专题16 全等三角形相关的选择填空分类训练 2026年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

专题16 全等三角形相关的选择填空高频考题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 全等三角形相关线段求解】 1 【类型2 全等三角形相关角度求解】 2 【类型3 全等三角形的对数】 3 【类型4 全等三角形相关面积求解】 4 【类型5 判定全等的依据】 6 【类型6 添加条件判定全等】 7 【类型7 角平分线的性质】 8 【类型8 角平分线的判定】 9 【类型9 全等三角形的实际应用】 10 【类型10 尺规作图——作角等于已知角】 12 【类型11 尺规作图——作三角形】 14 【类型12 全等三角形相关动点问题】 15 【类型1 全等三角形相关线段求解】 1．如图，已知，，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图，，若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 3．如图，，点、、、在同一直线上，与相交于点，，，则的长度是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，已知，D，A，E，B四点在一条直线上，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 5．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【类型2 全等三角形相关角度求解】 6．如图所示的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 8．如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 【类型3 全等三角形的对数】 11．如图，，，请问图中全等的三角形有几对？（   ） A．3 B．5 C．4 D．6 12．如图，于点D，，E在AD上，则图中全等的三角形共有几对（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 13．如图所示，在平行四边形中，与相交于点O，过点O作直线m交线段于点E，交线段于点F．则图中共有几对全等三角形（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 15．如图，中，，于点，点是上一点，图中全等三角形对数有（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【类型4 全等三角形相关面积求解】 16．如图，中，垂直的平分线于P．若的面积为， 且的面积是的面积的 2 倍．则的面积_______． 17．如图，在中，为的中点，平分与交于点，若的面积比的面积大，则的面积是_____． 18．如图，在中，平分，于点P，若的面积是14，的面积是5，则的面积是________． 19．如图，是Rt的角平分线，，则的面积与的面积之比是___________． 20．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积________． 【类型5 判定全等的依据】 21．数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（    ）    A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 22．在综合实践课上，小华先画了一个，然后利用尺规作出了，且．如图是他的作图过程，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 23．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，在作图过程中说明的依据是．证明的依据是（   ）       A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 24．康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当众完全打开后，测得分别是的中点，，那么的依据是（    ）    A． B． C． D． 25．工人师傅常借助“角尺这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在的两边、上分别取，适当摆放角尺图中的，使其两边分别经过点、，且点、处的刻度相同，这时经过角尺顶点的射线就是的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是(    )    A． B． C． D． 【类型6 添加条件判定全等】 26．如图，四边形中，于，于，要使，应补充的条件是____________（填一个即可）． 27．如图，已知，，在不增加字母和辅助线的情况下，要使，需添加一个条件是________． 28．如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 29．如图，在和中，已知，请再添加一个条件______，使． 30．如图，已知，．要使，还需增加一个条件可以是________．    【类型7 角平分线的性质】 31．如图，在中，是的角平分线，，若，，则的长度为（    ） A．3 B．2 C．6 D．12 32．如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 33．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 34．如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为，，则线段的长不可能是（     ）． A． B． C． D． 35．在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【类型8 角平分线的判定】 36．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 37．如图，外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请你求出（　　） A． B． C． D． 38．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 39．如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 40．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【类型9 全等三角形的实际应用】 41．如图，小明与小颖玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，小明和小颖分别坐在距离支点相等的位置玩跷跷板，当小颖从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 42．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 43．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 44．数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 45．如图所示，小美站在河边的点A处，在河的对面（小美的正北方向）的B处有一电线塔，她想知道电线塔离她有多远，于是向正西方向走了40步到达一棵树C处，接着再向前走了40步到达D处，然后她左转90°直行，当看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，一共走了160步．如果小美一步大约，估计小美在点A处时与电线塔的距离为（   ） A． B． C． D． 【类型10 尺规作图——作角等于已知角】 46．如图是“过直线外一点作的平行线”的尺规作图，根据该作图方法，可以证明，证明过程中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 47．如图，用尺规作射线，关于弧的作法描述正确的是（     ） A．以点为圆心，线段的长为半径 B．以点为圆心，线段的长为半径 C．以点为圆心，线段的长为半径 D．以点为圆心，线段的长为半径 48．如图，为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；④连接并延长，交于点．若，则的度数为(     ) A． B． C． D． 49．如图，直线a，b相交于点A，B为直线b上一点．按下列步骤画图：①分别以点A，B为圆心，相同的长为半径画弧，两弧分别交直线a，b于点C，D，E；②以点E为圆心，的长为半径画弧交前弧于点F；③作射线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 50．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法．下述方法通过判定得到，其中判定的依据是（     ） （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【类型11 尺规作图——作三角形】 51．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 52．如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 53．如图所示，已知一条直线和直线外一点，仅用圆规和无刻度直尺完成其中两条直线的某种位置关系的作图，作图结果为图所示．①以点为圆心画弧线；②以点为圆心画弧线；③以点为圆心画弧线．请从下面选项中选择正确的用圆规画弧线的顺序（   ） A．②①③ B．①③② C．②③① D．①②③ 54．如图①，已知，小聪想作一个，使得，其作图步骤如图②所示，下列说法错误的是 （　　） A．第一步作图：在直线l上取一点E，以点E为圆心，长为半径作弧，与直线l交于点F B．小聪作图判定的依据是 C．第二步作图是过点E作直线l的垂线 D．小聪作图判定的依据是 55．课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【类型12 全等三角形相关动点问题】 56．如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿返回点A，设点P的运动时间为t秒． （1）若，则t的值为_______秒； （2）当t的值为________秒时，与全等． 57．如图，在中，，，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为_______厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 58．如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为________． 59．如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，当________时，与全等． 60．如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当________________秒时，与全等． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 全等三角形相关的选择填空高频考题分类训练 （12种类型60道） 专题目录 【类型1 全等三角形相关线段求解】 1 【类型2 全等三角形相关角度求解】 4 【类型3 全等三角形的对数】 6 【类型4 全等三角形相关面积求解】 11 【类型5 判定全等的依据】 16 【类型6 添加条件判定全等】 19 【类型7 角平分线的性质】 23 【类型8 角平分线的判定】 26 【类型9 全等三角形的实际应用】 30 【类型10 尺规作图——作角等于已知角】 35 【类型11 尺规作图——作三角形】 38 【类型12 全等三角形相关动点问题】 41 【类型1 全等三角形相关线段求解】 1．如图，已知，，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】因为已知，根据全等三角形的性质，对应边相等，所以首先确定与所求线段相关的对应边关系．观察图形可知点E在上，所以，因此需要先求出的长度。根据全等三角形对应边相等的性质，找到的对应边，代入数值计算即可得到的长度． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴ 2．如图，，若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，即，再结合图形中线段的和差关系即可求解． 【详解】解：， ， ，， ． 3．如图，，点、、、在同一直线上，与相交于点，，，则的长度是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 4．如图，已知，D，A，E，B四点在一条直线上，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】因为，所以根据全等三角形对应边相等的性质，可得．进而得到．由，即可得到的长度． 【详解】∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵四点共线，，， ∴． 5．如图，，点为延长线上一点，连接，若的周长为12，，则线段的长为（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形周长公式求出的值，最后利用线段的和差关系求出的长 【详解】解： 的周长为， 点为延长线上一点 ． 【类型2 全等三角形相关角度求解】 6．如图所示的两个三角形全等，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形中边的标记确定全等三角形的对应关系，找出，利用三角形内角和定理计算即可求解． 【详解】解：，且，，，， ， ，， ， ． 7．如图，已知，若，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先令与交于点，根据三角形内角和性质结合题意求出的值，再根据全等的性质，求出的值，最后根据是的外角，得，即可求解． 【详解】如图，与交于点， ∵的内角和为，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴． 8．如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全等三角形的性质，得到，再根据三角形的外角的性质得出． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴． 9．如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 10．如图，已知（点的对应点分别是点），点在边上，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应角相等求出的度数，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 【类型3 全等三角形的对数】 11．如图，，，请问图中全等的三角形有几对？（   ） A．3 B．5 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的全等三角形的判定方法有：，，，，，做题时需根据题意灵活运用． 根据题干所给条件分析推理即可． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 综上所述，全等的三角形有4对， 故选：C． 12．如图，于点D，，E在AD上，则图中全等的三角形共有几对（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【详解】解：， 又， ， 又． 故图中全等的三角形共有3对． 故选B． 【点睛】本题考查学生观察，猜想全等三角形的能力，同时，也要求会运用全等三角形的几种判断方法进行判断． 13．如图所示，在平行四边形中，与相交于点O，过点O作直线m交线段于点E，交线段于点F．则图中共有几对全等三角形（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用平行四边形的性质和全等三角形的判定可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，，，，， ， 在和中， ， ， 同理可得， 在和中， ， ， 同理可得，，， 共有6对全等三角形， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质． 14．如图，在中，线段，都是的角平分线，连接，则图中的全等三角形的对数是（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，根据已知条件得到，利用全等三角形的判定即可． 【详解】令和的交点为． 都是的角平分线 是和的公共角 故选：B． 15．如图，中，，于点，点是上一点，图中全等三角形对数有（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据，，可知中线是边上的高，即为边上的中垂线，再根据中垂线的性质及全等三角形的判定定理进行判定． 【详解】解：，， 垂直平分线段， 根据垂直平分线的性质可得， ，，，（）． 图中全等三角形有对． 故选择：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，用“”判定三角形全等的方法．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找． 【类型4 全等三角形相关面积求解】 16．如图，中，垂直的平分线于P．若的面积为， 且的面积是的面积的 2 倍．则的面积_______． 【答案】4 【分析】延长交于E，证明，得出，，根据三角形面积公式，求出结果即可． 【详解】解：延长交于E， ∵垂直的平分线于P， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∴和等底等高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，在中，为的中点，平分与交于点，若的面积比的面积大，则的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了解平分线的性质、三角形的面积公式．首根据平分，可知点到的距离和点到的距离相等，所以可得，设，，则，根据点为的中点，可知，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，把和的面积用含的代数式表示出来，再根据和的面积差为，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值，即可得到的面积． 【详解】解：平分， 点到的距离和点到的距离相等， ， 设，， 则， 点为的中点， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ，， ， 若的面积比的面积大， ， 解得：， ． 故答案为： ． 18．如图，在中，平分，于点P，若的面积是14，的面积是5，则的面积是________． 【答案】2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中线平分面积，构造全等三角形是解题的关键． 延长交于点，证得，根据中线平分面积求解即可． 【详解】解：延长交于点，如图所示， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 19．如图，是Rt的角平分线，，则的面积与的面积之比是___________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 过点D作于点E，由角平分线的性质定理得到，再根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：过点D作于点E， 是的角平分线，， ， ， 故答案为：． 20．如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积________． 【答案】4 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，根据角平分线性质定理得，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，再通过证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ，，分别为的角平分线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， 为的角平分线，，， ， ， 的面积， 故答案为：4． 【类型5 判定全等的依据】 21．数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（    ）    A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件即可求解． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴判定和全等的方法是是， 故选：C． 22．在综合实践课上，小华先画了一个，然后利用尺规作出了，且．如图是他的作图过程，则可判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据作图过程，判断三角形全等的依据，由作图过程可知，，，即可解答． 【详解】解：根据作图过程可知，，，可知判定的依据是， 故选B． 23．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，在作图过程中说明的依据是．证明的依据是（   ）       A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，理解尺规作图的基本原理是解题的关键．由作图可知，的半径相等，，据此求解即可． 【详解】解：由作图可知：，， 在和中 ， ， 故选：B． 24．康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当众完全打开后，测得分别是的中点，，那么的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由E，F分别是，的中点，，得出；根据三边对应相等，证明三角形全等． 【详解】解：∵E，F分别是的中点，， ∴， 在与中， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 25．工人师傅常借助“角尺这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在的两边、上分别取，适当摆放角尺图中的，使其两边分别经过点、，且点、处的刻度相同，这时经过角尺顶点的射线就是的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得出，即可证明，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【类型6 添加条件判定全等】 26．如图，四边形中，于，于，要使，应补充的条件是____________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知条件得到，再根据全等三角形的判定添加合适的条件即可． 【详解】解：∵于，于， ∴， ∴都是直角三角形， 当时， 又∵， ∴， 故要使，应补充的条件是（答案不唯一）． 27．如图，已知，，在不增加字母和辅助线的情况下，要使，需添加一个条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴，即， 在已有一边和一角相等的基础上，添加，满足的判定定理； 添加，满足的判定定理； 添加，满足的判定定理； 以上条件均可证明． 28．如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知，是和的公共边，即．结合全等三角形判定定理、，补充一组对应边相等或两边的夹角相等，即可证明． 【详解】解：由题意可知： 是两个三角形公共边， ， 又已知， 添加条件： 在和中： ， ； 添加条件： 在和中： ， ， 综上，可填：（答案不唯一）． 29．如图，在和中，已知，请再添加一个条件______，使． 【答案】（或或） 【分析】根据三角形全等的判定方法有，，和四种，本题中已知的条件是一组边和一组公共角，则可添加一个角或一条边就可以得到三角形全等． 【详解】解：①添加， 在和中， ∴； ②添加， 在和中， ∴； ③添加， 在和中， ∴． 30．如图，已知，．要使，还需增加一个条件可以是________．    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据垂直的定义可得，结合公共边，利用直角三角形全等的判定定理或添加条件即可． 【详解】解：这个条件可以是， ，， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【类型7 角平分线的性质】 31．如图，在中，是的角平分线，，若，，则的长度为（    ） A．3 B．2 C．6 D．12 【答案】A 【分析】过点作于点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，再利用三角形面积公式即可求出的长． 【详解】解：过点作于点， 是的角平分线，，， ， ， ， ， ， ． 32．如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出，从而求出的长． 【详解】解：∵是的角平分线， 且，， ∴， ∵， ∴． 33．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 【答案】C 【分析】如图：过D作于F，利用角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积关系以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过D作于F， ∵是的角平分线，，垂足为， ∴， ∴的面积为． 34．如图，是的平分线，点是上一点，点为直线上的一个动点．若的面积为，，则线段的长不可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，利用三角形的面积公式求出的长，根据垂线段最短得到时，最短，此时，进行判断即可． 【详解】解：过点作， 则：， ， 点为直线上的一个动点， 当时，最短， 是的平分线， 当时，， 线段的长不可能是4． 35．在中，，是上一点，平分．若，，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图， 则有的长为点到的距离， ∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∴点到的距离是 ． 【类型8 角平分线的判定】 36．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 【详解】解：于点，于点，且， 平分， ， ． 37．如图，外角的平分线与内角的平分线交于点P，若，请你求出（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】添加辅助线，作，，，根据角平分线的性质以及三角形外角的性质求解的度数，再结合角平分线的性质可得，可得平分，由此求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点H，交的延长线于点F，作于点E，如图， ∵外角的平分线与内角的平分线交于点P， ∴，， ∵在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， ∵， ∴． 38．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质与判定．过点作、、所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而判定平分，建立与的数量关系即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，交于点，交的延长线于点． 平分，，， ． 平分，，（、、共线）， ． ． ，， 平分． ． 只要求出的度数，只需知道的度数．故选C． 39．如图，的三边，，的长分别是，，，是内一点，且，则等于（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点O作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F，根据得到，求出，，，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作于点D，过点O作于点E，过点O作于点F， ∵的三边，，的长分别是，，，且， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴． 故选：B． 40．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质，由角平分线的性质得到是的外角的平分线是解题的关键． 由角平分线的性质可得点D到直线，的距离相等，即是的外角的平分线，进而列式得到，则，故． 【详解】解∵的平分线与的外角的平分线相交于点D， ∴点D到直线，的距离相等，点D到直线，的距离相等， ∴点D到直线，的距离相等， ∴是的外角的平分线， ∵ ， ， ． 故选：D． 【类型9 全等三角形的实际应用】 41．如图，小明与小颖玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，小明和小颖分别坐在距离支点相等的位置玩跷跷板，当小颖从水平位置下降时，这时小明离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意构建全等三角形模型，利用全等三角形对应边相等得出小明上升的高度等于小颖下降的高度是解题的关键． 【详解】解：设水平位置为，小明所在位置为，小颖所在位置为， 是跷跷板的中点， ， 在和中， ， ， ， 小颖从水平位置下降，即， ， 小明离地面的高度=支点至地面的距离． 42．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，根据全等三角形的性质可得，再求出的长，然后根据求解即可得． 【详解】解：由题意可知，， ，与底面垂直，B处距地面高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是． 43．如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 44．数学兴趣小组同学就“测量如图所示的河两岸A，B两点间的距离”这一问题，设计了如下方案．测量步骤：①在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在一条直线上，且；②测得， ；③在的延长线上取点E，使得 ；④测得的长度为．则A，B两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等三角形的判定和性质并结合三角形内角和定理可得，可证明，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中， ∵ ，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ， ∵ 的长度为， ∴， 即A、B两点间的距离为． 45．如图所示，小美站在河边的点A处，在河的对面（小美的正北方向）的B处有一电线塔，她想知道电线塔离她有多远，于是向正西方向走了40步到达一棵树C处，接着再向前走了40步到达D处，然后她左转90°直行，当看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，一共走了160步．如果小美一步大约，估计小美在点A处时与电线塔的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据题意求出的步数并转化为长度，利用证明，根据全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】解：由题意可得，步， 的步数为步， 一步大约， ， 在与中， ， ， ， 即小美在点处时与电线塔的距离为． 【类型10 尺规作图——作角等于已知角】 46．如图是“过直线外一点作的平行线”的尺规作图，根据该作图方法，可以证明，证明过程中判定的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由尺规作图可知， ,且． 在和中 ． ， ∴． 47．如图，用尺规作射线，关于弧的作法描述正确的是（     ） A．以点为圆心，线段的长为半径 B．以点为圆心，线段的长为半径 C．以点为圆心，线段的长为半径 D．以点为圆心，线段的长为半径 【答案】A 【分析】要作 ，实质是作 （同位角相等），根据作图步骤确定弧 的圆心和半径即可． 【详解】解：根据尺规作图“作一个角等于已知角”的步骤： 第一步：以点 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 于点 ； 第二步：以点 为圆心，以 （或 ）长为半径画弧，交 于点 ； 第三步：以点 为圆心，以线段 的长为半径画弧，交前一条弧于点 （图中弧 即为这一步所画的弧）； 第四步：过点 作射线 ，则 ； 关于弧 的作法描述正确的是：以点 为圆心，线段 的长为半径． 48．如图，为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；②以点为圆心，为半径作弧，交于点；③以点为圆心，为半径作弧，交上一步作的弧于点；④连接并延长，交于点．若，则的度数为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图，再由三角形外角的性质得到，即可求解． 【详解】解：由作图可得， ∵， ∴． 49．如图，直线a，b相交于点A，B为直线b上一点．按下列步骤画图：①分别以点A，B为圆心，相同的长为半径画弧，两弧分别交直线a，b于点C，D，E；②以点E为圆心，的长为半径画弧交前弧于点F；③作射线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由作图可知， ． 50．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法．下述方法通过判定得到，其中判定的依据是（     ） （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【详解】解：由作图可知，在和中， ， ， ∴． 【类型11 尺规作图——作三角形】 51．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a，c，． 求作：，使，，． 下面是作图示范： 正确作图顺序为（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图的顺序，根据已知的三角形的两边及其夹角，按照尺规作图的步骤来确定正确的作图顺序． 【详解】解：首先确定三角形的一条边，作线段，对应图①； 作一个角等于已知角α，以B点为顶点，作，对应图③； 在射线上截取线段，在已作的角的射线上，截取，对应图②； 连接，得到，对应图④， ∴正确作图顺序为：①③②④． 故选：B． 52．如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 根据题中的图形，可以得到 ，，，再根据全等三角形的判定方法，求解即可． 【详解】解：由作图可知， ，，， 则这个作图的依据是：两角及夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选C． 53．如图所示，已知一条直线和直线外一点，仅用圆规和无刻度直尺完成其中两条直线的某种位置关系的作图，作图结果为图所示．①以点为圆心画弧线；②以点为圆心画弧线；③以点为圆心画弧线．请从下面选项中选择正确的用圆规画弧线的顺序（   ） A．②①③ B．①③② C．②③① D．①②③ 【答案】A 【分析】根据过直线外一点作已知直线的平行线的尺规作图方法，即可得解． 【详解】解：依图得，该作图过程是过直线外一点作直线的平行线， 则根据过直线外一点作直线的平行线尺规作图方法可知： 第一步，过点作任意一条直线交于点， 第二步，以点为圆心，任意长度为半径画弧，与直线和分别相交于点、，即， 第三步，以点为圆心，长度为半径画弧，与直线相交于点，即， 第四步，以点为圆心，长度为半径画弧，两弧相交于点，即， 第五步，连接， 此时和中， ， ， ， ， 综上，正确的用圆规画弧线的顺序为②①③． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、平行线的判定、尺规作图之过直线外一点作直线的平行线，解题关键是熟练掌握过直线外一点作直线的平行线的尺规作图法． 54．如图①，已知，小聪想作一个，使得，其作图步骤如图②所示，下列说法错误的是 （　　） A．第一步作图：在直线l上取一点E，以点E为圆心，长为半径作弧，与直线l交于点F B．小聪作图判定的依据是 C．第二步作图是过点E作直线l的垂线 D．小聪作图判定的依据是 【答案】B 【分析】本题考查了基本尺规作图，全等三角形的判定．第一步作，第二步作，第三步作，判定的依据是，据此求解即可． 【详解】解：A、第一步作图是作，选项的作图步骤正确，故选项正确，不符合题意； B、根据作图可以发现，，，证明依据是，选项错误，符合题意； C、第二步作图是过点E作直线l的垂线，选项正确，不符合题意； D、小聪作图判定的依据是，选项正确，不符合题意； 故选：B． 55．课本第109页有一道习题：“先画一个，然后选择中适当的边和角，用尺规作出与全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“”的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图-复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）． 故选：B． 【类型12 全等三角形相关动点问题】 56．如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿返回点A，设点P的运动时间为t秒． （1）若，则t的值为_______秒； （2）当t的值为________秒时，与全等． 【答案】 7 或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，注意进行分类讨论，是解题的关键． （1）根据长方形的性质得出，，根据得出，，说明此时点P在点C处，即可得出点P移动的距离为，最后求出结果即可； （2）分两种情况：当点P在上时，若；当点P在上时，若，结合全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：（1）∵四边形为长方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴此时点P在点C处， ∴此时点P移动的距离为， ∴； 故答案为：7； （2）在长方形中，，， ∴， 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 综上所述，当t的值为或秒时，和全等． 故答案为：或． 57．如图，在中，，，点D为的中点，点P在线段上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为_______厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】4或6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定的应用；熟练掌握全等三角形的判定和性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．首先求出的长，要使△与△全等，必须或，得出方程或，求出方程的解解答即可． 【详解】解：设经过秒后，使△与△全等， ，，点为的中点， 厘米， ， ， 要使△与△全等，必须或， 即或， 解得：或， 时，，故点的速度为：； 时，，故点的速度为：； 即点的运动速度是4或6， 故答案为：4或6． 58．如图，在中，，，，在中，，，，．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则v的值为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出图形，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，，， ∴， 假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述，点的运动速度为：或或， 故答案为：或或． 59．如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，当________时，与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质是关键．根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ， ， ， 当时，， 即 解得， 当时，， 即， 解得， 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：或． 60．如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当________________秒时，与全等． 【答案】2或或12 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的数学思想以及全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，分点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，，， ∵，， ，， 当，则， ，解得：． ③如图3，当Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ，， ， ∴， 当，则，即，解得：． 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 故答案为：2或或12． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $