25.1 一元二次方程的概念 同步练习题 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念，通过选择、填空、解答三级分层设计，实现从概念辨析到实际建模的渐进巩固，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择题）|一元二次方程定义、系数识别、根的概念|直接考查概念辨析，如第1题判断方程类型，第2题识别系数，强化符号意识| |进阶层（填空题）|一般形式转化、参数取值条件、简单实际问题抽象|深化概念理解，如第14题握手问题抽象为方程，培养抽象能力| |应用层（解答题）|概念综合判断、方程转化、分类讨论、实际问题建模|综合应用与建模，如第20题几何与增长率问题，体现模型意识与推理能力|

25.1 一元二次方程的概念 课程同步练习题 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ） A．3，5，2 B．3，5，2 C．3，5，2 D．3，5，2 3．用一张长 10 cm、宽 8 cm 的矩形硬纸片，在四个角各剪去一个边长为的正方形，折成一个无盖长方体盒子。若盒子的底面积为，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 4．若关于的方程 是一元二次方程，则的值为（ ） A．2 B．2 C． D．无法确定 5．已知是一元二次方程 的一个根，则的值为（ ） A．1 B．1 C．2 D．2 6．将方程 化为一般形式后，其常数项是（ ） A．6 B．6 C．2 D．5 7．若关于的一元二次方程 的一次项系数为 0，则的值为（ ） A．2 B．2 C． D．0 8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91。设每个支干长出个小分支，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 9．下列说法： ① 一元二次方程都含有两个未知数； ② 方程是一元二次方程； ③ 方程的常数项是 0； ④ 一元二次方程的二次项系数一定不为 0。 其中正确的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 10．若关于的方程 是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．全体实数 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．方程 的一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 12．若关于的方程 是一元二次方程，则的值为 。 13．已知是一元二次方程 的一个根，则的值为 。 14．参加一次同学聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手 45 次。设共有人参加聚会，将题意化为一元二次方程的一般形式为 。 15．若关于的一元二次方程 的常数项为 0，则的值为 。 16．已知方程 是关于的整式方程：若该方程是一元一次方程，则的值为 ；若该方程是一元二次方程，则的取值范围是 。 三、解答题（本大题共 4 小题，共 46 分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（10 分）下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是？请说明理由。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 18．（12 分）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）；（2）； 19．（12 分）已知关于的方程 。 （1）若该方程是一元二次方程，求的值； （2）若该方程是一元一次方程，求的值。 20．（12 分）根据题意列出一元二次方程，并将其化为一般形式，分别指出二次项系数、一次项系数和常数项（不要求解方程）。 （1）一个直角三角形的两条直角边的和为 14 cm，面积为。设较短的直角边长为，列出关于的方程； （2）某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元，3 月份的销售额是 4.5 万元。设从 1 月份到 3 月份销售额的月平均增长率为，列出关于的方程。 参考答案与解析 一、选择题 1．答案：C 解析：A 是二元一次方程；B 是分式方程，不是整式方程；D 化简后为，是一元一次方程；只有 C 符合一元二次方程的定义。 2．答案：C 解析：一元二次方程一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，注意符号。 3．答案：B 解析：底面的长为，宽为，根据矩形面积公式可得方程。 4．答案：B 解析：由一元二次方程定义得且，解得。 5．答案：A 解析：将代入方程得，解得。 6．答案：A 解析：展开整理得，常数项为 - 6。 7．答案：B 解析：由一次项系数为 0 得，解得；又因为是一元二次方程，二次项系数，故。 8．答案：B 解析：主干 1 个，支干个，小分支个，总数为。 9．答案：C 解析：①错误，一元二次方程只含一个未知数；②③④均正确。 10．答案：A 解析：二次项系数，即。 二、填空题 11．答案：；5；3；0 解析：移项化为一般形式，注意各项符号。 12．答案：3 解析：由得，结合二次项系数，得。 13．答案：2 解析：将代入方程得，解得。 14．答案： 解析：握手总次数公式为，整理得一般形式。 15．答案：1 解析：由常数项为 0 得，解得；结合二次项系数，得。 16．答案：2； 解析：一元一次方程要求二次项系数为 0；一元二次方程要求二次项系数不为 0。 三、解答题 解：（1）是一元二次方程，符合一元二次方程的定义； （2）不是，含有两个未知数，属于二元方程； （3）不是，分母中含有未知数，是分式方程，不是整式方程； （4）不是，整理后为，是一元一次方程； （5）是一元二次方程，符合一元二次方程的定义； （6）不一定，当时不是一元二次方程，只有当时才是一元二次方程。 18．解：（1）展开整理：一般形式： 二次项系数：3，一次项系数：8，常数项：6 （2）展开整理：一般形式： 二次项系数：3，一次项系数：8，常数项：3 19．解：（1）若方程是一元二次方程，则： 由得，结合，得。 （2）若方程是一元一次方程，分两种情况： ① 二次项系数为 0，即，解得， 此时方程为，是一元一次方程，符合题意； ② 最高次数为 1，即，解得， 此时方程为，一次项系数，符合题意。 综上，的值为或或。 20．解：（1）较短直角边长为，则较长直角边长为，由面积公式得： 化为一般形式： 二次项系数：1，一次项系数：14，常数项：48 （2）1 月份销售额为 2 万元，月平均增长率为，则 3 月份销售额为万元，得： 化为一般形式： 二次项系数：4，一次项系数：8，常数项：5 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $