 即当时，压强p的变化范围为，故选项D正确． 4．（2026·河南平顶山·一模）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（     ）．    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】A 【详解】解：由图可知，方程的根的情况为有两个不相等的实数根． 5．（2026·河南三门峡·一模）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上的O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，他记录了拉力的大小F与l的变化情况如图2所示，下列说法错误的是（    ） A．拉力的大小F与l符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力F在减小 C．长每增加，所施加的拉力减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 【答案】C 【分析】根据杠杆平衡条件得出与的乘积为定值，确定函数关系式为反比例函数，结合图象数据及反比例函数性质逐项判断即可． 【详解】解：由杠杆平衡条件可知：， ， 拉力的大小与符合反比例函数关系，故A正确，不符合题意； ，且， 随的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，；当时，；当时，，，， 长每增加，所施加的拉力不一定减小，故C错误，符合题意； 当时，；当时，，， 当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故D正确，不符合题意． 6．（2026·河南商丘·一模）某“地磅检测”模拟电路的简化原理如图1所示，电源电压恒为，定值电阻的阻值为 ，力敏电阻的阻值随所受压力的变化而变化，它们的关系如图2所示．当电压表示数超过 时，触发超载警报．下列说法正确的是（   ） 知识小链接：①导体两端的电压、导体的电阻、通过导体的电流满足关系式 ；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． A．力敏电阻的阻值随压力的增大而增大 B．压力为 时，电压表示数为 C．触发警报时，力敏电阻R所受到的压力大于 D．若将定值电阻，更换为阻值更大的电阻，警报触发时对应的压力会更大 【答案】C 【分析】先明确电路为力敏电阻与定值电阻串联，电压表测定值电阻两端电压，结合力敏电阻阻值随压力变化的图像，利用欧姆定律和串联电路的电流、电压规律逐一分析选项：A选项：直接观察图像趋势判断力敏电阻阻值与压力的关系即可判断；B选项：从图像中找到压力为时对应的力敏电阻阻值，计算电路总电阻和电流，进而求出电压表示数即可判断；C选项：由触发警报的临界电压算出临界电流和总电阻，得出此时力敏电阻的临界阻值，再对应图像找到对应的压力，结合阻值随压力增大而减小的规律判断压力范围即可；D选项：分析更换更大阻值的后，警报触发时的电流、总电阻和力敏电阻阻值的变化，再对应压力的变化即可判断． 【详解】解：A、从图2可以看出，力敏电阻的阻值随压力的增大而减小， ∴A选项错误，该选项不符合题意； B、当压力为时，由图2可知， ∴电路总电阻， ∵电源电压， ∴电路电流， ∴电压表示数， ∴B选项错误，该选项不符合题意； C、触发警报时电压表示数超过，即，， 此时电路电流， ∵电源电压， ∴总电阻， ∴力敏电阻阻值， 由图2可知，时对应，且随增大而减小， ∴触发警报时力敏电阻所受压力大于， ∴C选项正确，该选项符合题意； D、若将定值电阻更换为阻值更大的电阻，警报触发时不变， ∴电路电流会变小， ∵电源电压， ∴总电阻会变大， ∴力敏电阻阻值会变大， ∵随增大而减小， ∴变大对应变小，即警报触发时对应的压力会更小， ∴D选项错误，该选项不符合题意． 7．（2026·河南商丘·一模）在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展探究．如图1所示，设计一个由倾斜轨道和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动速度、运动路程的数据，并根据数据绘制了如图2、图3所示的函数图象．观察图象，我们可以用一次函数表示与的函数关系，用二次函数表示与的函数关系，则下列说法不正确的是（   ）      A．弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度随运动时间的增大而逐渐减小 B．弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程相同 C．当弹珠在水平轨道上滚动时，运动速度是 D．当弹珠停止滚动时，弹珠在水平轨道上的运动路程为 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，待定系数法等知识． 选项A、B、C可根据一次函数、二次函数图象直接判断，D选项，可先用待定系数法求出二次函数的解析式，即可判断． 【详解】解：由图2，可知运动速度随运动时间的增大而减小，故选项A正确； 由图3，可知弹珠在水平轨道上滚动时，单位时间内运动的路程越来越小，故选项B错误；由图3，可知弹珠在水平轨道上滚动时，运动时间是， 由图2，可知当时，，故选项C正确； 当弹珠停止滚动时，， 由图2，得此时运动时间是．设， 把和代入， 得， 解得， ． 把代入，得， 故选项D正确． 故选B． 8．（2026·河南南阳·一模）如图是二次函数的图象，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据函数图象得到，，，进而得到，，根据一次函数图象的性质即可． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧， ，，， ，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，一定不经过第二象限． 9．（2026·河南平顶山·一模）甲、乙两种固体物质的溶解度曲线如图所示，则下列叙述正确的是（） A．甲的溶解度大于乙的溶解度 B．将时等质量的甲、乙饱和溶液降温到，析出晶体的质量甲大于乙 C．将时甲、乙的饱和溶液升温至，甲溶液中溶质的质量分数比乙大 D．时，甲和乙溶液中溶质的质量分数一定相等 【答案】B 【分析】根据函数图象，结合固体物质的溶解度进行分析即可． 【详解】解：、根据图象可知，比较溶解度大小必须指明温度，不指明温度无法比较，故该选项错误，不符合题意； 、根据图象可知，℃时甲的溶解度大于乙，℃时甲、乙溶解度相等， ∵甲的溶解度受温度影响变化幅度比乙大， ∴将℃时等质量的甲、乙饱和溶液降温到℃，析出晶体的质量甲大于乙，故该选项正确，符合题意； 、℃时甲、乙溶解度相等，饱和溶液溶质质量分数相等，升温至℃，两物质溶解度均增大，溶液变为不饱和溶液，溶质、溶剂质量不变，溶质质量分数仍相等，故该选项错误，不符合题意； 、℃时，若甲、乙均为饱和溶液，则溶质质量分数相等，题目未指明溶液状态，若为不饱和溶液则无法确定，故该选项错误，不符合题意． 10．（2026·河南洛阳·一模）甲醛是一种常见的室内空气污染物，长期接触会对人体健康造成危害，不少家庭会在入住新房时，用便携式甲醛检测仪来检测室内甲醛浓度，当甲醛质量浓度超过时，检测仪就会报警，这种检测仪的核心部件是气敏电阻（如图①中的），的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②），常温常压下，甲醛质量浓度甲醛体积浓度．下列说法不正确的是（   ） A．空气中甲醛质量浓度越大，的阻值越小 B．当时，的阻值为 C．常温常压下，当空气中甲醛体积浓度是时，检测仪报警器为报警状态 D．当时，检测仪报警器为报警状态 【答案】C 【分析】结合图①、图②逐一分析即可． 【详解】解：对于A选项：由图②可知，随着甲醛质量浓度的增大，的阻值逐渐减小，故A选项正确； 对于B选项：由图②可知，当时，，故B选项正确； 对于C选项：甲醛质量浓度甲醛体积浓度， ∴检测仪报警器为不报警状态，C错误，符合题意； 当时，由图②可知对应的甲醛质量浓度 ， ∴检测仪报警器为报警状态，D正确． 11．（2026·河南周口·一模）已知二次函数 的部分对应值如表： x 0 2 3 y 0 3 3 0 下列说法：①抛物线开口向下；②对称轴为直线 ；③当 时，y随x增大而减小；④方程 的一个根为：，另一个根为 ．其中正确的有 （     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用对称点的性质求出对称轴，再结合二次函数性质逐一判断结论即可． 【详解】解：∵当时，当时，两点值相等， ∴对称轴为直线，故②正确； 由表格可知当时，随的增大而减小，故③正确； 再由表格可知当时，随的增大而增大， 则抛物线开口向下，故①正确； 由表格可知时，所以是方程的一个根， 由表格可知时，所以是方程的另一个根， 则方程 的一个根为：，另一个根为 ，故④正确． 综上，4个结论都正确． 12．（2026·河南南阳·一模）如图（1），在矩形中，点P以每秒个单位长度的速度从点B沿着折线运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B沿着折线运动，当点P到达点D时，点Q随之停止运动，连接．的面积y与点P的运动时间x（秒）之间的函数关系图象如图（2）所示，则m的值为（   ） A．5 B． C．6 D．7 【答案】C 【分析】设，，则，根据题意得出，，求出a、b的值，即可得出答案． 【详解】解：设，，则， 根据题意可得：当点Q运动到点C时，的面积最大， 即， ∴， 根据图象可得：当点P到达点D时，所用时间为秒， ∴， 即， ∴， 解得，（舍去）， ， ． 13．（2026·河南漯河·一模）在一定的温度下，某容器内充满了一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．当时， B．气体体积大于时，压强小于 C．气体体积每增加，压强减小 D．当时，压强的变化范围为 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：容器内气体的压强是气体体积的反比例函数， 设， 将点代入反比例函数的解析式可得，解得， ， 当时，，故A正确，不符合题意； ， 随的增大而减小， 观察图象可知，当气体体积大于时，压强小于，故B正确，不符合题意； 当时，， 当气体体积增加时，即时，， ，故C错误，符合题意； 随的增大而减小，当时，；当时，， 当时，压强的变化范围为，故D正确，不符合题意． 14．（2026·河南平顶山·一模）如图1，在平行四边形中，，，对角线与交于点O，动点P从点A出发，沿着向点D运动，设点P的运动路程是x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示，则的长度是（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】如图，过点作交于点，根据图象求出的面积为，，得到，设，，表示出，然后根据三角形面积列方程求出，进而求解． 【详解】解：如图，过点作交于点， 由题意得，当点P运动到点B时，的面积最大， 由图象可得，此时的面积为， 由题意得，当点P运动到点C时，点A，O，P三点共线，此时的面积为0， 由图象可得，此时点P的运动路程x为18， ∴， 点是的中点， ． ，， ∴设， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴，即 整理得， 解得，（舍去）， ∴ ∴． 15．（2026·河南安阳·一模）如图1，用弹簧测力计竖直向上拉一个正方体木块．在整个过程中，图2表示弹簧测力计的示数与时间的关系，图3表示木块运动的速度与时间的关系，请结合函数图象信息，判断下列说法错误的是（    ） A．前木块保持静止状态 B．拉力与时间的关系满足正比例函数关系，且当时， C．当时，速度随时间增大而增大 D．在整个过程中，速度随拉力增大而增大 【答案】D 【分析】由图2，图3的图象信息结合左图，对选项逐一分析即可得解． 【详解】解：A、由图3可知，前三秒木块的速度为0，所以前木块保持静止状态，故此选项正确； B、由图2可知，拉力与时间的图象是一条过原点的直线，设，由图2知，图象过点，代入得，解得，所以，当，，故此选项正确； C、由图3可知，当时，图象从左往右呈上升趋势，即速度随时间增大而增大，故此选项正确； D、由图3可知，前3秒内木块速度为0，此过程拉力随时间增大，但速度并没有增大；当木块开始运动后，速度随拉力增大而增大，所以并不是整个过程速度随拉力增大而增大，故此选项错误． 二、填空题 16．（2026·河南鹤壁·一模）已知一次函数，当时，的值可以是______．（写出一个合理的值即可） 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】根据一次函数的增减性结合的取值范围，得到的取值范围，即可写出符合要求的解． 【详解】解：在一次函数中，，随的增大而减小， 当时，， 时，， 的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 17．（2026·河南平顶山·一模）如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，已知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接．设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象．则点D的坐标为______． 【答案】 【分析】根据点P、Q的运动速度、运动时间、运动路程之间的关系，确定、、之间的关系，结合勾股定理和图2中点E坐标求出、、长度，再根据点Q的位置不同分类讨论，表示出的面积为y与运动的路程x之间的函数关系，并确定x的取值范围，根据二次函数的性质求出最大值，得到点D的坐标． 【详解】∵点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动， ∴点P的运动路程是线段长度， ∵点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动， ∴点Q的运动路程是线段长度， ∵点P、点Q同时从点A出发，同时到达点C， ∴运动时间相等， ∵点Q的运动速度为点P运动速度的2倍， ∴点Q的运动路程是点P运动路程的2倍， 即当点P运动的路程为x时，点Q的运动路程是；且， 由图2点E可知，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，，即，解得，∴， 当点Q在线段上运动时，过点Q作，垂足为点H，此时点P运动的路程是，点Q的运动路程是， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴，即 ， ∵， ∴开口向上， 对称轴为直线， 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，y最大，最大为； 当点Q在线段上运动时，此时点P运动的路程是，点Q的运动路程是， ∵， ∴，   ，即  ， ∵， ∴开口向下， 对称轴为直线， 在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y最大，最大为， ∴图2中点D的坐标为． 【点睛】本题考查了运动速度、运动时间、运动路程之间的关系，相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质，解题关键是能够看出图2中各点的含义和分类讨论． 18．（2026·河南平顶山·一模）将一次函数的图象向上平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为______． 【答案】 【详解】解：将一次函数的图象向上平移个单位长度， 根据平移规律可得所得图象的函数表达式为． 19．（2026·河南周口·一模）已知点在反比例函数的图象上，则_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二，四象限内， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点A在第二象限内，点B在第四象限内， ∴． 20．（2026·河南南阳·一模）如图，矩形中，，，点为轴上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点的对应点为点，当点落在轴上时，点的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据题意得出，进而得出或，再根据，利用勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：∵矩形中，以为对称轴将折叠得到，点B的对应点为点Q，， ∴，，， 设，， ∴， 解得：或， ∴或， 当时，由得， ， 解得：； 当时，得， ， 解得：， 综上，点P的坐标为或， 故答案为：或． 21．（2026·河南南阳·一模）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 2 4 5 7 0 则关于的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【分析】先根据表格中y值相等的点求出二次函数的对称轴，再利用对称性得到对应的另一个的值，即可得到一元二次方程的解 【详解】解：根据表格可得，点，都在二次函数的图象上， 二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得，当时，， 点关于对称轴的对称点为， 关于的一元二次方程的解是. 三、解答题 22．（2026·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，为的中点．反比例函数的图象过点，交于点．    (1)求点的坐标和反比例函数的表达式； (2)延长交轴于点，求的面积． 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再结合中点坐标公式可得，再代入反比例函数解析式求解即可； （2）先求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，从而得出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为， ∴点； 为的中点， ； ∵反比例函数的图象过点， ， ， ； （2）解：∵反比例函数的图象交于点， ， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， ， ， ， ． 23．（2026·河南商丘·一模）在平面直角坐标系中，将一块含有 45°角的直角三角板按如图所示的方式放置，直角顶点 C 的坐标为(2,0)，顶点 B 的坐标为(0,4)，顶点 A 恰好落在反比例函数 的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)将直线OA 向上平移m(m>0)个单位长度后所得的直线与反比例函数 的图象的交点的横坐标为3m，求m 的值． 【答案】(1)，见详解 (2)，见详解 【分析】（1）结合已知条件构造“一线三等角模型”即可确定点A的坐标，进而可确定反比例函数的表达式； （2）首先利用反比例的表达式确定交点坐标，然后把交点坐标代入平移后直线的表达式即可确定m的值． 【详解】（1）解：如图，作AD轴于点D． =，， =， =． 在和中， ， ，， ， A点坐标为． 把A点代入  ，得 ，  解得 ， 所以反比例函数的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， 把代入，  得 ，解得． 所以直线的表达式为． 把代入，得y=． 所以平移后两个函数图象的交点坐标为． 由题意可知直线平移后得函数表达式为， 将交点坐标代入，得 =， 解得． 【点睛】本题考查了全等、待定系数法求函数解析式以及函数的平移等知识．能够准确识别和构造基本图形是解题的关键． 24．（2026·河南平顶山·一模）某大型商业楼前欲设计一个直径为的圆形喷水池，设计方案如图所示，在喷水池的中心O（圆心）处竖直安装一个喷水管，P处是喷头，喷出水流的运动路线可以看作抛物线的一部分，且喷出的水流关于轴对称．以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，测得为．当喷出的水流最高为时，喷出水流与的水平距离为． (1)①求y轴右侧抛物线的表达式； ②请通过计算说明喷出的水流是否流到水池外． (2)安装师傅调试时发现，喷水管竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线形水流移动时，保持对称轴及形状不变）．若想要喷出的水流刚好不流到水池外，应该把喷水管向上移动多少米？ 【答案】(1)①；②喷出的水流没有流到水池外，理由见解析 (2)应该把喷水管向上移动 【分析】（1）①由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且经过点，设轴右侧抛物线的表达式为，将点代入，求出a的值，即可解答； ②当时，，求出，继而推导出水流落地点距离圆心，半径，根据，得到喷出的水流没有流到水池外，即可解答； （2）设把喷水管向上移动米，根据题意，可设移动后的抛物线的解析式为，要使水流刚好不流到水池外，则水流落地点为，将代入解析式，求出，即可解答． 【详解】（1）解：①由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且经过点， ∴设轴右侧抛物线的表达式为， 将点代入，得 ， 解得， 轴右侧抛物线的表达式为， 即． ②当时，． 整理得， 解得， 水流在轴右侧， ， 即水流落地点距离圆心， 圆形喷水池的直径为， 半径， ， 喷出的水流没有流到水池外． （2）解：设把喷水管向上移动米，根据题意，移动后的抛物线形状和对称轴不变， ∴移动后的抛物线的解析式为， 要使水流刚好不流到水池外，则水流落地点为， 将代入解析式，得 ， 解得， 答∶应该把喷水管向上移动． 25．（2026·河南平顶山·一模）在中，的长为，边上的高为，的面积为2． (1)关于与的函数关系式是______，的取值范围是______． (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)直线与轴交于点，与（1）中的函数交于点，点是轴上的点，若的面积等于面积的5倍，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据三角形的面积公式求解即可； （2）利用列表描点法画出函数图象即可； （3）先求出、的坐标，进而得到，设，再根据的面积等于面积的5倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，的长为，边上的高为，的面积为2， 则， 关于的函数关系式是，的取值范围是， （2）解：由（1）可知，， 列表如下： 描点连线，函数图象如下： （3）解：令，则， 则， 联立， 解得：，（舍去）， ，即点E到x轴的距离为4，到y轴的距离为1， ， 点是x轴上的点， 设，则，如图 的面积等于面积的5倍， ， 即， ， 点的坐标为或． 26．（2026·河南三门峡·一模）问题情境： 打铁花，又叫打树花，是流传于河南开封地区的一种民间烟火（社火）．表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落点的水平距离为． 数学建模： 用如图所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为 N，对称轴为直线 l，铁水落地点为 A．以表演台中心为原点O，水平向右为x轴正方向，过点O且竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： (1)求该抛物线的表达式． (2)铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设顶点式，再代入原点即可得解； （2）先求出距离地面高度不低于的x的范围，进而得解； 【详解】（1）解：根据题意，该抛物线的顶点N的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． （2）解：当时，． 解得：， ， 当时，铁水在飞行过程中距离地面高度不低于， 距离地面高度不低于的水平飞行距离为． 27．（2026·河南南阳·一模）多人跳绳是校园中常见的一项体育运动．当跳绳摇到最低处时，其形状可近似看作抛物线的一部分．如图，摇绳时两人手（分别记作点A，B）离地面的距离均为，手之间的水平距离为，以地面为x轴，过点A且垂直于地面的竖直线为y轴建立平面直角坐标系．已知图中所有的点都在同一平面内． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)小亮站在离点A水平距离为的点C处，如果小亮从点C处竖直向上跳起，且当绳子甩到最低处时刚好通过他的脚底，那么小亮跳起的高度为多少米？ (3)若多人齐跳，为保证安全要求相邻两人之间的距离为．假设所有跳绳的同学同时起跳且竖直向上的起跳高度都是，当他们起跳到最高处时，绳子恰好甩到最低处，且绳子低于他们的脚底至少，试估计最多可供几人齐跳．（假设绳子摇到的最高处均超过跳绳同学的头顶） 【答案】(1) (2) (3)最多可供5人齐跳 【分析】（1）先求出顶点坐标为．，设抛物线的函数表达式为，把代入求解即可； （2）将代入解析式求解即可； （3）先求出绳子低于他们的脚底至少时的y的值，再代入解析式求出x的值，然后根据相邻两人之间的距离为即可求出最多可供几人齐跳． 【详解】（1）解：（1）由题意可得抛物线经过点，，且顶点在x轴上， 对称轴为直线， ∴顶点坐标为． 可设抛物线的函数表达式为． 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为 （2）解：将代入，得， ∴小亮跳起的高度为； （3）解：， ． 令， 解得，． ，，， ∴最多可供5人齐跳． 28．（2026·河南平顶山·一模）如图，已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求，的值． (2)将直线向上平移2个单位长度后与轴交于点，与反比例函数的图象交于第一象限的点． ①求平移后的一次函数表达式及点的纵坐标； ②为反比例函数图象部分上一点，连接，当的面积小于的面积时，请直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）将点分别代入正比例函数与反比例函数表达式，即可求出，的值； （2）①根据上加下减得出平移后的一次函数表达式，联立一次函数与反比例函数即可求出点的纵坐标；②当的面积小于的面积时，，为反比例函数图象部分上一点，则，根据反比例函数的图象于性质，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入，得 ，解得； 将点代入，得 ，解得． （2）解：①将直线向上平移2个单位长度后表达式为： ， ∴平移后的一次函数表达式为． 联立，解得，， ∵点在第一象限， ． ②当的面积小于的面积时，， ∵为反比例函数图象部分上一点， ． ∵反比例函数,, ∴在第一象限，随的增大而减小． ． ∴． 29．（2026·河南安阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)求的面积． (3)将线段沿某一方向进行平移后得到线段，使得点落在反比例函数的图象上，点落在轴上，直接写出平移后点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）把点的纵横坐标代入，求出，得反比例函数解析式为；把点代入得，得；把和代入，求出、的值即可； （2）由可求出，，得，根据可求解； （3）由点平移后在对应点在轴上，点的纵坐标为0，则可得线段向下平移1个单位，则点的纵坐标为，把代入得，故可得平移后点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴把点的纵横坐标代入，得， ∴， ∴反比例函数解析式为； 把点代入得， ∴； 把和代入得：， 解得， ∴一次函数解析式为：； （2）解：对于，当时，； ∴ ∴； 当时，， 解得：， ∴； ∴ ； （3）解：设， ∵点平移后在对应点在轴上， ∴点的纵坐标为0， ∴线段向下平移1个单位， ∴点的纵坐标为， 把代入得， 平移后点的坐标为． 30．（2026·河南平顶山·一模）某游乐场的圆形喷水池中心O处有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，第一象限内抛物线对应的函数表达式为． (1)求雕塑的高； (2)求落水点C，D之间的距离； (3)若需要在上的一点E处竖立雕塑，，，．雕塑的顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明． 【答案】(1)雕塑的高为； (2)； (3)雕塑的顶部F不会碰到水柱． 【分析】（1）把代入，求出y的值即可求解； （2）令，求出x的值即可求解； （3）把代入，求出y的值即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，点A在的图象上， 把代入，得． ∴点A的坐标为， ∴雕塑的高为 （2）解：由题可得，点D在的图象上，且位于x轴正半轴． 令，则． 解得，（不符合题意，舍去）． ∴． ∵从A点喷出的水柱形状相同， ∴． （3）解：∵， ∴当时，． ∵， ∴雕塑EF的顶部F不会碰到水柱． 31．（2026·河南南阳·一模）河南某高速公路隧道截面轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽米，高米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔米（中心线宽度不计）．若宽米，高米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，理由：如图，由题意得： （米） ∴点的横坐标为， 把代入，得， ， ∴能安全通过． 【分析】抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可求解； 求出点的横坐标，然后求出点距离抛物线的距离，再减去车辆的高度，得到的差值与比较即可判断求解 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为，即， 设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）略 32．（2026·河南三门峡·一模）如图，点A是反比例函数上一动点，连接，过点O作交反比例函数于点B，连接，过点A作轴于点D，过点B作轴于点C． (1)图中与的面积之和为 ； (2)若点A的坐标为，求点B的坐标； (3)当点A在反比例函数图象上运动时，其他条件保持不变，的度数是否保持不变？如果不变，请直接写出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)不变，，理由见详解 【分析】（1）根据反比例函数的几何意义可进行求解； （2）由题意易得，则有，设，则有，然后问题可求解； （3）设，，则有，由（2）可知：，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：根据反比例函数的几何意义可知：， ∴与的面积之和为； （2）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵，轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则有，代入反比例函数得： ，解得：（负根舍去）， ∴； （3）解：的度数保持不变，理由如下： 设，，则有， 由（2）可知：， ∴，即， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 33．（2026·河南濮阳·一模）如图，抛物线的顶点在正方形网格的格点上． (1)求和的值； (2)请在给定的平面直角坐标系中画出直线，设该直线与抛物线相交于点和点（点在点左侧），请描出点和点，并直接写出当时的取值范围； (3)将抛物线沿直线翻折后得到新的图象，若新图象与（2）中的线段只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据顶点坐标，求得抛物线的解析式，化为一般形式，即可求解； （2）根据题意画出函数图象，进而结合函数图象，即可求解； （3）根据题意可得新的抛物线图象的顶点坐标为，则新的抛物线的解析式为，根据题意画出图形，结合图形分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点 ， ∴抛物线解析式为， ∴； （2）解：如图所示， ∵ 解得：， ∴当时的取值范围为：或； （3）解：由（2）可得， ∵顶点 ，直线， ∴新的抛物线图象的顶点坐标为， ∴新的抛物线的解析式为， 新图象与（2）中的线段只有一个交点， ①新抛物线与直线相切时， 联立， 消去得，， 即， ∴， 解得：； ②当新抛物线经过点时，， 解得：； ③当新抛物线经过点时，，， 解得：， 综上所述，或． 34．（2026·河南平顶山·一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，点P为直线OA上位于点A右侧的一点，且，过点P作轴，垂足为Q，交反比例函数的图象于点M． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点M的坐标． 【答案】(1)； (2)点M的坐标为． 【分析】1）将点代入可知点A的坐标为，再代入求解即可； （2）过点A作轴，垂足为N．可知，证明，得到，进而得到，将代入，得，将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点． ∴将点代入，得．解得． ∴点A的坐标为． 将点代入，得， 解得． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图，过点A作轴，垂足为N． ∵轴， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 将代入，得． 将代入，得． ∴点M的坐标为． 35．（2026·河南省直辖县级单位·一模）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，其中点的坐标为，点的纵坐标为，一次函数 的图象与轴交于点． (1)求m和n的值； (2)根据图象，当时，请直接写出x的取值范围______； (3)将线段绕着点逆时针旋转得到线段，点恰好落在这个反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)或 (3)点． 【分析】（1）把点代入一次函数可求得，进而求出反比例函数的关系式； （2）根据图象直接得出答案； （3）过点作轴，过点作，过点作，构造K字型全等三角形，根据旋转前后线段之间的和差关系，求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵把点代入一次函数得： ，解得， 即． 又在反比例函数上 ∴． （2）解：当时，，即交点为，结合图象可得：当时，x的取值范围为或， （3）解：当时，，即， 过点作轴，过点作，过点作， ∴， ∴， 由旋转可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点． 36．（2026·河南商丘·一模）已知二次函数 的图象的顶点坐标为． (1)求该二次函数的表达式，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象． (2)若点在抛物线上，且满足，求m 的取值范围． (3)当 时，二次函数的最大值与最小值的差为2，请直接写出n的取值． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)的取值为或 【分析】（1）已知二次函数一般式和顶点坐标，可利用顶点坐标公式或顶点式代入求解参数、，再根据函数性质描点画图; （2）求时对应的值，结合抛物线开口向上的性质，确定时的范围； （3）抛物线开口向上，对称轴，顶点纵坐标（最小值），分区间在对称轴左侧、跨对称轴、在对称轴右侧三种情况讨论最值，结合“最值差”列方程求解． 【详解】（1）解：二次函数的顶点坐标为， 设顶点式为， 展开得：， 与原式对比一次项系数： ， 常数项：，， 二次函数表达式为． 画图步骤： 对称轴为直线，顶点； 令， ，，， 得到与轴交点、； 令，得到与轴交点； 描点：、、、、，用平滑曲线连接． 图像如下： （2）解：当时，， 整理：， 解得 ，， ，抛物线开口向上， 时，． （3）解：二次函数，对称轴，最小值为， ① 区间在对称轴左侧：， 二次函数的最大值为，最小值为 ， ， ，但(不合题意，舍去)； ②区间在对称轴右侧：， 二次函数的最大值为，最小值为， ， ，但(不合题意，舍去)； ③区间跨对称轴：，最小值为 此时最大值在区间端点取到： 若右端点更大：，，；（满足） 若左端点更大：，，．（满足） 综上，或． 37．（2026·河南三门峡·一模）某校九（1）班利用班会举办“诗词大赛”，如图1所示，同学们对班级进行了装饰，他们在班级的两墙之间悬挂一些彩带，建立如图2所示的平面直角坐标系后，每条彩带的形状可以近似看成抛物线，已知墙，且，之间的水平距离为． (1)请求出彩带所对应的抛物线的表达式及顶点坐标； (2)小明作为活动主持人，需要从这条彩带下方来回走动，已知小明身高，到墙的距离为d，请你求出小明直立能通过彩带时d的取值范围（小明不接触墙壁和彩带）． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 【分析】（1）由题意易得点，然后利用待定系数法得出函数解析式即可； （2）由题意可把代入抛物线解析式进行求解，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：点，代入抛物线表达式得： ，解得：， ∴抛物线表达式； 把抛物线的表达式配方得：， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：由题意可把代入抛物线解析式得：， 解得：， ∴小明直立能通过彩带时d的取值范围为或． 38．（2026·河南南阳·一模）如图，平行于y轴的矩形直尺与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B对应的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求k的值． (2)过点C作于点E，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值； （2）求出，，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点A和B对应的刻度分别为和， ． 又，轴， ． 把代入， 得， 解得， （2）证明：∵直尺的宽度为，， ∴点C的横坐标为4． 将代入， 得， ． ， ， ． 又， ∴四边形是平行四边形． 39．（2026·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，顶点，在反比例函数的图象上，且点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)求的值； (2)直接写出的值为__________； (3)将菱形向下平移，当点落到反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）点，点代入得出，即可得，待定系数法求解析式，即可求解； （2）连接交于点，根据菱形的性质可得，进而根据中点坐标公式，即可求解； （3）由（2）可得，代入反比例函数解析式，可得，进而得出平移的距离． 【详解】（1）解：∵点，点在的图象上， ． 将代入，得． （2）如图，连接交于点，则， ∵， ∴，点， ， 即， 解得：； （3）∵，点的坐标为， ∴； 令，代入中，得， ∴平移距离为． 40．（2026·河南南阳·一模）河南日报2026年2月2日报道，2025年河南省新能源发电量1211亿千瓦时，占全社会用电量的，标志着河南能源体系绿色化转型取得决定性进展．河南某地区共建有10个小型光伏发电站，每个发电站每月的发电量为40万千瓦时．该地区计划从今年某月月初开始对这10个小型光伏发电站各进行一次改造升级．每月改造升级1个发电站，这个发电站当月停机，并于次月再投入发电，每个发电站改造升级后，每月的发电量将比原来提高．从开始改造升级的第1个月开始往后算，该地区第x（x是正整数且）个月发电站的总发电量设为y万千瓦时）． (1)第x个月时该地区对应的发电站改造及发电情况列表如下： 该月正在改造的发电站 已经改造好的发电站 未改造的发电站 数量/个 1 发电量/万千瓦时 0 ①将上面表格补充完整（结果化到最简）； ②求y关于x的函数表达式． (2)已知每个发电站改造升级的费用为2万元．如果每发1千瓦时电可以盈利0.05元，那么从第几个月开始该地区的发电盈利额（盈利额=发电盈利当月发电站改造升级的费用）将超过之前不改造升级时该月的发电盈利额？ 【答案】(1)①，，；② (2)第7个月 【分析】（1）①根据题意求出未改造的发电站个数，根据每个未改造的发电站每月的发电量为40万千瓦时可知未改造的发电站发电量及发电站改造升级后每个发电站每月的发电量，进而可知已经改造好的发电站发电量； ②用已经改造好的发电站发电量加上未改造的发电站发电量即可得到y关于x的函数表达式； （2）设第x个月时，该地区的发电盈利额为w万元，求出w的函数表达式及不改造升级时该月的发电盈利额，进而根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①∵共改造10个小型光伏发电站， ∴未改造的发电站为个； ∵每个未改造的发电站每月的发电量为40万千瓦时， ∴未改造的发电站发电量为万千瓦时； ∵每个发电站改造升级后，每月的发电量将比原来提高， ∴发电站改造升级后每个发电站每月的发电量为万千瓦时， ∴已经改造好的发电站发电量为万千瓦时； 表格补充完整如下： 该月正在改造的发电站 已经改造好的发电站 未改造的发电站 数量/个 1 发电量/万千瓦时 0 ②． （2）解：设第x个月时，该地区的发电盈利额为w万元， 则． 之前不改造升级时该月的发电盈利额为万元． 令，即， 解得． 答：从第7个月开始该地区的发电盈利额将超过之前不改造升级时该月的发电盈利额． 41．（2026·河南·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，为的中点．反比例函数的图象过点，交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)延长交轴于点，求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)的面积为 【分析】（1）根据矩形的性质，可得点的坐标，再求出点的坐标，即可得出反比例函数的表达式； （2）先得出点的坐标，求出直线的表达式，即可得出点的坐标，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ，，， ∴点的坐标为， ∵为的中点， ∴点的坐标为， 代入， 得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：当时，， ∴点的坐标为， 令直线的表达式为， 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，得， 解得， ∴， ∴，， ∴的面积为． 42．（2026·河南省直辖县级单位·一模）已知二次函数，与x轴交于点和，与y轴的正半轴交于点C，且．其顶点为P． (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数的顶点P的坐标，并在坐标系中画出函数的图象． (3)若当时，函数的最大值为，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)2或 【分析】（1）根据题意得到，运用待定系数法即可求解； （2）将二次函数一般式化为顶点式，得到顶点坐标，再根据二次函数作图方法得到图象； （3）根据二次函数图象的特点，分类讨论：当时，即，则当时，取得最大值；当时，则时，取得最大值，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数，与x轴交于点和，与y轴的正半轴交于点C， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵， ∴， 二次函数图象如下图所示， （3）解：∵二次函数图象的对称轴直线为，二次项系数， ∴图象开口向下，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当时，即，则当时，取得最大值， ∴， 整理得，， 解得，，（舍去）； 当时，则时，取得最大值， ∴， 整理得，， 解得，，（舍去）； 综上所述，的值为2或． 43．（2026·河南平顶山·一模）消防事关千万家，我国水罐消防车是指车上除了装备消防水泵、器材，还设有较大容量的贮水罐及水枪、水炮等，可将水和消防人员输送到火场独立进行扑救火灾．一次消防车演练时，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是：，水从距离地面的管道口点喷出，点正下方为车与地面接触点，水流形状如图所示． (1)已知该消防车在距车水平方向处水流达到最高，最高点离地面，求该二次函数的解析式及的长． (2)若消防车停在与建筑有宽的绿化带旁时，此时水流恰能扑灭多高楼层的火势？ 【答案】(1)， (2)此时水流恰能扑灭高度为楼层的火势 【分析】（1）已知二次函数的顶点坐标为，写出该函数的顶点式为 ，再将代入解析式进行计算，得到，则，即可解答； （2）将代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解∶已知二次函数的顶点坐标为，写出该函数的顶点式为 将代入解析式，得 ， ∴， ∴． 答：二次函数的解析式为，的长为； （2）消防车与建筑间隔宽的绿化带，因此水流到达建筑位置对应的水平距离，将代入二次函数解析式： ∴此时水流恰能扑灭高度为楼层的火势． 44．（2026·河南平顶山·一模）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园 第天的单价、销售量与的关系如下表： 项目 单价/（元/盒） 销售量/盒 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 0 第4天 44 50 … … … 第天 第天的单价与近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元. B樱桃园 第天的利润（元）与的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图. (1)A樱桃园第天的单价是_____元/盒．（用含的代数式表示） (2)求A樱桃园第天的利润（元）与的函数关系式．（利润=单价×销售量-固定成本） (3)求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 【答案】(1)； (2)； (3)第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元． 【分析】（1）设第x天的单价，利用待定系数法求解； （2）根据利润单价销售量固定成本，列式计算即可； （3）由图象可知：二次函数的图象经过点，，利用待定系数法求解；列出关于x的函数关系式，变形为顶点式，求出最大值即可． 【详解】（1）解：设第x天的单价， 由题意得， 解得， ； （2）解：由题意，得； （3）解：把，代入中，得 解得 关于的函数关系式为． ，， ． ，且（为正整数）， 当时，有最大值，最大值为4800． 第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元． 45．（2026·河南新乡·一模）如图，抛物线经过点，与x轴交于点和点C． (1)求抛物线的解析式； (2)设此抛物线的顶点为D，点P为直线AC下方抛物线上的动点，过点P作轴交于点Q，小红认为当点P与顶点D重合时，最长，你赞同小红的观点吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：不赞同小红的观点，理由如下： 对于，令，则 解得 ∴， 设直线，则， 解得 ∴直线 设，则， ∴， ∴当时，取得最大值为， ∴此时 而抛物线的顶点， 此时点不与顶点重合，故不赞同小红的观点． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线，然后设，则，那么，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与x轴交于点 ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）略 46．（2026·河南新乡·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)请直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）根据函数图象结合交点坐标即可解答． 【详解】（1）解： 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 点在反比例函数的图象上， ， ， 又 点，两点在一次函数的图象上， ， 解得， 则该一次函数的解析式为． （2）解：根据图象可知使成立的的取值范围是：或． 47．（2026·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线． (1)若抛物线经过点，求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若，且当时，的最大值是4，求的值； (3)在（2）的条件下，已知点和点，若线段与抛物线只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)或． 【分析】（1）先结合对称轴是直线，得出，再把代入计算，即可作答． （2）结合得出开口向上，越远离对称轴的自变量所对应的函数值越大，根据当时，的最大值是4，把代入，解得的值，即可作答． （3）先由得，结合点和点，故，再把代入，得出，，又因为线段与抛物线只有一个公共点，得或，再解出或，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴， ∴； 把代入，得， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得， ∵， ∴函数图象的开口向上， ∴越远离对称轴的自变量所对应的函数值越大 ∵抛物线的对称轴是直线，当时，的最大值是4，且， ∴经过， 即 解得； （3）解：由（2）得，， 则， ∵点和点， ∴， 把代入，得， 即 解得， 则 ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴或 解得或． 48．（2026·河南洛阳·一模）甲、乙两个制作团队分别同时制作两类文创产品，制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题． (1)甲团队在开工后6天内，每天制作文创产品 件； (2)当时，求乙团队制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系式； (3)请直接写出时间（天）为何值时，甲，乙两团队制作的文创产品数量相差100件． 【答案】(1) (2) (3)当或或时，甲，乙两团队制作的文创产品数量相差100件 【分析】（1）根据函数图象可得答案. （2）当时，设乙团队制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系式为；结合函数图象过点、，进一步求解即可. （3）当时，可得，当时，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：甲团队在开工后6天内，每天制作文创产品（件）. （2）解：当时，设乙团队制作完成产品数量（件）与时间（天）之间的函数关系式为； 由图可知，函数图象过点、， ， 解得， ； （3）解：∵甲每天做件， ∴， 当时，乙每天做件， ∴， ∴， 解得：， 当时，， ∴， 解得：或， ∴当或或时，甲，乙两团队制作的文创产品数量相差100件． 49．（2026·河南洛阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求此反比例函数的表达式； (2)将向上平移，当点落在反比例函数的图象上时，求出平移的距离． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)平移的距离为 【分析】（1）利用轴对称的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）求解，设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上，即点落在反比例函数的图象上，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵的边经过原点，点，关于轴对称，点的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴，， 设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上， 即点落在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 将向上平移2个单位，点D落在反比例函数的图象上， ∴平移的距离为． 50．（2026·河南商丘·一模）【问题引入】 如图1是某学校的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼，为此学校综合与实践小组的同学们展开了测量活动． 【问题情境】 学校大门的拱形部分可近似看作抛物线，图2是该拱门的示意图，以的中点为原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．经测量，拱门的宽，拱门最高点到地面的距离为，和垂直于地面，高度均为． 【问题解决】 (1)求该大门拱形部分所在抛物线的函数表达式． (2)如图2，线段和分别表示大门两侧悬挂的灯笼．已知每个灯笼的长为（含挂线），灯笼悬挂点，到最高点的水平距离均为． ①求灯笼底端到地面的距离． ②学校每天需要用货车运输物品进校，已知货车通常从拱形大门的正中间位置进校．若货车的高为，宽为，请通过计算说明悬挂的灯笼是否影响进车，若影响进车，求需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离；若不影响进车，请说明理由（参考数据：）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由题意，得点的坐标为，点的坐标为，设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为，根据求出，即可求出函数解析式； （2）①根据题意可知点的横坐标为，将代入函数解析式求出点的纵坐标，减去灯笼的长即可； ②先判断出悬挂灯笼影响进车，令，求出此时x的值，再用原灯笼悬挂点到最高点的水平距离减去x的值即可． 【详解】（1）解：∵，为的中点， ∴ 由题意，得点的坐标为，点的坐标为． 设大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为， 将点代入，得，解得． 大门拱形部分所在抛物线的函数表达式为． （2）解：①灯笼悬挂点到最高点的水平距离为， 点的横坐标为． 当时，． ． 灯笼底端到地面的距离约为． ②由①得灯笼底端到地面的距离为，且， 悬挂灯笼影响进车． 令，得，解得（负值已舍去）． ． 需要将两个灯笼向大门中心点处移动的最小水平距离约为． 51．（2026·河南南阳·一模）体育课上嘉嘉同学（抽象为一点）进行蛙跳训练，每一个完整的动作路线都可以近似的看作是抛物线的一部分，如图1是嘉嘉连续两次蛙跳的运动示意图，规定嘉嘉距离地面的竖直高度为，距离起跳点的水平距离为，第一个蛙跳的起跳点为原点，并在达到最高点，在点A处落地，落地后立即起跳进行下一个蛙跳，路线为抛物线，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线相同． (1)求嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式； (2)若嘉嘉第二个蛙跳后，在距离第一次蛙跳的起跳点时，到达最高点． ①求的值； ②在距离原点处，水平放置一个距离地面高度为的可调节支撑杆，判断嘉嘉在第二个蛙跳中是否会越过可调节支撑杆？并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆，理由见解析 【分析】（1）设嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）①代入得出，进而设第二个蛙跳路线为抛物线为待定系数法求，即可求解； ②将，代入第二个蛙跳路线的解析式，比较函数值与的大小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式为，代入得， ， 解得：， ∴嘉嘉第一个蛙跳的路线抛物线的函数解析式为 ； （2）解：①∵第一个蛙跳在点A处落地， ∴当时，， 解得：， ， ∵第二个蛙跳路线为抛物线，其开口大小和方向均与第一个蛙跳的路线抛物线相同，在距离第一次蛙跳的起跳点时，到达最高点， 又， 解得：； ②嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆，理由如下， ∵， ∴第二个蛙跳路线为抛物线 当时，， ， ∴嘉嘉在第二个蛙跳中不会越过可调节支撑杆． 52．（2026·河南南阳·一模）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和点，与轴交于点和，点A、B的刻度分别为和，直尺的宽度为．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求双曲线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)沿轴正方向平移直尺，当的中点恰好落在双曲线上时，求平移的距离． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）待定系数法求出双曲线的表达式，再根据题意即可求出点的坐标； （2）先确定中点的纵坐标，代入反比例函数解析式求出，即可确定平移的距离． 【详解】（1）解：根据题意，得，． ∴， ∵双曲线经过点， ∴， ∴双曲线的表达式为． ∵， 则， ∴； （2）解：∵． ∴中点的纵坐标为， 当时，， 解得：， ∴平移的距离是． 53．（2026·河南南阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数解析式； (2)若点在轴上，且，求点坐标； (3)若点在该反比例函数图象上，且它到轴距离大于3，请根据图象直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点代入一次函数，求出b的值，再将点代入反比例函数解析式求出k即可； （2）将点代入反比例函数解析式求出a的值，设一次函数与轴交于点，则点为，设点坐标为，根据列方程求解即可； （3）分别求出当或时，对应的x的值，再结合反比例函数图象即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点， ， 反比例函数的图象经过， ， 反比例函数解析式为； （2）解：反比例函数经过点， ， ， 点， 设一次函数与轴交于点，则点为， 设点坐标为， ， ， 解得或， 点坐标为或； （3）解：当时，即，解得， 当时，即，解得， 结合反比例函数图象可知，或． 54．（2026·河南漯河·一模）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 3 0 0 3 … (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)求出该二次函数的解析式； (3)将抛物线向下平移3个单位长度，把平移后的图象在轴上及轴右侧的部分记为，作关于轴对称的图象，记为，若组成的曲线为，且与直线有三个公共点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）本题考查二次函数图像的描点画法； （2）本题考查二次函数解析式求法，使用待定系数法即可求出； （3）本题需先计算出平移后的解析式和自变量范围，然后计算出对称图像解析式和自变量范围，最后分情况讨论与直线有三个公共点的情况． 【详解】（1）如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象： （2）把代入， ， 解得， 该二次函数的解析式：． （3）由题意可得，的解析式是：， 整理得：的表达式为，的表达式为． 易得的顶点的坐标为，曲线与轴的交点为，与轴的交点为，分三种情况讨论： ①如图2，当时，直线， 此时直线恰好经过点和，并与有另一个交点，即点， 满足题意； ②如图3，当时，直线与始终只有两个交点，不满足题意； ③如图4，当时，直线与有一个公共点时满足题意， 联立与，得， 化简，得， ，解得． 综上，的值为或． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质、待定系数法求解析式、函数图像的平移、对称和直线和抛物线交点个数问题． 55．（2026·河南平顶山·一模）如图，从水平地面上，以米/秒的速度斜抛一个小球，当抛射角与水平面的夹角是时，小球运动过程中的水平距离与时间的函数关系为一次函数，小球运动过程中的竖直距离与时间的函数关系是二次函数．（结果保留两位小数．参考数据， (1)求竖直距离关于水平距离的函数解析式； (2)小球从斜抛离开地面，运动多长时间落地？落地点到抛出点的水平距离是多少米？小球运动过程中的最大高度是多少？ (3)实验发现，当小球离开地面的速度一定，仍是米/秒时，当抛射角为时，小球抛出的距离最远，此时水平距离、竖直距离与时间的关系分别为，．运用上面的信息，直接写出小球抛出的最远距离是___________． 【答案】(1) (2)小球从斜抛离开地面，运动秒落地，落地点到抛出点的水平距离是米，小球运动过程中的最大高度是米 (3)米 【分析】（）由得，再代入解答即可求解； （）令，解方程可得小球从斜抛离开地面运动秒落地，进而可求落地点到抛出点的水平距离，利用二次函数的性质可求出小球运动过程中的最大高度； （）求出关于水平距离的函数解析式，再求出时的即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把代入，得， ∴竖直距离关于水平距离的函数解析式为； （2）解：令， 解得或， ∴小球从斜抛离开地面，运动秒落地， ∴落地点到抛出点的水平距离（米）， ∵小球运动的高度为， ∴当时，有最大值， ∴最大值是（米）， 答：小球从斜抛离开地面，运动秒落地，落地点到抛出点的水平距离是米，小球运动过程中的最大高度是米； （3）解：由，得， 把代入，得， 当时，即， 解得或， ∴的最大值是， ∴小球抛出的最远距离是米， 故答案为：米． 56．（2026·河南安阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标． (2)若该抛物线经过点，且与轴交于点，两点，为整数，求抛物线的解析式及点的坐标． (3)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）把代入抛物线解析式即可求解； （2）把点代入抛物线解析式即可求解； （3）先求得抛物线对称轴为，分和（分，）进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， ∴顶点坐标为． （2）解：把点代入抛物线得，， 解得，， ∵为整数， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴点的坐标为． （3）解：由抛物线得，对称轴， 当时，抛物线开口向上，和都在对称轴右侧，此时y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，抛物线开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小， 当时，， （Ⅰ）当对称轴，即时，此时当时，取最小值， ∵对于，，都有， ∴， ∴， 令，当时，， 解得，， ∴或， ∴； （Ⅱ）当对称轴，即时，此时当时，取最小值， ∵对于，，都有， ∴， ∴， 令，当时，， 解得，， ∴或， ∴； ∴； 综上所述，的取值范围为或． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $