5.3.1配套问题与工程问题（课件）2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程的配套问题与工程问题，梳理比例等量关系和工作量等量关系核心知识点，通过生活实例（如桌椅、螺丝螺母配套）导入，以探究点形式搭建从具体到抽象的学习支架，衔接方程应用的前后知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察生活情境（如茶具制作、航天模型部件），用数学思维构建解题模板（配套问题设人数列比例方程，工程问题总工作量为1列效率方程），通过规范步骤和实例解析培养数学语言表达能力。学生能掌握解题方法，教师可高效开展教学，提升课堂效果。

人教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月6日 5.3.1配套问题与工程问题 第五章 一元一次方程 人教版七年级数学下册5.3.1 配套问题与工程问题 专项练习题（含解析） 一、核心知识点梳理 （一）配套问题（比例等量关系） 1. 解题核心：配套问题的本质是零件数量成固定比例，根据配套比例列方程。 2. 万能等量公式 若 a 件甲零件配 b 件乙零件（甲:乙 = a:b） $$\boldsymbol{b\times 甲总数量 = a\times 乙总数量}$$ 3. 常见题型：桌椅配套、螺丝螺母配套、上下盖配套、部件组装配套。 4. 解题步骤： ① 设生产其中一种零件的人数/时间为未知数； ② 表示出两种零件的总数量； ③ 根据配套比例列等式； ④ 解方程并作答。 （二）工程问题（工作量等量关系） 1. 核心规定：没有给出总工作量时，默认总工作量 = 1。 2. 三大基础公式： 工作效率 $$=\dfrac{1}{工作时间}$$ 工作量 $$=$$ 工作效率 $$\times$$ 工作时间 总工作量 $$=$$ 各分段工作量之和 3. 合作规律：多人合作效率 = 所有人效率相加。 4. 常见题型：单独做工、多人合作、先做后合作、中途停工。 二、高频易错点汇总 1. 配套比例写反：最常见错误，直接按比例直等，忘记交叉相乘。 2. 配套问题中，人数分配错误，未合理表示两组生产数量。 3. 工程问题忘记把总工程量看作“1”，误用具体数字计算。 4. 合作问题漏加效率、分段做工未分开累加工作量。 5. 单位不统一、设未知数不规范、答题不完整扣分。 三、专项练习题（分值、题型统一） （一）填空题（每空2分，共32分） 1. 工程问题中，未说明总工作量时，一般把总工作量看作________。 2. 一项工作甲单独做需要10天完成，甲的工作效率是________。 3. 甲乙合作完成一项工程，甲效率$$\dfrac{1}{5}$$，乙效率$$\dfrac{1}{6}$$，两人合作效率为________。 4. 1张桌子配4把椅子，则椅子总数:桌子总数 = ________，等量关系可写为：椅子总数 = ________×桌子总数。 5. 2个大齿轮配3个小齿轮，配套等量关系：________×大齿轮总数 = ________×小齿轮总数。 6. 一项工程，甲先做2天，再由甲乙合作3天完成，总工作量 = 甲2天工作量 + ________。 7. 甲单独做6天完成，乙单独做3天完成，两人合作________天可以完成全部工程。 8. 某车间每人每天生产12个螺丝或18个螺母，1个螺丝配2个螺母，为使配套，螺丝数量×________ = 螺母数量×________。 （二）选择题（每题3分，共30分） 1. 一项工程甲单独做8天完成，甲的工作效率是（） 2. A. 8 B. $$\dfrac{1}{8}$$ C. $$\dfrac{8}{1}$$ D. 1 3. 2. 一个仪器由1个A部件和3个B部件配套构成，正确等量关系是（） 4. A. A数量=3B数量 B. B数量=3A数量 C. A=B D. 3A=B 5. 3. 甲效率$$\dfrac{1}{4}$$，乙效率$$\dfrac{1}{8}$$，两人合作1天完成工作量为（） 6. A. $$\dfrac{1}{12}$$ B. $$\dfrac{3}{8}$$ C. $$\dfrac{1}{4}$$ D. $$\dfrac{1}{8}$$ 7. 4. 3个甲零件配5个乙零件，下列方程正确的是（） 8. A. 3甲=5乙 B. 5甲=3乙 C. 甲=乙 D. 3甲=乙 9. 5. 一项工程甲乙合作2天完成，单独甲6天完成，则乙单独完成需要（） 10. A. 3天 B. 4天 C. 5天 D. 6天 11. 6. 车间生产螺栓和螺母，1螺栓配2螺母，为配套必须满足（） 12. A. 螺栓数=2螺母数 B. 螺母数=2螺栓数 C. 相等即可 D. 无规律 （三）解答题（共38分） 1.（18分）配套问题基础题 某车间有28名工人，每人每天可以生产12个螺栓或18个螺母。已知1个螺栓需要配2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 2.（20分）工程问题基础题 一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成。两人先合作3天，甲因事离开，剩下工程由乙单独完成，求乙还需要多少天完成全部工程？ 四、参考答案与详细解析 （一）填空题答案及解析 1. 1。解析：工程问题默认总工程量为单位1。 2. $$\dfrac{1}{10}$$。解析：效率等于时间倒数。 3. $$\dfrac{11}{30}$$。解析：合作效率直接相加。 4. 4:1、4。解析：1桌配4椅，椅子数量是桌子的4倍。 5. 3、2。解析：大:小=2:3，交叉相乘：3大=2小。 6. 甲乙合作3天工作量。解析：总工作量分段相加。 7. 2。解析：甲效$$\dfrac{1}{6}$$，乙效$$\dfrac{1}{3}$$，合作效$$\dfrac{1}{2}$$，共2天。 8. 1、2。解析：1螺丝配2螺母，2螺丝=1螺母。 （二）选择题答案及解析 1.B 2.B 3.B 4.B 5.A 6.B 解析：配套问题抓“比例交叉相等”，工程问题抓“总工作量为1、效率可累加”，是本节核心解题依据。 （三）解答题详细规范解析 1. 配套问题解答 解：设安排 $$x$$ 名工人生产螺栓，则$$(28-x)$$ 名工人生产螺母。 螺栓总数：$$12x$$ 螺母总数：$$18(28-x)$$ 根据“1螺栓配2螺母”，得等量关系：$$螺母数=2\times 螺栓数$$ 列方程：$$18(28-x)=2\times 12x$$ 去括号：$$504-18x=24x$$ 移项：$$24x+18x=504$$ 合并：$$42x=504$$ 系数化为1：$$x=12$$ 生产螺母人数：$$28-12=16$$（名） 答：应安排12人生产螺栓，16人生产螺母。 2. 工程问题解答 解：设乙还需要 $$x$$ 天完成。 甲效率：$$\dfrac{1}{12}$$，乙效率：$$\dfrac{1}{24}$$ 甲乙合作3天工作量：$$3\times\left(\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{24}\right)=\dfrac{3}{8}$$ 乙单独完成剩余工作量：$$\dfrac{1}{24}x$$ 总工作量为1，列方程： $$\dfrac{3}{8}+\dfrac{x}{24}=1$$ 去分母（同乘24）：$$9+x=24$$ 解得：$$x=15$$ 答：乙还需要15天完成全部工程。 五、本节解题万能模板总结 1. 配套问题模板 设人数 → 表示两类产量 → 按比例交叉列方程（$$a:b \Rightarrow b\cdot 甲=a\cdot 乙$$）→ 求解作答。 2. 工程问题模板 总工作量=1 → 求出各人效率 → 分段表示工作量 → 工作量相加=1 → 解方程。 两类题型是一元一次方程应用题必考基础题型，熟练套用模板可满分解题。 1. 会运用一元一次方程解决物品配套问题 和工程问题. 2. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基 本思路和步骤. 5.2.3 利用去括号解一元一次方程 第1页：复习导入——为新方法奠基 【回顾1：去括号法则】我们在整式运算中学习过去括号，大家快速化简下列式子： - 1. 2(x + 3) = ______（括号前是正数，去括号后各项不变号：2x + 6） - 2. -3(x - 2) = ______（括号前是负数，去括号后各项变号：-3x + 6） - 3. 4 - (2x - 1) = ______（可看作+4 + (-1)(2x - 1)：4 - 2x + 1） 【回顾2：移项解方程步骤】用已学方法解下列方程：3x - 5 = 2x + 1（移项→合并→系数化1，解得x=6） 【新问题】请尝试解这个方程：2(x + 3) = 14。这个方程与上一个有什么不同？（引导发现：含有括号，无法直接移项） 【过渡】当方程中含有括号时，我们需要先去掉括号，将方程转化为熟悉的形式，这就是今天的重点——利用去括号解一元一次方程。 第2页：新知探究1——为什么要去括号？ 【情境支撑】学校组织植树活动，七年级（1）班有x名同学参与，（2）班参与人数比（1）班的2倍少3人，两个班共有39名同学参与，求（1）班的参与人数。 【列方程】（1）班人数 + （2）班人数 = 总人数，即x + (2x - 3) = 39 【思考】方程中的括号把含未知数的项“包裹”起来，无法直接合并同类项和移项，怎么办？（引导学生说出“去括号”） 【依据】去括号法则（整式运算规则），去括号后方程可转化为已学过的形式，再用移项、合并同类项法求解。 【尝试求解】去括号得x + 2x - 3 = 39，合并同类项得3x - 3 = 39，移项得3x = 42，解得x=14。（1）班有14人参与。 第3页：新知探究2——去括号解方程“四步法” 【例题示范】解一元一次方程：2(x - 1) - (x + 2) = 3(4 - x) 【完整步骤】 1. 第一步：去括号——严格遵循去括号法则，注意符号和系数分配 2(x - 1) = 2x - 2（正数乘括号，各项不变号） 2. -(x + 2) = -x - 2（负数乘括号，各项变号） 3. 3(4 - x) = 12 - 3x（正数乘括号，各项不变号） 4. 去括号后方程：2x - 2 - x - 2 = 12 - 3x 5. 第二步：合并同类项——整理左右两边的同类项 左边：2x - x - 2 - 2 = x - 4 6. 右边：12 - 3x 7. 合并后方程：x - 4 = 12 - 3x 8. 第三步：移项——含未知数项移左，常数项移右，注意变号 x + 3x = 12 + 4 9. 移项后方程：4x = 16 10. 第四步：系数化为1——根据等式性质2求解 x = 16 ÷ 4 = 4 11. 检验：左边=2(4-1)-(4+2)=6-6=0，右边=3(4-4)=0，左边=右边，解正确。 【核心总结】含括号的一元一次方程求解思路：去括号→化繁为简→回归已学方法（合并→移项→求解）。 第4页：基础巩固——去括号“实战” 【第一关：先去括号，再化简】化简下列方程（只去括号和合并同类项，不求解）： - 1. 3(x + 5) = 21 → 3x + 15 = 21 - 2. -2(2x - 1) = 10 → -4x + 2 = 10 - 3. 5 - 3(x - 3) = 2 → 5 - 3x + 9 = 2 → -3x + 14 = 2 【第二关：完整求解】解下列方程，并检验： - 1. 4(x - 2) = 3(x + 1) 去括号：4x - 8 = 3x + 3 - 移项：4x - 3x = 3 + 8 - 合并：x = 11（检验略） 2. 2(3y - 1) - 3(y + 2) = 12 去括号：6y - 2 - 3y - 6 = 12 合并：3y - 8 = 12 移项：3y = 20 → y = 20/3（检验略） 第5页：易错点辨析——避开常见错误 【易错点1：括号前有系数，漏乘括号内项】 错误示例：2(x + 3) = 14 → 2x + 3 = 14（漏乘3） 正确做法：2x + 6 = 14，解得x=4 【易错点2：括号前是负数，去括号后部分项不变号】 错误示例：-(x - 5) = 8 → -x - 5 = 8（-5未变号） 正确做法：-x + 5 = 8，解得x=-3 【易错点3：去括号后，同类项未及时合并导致移项错误】 错误示例：3x - 2(2x - 1) = 5 → 3x - 4x - 2 = 5（先移项未合并） 正确做法：3x - 4x + 2 = 5 → -x = 3 → x=-3 【避错技巧】去括号后先检查两点：① 系数是否乘遍括号内所有项；② 符号是否按法则改变，再进行后续步骤。 第6页：应用拓展——去括号的实际价值 【场景1：工程问题】某工程队修一段公路，第一天修了全长的一半多10米，第二天修了余下的一半少5米，两天共修了180米，求公路全长x米。 1. 列方程：第一天修的长度 + 第二天修的长度 = 180，即(½x + 10) + [½(x - ½x - 10) - 5] = 180 2. 解方程： 去括号：½x + 10 + ½(½x - 10) - 5 = 180 → ½x + 10 + ¼x - 5 - 5 = 180合并：¾x = 180 → x = 240 3. 作答：公路全长240米。 【场景2：几何问题】一个长方形的周长是56厘米，长比宽的2倍多2厘米，求长方形的长和宽（设宽为x厘米）。 1. 列方程：2(长 + 宽) = 周长，即2[(2x + 2) + x] = 56 2. 解方程： 去括号：2(3x + 2) = 56 → 6x + 4 = 56移项合并：6x = 52 → x = 26/3（宽），长=2×26/3 + 2=58/3厘米 第7页：课堂小结——核心知识回顾 1. 解题关键：去括号是含括号方程的“突破口”，依据去括号法则将方程转化为不含括号的形式 2. 完整步骤：① 去括号（注意系数和符号）；② 合并同类项；③ 移项（变号）；④ 系数化为1；⑤ 检验 3. 易错提醒：① 系数别漏乘括号内项；② 负号别漏变括号内项符号；③ 去括号后先合并再移项 4. 知识关联：去括号是整式运算与方程求解的结合，是解更复杂一元一次方程的重要环节，为后续学习奠定基础。 学习目标 生活中存在着很多的配套问题，如下图 1 张课桌配 1 把椅子 1 个螺栓配 2 个螺母 1 个茶壶配 3 个茶杯 已知：一套茶具由 1 个茶壶和 3 个茶杯构成. （1）若一个工人师傅做了 1 个茶壶，则需要 个茶杯才能刚好配成一套： （2）若一个工人师傅做了 2 个茶壶，则需要 个茶杯才能刚好配成一套： （3）若一个工人师傅做了 x 个茶壶，则需要 个茶杯才能刚好配成一套： （4）若一个工人师傅做了 a 个茶壶， b 个茶杯，且刚好配套，则 a 与 b 的数量关系是 . 3 6 3x 3a＝b 探究点1：产品配套问题 例1 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1 200 个螺栓或 2 000 个螺母. 1 个螺栓需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？ 配套关系：1 个螺栓需要配 2 个螺母. 分析： 等量关系：螺母数量＝2×螺栓数量. 探究点1：产品配套问题 产品类型 生产人数 单人产量 总产量 螺栓 x 1200 螺母 2000 (22-x) 1200x 2000(22-x) 解：设应安排 x 名工人生产螺栓，(22－x) 名工人生产螺母. 根据螺母数量应是螺栓数量的 2 倍，列出方程 2000(22－x)＝2×1200x . 解方程，得 x＝10. 进而 22－x＝12. 答：应安排 10 名工人生产螺栓，12 名工人生产螺母. 探究点1：产品配套问题 产品类型 生产人数 单人产量 总产量 螺栓 x 1200 螺母 2000 (22-x) 1200x 2000(22-x) 【练一练】1. 一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用 1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件. 现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材做 A 部件，多少立方米钢材做 B 部件，才能恰好配成整数套这种仪器？共配成多少套？ 1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件 A 部件数量∶B 部件数量 = 1∶3 可得：B 部件数量 = A 部件数量×3 A 部件和B 部件共用钢材 6 m3 条件分析 探究点1：产品配套问题 解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用 (6－x) 立方米钢材做 B 部件. 答：应用 4 立方米钢材做 A 部件， 2 立方米钢材做 B 部件，共配成仪器 160 套. 根据题意，列方程得 3×40x = (6－x)×240. 解得 x = 4. 则 6－x = 2. 共配成仪器 4×40 = 160 (套). 探究点1：产品配套问题 探究点1：产品配套问题 配套问题中的基本关系： 可得相等关系：m×B 的数量 = n×A 的数量. 若 m 个 A 和 n 个 B 配成一套，则 ， A 的数量 B 的数量 m n = 例2 整理一批图书，由 1 个人做要 40 h 完成. 现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2 人与他们一起整理 8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 工程问题：整理完成这批图书. 分析： 工作总量＝人均效率×人数×时间 常把工作总量看作“1”. 探究点2：工程问题 列表分析： 人均效率 人数 时间 工作量 前一部分工作 x 4 后一部分工作 x＋2 8 × × ＝ × ＝ × 探究点2：工程问题 解：先安排 x 人先做 4 h. 根据先后两个时间段的工作量之和等于工作总量，列出方程 解方程，得 4x＋8(x＋2)＝40. 4x＋8x＋16＝40. 12x＝24. x＝2. 答：应先安排 2 人先做 4 h. 探究点2：工程问题 知识点1 配套问题 1. “寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红.”茶，作为中国传统文化 的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴.在品茶的过程 中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有 显著影响.某茶具厂共有120名工人，每名工人一天能做200个茶 杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生 产可使每天生产的茶具配套.设生产茶杯的工人有 名，则下列 选项正确的是( ) C A. B. C. D. 中考考法 13 2. 探索浩瀚宇宙，是我们不懈追求的航天 梦.从“嫦娥”揽月到“祝融”探火，从载人发射到常驻太空，中 国航天事业实现了一次又一次历史性的跨越.为致敬中国航天， 某高校科技社团计划制作一批迷你小飞机模型，作为校园航 空航天知识竞赛的获奖奖品. 社团共有25名成员参与模型核心部件制作，每名成员单日只 能专注制作一类部件：若制作机身部件，每人每天可完成60 中考考法 14 个；若制作机翼部件，每人每天可完成80个.已知1个机身部 件需要搭配2个机翼部件，才能组装成1架完整的迷你小飞机 模型.为使每天制作的机身部件和机翼部件恰好无剩余地配套 成模型，应该安排多少名成员制作机身部件，多少名成员制 作机翼部件？ 中考考法 【解】设安排名成员制作机身部件，则安排 名成员 制作机翼部件， 根据题意得 ， 解得 ， 所以制作机翼部件的成员数为 （名）. 答：应该安排10名成员制作机身部件，15名成员制作机翼部件. 中考考法 16 知识点2 工程问题 3. 《张丘建算经》中记载了这样一道题：“今有女子不善织， 日减功迟.初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几 何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来 越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后 一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布.( ) C A. 45尺 B. 88尺 C. 90尺 D. 98尺 中考考法 17 4. 问题：师徒二人检修管道， ___，求师傅与 徒弟每小时各检修多长的管道. 条件： ①该管道长 ； ②师傅每小时比徒弟多检修 ； ③若两人从管道两端同时开始检修，则 后完成任务； ④若师傅先检修，则两人再一起检修 后完成任务； 在上述四个条件中选择三个条件，并完成解答.（写一种即可） 中考考法 18 【解】（答案不唯一，写一种即可） 当选择①②③时， 设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 , 由题意，得 , 解得，所以 . 答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 . 当选择①②④时， 中考考法 19 设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 , 由题意，得 , 解得，所以 . 答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 . 当选择②③④时， 设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 , 由题意，得 , 解得，所以 . 答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 . 中考考法 5. 假设每个人的工作效率相同，9人14天完成了一件工作的 ， 而剩下的工作必须要在4天内完成，则需要增加( ) A A. 12人 B. 11人 C. 10人 D. 8人 【点拨】设需要增加人.根据9人14天完成了一件工作的 ， 可知每人每天完成这件工作的 .根据题意得 ，解得 .故选A. 中考考法 21 6. 已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与 大纸杯的容量比为,甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为 , 若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯120个，则乙桶内的果汁最 多刚好装满大纸杯的个数为( ) B A. 64 B. 100 C. 144 D. 225 中考考法 22 【点拨】设乙桶内的果汁最多刚好装满 个大纸杯，则甲桶 内的果汁最多刚好装满 个大纸杯.由题意得 ，解得 .所以乙桶内的果汁最多装满 100个大纸杯. 中考考法 23 7. 一个蓄水池有两个排水管,和一个注水管,单独开 管3 小时可以排完一池水，单独开 管6小时可以排完一池水，单 独开管5小时可以注满一池水，现在为满池水，若, 两管 先开小时后再开 管，__小时可以排完池中的水. 【点拨】设 小时可以排完池中的水，根据题意得 ，解得 . 中考考法 24 8. 用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒 子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图 两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）.现有38张硬纸板， 裁剪时张用方法，其余用 方法. 中考考法 25 （1）用含 的代数式表示裁剪出的侧面个数为_________， 底面的个数为_________.（要求写出化简后的结果） 中考考法 26 （2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 中考考法 27 【解】由题意，得 , 解得 . （个）. 答：若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做60个盒子. 中考考法 28 eq \f(4x,40) ＋ eq \f(8(x＋2),40) ＝1. $