精品解析：重庆市九龙坡区2024-2025学年下学期八年级期末数学试题

2024－2025学年教育质量全面监测－（中学） 八年级（下）数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案请书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前请认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由于若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，由此即可求解． 【详解】解：的倒数是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了倒数定义，比较简单． 2. 下列各组数不能构成直角三角形边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴，，能作为直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴5，12，13能作为直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴6，8，12不能作为直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴9，40，41作为直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 关于一次函数的描述，以下说法正确的是（ ） A. 函数图像过第一象限 B. 函数图像是呈下降趋势的直线 C. 函数图像过第二象限 D. 函数图像交轴于正半轴 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数性质，根据一次函数图像的性质，分析各选项的正误即可． 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴函数图像是呈上升趋势的直线， ∵， ∴函数图像交轴于负半轴，故A正确，B、C、D错误． 故选：A． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据相关运算法则，逐一进行判断即可. 【详解】解：A. ，，错误. B. ，，错误. C. ，，错误. D. ，正确. 故选D. 5. 如图，矩形的对角线、相交于点，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质，推出为等边三角形，进而得到，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选A． 6. 学校开展运动会，某班甲、乙、丙、丁四名同学报名参加掷飞镖项目，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如表所示：根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校比赛，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 9.5 9.5 8.2 8.5 0.09 0.65 0.16 2.85 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用平均数和方差做决策，根据平均数和方差的统计意义，平均数越大表示成绩越好，方差越小表示发挥越稳定.因此需先比较平均数选出成绩好的同学，再比较方差确定发挥最稳定的即可. 【详解】由表格数据可知，甲和乙的平均数均为9.5环，是四人中最高的，说明两人成绩最好. 接着比较方差：甲的方差为0.09，乙的方差为0.65. 方差越小，成绩越稳定， 因此甲比乙更稳定. 综上，应选择成绩好且稳定的甲， 故选A. 7. 估计的值应在（ ） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的减法，无理数的估算，先将各根式化简，合并同类项后得到结果，再估算其范围，即可作答． 【详解】解：依题意，，， 原式化简为， ∵， ∴， ∴估计的值应在3与4之间， 故选：B． 8. 如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则下列说法不正确的是（ ） A. 关于，的方程组的解是 B. 不等式的解集是 C. 方程的解是 D. 方程的解是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与一次方程以及二元一次方程组的关系以及与不等式的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．依据一次函数图象的性质逐项进行分析判断即可． 【详解】解：一次函数与一次函数的图像交于点， 关于，的方程组的解是，故A选项正确； 等式的解集是，故B选项正确； 将分别代入一次函数与一次函数， 可得和，解得和， 方程即的解是，故C选项正确； 方程即解是，故D选项错误； 故选：D． 9. 如图，在菱形中，，平分交于点，过点作交于点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质，结合等边对等角，得到，含30度角的直角三角形的性质得到，证明，得到，含30度角的直角三角形的性质求出的长，进而求出的长，进而求出的长，利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵在菱形中， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿轴正半轴滚动变换，①在滚动变换过程中，只改变边长，形状不变，点对应点，得到等腰直角三角形②，称①②为第一次滚动变换；第二次滚动变换后点对应点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动变换后点对应点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动变换后点对应点，得到等腰直角三角形⑤；……依此规律，则第2025个等腰直角三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质和面积，根据确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①的面积，根据确定第2个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②的面积，，同理，确定规律可得结论，确定各个等腰直角三角形的边长是本题的关键． 【详解】解：点， 第1个等腰直角三角形的面积， ， 第2个等腰直角三角形的腰长为， 第2个等腰直角三角形的面积， ， 第3个等腰直角三角形的腰长为， 第3个等腰直角三角形的面积， 则第2025个等腰直角三角形的面积是； 故选：B． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请将正确答案填在答题卡对应横线上． 11. 直线与轴的交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与坐标轴的交点坐标． 直接计算当时的值即可． 【详解】解：当时，， 即直线与轴的交点坐标是． 故答案为：． 12. 要使在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 13. 数学不仅训练人们的思维，也广泛应用于生活．八年级各班制作了关于数学与科技的短视频，需要选作优秀作品在校园电视上播放．某班投送的候选作品《数学与科技》在“视听吸引”、“启发思考”、“社会责任”三方面的具体评比成绩（百分制：分）如表所示： 视频作品 视听吸引 启发思考 社会责任 《数学与科技》 90 80 90 如果按照“视听吸引”占，“启发思考”占，“社会责任”占计算总成绩，那么该《数学与科技》作品得分是______分． 【答案】87 【解析】 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算公式，进行计算即可． 【详解】解：（分）； 故答案为：87． 14. 在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的有______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式． 分别化简各二次根式，再判断即可． 【详解】解：，与不是同类二次根式； ，与是同类二次根式； ，与是同类二次根式； ，与不是同类二次根式； ∴与是同类二次根式的有，． 故答案为：，． 15. 如图，矩形的边在轴上，且过原点，连接．将沿翻折，点的对应点恰好落在边上．若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理． 先根据勾股定理求出，由折叠得到，，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点的对应点恰好落在边上， ∴， ∴， 设，则 即， 解得， ∴点的坐标为 故答案为：． 16. 各个数位上数字都不为0且互不相同的四位正整数，记为（，，，，且，，，为整数）．若的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，那么称数为“间等和数”．对于一个“间等和数”，将它的千位数字和十位数字构成的两位数记为，百位数字和个位数字构成的两位数记为，千位数字和个位数字构成的两位数记为，百位数字和十数字构成的两位数记为．规定：，，．最小的“间等和数”是______．若正整数，都是“间等和数”，其中，（，，，，，，，都是整数），规定：，当能被9整除时，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了新定义的实数运算． 直接根据“间等和数”的定义即可求出最小的“间等和数”；由定义得到，求出，，根据“间等和数”的定义得到，，由得到，，根据能被9整除找出所有符合题意的，计算即可． 【详解】解：∵最小的“间等和数”，，千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和， ∴，， 即最小的“间等和数”是； ∵“间等和数”的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵正整数，都是“间等和数”， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵能被9整除， ∴或或或， 当时，，即或（舍去），此时； 当时，，不存在整数，，使其存在； 当时，，即或（舍去），此时； 当时，，不存在整数，，使其存在； 综上所述，的值为或； 故答案为：；或． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、18题各8分，其余每题各10分，共86分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂． 先计算绝对值，化简二次根式，求零指数幂，再计算加减即可． 【详解】 18. 实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的化简求值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，根据二次根式的性质和绝对值的意义，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ； ∴，时，原式． 19. 已知一次函数解析式为（，，是常数）． （1）若一次函数图像过点与点，求这个一次函数的解析式． （2）若一次函数图像经过点，且与直线平行，求这个一次函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了两条直线的平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先根据两直线平行的问题得到，然后把点代入求出b即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数图像过点与点， ∴，解得， ∴这个一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线与直线平行， ∴， 把点代入得， 解得， ∴这个一次函数的解析式为． 20. 为了解同学们对重庆风土人情的知晓情况，李老师从八年级男生和女生中各随机抽取10名学生的测试成绩（所有同学得分都不低于80分）进行整理、描述和分析，成绩得分用（单位：分）表示，共分成四个等级（：；：；：；：），下面给出了部分信息： 信息一： 信息二：抽取的10名男生中等级的成绩为，，， 抽取的10名女生中等级的成绩为，，，， 信息三：抽取的学生测试成绩统计表： 性别 平均数 中位数 众数 男生 92 92 女生 92 94 请根据相关信息，回答以下问题： （1）填空：______，______； （2）补全抽取的10名女生的测试成绩条形统计图； （3）根据以上数据，请判断抽取的10名男生和10名女生的测试成绩哪一方更好，并说明理由（写一条即可）． 【答案】（1）92，95 （2）见解析 （3）10名女生一方的测试成绩更好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，补全条形图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据处在中间的两个数都是92分可得中位数，根据95分的人数最多可得众数； （2）求出10名女学生成绩处在D组的人数，即可补全频数分布直方图； （3）从中位数、众数的角度比较得出女生一方的测试成绩更好． 【小问1详解】 解：由题意可知，10名男同学成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数是92、92，因此中位数是； 10名女学生成绩出现次数最多的是95，共出现3次，因此众数是95，即， 故答案为： 92，95； 【小问2详解】 解：10名女学生成绩处在D组的有 (人)， 补全频数分布直方图如图： 【小问3详解】 解：女生成绩较好， 理由：女学生成绩的中位数、众数都比男生的高. 21. 小明学了平行四边形后，发现可以通过构造平行四边形来解决问题．下面是小明解决的数学问题及过程．请同学们按要求完成作图并填空． 问题：如图，与相交于点，，，，，，求线段的长； （1）用直尺和圆规作图：过点在的下方作，并截取，连接、．（只保留作图痕迹） （2）下面是小明求线段长的解答过程，请把解答过程补充完整． 解：， ． ， 四边形是平行四边形（① ）． ，． ， ． ， ② ， 四边形中，， 是直角三角形． ，， 由勾股定理得：． ， ． ， ③ 是等边三角形， ④ ⑤ ． 【答案】（1）见解析； （2）①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②；③；④；⑤． 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质. （1）结合作一个角等于已知角的方法按要求作图即可； （2）根据平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质填空即可． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：， ． ， 四边形是平行四边形（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． ，． ， ． ， ②， 四边形中，， 是直角三角形． ，， 由勾股定理得：． ， ． ， ③是等边三角形， ④ ． 故答案为：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②；③；④；⑤． 22. 如图，菱形的对角线，交于点，且对角线所在直线交轴于点，交轴于点，且．菱形的顶点在轴上，点是的中点．线段，． （1）连接，求线段长； （2）求直线的函数解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形以及待定系数法求一次函数解析式：（1）根据勾股定理即可；（2）根据相似三角形求得，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的值，即可求出点，将点代入一次函数，用待定系数法即可求． 【小问1详解】 ，， 【小问2详解】 菱形的对角线， 在中， 设直线的函数解析式为： 将代入得： 解得： 故解析式为：． 23. 如图1，在矩形中，点是上一点，，．点从点沿折线运动到点时停止，速度为每秒1个单位长度；点从点沿运动到点时停止，速度为每秒1个单位长度．如果点，同时开始运动，设运动时间为秒，的面积为．已知点运动到点需要14秒，且关于的部分函数图象如图2所示．根据题中提供的信息，解决以下问题： （1）______；______． （2）补全关于的函数图象； （3）画出正比例函数的图象，并结合函数图象直接写出时的取值范围． 【答案】（1）8，10 （2）图见解析 （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，画一次函数的图形，图象法求不等式的解集，熟练掌握数形结合的思想，正确的画出函数图象，是解题的关键： （1）从图象可知：当时，点与点重合，当时，点与点重合，进而求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长即可； （2）利用面积公式求出时的函数关系式，进而补全函数图象即可； （3）先画出函数图象，再根据图象法求不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：由题意和图象可知，当从点运动到点时，的面积逐渐增大，当点从点运动到点时，的面积不变， ∴当时，点与点重合，即：， 当时，点与点重合，即：， ∴， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：8，10； 【小问2详解】 由题意和（1）可知，当点与点重合时，点与点重合， ∴当从点往点移动时， ， ∴； 当时，；当时，，补全图形如图： 【小问3详解】 ∵， ∴当时，，当时，； 画出的图象如上图， 由图象可知：时，． 24. 九龙大道上有、两家书店以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家书店都让利酬宾，其中书店所有商品按9折出售，书店对一次性购物中超过200元后的部分打8折． （1）以（单位：元）表示按原价所购商品的金额，，（单位：元）分别表示到、两家书店购物实际支付的金额，请写出，关于的函数解析式； （2）暑假期间如何选择这两家书店去购物更省钱？ 【答案】（1）， （2）当时，去书店更省钱；当时，去两个书店一样省钱；当，去书店更省钱 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）根据折扣方式，分别列出函数解析式即可； （2）分别求出时的范围，即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ，即：； 【小问2详解】 当时，，去书店更省钱， 当，时，，解得：，去两个书店一样省钱； 时，，解得：，故当时，去书店更省钱； 时，，解得：，去书店更省钱； 综上：当时，去书店更省钱； 当时，去两个书店一样省钱； 当，去书店更省钱． 25. 已知四边形是正方形，点为边上一点（不含端点）． （1）如图1，过点作的垂线，交正方形的对角线于点，过点作，垂足为．求证：四边形为矩形； （2）在（1）的条件下，线段取得最小值时，作，的两边分别交、于点、，如图2，当，时，求的长． （3）如图3，连接，将正方形沿折叠得到四边形，点、的对应点分别为点，．延长、相交于点，与相交于点．当点为的中点时，连接并延长交于点，请直接写出的值． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，垂直的定义，矩形的判定，垂线段最短，勾股定理，相似三角形的判定和性质，翻折的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，平行四边的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据正方形的性质和垂直的定义，得出三个直角，即可得出结论； （2）利用垂线段最短确定点的位置，根据条件得出相似三角形，利用相似三角形的性质得出对应线段成比例，求出，最后根据勾股定理即可求出结果； （3）连接，交于点，假设正方形的边长为，，根据翻折的性质和正方形的性质表示出相关线段的长度，通过证明，得出对应边相等，根据勾股定理列出，得出和的数量关系，再根据线段的垂直平分线和三角形的中位线定理等条件，得出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质表示出线段的长度，即可得到结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）得四边形矩形， ∴， 根据垂线段最短，当时，的值最小，即的值最小， 此时，根据正方形的性质可知，为正方形对角线的交点， ∴点为线段的中点， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， 解得， 由勾股定理得，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，交于点， 假设正方形的边长为，， 根据翻折的性质，则，， ∵点为的中点， ， 又∵， ， ，， ， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 当，即时，不符合题意，舍去； 当，即时，符合题意； ∴，， ∴， ， ∴， 又∵， ∴垂直平分线段， 即点为线段的中点， ∴为的中位线， ， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年教育质量全面监测－（中学） 八年级（下）数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案请书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前请认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列各组数不能构成直角三角形边长的是（ ） A. ，， B. ，， C ，， D. ，， 3. 关于一次函数的描述，以下说法正确的是（ ） A. 函数图像过第一象限 B. 函数图像是呈下降趋势的直线 C. 函数图像过第二象限 D. 函数图像交轴于正半轴 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形的对角线、相交于点，若，则度数为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 学校开展运动会，某班甲、乙、丙、丁四名同学报名参加掷飞镖项目，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如表所示：根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加学校比赛，应该选择（ ） 甲 乙 丙 丁 95 9.5 8.2 8.5 0.09 0.65 0.16 2.85 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 估计的值应在（ ） A 2与3之间 B. 3与4之间 C 4与5之间 D. 5与6之间 8. 如图，一次函数与一次函数的图像交于点，则下列说法不正确的是（ ） A. 关于，的方程组的解是 B. 不等式的解集是 C. 方程的解是 D. 方程的解是 9. 如图，在菱形中，，平分交于点，过点作交于点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿轴正半轴滚动变换，①在滚动变换过程中，只改变边长，形状不变，点对应点，得到等腰直角三角形②，称①②为第一次滚动变换；第二次滚动变换后点对应点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动变换后点对应点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动变换后点对应点，得到等腰直角三角形⑤；……依此规律，则第2025个等腰直角三角形的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）．请将正确答案填在答题卡对应横线上． 11. 直线与轴的交点坐标是______． 12. 要使在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 13. 数学不仅训练人们的思维，也广泛应用于生活．八年级各班制作了关于数学与科技的短视频，需要选作优秀作品在校园电视上播放．某班投送的候选作品《数学与科技》在“视听吸引”、“启发思考”、“社会责任”三方面的具体评比成绩（百分制：分）如表所示： 视频作品 视听吸引 启发思考 社会责任 《数学与科技》 90 80 90 如果按照“视听吸引”占，“启发思考”占，“社会责任”占计算总成绩，那么该《数学与科技》作品得分是______分． 14. 在二次根式：，，，中，与是同类二次根式的有______． 15. 如图，矩形的边在轴上，且过原点，连接．将沿翻折，点的对应点恰好落在边上．若点的坐标为，则点的坐标为______． 16. 各个数位上数字都不为0且互不相同的四位正整数，记为（，，，，且，，，为整数）．若的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，那么称数为“间等和数”．对于一个“间等和数”，将它的千位数字和十位数字构成的两位数记为，百位数字和个位数字构成的两位数记为，千位数字和个位数字构成的两位数记为，百位数字和十数字构成的两位数记为．规定：，，．最小的“间等和数”是______．若正整数，都是“间等和数”，其中，（，，，，，，，都是整数），规定：，当能被9整除时，则的值为______． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题、18题各8分，其余每题各10分，共86分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： 18. 实数，表示的数在数轴上如图所示，化简求值： ，其中， 19. 已知一次函数解析式为（，，是常数）． （1）若一次函数图像过点与点，求这个一次函数的解析式． （2）若一次函数图像经过点，且与直线平行，求这个一次函数的解析式． 20. 为了解同学们对重庆风土人情的知晓情况，李老师从八年级男生和女生中各随机抽取10名学生的测试成绩（所有同学得分都不低于80分）进行整理、描述和分析，成绩得分用（单位：分）表示，共分成四个等级（：；：；：；：），下面给出了部分信息： 信息一： 信息二：抽取的10名男生中等级的成绩为，，， 抽取的10名女生中等级的成绩为，，，， 信息三：抽取的学生测试成绩统计表： 性别 平均数 中位数 众数 男生 92 92 女生 92 94 请根据相关信息，回答以下问题： （1）填空：______，______； （2）补全抽取的10名女生的测试成绩条形统计图； （3）根据以上数据，请判断抽取的10名男生和10名女生的测试成绩哪一方更好，并说明理由（写一条即可）． 21. 小明学了平行四边形后，发现可以通过构造平行四边形来解决问题．下面是小明解决的数学问题及过程．请同学们按要求完成作图并填空． 问题：如图，与相交于点，，，，，，求线段的长； （1）用直尺和圆规作图：过点在的下方作，并截取，连接、．（只保留作图痕迹） （2）下面是小明求线段长的解答过程，请把解答过程补充完整． 解：， ． ， 四边形是平行四边形（① ）． ，． ， ． ， ② ， 四边形中，， 是直角三角形． ，， 由勾股定理得：． ， ． ， ③ 是等边三角形， ④ ⑤ ． 22. 如图，菱形的对角线，交于点，且对角线所在直线交轴于点，交轴于点，且．菱形的顶点在轴上，点是的中点．线段，． （1）连接，求线段的长； （2）求直线的函数解析式． 23. 如图1，在矩形中，点是上一点，，．点从点沿折线运动到点时停止，速度为每秒1个单位长度；点从点沿运动到点时停止，速度为每秒1个单位长度．如果点，同时开始运动，设运动时间为秒，的面积为．已知点运动到点需要14秒，且关于的部分函数图象如图2所示．根据题中提供的信息，解决以下问题： （1）______；______． （2）补全关于的函数图象； （3）画出正比例函数的图象，并结合函数图象直接写出时的取值范围． 24. 九龙大道上有、两家书店以同样价格出售相同的商品．暑假期间两家书店都让利酬宾，其中书店所有商品按9折出售，书店对一次性购物中超过200元后的部分打8折． （1）以（单位：元）表示按原价所购商品的金额，，（单位：元）分别表示到、两家书店购物实际支付的金额，请写出，关于的函数解析式； （2）暑假期间如何选择这两家书店去购物更省钱？ 25. 已知四边形是正方形，点为边上一点（不含端点）． （1）如图1，过点作的垂线，交正方形的对角线于点，过点作，垂足为．求证：四边形为矩形； （2）在（1）的条件下，线段取得最小值时，作，的两边分别交、于点、，如图2，当，时，求的长． （3）如图3，连接，将正方形沿折叠得到四边形，点、的对应点分别为点，．延长、相交于点，与相交于点．当点为的中点时，连接并延长交于点，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $