精品解析：山东省淄博市周村区2025-2026学年八年级下期学期末数学（五四制）

八年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 2. 计算的结果是（ ） A. 6 B. C. D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，熟记算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 3. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键． 把代入一元二次方程中即可解得的值． 【详解】解：把代入一元二次方程中得：， 解得：． 故选：D． 4. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故选：B． 5. 如图，在平行四边形中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，过，两点作直线，与交于点，与交于点，连接，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】勾股定理求出的长，中垂线的性质，得到，进而推出，同理得到，即可得出结果. 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形的周长为. 6. 如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似的性质得到，，则可证明，，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为8， ∴的周长为4． 7. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果． 【详解】解：∵CD∥AB， ∴△ABE∽△CDE， ∴=2， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似． 8. 如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似的性质和判定，设长边，短边，O离地面的距离为h，由相似的性质得到、和之间的关系并求解，即可解题． 【详解】解：设长边，短边，O离地面的距离为h， 根据相似得： ， 由得：，解得， 故选：A． 9. 如图，在正方形中，与相交于点，的平分线分别交、于、两点．如果，那么线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，根据正方形性质和等腰直角三角形判定求出、的长，利用角平分线性质求出的长，进而得到正方形边长和对角线长，最后利用相似三角形性质求出的长． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 10. 如图，在等边中，点D，E分别是边、上的动点，且．以为边作等边，使点A与点F在直线同侧，交于点G，交于点H．给出下面四个结论：①；②；③若，则；④若，则四边形是菱形． 上述结论中，正确的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、菱形的判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、菱形的判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故④正确； 故选D． 二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分） 11. 计算的结果是__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的除法计算即可. 【详解】解：， 故答案为3． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键. 12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值. 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得. 13. 已知线段是的黄金分割点，且，那么____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，熟知黄金分割比值是解答的关键，注意线段长度关系． 根据黄金分割的定义，可得，即可求解． 【详解】解：∵是的黄金分割点，且 ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，分别为，的中点， 则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质，三角形中位线定理．连接，利用三角形中位线定理得出，进而利用矩形的性质解答即可． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，分别为，的中点， 是是中位线， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 三、解答题．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用因式分解法求解； （2）移项后采用因式分解法求解； 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， 移项得， 提取公因式得， 整理得， ∴或， 解得：． 18. 如图，中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判断方法是解题的关键． （1）根据两角分别相等的两个三角形相似即可证明； （2）先根据相似三角形性质即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：(负值已舍)． 19. 关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围． 【答案】（1） ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元一次不等式的应用．解题的关键在于正确的解方程． （1）根据，进行作答即可； （2）由，解得，，由方程的实数根均为非负数，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得，，， ∵该方程的实数根均为非负数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为． 20. 如图，在平行四边形中，延长至点，使，连接交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边行的性质可得，再证，即可求证； （2）可证，可得，结合平行四边形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形 ，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，掌握三角形相似的模型：“”字形和“”字形的判定方法是解题的关键． 21. 某超市于今年年初以元/件的进价购进一批商品，当商品售价为元/件时，一月份销售了件，二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了件． （1）求二、三月份销售量的月平均增长率． （2）四月份，超市决定在三月份销售量的基础上采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价元，销售量增加件，当每件商品降价多少元时，商场当月获利元？ 【答案】（1）二、三月份销售量的月平均增长率是； （2）当商品降价元时，商场当月获利元． 【解析】 【分析】()设二、三这两个月的月平均增长率为，一月份销售件，每次增长的百分率为，则第一次增长后为，第二次增长后为，即，解方程即可求解； ()设降价元，根据单个商品的利润销售量总利润列方程即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 则， 解得 ， (不合题意，舍去)， 答：二、三月份销售量的月平均增长率是； 【小问2详解】 解：设降价元， 依题意可得，， 整理得，， 解得， (不合题意，舍去)， 答：当商品降价元时，商场当月获利元． 22. 在中，，点是上一点，过点作于点． （1）如图1，证明：； （2）已知平分，点是上一点，与交于点，，． ①如图2，当时，求的值； ②如图3，当点为的中点时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①，② 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分的性质定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可证，由此即可求证； （2）①在中，运用勾股定理可得，根据垂直的定义可得即，可证，由此即可求解；②根据，平分，由角平分线的性质定理可得，可证，由（1）可知，可得，过点作，与延长线交于点，如图，则，可证，得到，则，由相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， 又， ， ，即； 【小问2详解】 解：①在中，， 平分， ， ，， ，即， ， ； ②，，平分， ， 又，， ， ，则， 由（1）可知，则，且， ， 解得， 过点作，与延长线交于点，如图，则， ，， 又点是的中点，即， ， ， ，则， ． 23. 【探究活动】如图，是的中线，点在上，交于点． （1）当时，求的值； （2）当时，则_________；（用含的代数式表示） 【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：中，，是的中线，点在直线上，射线交于点．若，，时，求的值． 【答案】[探究活动]（1）; （2） [解决问题] 的值为或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中线的性质 [探究活动]（1）过点作交于点，利用，，根据相似三角形的性质，即可求解． （2）同（1）过点作交于点，利用，，根据相似三角形的性质，即可求解； [解决问题] 由射线交于点可知，点有可能在线段上，有可能在线段延长线上，所以分两种情况讨论，再利用（2）的结论得出的值，进而根据相似三角形的性质求得直角三角形的边长，最后勾股定理，即可求解． 【详解】（1）如图，过点作交于点， ， ， ， 又是的中线， （2）同（1）可得， ， 又是的中线， 故答案为：． [解决问题] 分两种情况， ①当点在线段上时，如图所示，过作交于点，则， ，， ， 由（2）可得， ∴， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，； ②当点在线段延长线上时，如图所示，过点作交的延长线于点 ，，则， ， ，， ， 又是的中线， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， 综上所述：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. 6 B. C. D. 36 3. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4. 如图，，若，，，则的长度是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，在平行四边形中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，过，两点作直线，与交于点，与交于点，连接，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 8. 如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，与相交于点，的平分线分别交、于、两点．如果，那么线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等边中，点D，E分别是边、上的动点，且．以为边作等边，使点A与点F在直线同侧，交于点G，交于点H．给出下面四个结论：①；②；③若，则；④若，则四边形是菱形． 上述结论中，正确的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分） 11. 计算的结果是__________. 12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 13. 已知线段是的黄金分割点，且，那么____． 14. 如图，在矩形中，，分别为，的中点， 则的值为__________． 15. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 三、解答题．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16. 计算： （1） （2） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围． 20. 如图，在平行四边形中，延长至点，使，连接交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 某超市于今年年初以元/件的进价购进一批商品，当商品售价为元/件时，一月份销售了件，二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了件． （1）求二、三月份销售量的月平均增长率． （2）四月份，超市决定在三月份销售量的基础上采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价元，销售量增加件，当每件商品降价多少元时，商场当月获利元？ 22. 在中，，点是上一点，过点作于点． （1）如图1，证明：； （2）已知平分，点是上一点，与交于点，，． ①如图2，当时，求的值； ②如图3，当点为的中点时，求的值． 23. 【探究活动】如图，是的中线，点在上，交于点． （1）当时，求的值； （2）当时，则_________；（用含的代数式表示） 【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：中，，是的中线，点在直线上，射线交于点．若，，时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $