3.2.1　第1课时　函数的单调性 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性，通过艾宾浩斯记忆遗忘曲线情境导入，引导学生观察函数值变化趋势，从具体现象过渡到单调性定义及单调区间等基础知识，搭建从直观图象到符号语言表达的学习支架。 其亮点在于以数学抽象和直观想象为核心，通过分题型例题（如单调性证明、求单调区间）及通性通法总结，结合跟踪训练和分层练习，培养学生逻辑推理能力。学生能提升数学思维，教师可利用系统资源高效教学。

3.2.1　 单调性与最大（小）值 新课程标准解读 核心素养 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性 数学抽象 2.理解单调性的作用和实际意义 逻辑推理、 数学运算 3.借助函数图象，会用符号语言表达函数的最大值、 最小值，理解它们的作用和意义 直观想象、 数学运算 第1课时　函数的单调性 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　德国著名的心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关 研究.他经过测试，得到了有趣的数据.数据表明，记忆量 y 是时间间 隔 t 的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗 忘曲线”，如图： 目录 数学·必修第一册 【问题】　（1）当时间间隔 t 逐渐增大时，你能看出对应的函数值 y 有什么变化趋势吗？ （2）“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我 们如何用数学的观点进行解释？ ⁠ 目录 数学·必修第一册 知识点一　单调性的定义 条 件 一般地，设函数 f （ x ）的定义域为 D ，区间 I ⊆ D ：如果∀ x1， x2∈ I ，当 x1＜ x2时 都有 ⁠ ⁠ 都有 ⁠ 结 论 f （ x ）在区间 I 上单调 递增.特别地，当函数 f （ x ）在它的定义域上 单调递增时，我们就称 它是 ⁠ f （ x ）在区间 I 上单调递减.特别地，当 函数 f （ x ）在它的定义域上单调递减 时，我们就称它是 ⁠ f （ x1）＜ f （ x2）　 f （ x1）＞ f （ x2）　 增函数　 减函数　 目录 数学·必修第一册 图 示 提醒　（1）函数的单调递增（单调递减）是针对定义域 D 内的某个 区间 I 而言的，显然 I ⊆ D ；（2）定义中 x1， x2有三个特征：① x1， x2 属于同一个区间；②任意性， x1与 x2不能用 I 上的特殊值代替；③有 序性，通常规定 x1＜ x2. 目录 数学·必修第一册 【想一想】 　在单调性的定义中，能否把“∀ x1， x2∈ I ”改为“∃ x1， x2∈ I ”？ 提示：不能，如图所示，虽然 f （－1）＜ f （2），但原函数在[－1，2]上不单调. 目录 数学·必修第一册 知识点二　函数的单调区间 　如果函数 y ＝ f （ x ）在区间 I 上 或 ，那 么就说函数 y ＝ f （ x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间 I 叫 做 y ＝ f （ x ）的 ⁠. 【想一想】 　区间 I 一定是函数的定义域吗？ 提示：不一定，可能是定义域的一部分. 单调递增　 单调递减　 单调区间　 目录 数学·必修第一册 1. 下列函数中，在区间（0，1）上单调递增的是（　　） A. y ＝｜ x ｜ B. y ＝3－ x D. y ＝－ x2＋4 解析： 　当 x ∈（0，1）时， y ＝｜ x ｜＝ x ，所以 y ＝｜ x ｜在 （0，1）上单调递增； y ＝3－ x ， y ＝ 在（0，1）上均单调递 减； y ＝－ x2＋4的图象是以直线 x ＝0为对称轴开口向下的抛物 线，所以 y ＝－ x2＋4在（0，1）上单调递减. 目录 数学·必修第一册 2. 若函数 f （ x ）＝（2 a －1） x ＋ b 在R上是减函数，则有（　　） 解析： 　因为函数 f （ x ）＝（2 a －1） x ＋ b 在R上是减函数，所 以2 a －1＜0，即 a ＜ . 目录 数学·必修第一册 3. 函数 f （ x ）＝－ x2＋2 x ＋3的单调递减区间为 ⁠. 解析：易知二次函数 f （ x ）＝－ x2＋2 x ＋3的图象开口向下，其对 称轴为直线 x ＝1，所以其单调递减区间是[1，＋∞）. [1，＋∞）　 目录 数学·必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 函数单调性的判定与证明 【例1】　试用函数单调性的定义证明 f （ x ）＝ 在区间（1，＋ ∞）上单调递减. 证明： f （ x ）＝2＋ ，∀ x1， x2∈（1，＋∞）且 x1＞ x2， 则 f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝ ， 因为 x1＞ x2＞1， 所以 x2－ x1＜0， x1－1＞0， x2－1＞0， 所以 f （ x1）＜ f （ x2）， 所以 f （ x ）在区间（1，＋∞）上单调递减. 目录 数学·必修第一册 通性通法 利用定义证明函数单调性的4步骤 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　证明函数 f （ x ）＝ 在区间（2，＋∞）上单调递减. 证明：∀ x1， x2∈（2，＋∞），且 x1＜ x2， f （ x1）－ f （ x2）＝ － ＝ ＝ . 因为2＜ x1＜ x2， 所以 x2－ x1＞0， ＞4， ＞4， 所以 f （ x1）－ f （ x2）＞0，即 f （ x1）＞ f （ x2）. 所以函数 f （ x ）＝ 在（2，＋∞）上单调递减. 目录 数学·必修第一册 题型二 求函数的单调区间 【例2】　画出函数 f （ x ）＝－ x2＋2｜ x ｜的图象，根据图象写出函 数 f （ x ）的单调区间. 解：如图所示，由图象可知函数 f （ x ）的单调递增 区间是（－∞，－1），（0，1）， 函数的单调递减区间是（－1，0），（1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册 通性通法 求函数单调区间的2种方法 （1）定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解； （2）图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间. 提醒　（1）如果函数 f （ x ）在其定义域内的两个区间 A ， B 上 单调性相同，则两个区间用“，”或“和”连接，一般不能用 “∪”连接，用“∪”连接有严格要求； （2）书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区 间、开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写 成开区间. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　画出函数 y ＝｜ x ｜（ x －2）的图象，并指出函数的单调区间. 解： y ＝｜ x ｜（ x －2）＝ 函数的图象如 图实线部分所示. 由函数的图象知，函数的单调递增区间为（－∞，0] 和[1，＋∞），单调递减区间为（0，1）. 目录 数学·必修第一册 题型三 函数单调性的应用 角度1　已知函数的单调性求参数 【例3】　若函数 f （ x ）＝是定义在R上 的减函数，则 a 的取值范围为（　　） 目录 数学·必修第一册 解析： 　要使 f （ x ）在R上是减函数，需满足： 解得 ≤ a ＜ . 目录 数学·必修第一册 通性通法 已知函数的单调性求参数范围的一般思路 （1）将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间 比较，求出参数的范围； （2）运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式（组），解不等 式（组）求出参数的范围. 目录 数学·必修第一册   解析：由题意，得解得0≤ x ≤3①，因为 f （ x ）在 [－2，2]上单调递增，且 f （ x －2）＜ f （1－ x ）.所以 x －2＜1－ x ，解得 x ＜ ②，由①②得0≤ x ＜ .所以满足题意的 x 的取值范围为 ［0， ）. ［0， ）　 目录 数学·必修第一册 通性通法 利用单调性比较大小或解不等式的方法 （1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小；在解决比 较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调 区间上； （2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性 将“ f ”脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意 函数的定义域. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ x ）是R上的增函 数，则实数 a 的取值范围为 ⁠. 解析：因为 f （ x ）是R上的增函数，所以解得4≤ a ＜8. [4，8）　 目录 数学·必修第一册 2. 已知函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 在区间（－∞，1]上单调递减，在 区间[1，＋∞）上单调递增，且 f （ m ＋2）＜ f （2），则实数 m 的 取值范围为 ⁠. 解析：∵ f （ x ）在（－∞，1]上单调递减，在[1，＋ ∞）上单调递增，∴－ ＝1，∴ a ＝－2. （－2，0）　 法一　如图.∵ f （ m ＋2）＜ f （2），又∵ f （0）＝ f （2），则0＜ m ＋2＜2，∴－2＜ m ＜0，则实数 m 的取值范围为（－2，0）. 目录 数学·必修第一册 法二　∵二次函数 y ＝ f （ x ）的图象关于直线 x ＝1对称，且开口向 上.由 f （ m ＋2）＜ f （2），有｜ m ＋2－1｜＜｜2－1｜，即｜ m ＋ 1｜＜1，－1＜ m ＋1＜1，∴－2＜ m ＜0，则实数 m 的取值范围为 （－2，0）. 目录 数学·必修第一册 1. （多选）如图所示的是定义在区间[－5，5]上的函数 y ＝ f （ x ）的 图象，则下列关于函数 f （ x ）的说法正确的是（　　） A. 函数在区间[－5，－3]上单调递增 B. 函数在区间[1，4]上单调递增 C. 函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D. 函数在区间[－5，5]上没有单调性 解析： 　若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区 间，不能用“∪”连接.故选A、B、D. 目录 数学·必修第一册 2. 函数 y ＝｜ x ｜－1的单调递减区间为（　　） A. （－∞，0] B. （－∞，－1） C. [0，＋∞） D. （1，＋∞） 解析： 　当 x ＞0时， y ＝｜ x ｜－1＝ x －1，此时函数单调递增， 当 x ≤0时， y ＝｜ x ｜－1＝－ x －1，此时函数单调递减，即函数 的单调递减区间为（－∞，0]. 目录 数学·必修第一册 3. 若函数 f （ x ）＝ 在（ a ，＋∞）上单调递减，则 a 的取值范围 是（　　） A. （－∞，－1] B. [－1，＋∞） C. （－∞，－1） D. （－1，＋∞） 解析： 　函数 f （ x ）＝ 的单调递减区间为（－1，＋∞）， （－∞，－1），又 f （ x ）在（ a ，＋∞）上单调递减，所以 a ≥ －1. 目录 数学·必修第一册   解析：若 f （ x ）在（－∞，＋∞）上是增函数，且 f （2 x －3）＞ f （5 x －6），则2 x －3＞5 x －6，即 x ＜1.∴实数 x 的取值范围为 （－∞，1）.若函数 f （ x ）是定义在（0，＋∞）上的减函数，则 解得 x ＞ ，∴ x 的取值范围为（ ，＋∞）. （－∞，1）　 （ ，＋∞）　 目录 数学·必修第一册 　复合函数 y ＝ f （ g （ x ））的单调性 【例】 已知函数 f （ x ）＝ ， x ∈[2，6]. （1）判断此函数在 x ∈[2，6]上的单调性； 解： 函数 f （ x ）＝ 可分解为函数 y ＝ 和函数 u ＝ x －1. 因为 x ∈[2，6]，所以 u ∈[1，5]，显然函数 u ＝ x －1在 x ∈[2，6]上单调递增，函数 y ＝ 在 u ∈[1，5]上单调递 减，由复合函数的单调性，知 f （ x ）＝ 在 x ∈[2，6]上 单调递减. 目录 数学·必修第一册 （2）根据（1）的判断过程，归纳出解题步骤. 解： 解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函 数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性 确定函数的单调性. 目录 数学·必修第一册 g （ x ） f （ x ） f （ g （ x ）） 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 结论　复合函数的单调性：一般地，对于复合函数 y ＝ f （ g （ x ）），单调性如表所示，简记为“同增异减”. 目录 数学·必修第一册 【迁移应用】 判断函数 f （ x ）＝ 在 x ∈[3，8]上的单调性. 解：函数 f （ x ）＝ ＝1＋ ，可分解为函数 y ＝1＋ 和函 数 u ＝ x －1. 因为 x ∈[3，8]，所以 u ∈[2，7]，显然函数 u ＝ x －1在 x ∈[3，8]上 单调递增，函数 y ＝1＋ 在 u ∈[2，7]上单调递减，由复合函数的单 调性，知 f （ x ）＝ 在 x ∈[3，8]上单调递减. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. 下列命题为真命题的是（　　） A. 定义在（ a ， b ）上的函数 f （ x ），如果∃ x1， x2∈（ a ， b ），当 x1＜ x2时，有 f （ x1）＜ f （ x2），那么 f （ x ）在（ a ， b ）上是增函数 B. 如果函数 f （ x ）在区间 I1上单调递减，在区间 I2上也单调递减，那么 f （ x ）在区间 I1∪ I2上就一定单调递减 C. 定义在（ a ， b ）上的函数 f （ x ），若有无穷多对 x1， x2∈（ a ， b ），当 x1＜ x2时，有 f （ x1）＜ f （ x2），那么 f （ x ）在（ a ， b ）上是增函数 D. ∃ x1， x2∈（ a ， b ），且 x1＜ x2， f （ x1）≥ f （ x2）成立，则函数 f （ x ）在（ a ， b ）上不是单调递增的 目录 数学·必修第一册 解析： 　A、C是假命题，“存在”“无穷多”不能代表“所 有”“任意”；由 f （ x ）＝ ，可知B是假命题；若要说明函数 f （ x ）在某个区间上不是单调递增（减）的，只需在该区间上找到 两个值 x1， x2，证明当 x1＜ x2时， f （ x1）≥ f （ x2）（ f （ x1）≤ f （ x2））成立即可，故D是真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2. 函数 f （ x ）＝1＋ （　　） A. 在（－1，＋∞）上单调递增 B. 在（1，＋∞）上单调递增 C. 在（－1，＋∞）上单调递减 D. 在（1，＋∞）上单调递减 解析： 　函数 f （ x ）＝1＋ ，其图象可以由基本的反比例函 数 y ＝ 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得 到，结合图象知，函数 f （ x ）在（1，＋∞）上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 3. 已知函数 y ＝ f （ x ）（ x ∈[－2，6]）的图象如图所示.根据图象 写出 y ＝ f （ x ）的单调递增区间为 ⁠. 解析：由题图可知 f （ x ）在[－2，－1]和[2，6]上单调递增，则 y ＝ f （ x ）在[－2，6]上的单调递增区间为[－2，－1]和[2，6]. [－2，－1]和[2，6]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 已知函数 f （ x ）＝ （1）画出函数 f （ x ）的大致图象； 解： 函数 f （ x ）的大致图象如图所示. （2）写出函数 f （ x ）的单调递减区间. 解： 由函数 f （ x ）的图象得出，函数的单调递减区间 为[2，4]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 若函数 f （ x ）在[0，＋∞）上单调递减，且 f （2）＝－1，则满 足 f （2 x －4）＞－1的实数 x 的取值范围是（　　） A. （3，＋∞） B. （－∞，3） C. [2，3） D. [0，3） 解析： 　∵ f （2）＝－1， f （2 x －4）＞－1，∴ f （2 x －4）＞ f （2），又∵ f （ x ）在[0，＋∞）上单调递减，∴ 即2≤ x ＜3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. 若函数 f （ x ）＝ ax2＋（ a －3） x ＋1在（－1，＋∞）上单调递 减，则实数 a 的取值范围是 ⁠. 解析：① a ＝0时， f （ x ）＝－3 x ＋1在R上是减函数，∴ a ＝0满 足条件；② a ≠0时， f （ x ）＝ ax2＋（ a －3） x ＋1，对称轴为 x ＝－ ，∴解得－3≤ a ＜0.由①②得－3≤ a ≤0，故 a 的取值范围是[－3，0]. [－3，0]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 7. 若函数 f （ x ）＝在（－∞， a ）上单调递减，在 （ a ，＋∞）上单调递增，则实数 a 的取值范围是（　　） A. [2，＋∞） B. [－2，＋∞） C. [0，2] D. [－2，0] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　函数 f （ x ）＝根据反比例函数的性 质可得 y ＝ 在区间（－∞，0）上单调递减，要使函数 f （ x ）在 区间（－∞， a ）上单调递减，则 a ≤0.由 f （ x ）＝｜ x ＋2｜在 （ a ，＋∞）上单调递增，得 a ＋2≥0，解得 a ≥－2.故实数 a 的 取值范围是[－2，0].故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $