3.2.1函数的单调性教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

《函数的单调性》教学设计 一、教材分析：函数的单调性是函数的核心性质之一，既是对初中函数增减性直观认识的深化，也是后续学习导数、不等式证明等内容的重要基础，在整个高中数学知识体系中起到承上启下的作用。 二、学情分析：高一学生已具备一次函数、二次函数等基本初等函数的图像与性质认知,有初步的数形结合思想，但抽象概括能力和逻辑推理能力有待提升，对“从直观到抽象、从特殊到一般”的数学思维方法需要进一步强化。 三、教学目标 1. 知识与技能 理解函数单调性的定义，能准确表述增函数、减函数的概念。 掌握判断函数单调性的基本方法（定义法、图像法），会用定义证明简单函数的单调性。 1. 过程与方法 通过观察函数图像、分析函数值变化规律，经历从直观感知到抽象定义的形成过程，培养数形结合的数学思想。 通过定义证明函数单调性的探究，提升逻辑推理和数学表达能力。 1. 情感态度与价值观 感受数学的严谨性与实用性，激发对函数性质探究的兴趣。 通过小组合作探究，培养合作交流意识和勇于探索的精神。 五、教学重难点 1.教学重点：函数单调性的定义；利用定义证明简单函数的单调性。 2.教学难点：函数单调性定义的抽象概括；利用定义证明单调性时，作差后的变形与符号判断。 六、教学方法与工具 1.教学方法：启发式教学法、探究式教学法、讲练结合法 2.教学工具：多媒体课件（PPT）、几何画板、函数图像卡片 七、教学过程设计 （一）情境导入，引出概念（5分钟） 1.生活情境：展示昆明某日气温变化曲线图（横坐标为时间，纵坐标为气温），提问： （1）.从图像上看，气温在哪些时间段是上升的？哪些时间段是下降的？ （2）.气温上升或下降时，对应的函数值随自变量的变化有什么规律？ 2.数学迁移：类比气温变化，展示一次函数和二次函数的图像，引导学生观察函数值随 增大的变化情况，引出“函数的单调性”这一课题。 （二）探究新知，抽象定义（15分钟） 1.直观感知 小组活动：发放函数图像卡片、、、，让学生分组讨论：在指定区间内，当 时，与 的大小关系。 师生互动：请小组代表分享结论，教师结合几何画板动态演示函数图像的变化，强化“上升”“下降”的直观印象。 2.抽象定义 教师引导：将直观感知转化为数学语言，给出增函数的定义： 设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内的某个区间 上的任意两个自变量的值 、，当 时，都有 ，那么就说函数在区间上是增函数。 类比迁移：让学生仿照增函数定义，尝试说出减函数的定义，教师补充完善。 概念辨析：强调定义中的关键要素——“定义域内的某个区间”“任意两个自变量”“当时，与 的大小关系”，举例说明“区间”的重要性（如在 上是减函数，在上是增函数）。 （三）例题讲解，深化应用（12分钟） 例1：利用图像判断函数的单调区间 判断函数 的单调区间，并指出在每个区间上是增函数还是减函数。 教师引导：先配方得到 ，画出函数图像（抛物线，开口向上，对称轴为 。 师生共同分析：由图像可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是。 方法总结：图像法判断单调性——通过观察函数图像的上升、下降趋势，确定单调区间，直观快捷。 例2：利用定义证明函数的单调性 证明函数在上是增函数。 教师示范证明步骤： ① 取值：任取 ，且； ② 作差：； ③ 变形：化简差式，得到最简形式； ④ 定号：因为 ，所以，故，即 ； ⑤ 结论：所以 ，因此 在上是增函数。 变式训练：让学生尝试证明函数 在上是减函数，教师巡视指导，点评学生的证明过程。 方法总结：定义法证明单调性的五步——取值→作差→变形→定号→结论，其中“变形”是关键（常用因式分解、配方等方法），“定号”要紧扣自变量的取值范围。 （四）课堂练习，巩固提升（8分钟） 1.图像法判断函数 的单调区间。 2.用定义证明函数在上是增函数. （五）课堂小结，布置作业（5分钟） 1.课堂小结 知识层面：函数单调性的定义（增函数、减函数）；判断和证明单调性的两种方法（图像法、定义法）。 方法层面：数形结合思想、从特殊到一般的抽象概括方法。 2.布置作业 基础题：课本练习题，巩固单调区间的判断和定义法证明。 拓展题：思考函数的单调性，并尝试用定义证明，培养思维深度。 1 学科网（北京）股份有限公司 $