25.1 一元二次方程（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 本同步练通过基础达标、能力提升、思维拓展三层递进设计，覆盖一元二次方程核心概念、根的应用及实际建模，融合数学文化与逆向变式，实现从概念理解到创新应用的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|概念及一般形式、根的判断与应用、实际问题列方程|以辨析题（如方程概念判断）、填空题（二次项系数讨论）为主，结合易错点（二次项系数不为零）强化基础| |能力提升|跨知识点综合（方程与函数）、数学文化（《九章算术》勾股问题）、分类讨论（方程类型判断）|通过表格分析解、几何情境建模，培养推理能力与模型意识| |思维拓展|解题方法迁移（方程变形）、类比应用|阅读理解型问题引导方法迁移，提升创新意识与抽象能力|

第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程 01 基础达标 知识点一 一元二次方程的概念及一般形式 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程，当m________时，是一元二次方程；当________时，是一元一次方程． 3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． （1）； （2）； （3）关于的方程． 知识点二 一元二次方程的根 4. 下列各数是方程的解的是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【条件变式】 6. 是关于x的一元二次方程的解，则______． 【逆向变式】 7. 已知关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是________． 知识点三 根据实际问题列一元二次方程 8. 某高校科研团队为了选拔参加本次运动会自由搏击赛的机器人，采用分组单循环（每两个人形机器人之间都只进行一场比赛）制，每组个机器人．若每组共需进行15场比赛，则可列方程为（） A. B. C. D. 9. 我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为_______． 易错点 忽视二次项系数不为零的条件而致错 10. 关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ） A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3 02 能力提升 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根为，那么直线经过的象限是（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 12. 下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的解是（ ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 6 … A. B. C. ， D. ， [新考法·数学文化] 13. 《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈=10尺，1尺=10寸）设门高x尺，根据题意可列方程为________________． 14. 已知关于x的方程． （1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？ （2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 15. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式． （1）如图，要利用一面墙（墙足够长）建羊圈，用的围栏围成总面积为的3个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长．（设的长度为） （2）一个微信群里共有x个人，每个人都分别给群里其他人发送一条消息，这样共有756条消息，求这个微信群里的人数x． 03 思维拓展 [新考法・阅读理解・解题方法型] 16. 阅读与思考阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以x（）， 得，即． 因为， 所以． 任务： （1）已知方程（），则________；________． （2）若m是方程的根，求的值． （3）【类比应用】已知关于x的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（ ） A. B. C. D. 第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程 01 基础达标 知识点一 一元二次方程的概念及一般形式 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数为且二次项系数不为，据此逐一分析选项即可. 【详解】解：A、是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合题意； B、未规定，当时，方程不是二次方程，不符合题意； C、是多项式，不是等式，不属于方程，不符合题意； D、整理方程得，该方程是只含一个未知数的整式方程，未知数最高次数为，且二次项系数为，符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选：D. 【2题答案】 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义，通过分析二次项系数和一次项系数的取值要求，求解的取值即可. 【详解】解：已知关于的方程为 当方程是一元二次方程时，根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，即 解得. 当方程是一元一次方程时，根据一元一次方程的定义，二次项系数为，且一次项系数不为，即 解得或， 由得， 因此. 【3题答案】 【答案】（1），二次项系数为3，一次项系数为，常数项为 （2），二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0 （3），二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键； （1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； 【小问1详解】 解： 移项，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． 【小问2详解】 ， 去括号，得； 移项、合并同类项，得， 整理，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0． 【小问3详解】 移项、合并同类项，得． 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 知识点二 一元二次方程的根 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解的概念，将选项中答案依次代入方程即可判断． 【详解】解：A、当时，，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理，可知另一个根为，再根据韦达定理可知的值为根之和，即可求得 【详解】的一个根为2，设另一根为 ，解得 又 故选D 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系即韦达定理，熟悉韦达定理是解题的关键． 【条件变式】 【6题答案】 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程可得的值． 【详解】解：把代入方程得， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【逆向变式】 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程根的定义，将未知数代入方程，结合已知条件即可判断出方程的根． 【详解】解：已知一元二次方程为， 由题意得， 对式子变形可得， 根据一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根， 因此当时，方程成立， 故该方程必有一个根是． 知识点三 根据实际问题列一元二次方程 【8题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查实际问题与一元二次方程；每组x个机器人进行单循环比赛，每两人之间只赛一场，比赛总场数为组合数公式，设其等于15即可． 【详解】解：∵每组x个机器人，每两个机器人之间进行一场比赛， ∴比赛总场数为． 又∵每组共需进行15场比赛， ∴． 故选：C． 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识．由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为步，且宽比长少13步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故答案为：． 易错点 忽视二次项系数不为零的条件而致错 【10题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得：m－3≠0且m2－9＝0， 解得：m＝－3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键． 02 能力提升 【11题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程来求的值．从而确定直线所经过的象限． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ， 解得：， 根据题意，得， ， ∴． ∴直线经过的象限是第二、四象限． 故选：B． 【12题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】方程的解是使代数式的值等于的的值，直接从表格中查找对应结果即可． 【详解】解：∵方程的解就是代数式的值为时对应的的值， 由表格可知，当时，对应的的值为和， ∴方程的解为，， 故选：C. [新考法·数学文化] 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据门的高与宽之间的关系，可得出门的宽为尺，结合门的对角线长丈（尺），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设门高为尺，由题意得，门的宽为尺，丈换算为尺，即门的对角线长为尺， 长方形门的高、宽与对角线构成直角三角形，根据勾股定理可得：． 【14题答案】 【答案】（1） （2），二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【解析】 【分析】（1）根据一元一次方程的定义得出关于的方程，检验后即可求出的值； （2）根据一元二次方程的定义得出，根据一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项的定义即可解答． 【小问1详解】 解：∵原方程为一元一次方程， ， 解得：， 当时，， 当时，，舍去， 综上所述，当取时，此方程为一元一次方程； 【小问2详解】 解：∵原方程为一元二次方程， ， 解得：， 该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【15题答案】 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义及一般形式，根据等量关系列方程是解决此题的关键． （1）设的长度为，则的长度为，然后根据矩形的面积公式列出方程，并将其化成一般形式即可； （2）每两个群里的人之间要互发一次消息，设这个微信群里的人数为，每人发条消息，则发消息共有条，由此列出方程，并将其化成一般形式即可． 【小问1详解】 解：设的长度为， 由题意得：， 化简，得：． 【小问2详解】 解：设这个微信群里的人数， 由题意得：， 化简，得：． 03 思维拓展 [新考法・阅读理解・解题方法型] 【16题答案】 【答案】（1）3 11 （2） （3）C 【解析】 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得，进而得到，再两边平方求解即可； （3）仿照题意求解即可． 【小问1详解】 解：方程两边同时除以（）， 得，即， ， ． 【小问2详解】 解：由条件可知， 两边同时除以得：，即， ， ． 【小问3详解】 解：关于的一元二次方程有一个根是， ， 两边同时除以得：，即， ∴方程有一个根是， 故选：C． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $