精品解析：湖北省黄冈市武穴市2025-2026学年下学期期末八年级数学试题

2026年春季期末教学质量监测试题 八年级数学 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 邻边相等 B. 两组对边分别相等 C. 两条对角线相等 D. 两条对角线互相平分 4. 在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 5. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（　　） A. 8 B. 16 C. 8 D. 16 7. 如图，若正五边形和矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点B落在四边形内点的位置．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为； ③方程的解为； ④当时，． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是_________． 12. 如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形是________边形． 13. 把直线沿轴向下平移2个单位长度后，得到的新直线的函数表达式为_________． 14. 我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为___________． 15. 如下方左图，在菱形中，对角线，相交于点，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为，的面积为，与之间的关系如下方右图所示，则的长为_________． 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16. 计算：． 17. 如图，在菱形中，，E是的中点，连接，过点A作交于点F，求证：四边形是矩形． 18. 如图，在中，，，，． （1）求的长； （2）求证：． 19. 已知一次函数，它的图象经过点和． （1）求与之间的函数表达式； （2）一次函数的图象不经过第_________象限，随的增大而_________； （3）当时，直接写出自变量的取值范围． 20. 在生命安全教育活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数，根据统计的结果，绘制了如下的统计图①和图② 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数是_________，图①中的值为_________，参加“4项活动”对应的扇形的圆心角的大小是_________度； （2）求统计的这组项数数据的平均数； （3）若该校有1200名学生，请估计该校学生参加活动不低于2项的人数． 21. 中国北宋数学家沈括在《梦溪笔谈》中提出“垛积术”，专门研究物品堆积的计数问题，有以下规律： “三角垛数” （表示层总数量） “长方垛数” （表示层总数量） “垛积和数” （表示层总数量） ， ， ， ， ， ， ， 如图所示： 将，与组成“垛积三元数”，部分三元数如下表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 三角垛数 1 3 6 长方垛数 3 8 15 垛积和数 4 11 21 （1）请补全上表中的垛积三元数，，； （2）观察表中数据，发现“垛积和数”同时满足两个规律：①；②．请用含正整数的代数式分别表示，，并证明这两个规律是等价的（即从其中一个规律可推导得到另一个规律）． 22. 为增强学生体质，让学生享受阳光体育大课间活动，某学校准备采购甲、乙两种跳绳供学生使用．经询价，现有一家商场对甲种跳绳的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种跳绳按20元/根的价格出售．设该学校购买甲种跳绳根，付款元，与之间的函数关系如图所示． （1）求出与之间的函数关系式； （2）若该学校计划一次性购买甲，乙两种跳绳共150根，且甲种跳绳不少于40根，但又不超过80根，如何分配甲，乙两种跳绳的购买量，才能使该校付款总金额最少？ 23. 已知，如图1，在矩形中，，分别为，上的点，．因为是的一半，我们把这个模型叫做“夹半角模型”． （1）问题一：如图2，当时，我们将绕点顺时针旋转得到，点与点重合，，，三点共线，容易证明，从而得到． ①若，则_________； ②如图3，连接分别交，于，，求证：． （2）问题二：如图4，当，，，，请直接写出、与的数量关系． 24. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，以为边在第一象限内作等腰直角，且，过作轴于点，的垂直平分线交于点E，交轴于点G，连接． （1）求点C的坐标； （2）判定四边形的形状，并说明理由； （3）点在直线上，使得，求点的坐标； （4）平面内是否存在点Q，使得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有Q点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期末教学质量监测试题 八年级数学 （满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得 解不等式得 ∴的取值范围是． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式合并规则和二次根式的乘除运算法则，逐个计算判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，选项计算错误； B、，选项计算错误； C、，选项计算正确； D、，选项计算错误． 3. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 邻边相等 B. 两组对边分别相等 C. 两条对角线相等 D. 两条对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】对比两类图形的性质，由矩形与一般平行四边形的性质区别，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质矩形都具有， A、邻边相等不是平行四边形的性质，也不是矩形的性质，选项不符合题意； B、矩形和一般平行四边形都具有两组对边分别相等的性质，选项不符合题意； C、矩形的对角线相等，一般平行四边形的对角线仅互相平分，不一定相等，因此对角线相等是矩形具有而一般平行四边形不具有的性质，选项符合题意； D、矩形和一般平行四边形都具有对角线互相平分的性质，选项不符合题意． 4. 在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解众数的含义是解题的关键． 根据题意，结合众数的意义，即可求解． 【详解】解：“最畅销”涉及的统计量是众数， 故选：D． 5. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只需验证两短边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、最长边为，则，即，，能构成直角三角形； B、最长边为，则，即，，能构成直角三角形； C、最长边为，则，即，，能构成直角三角形； D、最长边为，则，，，得到，即，，不能构成直角三角形． 6. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（　　） A. 8 B. 16 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质得出OA=BO，证△AOB是等边三角形，得出AB=OB=4，由勾股定理求出AD，即可求出矩形的面积． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=90°，AO=CO=AC，BO=DO=BD，AC=BD=2OB=8， ∴OA=OB=4， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=OB=4， ∴AD=， ∴矩形ABCD的面积=AB×AD=4×4=16； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明△AOB为等边三角形是解题的关键． 7. 如图，若正五边形和矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正五边形的内角和，可得出每个内角的度数，根据矩形的每个内角为，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内角和为：， ∴， ∵ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查多边形的内角和，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键． 8. 若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线经过第一、二、四象限，求出，再判断函数经过的象限即可． 【详解】解：直线经过第一、二、四象限，如图所示： ，即， 则函数的图象经过第一、二、三象限，其大致图象如下： B选项图象满足题意． 9. 如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在四边形外点的位置，点B落在四边形内点的位置．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，利用四边形的内角和定理得到：，利用四边形的内角和定理，折叠的性质，三角形的内角和定理，等量代换的性质求得的值，则结论可求． 【详解】解：延长交于点，设交于点，如图， 四边形的内角和为， ， ， ． 由折叠的性质可得：． ， ． 在和中， ， ， ，， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为； ③方程的解为； ④当时，． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案． 【详解】解：由一次函数的图象过一，二，四象限，的值随着值的增大而减小； 故①不符合题意； 由图象可得方程组的解为，即方程组的解为； 故②符合题意； 由一次函数的图象过 则方程的解为；故③符合题意； 由一次函数的图象过 则当时，．故④不符合题意； 综上：符合题意的有②③， 故选B 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，注意：． 12. 如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形是________边形． 【答案】十二 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形，由题意得， 解得， ∴这个多边形是十二边形． 故答案为：十二． 13. 把直线沿轴向下平移2个单位长度后，得到的新直线的函数表达式为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式． 【详解】解：直线沿轴向下平移2个单位长度后，得． 故答案为：． 14. 我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．请利用勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 在中，由勾股定理可得， 又∵， ∴， 故答案为：． 15. 如下方左图，在菱形中，对角线，相交于点，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为，的面积为，与之间的关系如下方右图所示，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象可知，当点运动到点时，路程，面积为，从而求出菱形的边长；当点运动到点时，的面积最大，为，即；利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理和完全平方公式求出的值，进而求得的长． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，，，， 由图2可知，当时，，此时点运动到点， ∴， ∴，解得； 当点运动到点时，的面积最大，为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ， ， ， 联立， 解得， ． 三、解答题（本大题共9小题，共75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先由二次根式性质化简，再计算括号里的二次根式减法运算，然后由二次根式乘法与除法计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在菱形中，，E是的中点，连接，过点A作交于点F，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：在菱形中，, ， 又， 四边形是平行四边形， ，E是的中点， ， ， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】先由菱形对边平行和已知平行关系证得四边形为平行四边形，再利用菱形边相等及中点条件，结合等腰三角形三线合一证得，即得一个直角，最后由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出结论． 【详解】证明：略． 18. 如图，在中，，，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）1 （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而可得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴的长为1； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 19. 已知一次函数，它的图象经过点和． （1）求与之间的函数表达式； （2）一次函数的图象不经过第_________象限，随的增大而_________； （3）当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）四、增大 （3） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）由一次函数图象与性质判断即可； （3）由一次函数增减性求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象经过点和， ，解得， 与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，则， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，即不经过第四象限，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：由（2）知一次函数的值随的增大而增大， 当时，，解得；当时，，解得； 当时，自变量的取值范围是． 20. 在生命安全教育活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数，根据统计的结果，绘制了如下的统计图①和图② 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数是_________，图①中的值为_________，参加“4项活动”对应的扇形的圆心角的大小是_________度； （2）求统计的这组项数数据的平均数； （3）若该校有1200名学生，请估计该校学生参加活动不低于2项的人数． 【答案】（1）人；； （2）项 （3）名 【解析】 【分析】（1）由项的人数及其所占百分比可得总人数，用项的人数除以总人数可得的值，用乘项活动人数所占百分比即可； （2）根据加权平均数的定义列式计算即可； （3）总人数乘以样本中参加活动不低于项的人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：本次接受调查的学生人数是（人）， ，即， 参加“4项活动”对应的扇形的圆心角的大小是； 【小问2详解】 解：∵（项）， ∴统计的这组项数数据的平均数为项； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校学生参加活动不低于项的人数约为名． 21. 中国北宋数学家沈括在《梦溪笔谈》中提出“垛积术”，专门研究物品堆积的计数问题，有以下规律： “三角垛数” （表示层总数量） “长方垛数” （表示层总数量） “垛积和数” （表示层总数量） ， ， ， ， ， ， ， 如图所示： 将，与组成“垛积三元数”，部分三元数如下表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 三角垛数 1 3 6 长方垛数 3 8 15 垛积和数 4 11 21 （1）请补全上表中的垛积三元数，，； （2）观察表中数据，发现“垛积和数”同时满足两个规律：①；②．请用含正整数的代数式分别表示，，并证明这两个规律是等价的（即从其中一个规律可推导得到另一个规律）． 【答案】（1） （2）三角垛数，长方垛数， 由①推②：将代入得： ， ， ∴； 由②推①：将，代入得： ， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）发现规律并进行计算即可； （2）表示三角垛数，长方垛数，代入①②计算即可证明． 【小问1详解】 解：由规律发现：， ， ； 【小问2详解】 解：略． 22. 为增强学生体质，让学生享受阳光体育大课间活动，某学校准备采购甲、乙两种跳绳供学生使用．经询价，现有一家商场对甲种跳绳的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种跳绳按20元/根的价格出售．设该学校购买甲种跳绳根，付款元，与之间的函数关系如图所示． （1）求出与之间的函数关系式； （2）若该学校计划一次性购买甲，乙两种跳绳共150根，且甲种跳绳不少于40根，但又不超过80根，如何分配甲，乙两种跳绳的购买量，才能使该校付款总金额最少？ 【答案】（1）； （2）甲种跳绳40根，乙种跳绳110根． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式的方法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法求解，并写成分段函数的形式即可； （2）设购买甲种跳绳m根，则购买乙种跳绳根，根据题意，得，根据m的取值范围分别将（1）中得到的函数关系式代入，根据一次函数的增减性和m的取值范围，分别确定当m取何值时w的值最小，求出最小值及对应的的值，比较两个w的最小值，取w最小值中较小的那个对应的m及值即可． 【小问1详解】 当时，设y与x之间的函数关系式为（为常数，且）． 将坐标代入， 得， 解得， ； 当时，设y与x之间的函数关系式为（为常数，且）． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 综上，y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 设购买甲种跳绳m根，则购买乙种跳绳根， 根据题意，得． 当时，， ， 随m的增大而增大， ， 当时，w取最小值，，此时购买乙种跳绳（根）； 当时，， ， 随m的增大而增大， ， 当时，w取最小值，，此时购买乙种跳绳（根）． ， 购买甲种跳绳40根、乙种跳绳110根才能使该校付款总金额w最少． 23. 已知，如图1，在矩形中，，分别为，上的点，．因为是的一半，我们把这个模型叫做“夹半角模型”． （1）问题一：如图2，当时，我们将绕点顺时针旋转得到，点与点重合，，，三点共线，容易证明，从而得到． ①若，则_________； ②如图3，连接分别交，于，，求证：． （2）问题二：如图4，当，，，，请直接写出、与的数量关系． 【答案】（1）①； ②证明：如图，延长至点，使，连接，过点作，交于点，连接， ∴， ∵四边形是正方形且为对角线，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）解：． 理由：如图，延长交延长线于点，延长交延长线于点， ∵四边形是矩形，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， 将绕着点顺时针旋转得到，则点落在的延长线上，连接、， ∴， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， 在中，，即， ∴，即， 又∵，，， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）①证明四边形是正方形，得，，得到，，，然后在中根据勾股定理即可得出答案； ②如图，延长至点，使，连接，过点作，交于点，连接，根据正方形的性质得，，，证明得，，证明得，，证明得，在中利用勾股定理即可得证； （2）如图，延长交延长线于点，延长交延长线于点，根据矩形的性质及等腰三角形的判定与性质推出，，，将绕着点顺时针旋转得到，则点落在的延长线上，连接、，得，，，，，证明得，过点作交的延长线于点，证明四边形为矩形推出，，最后在中利用勾股定理即可证明． 【小问1详解】 ①解：∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：； ②略； 【小问2详解】 略． 24. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，以为边在第一象限内作等腰直角，且，过作轴于点，的垂直平分线交于点E，交轴于点G，连接． （1）求点C的坐标； （2）判定四边形的形状，并说明理由； （3）点在直线上，使得，求点的坐标； （4）平面内是否存在点Q，使得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有Q点的坐标． 【答案】（1） （2）四边形是矩形，理由： 垂直平分线段， ，， ， 横坐标为1，代入得： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （3）或 （4）存在，，， 【解析】 【分析】（1）证明，即可解决问题． （2）证明，，推出四边形是平行四边形，又因为即可解决问题； （3）设，根据面积关系列方程即可解决问题； （4）已知，，，设点，因为以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，所以对角线中点重合，据此列方程即可，需分类为对角线，为对角线，为对角线进行讨论 【小问1详解】 解：一次函数， 当时，，即， 当时，，即， ，， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在与中， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：设， ， ， ，， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 或． 【小问4详解】 解：已知，，，设点 ∵以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴对角线中点重合， 当为对角线时， ， 解得， ∴； 当为对角线时， ， 解得， ∴； 当为对角线时， ， 解得， ∴； 综上所述，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $