5.3 实际问题与一元一次方程 课件 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程解决实际问题，涵盖配套、工程、销售利润、比赛积分及分段计费等类型。课堂导入结合螺柱螺母、卖衣服等生活实例，衔接方程解法，搭建从知识到应用的学习支架。 其亮点在于以生活情境为载体，通过表格分析、逻辑推理培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（运算与推理）、数学语言（模型构建）。如配套问题用表格梳理生产人数与产量关系，销售问题推导利润公式，助力学生提升应用意识，教师教学更具结构化与高效性。

5.2 实际问题与一元一次方程 第1课时 配套问题与工程问题 1. 理解配套问题、工程问题的背景. 2. 分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系. (难点) 3. 掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.(重点) 学 习 目 标 前面我们学习了一元一次方程的解法，本节课，我们将讨论一元一次方程的应用. 生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？ 情 境 导 入 例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺柱或2 000个螺母，1个螺柱需要配2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？ 思考1：“1个螺钉需要配2个螺母”这句话包含着什么等量关系？ 思考2：完成表格. 产品类型 生产人数 单人产量 总产量 螺柱 螺母 每天生产的螺母数量是螺柱数量的2倍时，它们刚好配套. x 22－x 1 200 2 000 1200x 2000(22－x) 典 例 精 析 思考3：你能找出其中的等量关系，并列出方程吗？ 思考4：写出完整的解题过程. 解：设应安排x 名工人生产螺柱， 则安排(22－x) 名工人生产螺母.   根据螺母的数量是螺柱的两倍，列出方程           2000 (22－x)＝2×1200x. 解方程，得 x＝10.        22－x＝12. 答：应安排10 人生产螺柱，12 人生产螺母. 螺母数＝螺柱数×2，所以列出方程为2000(22－x)＝2×1200x. 典 例 精 析 ☀归纳 1.分析配套问题时需要注意问题中所涉及的量的比例关系, 比如：1个螺钉需要配2个螺母可表示为螺钉数:螺母数= 1:2; 2.注意通过找到的比例关系列方程； 如：根据螺钉数:螺母数= 1:2 3.可以根据比例式的內项积等于外项积将含比的方程转化为我们熟悉的形式. 新 知 小 结 1.螺蛳粉是柳州的城市新名片．某包装螺蛳粉厂有80名工人生产包装螺蛳粉料包，已知每袋包装螺蛳粉里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工110个汤料包或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？ 解：设安排x人去加工生产汤料包， 则安排(80－x)人生产配料包. 依题意，得4×110x＝200(80－x)， 解得x＝25. 答：安排25名工人去加工汤料包. 针 对 练 习 分析：如果把总工作量设为1，则人均效率(一个人1h完成的工作量) 为 ,x人先做4h完成的工作量为,增加2人后再做8h完成的工作量为，这两个工作量之和应等于总工作量. 例2 整理一批图书，由一个人做要40 h完成.现计划由一部分人先做 4 h,然后增加2人与他们一起做8 h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 典 例 精 析 解：设安排x人先做4 h. 根据先后两个时段的工作量之和应等于总工作量， 列出方程 ＝1 解方程，得 4x8(x2)＝40, 4x8x16＝40， 12x＝24， x＝2. 答：应安排2人先做4 h. 这类问题中常常 把总工作量看作1，并 利用“工作量=人均效率×人数×时间” 的关系考虑问题. 典 例 精 析 2.一个水池有进水管甲和出水管乙，单独开放甲管10分钟可以注满水池，单独开放乙管15分钟可以把满水池的水放尽．一次，由于工作人员的疏忽，在打开甲管后若干分钟才匆忙关闭乙管，又过了相同的时间才注满全池，造成了浪费．问甲管一共注水多少时间？ 解：设甲管一共注水x分钟. 由题意，得－×＝1， 解得x＝15. 答：甲管一共注水15分钟. 针 对 练 习 1.机械厂加工车间有27名工人，平均每人每天加工小齿轮12个或大齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？ 解：设需安排x名工人加工大齿轮， 安排(27－x)名工人加工小齿轮， 依题意，得12×(27－x)×2＝10x×3， 解得x＝12. 则27－x＝15. 答：安排12名工人加工大齿轮， 安排15名工人加工小齿轮. 随 堂 检 测 2.由于洪水渗漏造成堤坝内积水，用三部抽水机抽水，单独用一部抽水机抽尽，第一部需用24小时，第二部需用30小时，第三部需用40小时．现在第一部、第二部共同抽8小时后，第三部也加入，问从开始到结束，一共用了多少小时才把水抽尽？ 解：设从开始到结束共抽水x小时， 由题意，得(＋)x＋(x－8)＝1， 解得x＝12. 答：从开始到结束共抽水12小时. 随 堂 检 测 配套问题 实际 问题 弄清题目中涉及量的比例关系 工程问题 基本关系式： 工作量＝工作效率×工作时间 利用物品之间具有的数量关系列方程 常见的相等关系为： 总工作量＝各部分工作量之和． 通常在没有具体数值的情况下， 把工作总量看作1 课 堂 总 结 5.2 实际问题与一元一次方程 第2课时 销售利润问题 1. 会用一元一次方程解决销售问题.(重点) 2. 让学生经历从定性考虑到定量考虑的过程，提高对数学应用价值的认识.(重点) 3. 适当结合商品经营中的问题，增加学生的经济知识和经营意识.(难点) 学 习 目 标 与销售有关的几个概念： 1．进价：购进商品时的价格(有时也叫成本价)． 2．售价：在销售商品时的售出价(有时也叫成交价，卖出价)． 3．标价：在销售时的标出价(有时称原价，定价)． 4．利润：在销售商品的过程中的纯收入，在教材中规定： 利润＝售价－进价． 5．利润率：利润占进价的百分率，即利润率＝利润÷进价×100%. 6．打折:销售价占标价的百分率(如打八折，即按标价的80%出售)． 复 习 导 入 你估计盈亏情况是怎样的？ A. 盈利 B. 亏损 C. 不盈不亏 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏? ¥60 ¥60 合 作 探 究 1.销售的盈亏取决于什么？ 取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系 总售价(120元) ＞ 总成本 总售价(120元) ＜ 总成本 总售价(120元) ＝ 总成本 盈 利 亏 损 不盈不亏 思 考 2.现在两件衣服的售价为已知条件，要知道卖这两件衣服是盈利还是亏损，还需要知道什么？ 两件衣服的成本(即进价). 设盈利那件衣服的进价x元，它的商品利润是_______元， 列出方程 ， 解得________. 25%x x＋25%x＝60 x＝48 利润=利润率×进价；售价= 进价+利润. 设亏损那件衣服的进价y元，它的商品利润是_______元，列出方程是____________， 解得________. －25%y y－25%y＝60 y＝80 思 考 3.根据两件衣服的进价，能判断具体盈亏吗？ 解：两件衣服进价为 80＋48＝128（元）. 两件衣服售价为 60＋60＝120（元）. 利润=售价－进价＝120－128＝－8（元）. 答：卖这两件衣服共亏损了8元. 思 考 销售问题相关关系式： 利润＝售价－进价， 售价＝标价×， 利润率＝×100%， 售价＝进价×(1＋利润率). 新 知 小 结 例1 某商场因换季准备处理一批服装，若每套服装按标价的六折出售，则每套将亏110 元，而按标价的八折出售，每套将赚 70 元，则每套服装的标价是多少元，进价是多少元？ 解:设每套服装的标价为x 元， 依题意，得 0.6x＋110＝0.8x - 70. 解这个方程，得 0.2x＝180，        x＝900. 0.6x＋110＝650 (元). 答：每套服装的标价是900元，进价是650元. ☀归纳 在标价的基础上打折时，打几折，售价等于标价乘十分之几. 典 例 精 析 例2  某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80 元的价格购进了某品牌衬衫500 件，并以每件120 元的价格销售了400 件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售. 请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45% 的预期目标？ 解:设每件衬衫降价x 元， 根据题意，得 120×400＋(500－400)×(120－x)＝500×80×(1＋45%). 解得x＝20. 答:每件衬衫降价20元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标． 典 例 精 析 1.某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打   折． 2．一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的八折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价． 解：设这种服装每件的标价是x元， 根据题意，得10×0.8x＝11(x－30)， 解得x＝110， 答：这种服装每件的标价为110元． 八 随 堂 检 测 常出现的量 销售利润问题 进价、售价、标价、利润、利润率 关系式 利润率＝×100%＝×100% 利润＝售价－进价， 利润＝进价×利润率； 售价＝标价×折扣率 售价＝进价＋利润 售价＝进价×(1＋利润率)． 课 堂 总 结 5.2 实际问题与一元一次方程 第3课时 比赛积分问题 1.通过对实际问题的探究，认识到生活中数据信息传递形式的多样性. 2.会阅读、理解表格，并从表格中提取关键信息.(重点、难点) 3.掌握解决“比赛积分表问题”的一般思路，并会根据方程的解的情况对实际问题作出判断.(重点、难点) 学 习 目 标 你喜欢看篮球比赛吗？你对篮球比赛中的积分规则有了解吗？ 情 境 导 入 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 某次篮球联赛积分榜如表所示： 讲 授 新 课 问题1 胜一场和负一场各积多少分? 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 ·由最后一行可以得到： ① 钢铁队胜场总积分＝0； ② 钢铁队负场总积分＝14＝14×1； ③ 负一场积分＝1. ·由第一行可以得到： ① 前进队负场总积分＝1×4＝4； ② 钢铁队胜场总积分＝20＝2×10； ③ 胜一场积分＝2. 合 作 探 究 问题2 怎样用式子表示总积分与胜场数之间的关系？ 解：若一个队胜m场，则负(14－m)场， 胜场积分为2m，负场积分为14－m， 总积分为2m＋(14－m)＝m＋14. 即胜 m 场的总积分为 (m＋14) 分. 合 作 探 究 问题3 某队胜场总积分能等于它负场总积分吗？ 解：设一个队胜y场，则负(14－y)场， 依题意得 2y＝14－y. 解得 y＝. y表示所胜的场数，必须是整数， 所以y＝不符合实际. 由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分. y表示什么量？ 它可以是分数 吗？ ☀注意 解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际. 合 作 探 究 例  12月4日为全国法制宣传日，当天某初中组织4 名学生参加法制知识竞赛，共设20 道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了其中2 名参赛学生的得分情况.   参赛者 答对题数 答错题数 得分/分 A 20 0 100 B 17 3 79 (1)参赛学生C 得72分，他答对了几道题？答错了几道题？ (2)参赛学生D 说他可以得88 分，你认为可能吗？为什么？ 典 例 精 析 解:(1)设参赛学生C 答对了x道题，答错了(20－x)道题， 由题意，得5x－2(20－x)＝72， 解得x＝16. 则20－x＝20－16＝4. 答：他答对了16道题，答错了4道题． (2)不可能． 假设他得88分，设答对了y道题，答错了(20－y)道题， 由题意，得5y－2(20－y)＝88， 解得y＝ 因为y为整数，所以参赛学生D说他可以得88分是不可能的． 典 例 精 析 1.中超联赛中，甲足球队在联赛30场比赛中除输给乙足球队外，其他场次全部保持不败，取得了67个积分的骄人成绩，已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，设甲足球队一共胜了x场，则可列方程为( ) A.3x＋(29－x)＝67   B．x＋3(29－x)＝67 C.3x＋(30－x)＝67   D．x＋3(30－x)＝67 2.一张数学试卷有20道选择题，规定答对一道得5分，不做或做错一道扣1分，结果某学生得了76分，则他做对的题数为 道. 16 A 随 堂 检 测 3.爷爷与孙子下12盘棋(未出现和棋)后，得分相同，爷爷赢一盘记1分，孙子赢一盘记3分，两人各赢了多少盘？ 解：设爷爷一共赢了x盘，则孙子赢了(12－x)盘． 由题意，得 x＝(12－x)×3. 解得x＝9.则12－9＝3(盘). 答：爷爷赢了9盘，孙子赢了3盘. 随 堂 检 测 解决有关表格的问题时，首先要根据表格中给出的相关信息，找出数量间的关系，然后再运用数学知识解决问题. 比赛积分问题 用方程解决实际问题时，要注意检验方程的解是否正确，还要检验是否符合问题的实际意义． 课 堂 总 结 5.2 实际问题与一元一次方程 第4课时 分段计费与方案决策问题 1. 体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用，能够根据已知条件选择分类关键点对“电话计费问题”进行整体分析，从而得出整体选择方案.(重点、难点) 2. 进一步深化对数学建模方法的体验，增强应用方程模型解决问题的意识和能力.(重点) 学 习 目 标 不同能效空调的综合费用比较 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，如表所示，是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/(kW·h),请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 讲 授 新 课 分析：在这个问题中，综合费用＝空调的售价＋电费. 选定一种空调后，售价是确定的，电费则与使用的时间有关. 设空调的使用年数是t,则 1级能效空调的综合费用是 3000＋0.5×640t, 即  3000＋320t. 3级能效空调的综合费用是 2600＋0.5×800t, 即  2600＋400t. 合 作 探 究 问题 当t取什么值时，两款空调的综合费用相等？ 列方程 3000＋320t＝2600＋400t, 解得 t＝15. 合 作 探 究 为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600＋400变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即(3000＋320t)＋(80t－400), 也就是     3 000＋320t＋80(t－5). 这样，当t<5时，80(t－5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低； 当t>5时，t－5是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低. 合 作 探 究 由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于此较省电；使用年份长(超过5年)时综合费用反而低.根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年(从生产日期计起),因此购买、使用1级能效空调更划算. 合 作 探 究 例 近几年我国部分地区不时出现的严重干旱，使我们认识到节水的重要性. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对自来水收费采用阶梯价格的调控手段以达到节水的目的. 该市自来水收费价格见价目表(水费按月结算). (1)若某户居民2 月份用水10.5 m3， 应交水费多少元？ (2)若该户居民3，4月份共用水16m3 (4月份用水量超过3月份)，共交水 费44元，则该户居民3，4月份各用 水多少立方米？(结果精确到0.1m3) 价目表 每月用水量 价格 不超出6m³的部分 2元/m³ 超出6m³但不超出10m³的部分 4元/m³ 超出10m³的部分 8元/m³ 典 例 精 析 解：(1)由题意，得 2×6＋4×(10－6)＋8×(10.5－10)＝32(元). 所以应交水费32 元. (2)设3 月份用水x m3，则4 月份用水(16－x)m3. ①当x ≤ 6 时，16－x ≥ 10， 依题意，得2x＋2×6＋4×4＋8(16－x－10)＝44. 整理，得6x＝32，所以x≈5.3， 此时16－x≈10.7，符合题意. 典 例 精 析 ②当6 ＜ x ≤ 10 时，6 ≤ 16－x ＜10， 依题意，得 2×6＋4×(x－6)＋2×6＋4(16－x－6)＝44. 整理，得40＝44，故此方程无解. 所以6＜x≤10不可能成立. ③因为4 月份用水量超过3 月份， 所以x 不可能超过10. 综上所述，3 月份用水约5.3 m3，4 月份用水约10.7 m3. 典 例 精 析 1.一家三口每月用水不超过6吨，每吨水按3.7元收费，如超过规定的用水量，每吨水按7元收费，王红一家三口八月交了36.2元水费，则他们家超过规定用水量( ) A．9.8吨   B．5吨   C．2吨   D．3吨 2．某市居民生活用电基本价格为0.4元，若每月用电量超过a度，超出部分按基本价格的70%收费．某户5月份用电84度，共交电费30.24元，则a的值是( ) A．60   B．56   C．65   D．50 C B 随 堂 检 测 3.某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，票价每张为20元，售票员说，30人以上的团体票有两个优惠方案可选择： 方案一：全体人员可打八折； 方案二：若打九折，则有5人可以免票． (1)若1班有40名学生，则选择方案一需付 元，选择方案二需付 元； (2)若2班选择方案二需付810元，则2班有 名学生； 640 630 50 随 堂 检 测 3.某校七年级准备组织观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，票价每张为20元，售票员说，30人以上的团体票有两个优惠方案可选择： 方案一：全体人员可打八折； 方案二：若打九折，则有5人可以免票． (3)3班班长思考了一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，请问3班有多少人？ 解：设3班有x人，由题意，得 0．8×20x＝0.9×20(x－5)，解得x＝45. 答：3班有45人． 随 堂 检 测 表格的问题 分段计费与决策问题 首先要根据表格中给出的相关信息，找出数量间的关系，然后再运用数学知识解决问题. 根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案. 分段计费问题 注意的问题 注意检验方程的解是否正确，且符合问题的实际意义． 课 堂 总 结 $