专题03 方程与不等式（5年汇编）（河南专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦河南中考方程与不等式专题，整合近5年真题及模拟题，覆盖5大高频考点，突出实际应用与数学建模，如购物优惠、行程问题等情境设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|选择29题（45分）、填空9题（24分）、解答19题（81分）|实际问题与一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程根的判别式、分式方程验根、不等式组解集|结合乡村振兴（苹果销售）、文化传承（洛阳宫灯、算筹）等时代情境，解答题注重方案设计与参数讨论，贴合河南中考命题规律|

专题03 方程与不等式 5年真题1年模拟 考点分类 河南考情（2022-2026） 命题规律 考点01实际问题与一元一次方程 近5年4考，常与函数、不等式综合考查；题型：解答题；分值：4-6分；2022-2026年多数年份考查，常出现在第20-21题应用题位置 常结合消费购物、行程、工程、方案选择等生活情境设问；多与一次函数、不等式综合考查；建模套路固定，重点考查方程思想与应用意识；常以"最省钱""最划算"等优化问题形式出现 考点02 二元一次方程组 近3年100%必考；题型：填空题第12题、解答计算题、实际应用题；分值：3-6分；2022-2026年连续考查，三年全覆盖 高频考查购物消费、工程、行程、配比问题；题型模板固定；重点考查加减消元法、代入消元法求解；常与实际应用结合，考查数学建模能力；计算难度不大，细心计算即可得分 考点03 一元二次方程 近6年6考，根的判别式为超高频考点；题型：选择题第5题固定位置、解答题第16题；分值：3-6分；2022-2026年每年必考，无空缺年份 根的判别式Δ=b²-4ac每年必考，为3分选填题；重点考查配方法、公式法解方程、根的判别式、根与系数关系（韦达定理）；含参问题为常见考法；实际应用偶考，多为增长率、面积问题 考点04 分式方程 近3年全覆盖考查；题型：选择题、解答题；分值：3-5分；2022-2026年高频考查，常出现在第16题计算题位置 重点考查分式方程求解、增根与无解问题；解方程必须检验，验根为必要步骤；常与工程、行程实际应用结合；易错点：忘记检验、去分母时漏乘常数项、符号错误；难度中等偏基础 考点05 解一元一次不等式组 近3年100%必考；题型：解答题第16题第(2)小题固定位置、填空题；分值：3-6分；2022-2026年连续考查，2026年第16题固定考查 必考解集求解、数轴表示、整数解个数、参数取值范围判定；常与方案设计应用题结合考查；易错点：不等号方向改变（乘除负数）、端点取值判断（实心空心）；用"同大取大、同小取小"口诀可快速求解 考点01 实际问题与一元一次方程 1．（2023·河南·中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元） (1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由． (2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价． (3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围． 考点02 二元一次方程组 2．（2026·河南·中考真题）近视可防可控不可逆，保持“一尺、一拳、一寸”的正确书写姿势能有效预防近视．小文发现，一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺．这本书的长度和小文的一拳长分别是多少尺？ 3．（2025·河南·中考真题）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 4．（2024·河南·中考真题）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．    (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 5．（2023·河南·中考真题）方程组的解为______． 考点03 一元二次方程 6．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 7．（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 8．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________． 9．（2023·河南·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 10．（2022·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 考点04 分式方程 11．（2026·河南·中考真题）方程的解为_________． 12．（2022·河南·中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 考点05 解一元一次不等式组 13．（2026·河南·中考真题）按要求解答下列问题： (1)计算：． (2)解不等式组： 完成以下解答过程． （ⅰ）解不等式①，得_________． （ⅱ）解不等式②，得_________． （ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． （ⅳ）所以，原不等式组的解集是_____． 14．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（    ） A． B． C． D． 15．（2022·河南·中考真题）不等式组的解集为______． 一、单选题 1．（2026·河南鹤壁·一模）《张丘建算经》中记载：今有甲、乙二人从同一地点出发，前往距离里的驿站．已知乙骑马速度是甲步行速度的倍，结果乙比甲早到分钟．设甲的速度为里/时，根据题意，可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南鹤壁·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河南三门峡·一模）定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南平顶山·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河南平顶山·一模）设m，n是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 6．（2026·河南平顶山·一模）年郑州跨年音乐会于年月日在郑州大剧院开演，音乐会票价原价有四档，其中某一档门票的价格是原价的六折，用元购买打折后该档门票的数量比用元购买原价票的数量多张，求该档门票原价为多少元．设该档门票原价为元，则可列方程（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河南鹤壁·一模）平面直角坐标系中，已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河南三门峡·一模）已知a，b是方程的两实数根，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 9．（2026·河南平顶山·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河南新乡·一模）若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．时，没有实数根 11．（2026·河南洛阳·一模）下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·河南商丘·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A． B． C．2 D．3 13．（2026·河南周口·一模）情景题某社区推行垃圾分类积分兑换生活用品，已知3个积分可兑换1包纸巾，5个积分可兑换1瓶洗手液．若小明现有x个积分，兑换了4包纸巾和2瓶洗手液，恰好用完积分，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 14．（2026·河南周口·一模）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（      ） A． B． C． D． 15．（2026·河南南阳·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 16．（2026·河南漯河·一模）已知一次函数的大致图象如图所示，则一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 17．（2026·河南漯河·一模）把不等式组的解集在数轴上表示出来，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（2026·河南平顶山·一模）函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 19．（2026·河南平顶山·一模）如图，一个长方体的长、宽、高三条线段的长度之和是26，长、宽、高的比是，则这个长方体俯视图的面积是（   ） A．144 B．128 C．112 D．96 20．（2026·河南安阳·一模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（     ） A．3 B． C．2 D．1 21．（2026·河南郑州·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的值不能为（     ） A．1 B．0 C． D． 22．（2026·河南周口·一模）为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（   ） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 23．（2026·河南周口·一模）关于一元二次方程，下列说法正确的是（     ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法判定 24．（2026·河南周口·一模）河南多地推行城市口袋公园建设，某公园计划种植月季和蔷薇两种花木，已知种植月季的数量比蔷薇的2倍少15株，设蔷薇种植x株，一共种植花木285株，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 25．（2026·河南南阳·一模）一元二次方程的根的情况是(   ) A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 26．（2026·河南南阳·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是（    ） A． B． C．0 D．1 27．（2026·河南周口·一模）关于x的不等式组的解集表示正确的是（    ） A． B． C． D．或 28．（2026·河南周口·一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”，若设人数为，鸡价为，则该问题对应的方程模型是（    ） A．一元一次方程 B．二元一次方程组 C．分式方程 D．一元二次方程 29．（2026·河南周口·一模）关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 30．（2026·河南三门峡·一模）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为_______． 31．（2026·河南平顶山·一模）方程组的解为_______． 32．（2026·河南驻马店·一模）不等式组的解集为___________． 33．（2026·河南平顶山·一模）不等式组的解集为______． 34．（2026·河南周口·一模）新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 35．（2026·河南南阳·一模）创新角度  数学文化  算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，其为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．例如：表示的数是2025．若已知，则_______． 36．（2026·河南南阳·一模）若是不等式组的一个解，的值可以是_____． 37．（2026·河南安阳·一模）不等式组，的解集为_____． 38．（2026·河南南阳·一模）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为______． 三、解答题 39．（2026·河南商丘·一模）洛阳宫灯是河南洛阳传统灯彩手工技艺之一，也是洛阳节庆装饰的核心载体，被列入国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为传承和弘扬非遗文化，某文创店计划购进一批甲、乙两种款式的洛阳宫灯文创产品，已知购进2件甲款和3件乙款洛阳宫灯文创产品共需270元，购进1件甲款和2件乙款洛阳宫灯文创产品共需170元． (1)求甲、乙两种款式的洛阳宫灯文创产品每件的进价． (2)该文创店决定将甲款洛阳宫灯文创产品以每件40元的价格出售，乙款洛阳宫灯文创产品以每件90元的价格出售．为满足市场需求，该文创店需购进甲、乙两种款式的洛阳宫灯文创产品共100件，且甲款的数量不少于乙款数量的4倍，请你求出该文创店将这100件洛阳宫灯文创产品全部出售后，可获得的最大利润． 40．（2026·河南三门峡·一模）科技是第一生产力，随着人工智能的迅猛发展，快递业迎来了技术革命，为了提高工作效率，某仓库购买机器人进行快递分拣的工作．已知1台甲型机器人的费用比购买1台乙型机器人的费用多2万元；用25万元购买甲型机器人的数量和用20万元购买乙型机器人的数量一样多． (1)请问购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价分别为多少？ (2)该公司计划购买这两种型号的机器人共10台（每种机器人至少购买2台），已知甲型机器人每小时分拣快递1800件，乙型机器人每小时分拣快递1500件．若使这10台机器人每小时分拣快递数量总和不少于16000件，则该公司有几种购买方案？哪种方案费用最低，最低费用是多少万元？ 41．（2026·河南周口·一模）某文具店购进A、B两款笔记本，购进2本A款和3本B款共需22元；购进5本A款和4本B款共需41元． (1)求A、B两款笔记本进价各多少元； (2)若计划购进两款笔记本共100本，A款售价5元，B款售价8元，全部售出后利润不低于280元，求A款最多购进多少本． 42．（2026·河南平顶山·一模）随着技术的飞速发展和人们环保意识的提高，新能源汽车已成为汽车市场一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知每台甲型充电桩比每台乙型充电桩贵万元，用40万元购买甲型充电桩的数量与用30万元购买乙型充电桩的数量相同． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共20台，且购买乙型充电桩的数量不超过甲型充电桩数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？ 43．（2026·河南新乡·一模）郑州二砂文化创意园位于郑州市中原区华山路，项目占地106.4公顷，总建筑面积101.8万平方米，是在原中国第二砂轮厂旧址（全国重点文物保护单位）基础上改造的综合性文创园区．小明家开的文创店计划购进A，B两款豫博文创产品． (1)已知A款文创产品进价比B款进价贵15元，购进2个A款和3个B款需要155元，求A、B两款文创产品各自的进价； (2)该文创店将B款产品的售价提高作为A款的售价，已知当A款的销售额为240元，B款的销售额为150元时，A款比B款多售出1个，求A，B两款文创产品的售价； (3)在（1）（2）问的条件下，该商店计划购进A、B两款商品共60个，且购进A款的个数不少于B款的一半，假设全部售完的情况下，应如何进货，才能使得利润最大？最大利润是多少元？ 44．（2026·河南平顶山·一模）某校开展校园读书月活动，为了提高学生的阅读热情，准备购进A，B两种型号的钢笔作为奖品．已知用480元购进A型钢笔的数量比用175元购进B型钢笔的数量多25支，且A型钢笔的单价是B型钢笔单价的1.6倍． (1)求两种型号钢笔的单价各是多少元． 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：；乙：． ①甲所列方程中的x表示______，乙所列方程中的y表示______． ②从甲、乙两名同学的方法中，选择一个进行解答； (2)该校准备用不超过1280元的价格购进这两种型号的钢笔共200支，则最多可购进A型钢笔多少支？ 45．（2026·河南鹤壁·一模）某体育用品店为支持学校开展“阳光体育”活动，计划同时购进篮球和足球两类体育用品，已知购进3个篮球和4个足球共需380元；购进6个篮球和2个足球共需460元． (1)每个篮球和每个足球的进价各是多少元？ (2)该体育用品店计划恰好用3600元全部购进这两类用品，设购进篮球个，足球个． ①求关于的关系式； ②进货时，篮球的购进数量不少于20个，已知每个篮球的售价为90元，每个足球的售价为80元．若体育用品店全部售完可获利元，求关于的关系式，并说明：应该如何进货才能使所获利润最大？最大利润为多少元？ 46．（2026·河南鹤壁·一模）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 47．（2026·河南商丘·一模）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价便宜300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材的购买数量，则购买多少台甲型健身器材时费用最低？最低费用是多少元？ 48．（2026·河南南阳·一模）河南日报2026年2月2日报道，2025年河南省新能源发电量1211亿千瓦时，占全社会用电量的，标志着河南能源体系绿色化转型取得决定性进展．河南某地区共建有10个小型光伏发电站，每个发电站每月的发电量为40万千瓦时．该地区计划从今年某月月初开始对这10个小型光伏发电站各进行一次改造升级．每月改造升级1个发电站，这个发电站当月停机，并于次月再投入发电，每个发电站改造升级后，每月的发电量将比原来提高．从开始改造升级的第1个月开始往后算，该地区第x（x是正整数且）个月发电站的总发电量设为y万千瓦时）． (1)第x个月时该地区对应的发电站改造及发电情况列表如下： 该月正在改造的发电站 已经改造好的发电站 未改造的发电站 数量/个 1 发电量/万千瓦时 0 ①将上面表格补充完整（结果化到最简）； ②求y关于x的函数表达式． (2)已知每个发电站改造升级的费用为2万元．如果每发1千瓦时电可以盈利0.05元，那么从第几个月开始该地区的发电盈利额（盈利额=发电盈利当月发电站改造升级的费用）将超过之前不改造升级时该月的发电盈利额？ 该月正在改造的发电站 已经改造好的发电站 未改造的发电站 数量/个 1 发电量/万千瓦时 0 49．（2026·河南驻马店·一模）河南省是我国粮食大省，核心是自然禀赋优越，耕地基础扎实，农业科技强，政策和产业体系完善，多项条件叠加，长期稳居全国前列．驻马店作为河南省重要产粮大市，麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某试验田安排，两种型号的收割机进行小麦收割作业、已知一台型收割机比一台型收割机平均每小时多收割亩小麦，一台型收割机收割亩小麦所用的时间与一台型收割机收割亩小麦所用的时间相同． (1)一台型收割机和一台型收割机平均每小时各收割小麦多少亩？ (2)已知型收割机收费是元/亩，型收割机收费是元/亩．该试验田负责人安排两种型号的收割机共台同时进行小麦收割作业，为确保每小时完成不少于亩的小麦收割任务，安排多少台型收割机才能使每小时花费最少？最少是多少元？ 50．（2026·河南平顶山·一模）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工15天完成了总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同工作了50天，总工程全部完成． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队施工一天需要各项支出9000元，乙队施工一天需要各项支出4000元． ①如果两队施工的天数一共是130天，怎样安排施工任务，可以恰好完工？所需施工费用是多少？ ②如果工期不超过75天，怎样安排施工任务（施工天数需为整数），可以最大限度地节省开支？支出的最少金额是多少元？ 51．（2026·河南周口·一模）某网店销售甲、乙两种商品，已知甲商品每件进价元，售价元；乙商品每件进价元，售价元． (1)若该网店一次性购进甲、乙两种商品共件，总进价为元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)若该网店准备购进甲、乙两种商品共件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的 ，设购进甲商品x件，总利润为y元，求y与x的函数关系式，并求最大利润． 52．（2026·河南漯河·一模）党的二十大报告中提到：深入推进能源革命，积极构建新型能源体系、大力推动终端用能转型升级等．某市交通管理局决定购买一批电动公交车取代燃油公交车．已知购买型电动公交车2辆、型电动公交车3辆，共需资金340万元，且每辆型电动公交车比型电动公交车的价格高20万元． (1)分别求型、型电动公交车的单价． (2)若该市交通管理局计划购买型、型电动公交车共40辆，且型电动公交车至少比型电动公交车多10辆，怎样购买才能使总费用最小？最小总费用是多少万元？ 53．（2026·河南安阳·一模）某公园文创商店计划购进A，B两款文创产品进行销售．已知购进4件A产品和3件B产品共需360元；购进5件A产品和2件B产品共需380元． (1)求A产品和B产品每件的进价． (2)该商店计划购进A，B两款文创产品共200件，且购进的B产品数量不低于A产品数量的1.5倍．A产品售价为80元/件，B产品售价为60元/件．“五一”假期，商店决定A产品按原价出售，B产品按售价八折促销．若200件产品全部售完，求该商店获得的最大利润是多少元． 54．（2026·河南郑州·一模）牡丹花茶是以牡丹花为原料制成的花草茶，饮用历史可追溯至隋唐时期，是洛阳特色名优花茶．某茶叶店经营的牡丹花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒． (1)分别求出购进的全花茶、花瓣茶每盒的价格． (2)该茶叶店购进这两种花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的，求本次采购的最少花费． 55．（2026·河南周口·一模）某文具店计划购进河南文创笔记本和中性笔两种商品，已知购进2本笔记本和3支中性笔共需32元；购进3本笔记本和5支中性笔共需50元． (1)求每本笔记本和每支中性笔的进价； (2)该店计划购进两种商品共200件，其中笔记本数量不少于中性笔数量的 中性笔每支售价8元，笔记本每本售价15元，设购进笔记本x本，总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出最大利润； (3)在（2）的条件下，在进货资金不超过1800元的前提下，直接写出最大利润． 56．（2026·河南南阳·一模）踢毽子，又叫“打鸡”，起源于汉代，盛行于南北朝和隋唐时期，不仅是一种娱乐活动，也是一种体育锻炼方式．某校为进一步推进传统体育项目进校园，计划组织九年级全体学生开展踢毽子比赛，并购买一批毽子作为比赛用品，现有A，B两种品牌的毽子可供选择．已知A品牌毽子的单价比B品牌贵3元，20个A品牌毽子和30个B品牌毽子的售价之和为560元． (1)求这两种品牌毽子的单价各是多少？ (2)已知该校九年级需购买A，B两种品牌的毽子共300个，且购买B品牌毽子的数量不高于A品牌的2倍，则怎样购买才能使购买费用最低？最低费用是多少元？ 57．（2026·河南周口·一模）某文具店购进A、B两种笔记本，已知购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元． (1)求A、B两种笔记本的单价； (2)若该文具店准备购进这两种笔记本共100本，且A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的设购进A种笔记本m本，总费用为W元，求W与m的函数关系式，并求最少费用． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 方程与不等式 5年真题1年模拟·答案版 考点01 实际问题与一元一次方程 1．(1)活动一更合算 (2)400元 (3)当或时，活动二更合算 考点02 二元一次方程组 2．这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺 3．(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； (2)该公司最少需花费元． 4．(1)选用A种食品4包，B种食品2包 (2)选用A种食品3包，B种食品4包 5． 考点03 一元二次方程 6．D 7．A 8．/ 9．A 10．A 考点04 分式方程 11． 12．(1)20元 (2)2250元 考点05 解一元一次不等式组 13．(1)1 (2)（i） （ii） （iii） （iv） 14．A 15． 1．D 2．D 3．A 4．C 5．D 6．A 7．B 8．B 9．B 10．A 11．D 12．D 13．A 14．C 15．C 16．B 17．C 18．A 19．B 20．D 21．A 22．B 23．C 24．A 25．D 26．D 27．A 28．B 29．B 30．1 31． 32． 33． 34．， 35．3 36．0（满足的任意一个数即可，答案不唯一） 37． 38． 39．(1)甲、乙两种产品每件的进价分别是30元，70元 (2)最大利润是1200元 40．(1)甲型机器人单价为10万元，乙型机器人单价为8万元 (2)共有5种购买方案，购买甲型机器人4台、乙型机器人6台时总费用最低，最低费用为88万元 41．(1)A进价5元，B进价4元 (2)A款最多购进30本 42．(1)甲型号充电桩单价为万元，乙型号充电桩单价为万元 (2)购买甲型充电桩7台，乙型充电桩13台时，所需总费用最少 43．(1)A款进价为40元，B款进价为25元； (2)A款售价为60元，B款售价为50元； (3)购进A款20个，则购进B款40个，才能使得利润最大，最大利润为1400元． 44．(1)①B型钢笔的单价；用480元购进A型钢笔的数量；②见解析； (2)最多可购进A型钢笔93支． 45．(1)每个篮球的进价为60元，每个足球的进价为50元 (2)① ；②当购进篮球20个、足球48个时，才能使体育用品店所获利润最大，最大利润为2040元 46．(1)是 (2)0或3 (3)6，4 47．(1)甲型健身器材的单价为2500元，乙型健身器材的单价为2800元 (2)购买10台甲型健身器材时费用最低，最低费用为53000元 48．(1)①，，；② (2)第7个月 49．(1)一台型收割机和一台型收割机平均每小时各收割小麦亩，亩 (2)安排台型收割机每小时花费最少，最少是元 50．(1)甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需要180天 (2)①甲队施工50天，乙队施工80天，可以恰好完工，所需施工费用为770000元；②甲队施工53天，乙队施工74天，可以最大限度地节省开支，支出最少的金额是773000元，且比预期工期少用1天 51．(1)购进甲件，乙件 (2)，最大利润元 52．(1)型、型电动公交车的单价分别为80万元、60万元 (2)购买型电动公交车辆，型电动公交车辆，才能使总费用最小，最小总费用为万元 53．(1)一件A产品进价60元，一件B产品进价40元 (2)2560元 54．(1)全花茶每盒100元，花瓣茶每盒50元 (2)本次采购的最少花费为6700元 55．(1)笔记本10元/本，中性笔4元/支 (2)， 最大利润1000元 (3)最大利润966元 56．(1)A品牌毽子的单价为13元，B品牌毽子的单价为10元． (2)购买A品牌毽子100个，B品牌毽子200个，总费用最低，最低为3300元． 57．(1)A种单价6元，B种单价5元 (2)，最少费用为525元 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 方程与不等式 5年真题1年模拟 考点分类 河南考情（2022-2026） 命题规律 考点01实际问题与一元一次方程 近5年4考，常与函数、不等式综合考查；题型：解答题；分值：4-6分；2022-2026年多数年份考查，常出现在第20-21题应用题位置 常结合消费购物、行程、工程、方案选择等生活情境设问；多与一次函数、不等式综合考查；建模套路固定，重点考查方程思想与应用意识；常以"最省钱""最划算"等优化问题形式出现 考点02 二元一次方程组 近3年100%必考；题型：填空题第12题、解答计算题、实际应用题；分值：3-6分；2022-2026年连续考查，三年全覆盖 高频考查购物消费、工程、行程、配比问题；题型模板固定；重点考查加减消元法、代入消元法求解；常与实际应用结合，考查数学建模能力；计算难度不大，细心计算即可得分 考点03 一元二次方程 近6年6考，根的判别式为超高频考点；题型：选择题第5题固定位置、解答题第16题；分值：3-6分；2022-2026年每年必考，无空缺年份 根的判别式Δ=b²-4ac每年必考，为3分选填题；重点考查配方法、公式法解方程、根的判别式、根与系数关系（韦达定理）；含参问题为常见考法；实际应用偶考，多为增长率、面积问题 考点04 分式方程 近3年全覆盖考查；题型：选择题、解答题；分值：3-5分；2022-2026年高频考查，常出现在第16题计算题位置 重点考查分式方程求解、增根与无解问题；解方程必须检验，验根为必要步骤；常与工程、行程实际应用结合；易错点：忘记检验、去分母时漏乘常数项、符号错误；难度中等偏基础 考点05 解一元一次不等式组 近3年100%必考；题型：解答题第16题第(2)小题固定位置、填空题；分值：3-6分；2022-2026年连续考查，2026年第16题固定考查 必考解集求解、数轴表示、整数解个数、参数取值范围判定；常与方案设计应用题结合考查；易错点：不等号方向改变（乘除负数）、端点取值判断（实心空心）；用"同大取大、同小取小"口诀可快速求解 考点01 实际问题与一元一次方程 1．（2023·河南·中考真题）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元） (1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由． (2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价． (3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)活动一更合算 (2)400元 (3)当或时，活动二更合算 【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可； （2）设这种健身器材的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可； （3）由题意得活动一所需付款为元，活动二当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，然后根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：购买一件原价为450元的健身器材时， 活动一需付款：元，活动二需付款：元， ∴活动一更合算； （2）设这种健身器材的原价是元， 则， 解得， 答：这种健身器材的原价是400元， （3）这种健身器材的原价为a元， 则活动一所需付款为：元， 活动二当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， ①当时，，此时无论为何值，都是活动一更合算，不符合题意， ②当时，，解得， 即：当时，活动二更合算， ③当时，，解得， 即：当时，活动二更合算， 综上：当或时，活动二更合算． 【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用． 考点02 二元一次方程组 2．（2026·河南·中考真题）近视可防可控不可逆，保持“一尺、一拳、一寸”的正确书写姿势能有效预防近视．小文发现，一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺．这本书的长度和小文的一拳长分别是多少尺？ 【答案】这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺 【分析】设这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺，根据“一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺”列出二元一次方程组求解． 【详解】解：设这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺． 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺． 3．（2025·河南·中考真题）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； (2)该公司最少需花费元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最值即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． 4．（2024·河南·中考真题）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．    (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)选用A种食品4包，B种食品2包 (2)选用A种食品3包，B种食品4包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品4包，B种食品2包． （2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w最小． ∴． 答：选用A种食品3包，B种食品4包． 5．（2023·河南·中考真题）方程组的解为______． 【答案】 【分析】利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 由得，，解得， 把代入①中得，解得， 故原方程组的解是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的常用解法：代入消元法和加减消元法，观察题目选择合适的方法是解题关键． 考点03 一元二次方程 6．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 7．（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 8．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可． 【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2023·河南·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 10．（2022·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解． 【详解】解： 一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 考点04 分式方程 11．（2026·河南·中考真题）方程的解为_________． 【答案】 【分析】先去分母得，再解整式方程，最后检验即可得出结果． 【详解】解：去分母得， 解得， 当时，， ∴ 方程的解为． 12．（2022·河南·中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格． (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱． 【答案】(1)20元 (2)2250元 【分析】（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元，根据题意列出方程，解出方程即可； （2）设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，花费为y元，根据A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费y 与A种菜苗捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可． 【详解】（1）解：设：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为x元， 解得 检验：将代入，值不为零， ∴是原方程的解， ∴菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元． （2）解：设：购买A种菜苗捆，则购买B种菜苗捆，费用为y元， 由题意可知：， 解得， 又∵， ∴， ∵y随m的增大而减小 ∴当时，花费最少， 此时 ∴本次购买最少花费2250元． 【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键． 考点05 解一元一次不等式组 13．（2026·河南·中考真题）按要求解答下列问题： (1)计算：． (2)解不等式组： 完成以下解答过程． （ⅰ）解不等式①，得_________． （ⅱ）解不等式②，得_________． （ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． （ⅳ）所以，原不等式组的解集是_____． 【答案】(1)1 (2)（i） （ii） （iii） （iv） 【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，然后计算加减即可； （2）根据解不等式组的步骤作答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）略． 14．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可． 【详解】根据题意，可得， A、此不等式组无解，符合题意； B、此不等式组解集为，不符合题意； C、此不等式组解集为，不符合题意； D、此不等式组解集为，不符合题意； 故选：A 15．（2022·河南·中考真题）不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 一、单选题 1．（2026·河南鹤壁·一模）《张丘建算经》中记载：今有甲、乙二人从同一地点出发，前往距离里的驿站．已知乙骑马速度是甲步行速度的倍，结果乙比甲早到分钟．设甲的速度为里/时，根据题意，可列分式方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据路程、速度、时间的关系表示出甲、乙两人的用时，注意统一单位，再根据时间差列出方程即可． 【详解】甲的速度为里/时，乙骑马速度是甲步行速度的倍， 乙的速度为里/时， 根据时间路程速度， 可得：甲走完全程的时间为小时，乙走完全程的时间为小时， 乙比甲早到分钟，统一单位得分钟小时，甲用时比乙多小时， 可列方程． 2．（2026·河南鹤壁·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得出判别式大于0，解不等式得到的取值范围，再结合选项选出符合条件的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，其中，，常数项为， 代入得：， 整理得， 解得， ∵选项中只有， ∴的值可以是． 3．（2026·河南三门峡·一模）定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义，列出方程，求出的值，再根据，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】解：由题意，的“溯源值”是方程的解， 解，得， ∵， ∴， 解得， ∴m的最小值是. 4．（2026·河南平顶山·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：解得 解得 ∴， 在数轴上表示如下： 5．（2026·河南平顶山·一模）设m，n是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 【答案】D 【分析】利用根与系数的关系求出和的值，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】∵ ，是方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 6．（2026·河南平顶山·一模）年郑州跨年音乐会于年月日在郑州大剧院开演，音乐会票价原价有四档，其中某一档门票的价格是原价的六折，用元购买打折后该档门票的数量比用元购买原价票的数量多张，求该档门票原价为多少元．设该档门票原价为元，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设该档门票原价为元， 根据题意得， 故选：A． 7．（2026·河南鹤壁·一模）平面直角坐标系中，已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据第二象限内点的坐标符号特点可得，再解不等式组，在数轴上表示出a的取值范围即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得， 在数轴上可表示为． 8．（2026·河南三门峡·一模）已知a，b是方程的两实数根，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合一元二次方程根与系数的关系代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴， 即， ∵，是方程的两实数根， ∴， ∴ ． 9．（2026·河南平顶山·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式，求出的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 10．（2026·河南新乡·一模）若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．时，没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和一元二次方程根的判别式，先将已知根代入方程求出的值，再计算根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 是方程 的一个根， ∴ 将 代入方程，得． ∴． ∴原方程为． ∵根的判别式， ∴该方程有两个不相等的实数根． 11．（2026·河南洛阳·一模）下列方程中，有两个相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断，当时，方程有两个相等的实数根，对各选项逐一计算即可. 【详解】解：对于一元二次方程 ，当时，方程有两个相等的实数根. A. 对于方程， ， ∵ ， ∴ 方程无实数根，A不符合题意； B. 对于方程， ， ∵ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根，B不符合题意； C. 对于方程，， ∵ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根，C不符合题意； D. 对于方程，， ∵ ， ∴ 方程有两个相等的实数根，D符合题意. 12．（2026·河南商丘·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据根的判别式求出m的取值范围，进而判断即可． 【详解】解：将方程整理，得． 该方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 结合选项，可知的值可以是3． 13．（2026·河南周口·一模）情景题某社区推行垃圾分类积分兑换生活用品，已知3个积分可兑换1包纸巾，5个积分可兑换1瓶洗手液．若小明现有x个积分，兑换了4包纸巾和2瓶洗手液，恰好用完积分，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题中等量关系为：总积分等于兑换纸巾的积分和兑换洗手液的积分之和，据此即可列出方程． 【详解】解：∵3个积分兑换1包纸巾，兑换4包纸巾需要的积分为， 5个积分兑换1瓶洗手液，兑换2瓶洗手液需要的积分为 ， 已知总积分恰好用完，总积分等于兑换两种物品的积分和， ∴ 可列方程 ． 14．（2026·河南周口·一模）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，然后在数轴上表示即可得解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， ∴在数轴上表示为： ． 15．（2026·河南南阳·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】先确定方程的各项系数，再利用根的判别式进行分析．先确定该方程中，，，代入判别式公式得到的表达式．对的表达式进行变形，判断其正负，因为若，则方程没有实数根；若，则有两个相等实数根；若，则有两个不相等实数根． 【详解】解：， ∴方程没有实数根． 16．（2026·河南漯河·一模）已知一次函数的大致图象如图所示，则一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【分析】由一次函数图象可得，， 再结合根的判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，， 根据图象可得，， ， ， ，即， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 17．（2026·河南漯河·一模）把不等式组的解集在数轴上表示出来，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求两不等式的解集，进而求出不等式组的解集，最后在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 18．（2026·河南平顶山·一模）函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点的坐标，再求出的值，然后代入解一元一次不等式即可． 【详解】解：将点代入函数得：，解得， ∴， 将点代入函数得：，解得， ∴不等式为， 解得． 19．（2026·河南平顶山·一模）如图，一个长方体的长、宽、高三条线段的长度之和是26，长、宽、高的比是，则这个长方体俯视图的面积是（   ） A．144 B．128 C．112 D．96 【答案】B 【分析】设长方体的高是，则长是，宽是再根据三条线段之和为26列出方程，求出解，可得长和宽，然后根据俯视图是由长和宽组成的面，进而得出答案． 【详解】解：长方体的俯视图是由长方体的长和宽组成的面， 由于长方体长、宽、高的比是，可设长方体的高是，则长是，宽是 ， 解得， 长方体的长是16，宽是8． 长方体俯视图的面积是． 20．（2026·河南安阳·一模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（     ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的公式是解题的关键． 根据方程有两个不相等的实数根推出判别式为正，求出的取值范围，即可判断出符合题意的选项． 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， 方程中，，，代入得：， 整理得， 解得， ∵ ，，，， ∴ 的值可以为，故D符合题意． 21．（2026·河南郑州·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的值不能为（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的公式是解题的关键． 根据方程有实数根推出判别式非负，求出的取值范围，即可判断出符合题意的选项． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴根的判别式， 方程中，，，代入得， 整理得， 解得， ∵，，，， ∴的值不能为，故A符合题意． 22．（2026·河南周口·一模）为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（   ） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 【答案】B 【分析】利用“总利润=每斤利润×销售量”列方程求解，结合让顾客得到最大优惠取合适的解即可． 【详解】解：∵每斤利润为元，月销售量， ∴， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得， ∵销售需给顾客优惠，选择更低的销售单价， ∴销售单价为25元． 23．（2026·河南周口·一模）关于一元二次方程，下列说法正确的是（     ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法判定 【答案】C 【分析】本题可利用一元二次方程根的判别式判断根的情况．计算判别式的值后与0比较大小即可得出结论． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴ ，，， 计算根的判别式得： ， ∴ 该一元二次方程有两个不相等实数根． 24．（2026·河南周口·一模）河南多地推行城市口袋公园建设，某公园计划种植月季和蔷薇两种花木，已知种植月季的数量比蔷薇的2倍少15株，设蔷薇种植x株，一共种植花木285株，列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意用含的代数式表示出月季的种植数量，再根据两种花木总种植数量为株，列出等式判断正确选项． 【详解】解：∵设蔷薇种植株，种植月季的数量比蔷薇的倍少株， ∴月季的种植数量为株， ∵一共种植花木株，即蔷薇数量与月季数量之和为， ∴列方程得 ，整理得 ． 25．（2026·河南南阳·一模）一元二次方程的根的情况是(   ) A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根的判别式，结合方程系数计算判别式的值，根据判别式与0的大小关系即可判断根的情况． 【详解】解：∵对于一元二次方程 ，二次项系数，一次项系数，常数项， ∴ ， ∵当时，一元二次方程有两个相等的实数根， ∴该方程有两个相等的实数根． 26．（2026·河南南阳·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，结合方程有两个不相等的实数根，可得判别式，联立两个条件求出的取值范围，即可得到的最小整数值． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 其中 ，代入得， 解得， 结合，得的取值范围为且， 因此的最小整数值是， 故选：D． 27．（2026·河南周口·一模）关于x的不等式组的解集表示正确的是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再取两个解集的公共部分即可得到答案； 【详解】解：解不等式①得， ， 解不等式②得， ， 两个不等式解集的公共部分为：， 故不等式组的解集是． 28．（2026·河南周口·一模）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”，若设人数为，鸡价为，则该问题对应的方程模型是（    ） A．一元一次方程 B．二元一次方程组 C．分式方程 D．一元二次方程 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，先设未知数表示人数和鸡价，根据题意列出等式，再根据方程类型的定义判断即可得到答案； 【详解】解：设买鸡的人数为，鸡的总价格为， ∵每人出9钱，多出钱， ∴， ∵每人出6钱，还差钱， ∴， ∵该式是含有两个未知数，且每个未知数的次数都为1的两个整式方程， ∴组成二元一次方程组， ∴该问题对应的方程模型是二元一次方程组， 故选：B． 29．（2026·河南周口·一模）关于x的一元二次方程：有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 即 解得 二、填空题 30．（2026·河南三门峡·一模）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则的值为_______． 【答案】1 【分析】先分别解两个不等式，得到含参数的解集表达式，再根据数轴确定不等式组的实际解集，通过对比对应端点值建立方程求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 由数轴可知，不等式组的解集为， ， 解得， ． 31．（2026·河南平顶山·一模）方程组的解为_______． 【答案】 【分析】利用加减消元法消去未知数，先求出的值，再代入求出的值即可． 【详解】解：， ①②，得，解得， 把代入②，得，解得， 故方程组的解为． 32．（2026·河南驻马店·一模）不等式组的解集为___________． 【答案】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再根据一元一次不等式组解集的确定方法得到最终解集． 【详解】解： 解不等式①，移项得 合并同类项得 ． 解不等式②，移项得 ． 根据“同小取小”的法则，可得不等式组的解集为． 33．（2026·河南平顶山·一模）不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】分别求解每个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：． 34．（2026·河南周口·一模）新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________． 【答案】， 【分析】本题属于新定义运算题目，考查一元二次方程的解法，根据新定义的运算规则将原方程整理为标准一元二次方程，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： ，且 ， ， 整理得 ， 因式分解得 ， 即 或 ， 解得 ，． 35．（2026·河南南阳·一模）创新角度  数学文化  算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，其为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹记数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如下表： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．例如：表示的数是2025．若已知，则_______． 【答案】3 【分析】左边表示的数是108，右边表示36与a的积，据此列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 36．（2026·河南南阳·一模）若是不等式组的一个解，的值可以是_____． 【答案】0（满足的任意一个数即可，答案不唯一） 【分析】先分别解两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，即可求解 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组的解集为， 故答案为：0（答案不唯一，满足即可） ． 37．（2026·河南安阳·一模）不等式组，的解集为_____． 【答案】 【分析】先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 38．（2026·河南南阳·一模）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查由一元一次不等式组的解集情况求参数，根据不等式组无解的条件，推导得到的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式组无解， ∴两个不等式没有公共解集， 可得， 故答案为：． 三、解答题 39．（2026·河南商丘·一模）洛阳宫灯是河南洛阳传统灯彩手工技艺之一，也是洛阳节庆装饰的核心载体，被列入国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为传承和弘扬非遗文化，某文创店计划购进一批甲、乙两种款式的洛阳宫灯文创产品，已知购进2件甲款和3件乙款洛阳宫灯文创产品共需270元，购进1件甲款和2件乙款洛阳宫灯文创产品共需170元． (1)求甲、乙两种款式的洛阳宫灯文创产品每件的进价． (2)该文创店决定将甲款洛阳宫灯文创产品以每件40元的价格出售，乙款洛阳宫灯文创产品以每件90元的价格出售．为满足市场需求，该文创店需购进甲、乙两种款式的洛阳宫灯文创产品共100件，且甲款的数量不少于乙款数量的4倍，请你求出该文创店将这100件洛阳宫灯文创产品全部出售后，可获得的最大利润． 【答案】(1)甲、乙两种产品每件的进价分别是30元，70元 (2)最大利润是1200元 【分析】（1）设甲乙两种商品的每件的进价分别是元、元，根据购进2件甲款和3件乙款洛阳宫灯文创产品共需270元，购进1件甲款和2件乙款洛阳宫灯文创产品共需170元，列出方程，解方程即可； （2）设购进甲种商品a件，则购进乙种商品件，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据甲款的数量不少于乙款数量的4倍，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质，求出最大值即可． 【详解】（1）解：设甲乙两种商品的每件的进价分别是元、元，根据题意得： 解得： 答：甲乙两种商品的每件的进价分别是30元，70元； （2）解：设购进甲种商品a件，则购进乙种商品件，利润为w元， ， ∵甲款的数量不少于乙款数量的4倍， ∴， 解得：， ∵， ∴随a的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时， ∴该文创店将这100件洛阳宫灯文创产品全部出售后，可获得的最大利润是1200元． 40．（2026·河南三门峡·一模）科技是第一生产力，随着人工智能的迅猛发展，快递业迎来了技术革命，为了提高工作效率，某仓库购买机器人进行快递分拣的工作．已知1台甲型机器人的费用比购买1台乙型机器人的费用多2万元；用25万元购买甲型机器人的数量和用20万元购买乙型机器人的数量一样多． (1)请问购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价分别为多少？ (2)该公司计划购买这两种型号的机器人共10台（每种机器人至少购买2台），已知甲型机器人每小时分拣快递1800件，乙型机器人每小时分拣快递1500件．若使这10台机器人每小时分拣快递数量总和不少于16000件，则该公司有几种购买方案？哪种方案费用最低，最低费用是多少万元？ 【答案】(1)甲型机器人单价为10万元，乙型机器人单价为8万元 (2)共有5种购买方案，购买甲型机器人4台、乙型机器人6台时总费用最低，最低费用为88万元 【分析】（1）设甲型机器人单价为x万元，则乙型机器人单价为万元，根据“用25万元购买甲型机器人的数量和用20万元购买乙型机器人的数量一样多．”列出方程，即可求解； （2）设购进甲型机器人m台，则购进乙型机器人台，根据题意，列出不等式组，求出m的取值范围，设所需费用为w万元，列出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设甲型机器人单价为x万元，则乙型机器人单价为万元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：甲型机器人单价为10万元，乙型机器人单价为8万元； （2）解：设购进甲型机器人m台，则购进乙型机器人台，根据题意得： ， 解得：， 根据题意得：m为正整数， 所以m取4，5，6，7，8， 所以共有5种购买方案， 设所需费用为w万元，则 ， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，所需费用最低，最低费用为88万元， 即共有5种购买方案，购买甲型机器人4台、乙型机器人6台时总费用最低，最低费用为88万元． 41．（2026·河南周口·一模）某文具店购进A、B两款笔记本，购进2本A款和3本B款共需22元；购进5本A款和4本B款共需41元． (1)求A、B两款笔记本进价各多少元； (2)若计划购进两款笔记本共100本，A款售价5元，B款售价8元，全部售出后利润不低于280元，求A款最多购进多少本． 【答案】(1)A进价5元，B进价4元 (2)A款最多购进30本 【分析】（1）设A进价x元， B进价y元，购进2本A款和3本B款共需22元；购进5本A款和4本B款共需37元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购进A款a本，根据全部售出后利润不低于280元列不等式并解不等式即可． 【详解】（1）解：设A进价x元， B进价y元， 解得 答：A进价5元，B进价4元． （2）解：设购进A款a本， ， 解得， ∴A款最多购进30本． 42．（2026·河南平顶山·一模）随着技术的飞速发展和人们环保意识的提高，新能源汽车已成为汽车市场一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知每台甲型充电桩比每台乙型充电桩贵万元，用40万元购买甲型充电桩的数量与用30万元购买乙型充电桩的数量相同． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共20台，且购买乙型充电桩的数量不超过甲型充电桩数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？ 【答案】(1)甲型号充电桩单价为万元，乙型号充电桩单价为万元 (2)购买甲型充电桩7台，乙型充电桩13台时，所需总费用最少 【分析】（1）设乙型充电桩单价为x万元，根据“用40万元购买甲型充电桩的数量与用30万元购买乙型充电桩的数量相同”列分式方程，然后再检验即可解答； （2）设购买甲型充电桩m台，总费用为W万元，根据“购买乙型充电桩的数量不超过甲型充电桩数量的2倍”得到m的取值范围，再列出总费用关于m的一次函数，根据一次函数的增减性即可求出总费用最小时的购买方案即可． 【详解】（1）解：设乙型号充电桩的单价是x万元，则甲型号充电桩的单价是万元， 由题意得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（万元）． 答：甲型号充电桩单价为万元，乙型号充电桩单价为万元． （2）解：设购买甲型充电桩m台，则购买乙型充电桩台，所需总费用为W万元， 由题意得， 解得 ， ∵m为正整数，且， ∴， 总费用， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当m取最小值7时，W取得最小值， 此时（台）． 答：购买甲型充电桩7台，乙型充电桩13台时，所需总费用最少． 43．（2026·河南新乡·一模）郑州二砂文化创意园位于郑州市中原区华山路，项目占地106.4公顷，总建筑面积101.8万平方米，是在原中国第二砂轮厂旧址（全国重点文物保护单位）基础上改造的综合性文创园区．小明家开的文创店计划购进A，B两款豫博文创产品． (1)已知A款文创产品进价比B款进价贵15元，购进2个A款和3个B款需要155元，求A、B两款文创产品各自的进价； (2)该文创店将B款产品的售价提高作为A款的售价，已知当A款的销售额为240元，B款的销售额为150元时，A款比B款多售出1个，求A，B两款文创产品的售价； (3)在（1）（2）问的条件下，该商店计划购进A、B两款商品共60个，且购进A款的个数不少于B款的一半，假设全部售完的情况下，应如何进货，才能使得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A款进价为40元，B款进价为25元； (2)A款售价为60元，B款售价为50元； (3)购进A款20个，则购进B款40个，才能使得利润最大，最大利润为1400元． 【分析】（1）设B款进价为x元，则A款进价为元，根据题意列一元一次方程，据此计算即可求解； （2）设B款售价为y元，则A款售价为元，根据题意列出分式方程，据此计算即可求解； （3）设购进A款m个，则购进B款个，先求得，再求得总利润W关于m的一次函数，再利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设B款进价为x元，则A款进价为元， 根据题意：， 解得， ， 答：A款进价为40元，B款进价为25元； （2）解：设B款售价为y元，则A款售价为元， 根据题意列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A款售价为60元，B款售价为50元； （3）解：设购进A款m个，则购进B款个， 根据条件“购进A款的个数不少于B款的一半”：得， 解得：， 总利润W的表达式： ， ∵，∴W随m的增大而减小， ∴当时：最大利润：元， 个 答：购进A款20个，则购进B款40个，才能使得利润最大，最大利润为1400元． 44．（2026·河南平顶山·一模）某校开展校园读书月活动，为了提高学生的阅读热情，准备购进A，B两种型号的钢笔作为奖品．已知用480元购进A型钢笔的数量比用175元购进B型钢笔的数量多25支，且A型钢笔的单价是B型钢笔单价的1.6倍． (1)求两种型号钢笔的单价各是多少元． 根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：；乙：． ①甲所列方程中的x表示______，乙所列方程中的y表示______． ②从甲、乙两名同学的方法中，选择一个进行解答； (2)该校准备用不超过1280元的价格购进这两种型号的钢笔共200支，则最多可购进A型钢笔多少支？ 【答案】(1)①B型钢笔的单价；用480元购进A型钢笔的数量；②见解析； (2)最多可购进A型钢笔93支． 【分析】（1）①根据题意判断即可； ②任选其一，根据解分式方程的步骤求解即可； （2）设购进A型钢笔支，则购进B型钢笔支，根据题意列不等式求出的取值范围，可知最多可购进A型钢笔的数量． 【详解】（1）解：①B型钢笔的单价；用480元购进A型钢笔的数量 ②选甲同学的方法． ． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴． 答：A型钢笔的单价为8元，B型钢笔的单价为5元． 选乙同学的方法．． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． （元），（元）． 答：A型钢笔的单价为8元，B型钢笔的单价为5元． （2）解：设购进A型钢笔m支，则购进B型钢笔支． 根据题意，得． 解得． ∵m为正整数， ∴m最大为93． 答：最多可购进A型钢笔93支． 45．（2026·河南鹤壁·一模）某体育用品店为支持学校开展“阳光体育”活动，计划同时购进篮球和足球两类体育用品，已知购进3个篮球和4个足球共需380元；购进6个篮球和2个足球共需460元． (1)每个篮球和每个足球的进价各是多少元？ (2)该体育用品店计划恰好用3600元全部购进这两类用品，设购进篮球个，足球个． ①求关于的关系式； ②进货时，篮球的购进数量不少于20个，已知每个篮球的售价为90元，每个足球的售价为80元．若体育用品店全部售完可获利元，求关于的关系式，并说明：应该如何进货才能使所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)每个篮球的进价为60元，每个足球的进价为50元 (2)① ；②当购进篮球20个、足球48个时，才能使体育用品店所获利润最大，最大利润为2040元 【分析】（1）设每个篮球的进价为元，每个足球的进价为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）①根据“该体育用品店计划恰好用3600元全部购进这两类用品”建立关于的关系式；②列出关于x的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个篮球的进价为元，每个足球的进价为元． 根据题意，得，   解得． 答：每个篮球的进价为60元，每个足球的进价为50元． （2）解：①由题意得 ， ， ∴ ． 关于的函数解析式为； ② ， ， ， ． 是关于的一次函数且， 随的增大而减小． ，是整数， 为5的倍数． 故当， 时，取最大值， 为 ． 答：当购进篮球20个、足球48个时，才能使体育用品店所获利润最大，最大利润为2040元． 46．（2026·河南鹤壁·一模）如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 【答案】(1)是 (2)0或3 (3)6，4 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到两根，然后根据“倍根方程”新定义进行判断； （2）先利用因式分解法解方程，设方程的两根分别为，，根据“倍根方程”的根的两倍关系列方程，再计算对应的的值； （3）设方程的两根分别为，，再根据根与系数的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， ∴，    ，． 若，则，解得； 若，则，解得； 或． （3）解：设两根为、， 则， 解得， ∴， ∴方程的两根为2和4． 由根与系数的关系知，， 解得． 47．（2026·河南商丘·一模）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价便宜300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材的购买数量，则购买多少台甲型健身器材时费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材的单价为2500元，乙型健身器材的单价为2800元 (2)购买10台甲型健身器材时费用最低，最低费用为53000元 【分析】（1）设甲型健身器材的单价为元，则乙型健身器材的单价为元，根据“用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购买台甲型健身器材，则购买台乙型健身器材，根据“甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材的购买数量”求出，设采购费用为元，根据题意求出函数解析式，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设甲型健身器材的单价为元，则乙型健身器材的单价为元． 由题意，可得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 此时． 答：甲型健身器材的单价为2500元，乙型健身器材的单价为2800元． （2）解：设购买台甲型健身器材，则购买台乙型健身器材． 由题意，可得， 解得． 设采购费用为元． 由题意，可得． ， 随的增大而减小． 当时，取得最小值，最小值为（元）． 此时． 答：购买10台甲型健身器材时费用最低，最低费用为53000元． 48．（2026·河南南阳·一模）河南日报2026年2月2日报道，2025年河南省新能源发电量1211亿千瓦时，占全社会用电量的，标志着河南能源体系绿色化转型取得决定性进展．河南某地区共建有10个小型光伏发电站，每个发电站每月的发电量为40万千瓦时．该地区计划从今年某月月初开始对这10个小型光伏发电站各进行一次改造升级．每月改造升级1个发电站，这个发电站当月停机，并于次月再投入发电，每个发电站改造升级后，每月的发电量将比原来提高．从开始改造升级的第1个月开始往后算，该地区第x（x是正整数且）个月发电站的总发电量设为y万千瓦时）． (1)第x个月时该地区对应的发电站改造及发电情况列表如下： 该月正在改造的发电站 已经改造好的发电站 未改造的发电站 数量/个 1 发电量/万千瓦时 0 ①将上面表格补充完整（结果化到最简）； ②求y关于x的函数表达式． (2)已知每个发电站改造升级的费用为2万元．如果每发1千瓦时电可以盈利0.05元，那么从第几个月开始该地区的发电盈利额（盈利额=发电盈利当月发电站改造升级的费用）将超过之前不改造升级时该月的发电盈利额？ 【答案】(1)①，，；② (2)第7个月 【分析】（1）①根据题意求出未改造的发电站个数，根据每个未改造的发电站每月的发电量为40万千瓦时可知未改造的发电站发电量及发电站改造升级后每个发电站每月的发电量，进而可知已经改造好的发电站发电量； ②用已经改造好的发电站发电量加上未改造的发电站发电量即可得到y关于x的函数表达式； （2）设第x个月时，该地区的发电盈利额为w万元，求出w的函数表达式及不改造升级时该月的发电盈利额，进而根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①∵共改造10个小型光伏发电站， ∴未改造的发电站为个； ∵每个未改造的发电站每月的发电量为40万千瓦时， ∴未改造的发电站发电量为万千瓦时； ∵每个发电站改造升级后，每月的发电量将比原来提高， ∴发电站改造升级后每个发电站每月的发电量为万千瓦时， ∴已经改造好的发电站发电量为万千瓦时； 表格补充完整如下： 该月正在改造的发电站 已经改造好的发电站 未改造的发电站 数量/个 1 发电量/万千瓦时 0 ②． （2）解：设第x个月时，该地区的发电盈利额为w万元， 则． 之前不改造升级时该月的发电盈利额为万元． 令，即， 解得． 答：从第7个月开始该地区的发电盈利额将超过之前不改造升级时该月的发电盈利额． 49．（2026·河南驻马店·一模）河南省是我国粮食大省，核心是自然禀赋优越，耕地基础扎实，农业科技强，政策和产业体系完善，多项条件叠加，长期稳居全国前列．驻马店作为河南省重要产粮大市，麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某试验田安排，两种型号的收割机进行小麦收割作业、已知一台型收割机比一台型收割机平均每小时多收割亩小麦，一台型收割机收割亩小麦所用的时间与一台型收割机收割亩小麦所用的时间相同． (1)一台型收割机和一台型收割机平均每小时各收割小麦多少亩？ (2)已知型收割机收费是元/亩，型收割机收费是元/亩．该试验田负责人安排两种型号的收割机共台同时进行小麦收割作业，为确保每小时完成不少于亩的小麦收割任务，安排多少台型收割机才能使每小时花费最少？最少是多少元？ 【答案】(1)一台型收割机和一台型收割机平均每小时各收割小麦亩，亩 (2)安排台型收割机每小时花费最少，最少是元 【分析】（1）设一台型收割机平均每小时收割小麦亩，则一台型收割机平均每小时收割小麦亩，根据一台型收割机收割亩小麦所用的时间与一台型收割机收割亩小麦所用的时间相同，列分式方程求解即可； （2）设安排型收割机台，则型收割机台，根据每小时完成不少于亩的小麦收割任务，可得不等式，解不等式求出的取值范围，再根据型收割机收费是元/亩，型收割机收费是元/亩，得到，根据一次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】（1）解：设一台型收割机平均每小时收割小麦亩，则一台型收割机平均每小时收割小麦亩， 根据题意得：， 解这个方程得：， 经检验，是所列方程的根，并且符合题意， （亩）， 答：一台型收割机和一台型收割机平均每小时各收割小麦亩、亩；     （2）解：设安排型收割机台，则型收割机台， 根据题意得：， 解得：，     设需花费元，则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值，， 答：安排台型收割机每小时花费最少，最少是元．     50．（2026·河南平顶山·一模）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工15天完成了总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同工作了50天，总工程全部完成． (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队施工一天需要各项支出9000元，乙队施工一天需要各项支出4000元． ①如果两队施工的天数一共是130天，怎样安排施工任务，可以恰好完工？所需施工费用是多少？ ②如果工期不超过75天，怎样安排施工任务（施工天数需为整数），可以最大限度地节省开支？支出的最少金额是多少元？ 【答案】(1)甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需要180天 (2)①甲队施工50天，乙队施工80天，可以恰好完工，所需施工费用为770000元；②甲队施工53天，乙队施工74天，可以最大限度地节省开支，支出最少的金额是773000元，且比预期工期少用1天 【分析】（1）设乙队单独施工1天能完成总工程的，根据甲队完成的任务量乙队完成的任务量总工程量（单位1），即可得出关于x的分式方程，此题得解； （2）①设甲队施工的天数是天，则乙队施工的天数是天时，两队恰好完成．列方程求解，再根据方程的解，求出施工经费即可； ②根据甲、乙的工作效率及施工费用，得到乙队施工天数多一些，更节省开支．设乙队施工75天，甲队施工天，可以完成任务．列方程求解得到，再计算金额即可． 【详解】（1）解：由题意，可得甲队单独完成这项工作需要（天）， 则甲队1天能完成总工作量的． 设乙队单独完成这项工作需要天，则乙队施工1天能完成总工作量的． 依题意可列方程为， 解得． 经检验是方程的解． 答：甲队单独完成这项工程需90天，乙队单独完成这项工程需要180天． （2）解：①两队施工的天数一共是130天，设甲队施工的天数是天， 则乙队施工的天数是天时，两队恰好完成． 依题意可列方程为， 解得． 乙队施工的天数是（天）． 总支出是， 当时，． 因此甲队施工50天，乙队施工80天，可以恰好完工，所需施工费用为770000元． ②由题意可知，甲队施工1天需支出9000元，乙队施工1天需支出4000元， 乙队2天的支出是8000元，其2天的工作量相当于甲队1天的工作量， 因此乙队施工天数多一些，更节省开支． 假设乙队施工75天，甲队施工天，可以完成任务． 依题意可列方程为， 解得． 为整数， 的值取53，即甲队施工53天． 又甲队半天的工作量等于乙队1天的工作量， 乙队只需要施工74天． 支出的最少金额为（元）． 答：甲队施工53天，乙队施工74天，可以最大限度地节省开支，支出最少的金额是773000元，且比预期工期少用1天． 51．（2026·河南周口·一模）某网店销售甲、乙两种商品，已知甲商品每件进价元，售价元；乙商品每件进价元，售价元． (1)若该网店一次性购进甲、乙两种商品共件，总进价为元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)若该网店准备购进甲、乙两种商品共件，且甲商品的数量不少于乙商品数量的 ，设购进甲商品x件，总利润为y元，求y与x的函数关系式，并求最大利润． 【答案】(1)购进甲件，乙件 (2)，最大利润元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用及一次函数的销售利润最值问题： （1）设购进甲种商品m件，乙种商品n件，根据数量与金额列方程组求解即可得到答案； （2）根据利润等于数量乘以单价列出解析式，再根据数量关系列出不等式求出范围，最后根据一次函数的性质求出最值即可得到答案； 【详解】（1）解：购进甲种商品m件，乙种商品n件，由题意可得， ， 解得：， 答：购进甲件，乙件； （2）解：由题意可得， ， 且有：，解得：， ∴y与x的函数关系式是：， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时y最大，， ∴最大利润元． 52．（2026·河南漯河·一模）党的二十大报告中提到：深入推进能源革命，积极构建新型能源体系、大力推动终端用能转型升级等．某市交通管理局决定购买一批电动公交车取代燃油公交车．已知购买型电动公交车2辆、型电动公交车3辆，共需资金340万元，且每辆型电动公交车比型电动公交车的价格高20万元． (1)分别求型、型电动公交车的单价． (2)若该市交通管理局计划购买型、型电动公交车共40辆，且型电动公交车至少比型电动公交车多10辆，怎样购买才能使总费用最小？最小总费用是多少万元？ 【答案】(1)型、型电动公交车的单价分别为80万元、60万元 (2)购买型电动公交车辆，型电动公交车辆，才能使总费用最小，最小总费用为万元 【分析】（1）设型、型电动公交车的单价，然后根据已知条件列二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购买型电动公交车辆，然后表示出购买型电动公交车的数量，根据“型电动公交车至少比型电动公交车多10辆”得到的取值范围，然后根据总费用购买型电动公交车的费用购买型电动公交车的费用得到一次函数关系式，进而根据一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设型、型电动公交车的单价分别为万元、万元． 依题意得，解得； 答：型、型电动公交车的单价分别为万元、万元． （2）解：设购买型电动公交车辆，则购买型电动公交车辆． 依题意得，解得． ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时， 最小总费用为（万元）． 答：购买型电动公交车辆，型电动公交车辆，才能使总费用最小，最小总费用为万元． 53．（2026·河南安阳·一模）某公园文创商店计划购进A，B两款文创产品进行销售．已知购进4件A产品和3件B产品共需360元；购进5件A产品和2件B产品共需380元． (1)求A产品和B产品每件的进价． (2)该商店计划购进A，B两款文创产品共200件，且购进的B产品数量不低于A产品数量的1.5倍．A产品售价为80元/件，B产品售价为60元/件．“五一”假期，商店决定A产品按原价出售，B产品按售价八折促销．若200件产品全部售完，求该商店获得的最大利润是多少元． 【答案】(1)一件A产品进价60元，一件B产品进价40元 (2)2560元 【分析】（1）设一件A产品进价元，B产品进价元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设购进A款文创产品件，则购进B款文创产品件，根据题意列出不等式和一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设一件A产品进价元，B产品进价元， 根据题意，得， 解方程组，得， 答：一件A产品进价60元，一件B产品进价40元． （2）解：设购进A款文创产品件，则购进B款文创产品件， 根据题意，得， 解得， 设商店获得的利润为元，则， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最大值，． 答：商店获得的最大利润是2560元． 54．（2026·河南郑州·一模）牡丹花茶是以牡丹花为原料制成的花草茶，饮用历史可追溯至隋唐时期，是洛阳特色名优花茶．某茶叶店经营的牡丹花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒． (1)分别求出购进的全花茶、花瓣茶每盒的价格． (2)该茶叶店购进这两种花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的，求本次采购的最少花费． 【答案】(1)全花茶每盒100元，花瓣茶每盒50元 (2)本次采购的最少花费为6700元 【分析】（1）设每盒花瓣茶的价格为x元，则每盒全花茶的价格为元，根据用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒列出分式方程求解即可. （2）设购进全花茶m盒，总采购花费为w元，则购进花瓣茶盒．先根据且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的求出m的取值范围，再列出w关于m的一次函数关系式，根据一次函数的图象和性质即可求出本次采购的最少花费． 【详解】（1）解：设每盒花瓣茶的价格为x元，则每盒全花茶的价格为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 则， 答：每盒花瓣茶的价格为50元，则每盒全花茶的价格为100元． （2）解：设购进全花茶m盒，总采购花费为w元，则购进花瓣茶盒． 根据题意∶， 解得， 因为m为正整数，所以m的最小值为34， 总花费， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为， 答：本次采购的最少花费为6700元． 55．（2026·河南周口·一模）某文具店计划购进河南文创笔记本和中性笔两种商品，已知购进2本笔记本和3支中性笔共需32元；购进3本笔记本和5支中性笔共需50元． (1)求每本笔记本和每支中性笔的进价； (2)该店计划购进两种商品共200件，其中笔记本数量不少于中性笔数量的 中性笔每支售价8元，笔记本每本售价15元，设购进笔记本x本，总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出最大利润； (3)在（2）的条件下，在进货资金不超过1800元的前提下，直接写出最大利润． 【答案】(1)笔记本10元/本，中性笔4元/支 (2)， 最大利润1000元 (3)最大利润966元 【分析】（1）设每本笔记本的进价为a元，每支中性笔的进价为b元，根据“购进2本笔记本和3支中性笔共需32元；购进3本笔记本和5支中性笔共需50元”可列二元一次方程组，求解即可； （2）已知购进笔记本本，则中性笔数量为支，根据题意得，根据笔记本数量不少于中性笔数量的可得，故可得，为整数，由一次函数的性质可得结论； （3）已知购进笔记本本，则中性笔数量为支，根据题意得，解不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：设每本笔记本的进价为a元，每支中性笔的进价为b元，根据题意得： ， 解得， 答：每本笔记本的进价为10元，每支中性笔的进价为4元； （2）解：已知购进笔记本本，则中性笔数量为支，根据题意得： ， ∵笔记本数量不少于中性笔数量的， ∴， 解得：， ∴，为整数， ∵是一次函数，且， ∴函数值随的增大而增大， ∴当时，取最大值，最大值为（元）； （3）解：由（2）可知，，根据题意得：， 解得：， 又由（2）知，，故， ∵为整数， ∴的最大值为166， ∵，w随x的增大而增大， ∴的最大值为（元）． 56．（2026·河南南阳·一模）踢毽子，又叫“打鸡”，起源于汉代，盛行于南北朝和隋唐时期，不仅是一种娱乐活动，也是一种体育锻炼方式．某校为进一步推进传统体育项目进校园，计划组织九年级全体学生开展踢毽子比赛，并购买一批毽子作为比赛用品，现有A，B两种品牌的毽子可供选择．已知A品牌毽子的单价比B品牌贵3元，20个A品牌毽子和30个B品牌毽子的售价之和为560元． (1)求这两种品牌毽子的单价各是多少？ (2)已知该校九年级需购买A，B两种品牌的毽子共300个，且购买B品牌毽子的数量不高于A品牌的2倍，则怎样购买才能使购买费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)A品牌毽子的单价为13元，B品牌毽子的单价为10元． (2)购买A品牌毽子100个，B品牌毽子200个，总费用最低，最低为3300元． 【分析】（1）设未知数建立二元一次方程组，利用题目给出的价格差和总价条件求解，核心是用方程思想将文字条件转化为代数关系，从而算出两种毽子的单价． （2）根据数量限制求出变量的取值范围，再构造一次函数表示总费用，利用一次函数的单调性，在变量的可行范围内找到使费用最低的购买方案． 【详解】（1）设A品牌毽子的单价为x元，B品牌毽子的单价为y元， 根据题意，得：，解得， 所以A品牌毽子的单价为13元，B品牌毽子的单价为10元． （2）设购买A品牌毽子m个，总费用为w元， 根据题意得：，解得， ， ∵，w随m的增大而增大， ∴时，总费用最少， 此时，． 所以购买品牌毽子100个，品牌毽子200个，总费用最低，最低为3300元． 57．（2026·河南周口·一模）某文具店购进A、B两种笔记本，已知购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元． (1)求A、B两种笔记本的单价； (2)若该文具店准备购进这两种笔记本共100本，且A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的设购进A种笔记本m本，总费用为W元，求W与m的函数关系式，并求最少费用． 【答案】(1)A种单价6元，B种单价5元 (2)，最少费用为525元 【分析】（1）设A种笔记本单价为x元，B种为y元，根据购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元，列出方程组进行求解即可； （2）根据A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的列出不等式求出的取值范围，根据总费用等于购买两种笔记本的费用之和，列出函数关系式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设A种笔记本单价为x元，B种为y元． 由题意，得， 解得； 答：A种单价6元，B种单价5元． （2）解：设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本本， 由题意，解得 ， ∴W随m增大而增大， 故当时，W最小，为525元． 答：函数关系式为，最少费用为525元． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $