精品解析：山东省淄博市周村区（五四制）2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

八年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. ＝±3 B. ＋＝ C. ＝2 D. ÷＝3 3. 如图，矩形中，交于点，分别为的中点．若，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为( ) A. B. C. D. 6. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 7. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（　　） A. （6，4） B. （6，2） C. （4，4） D. （8，4） 8. 如图，已知是线段的中点，是线段的中点，连接并延长交于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分） 11. 若，，，则__________． 12. 如图，点，分别在的边，上，且，，若的面积是4，则四边形的面积是__________． 13. 如图，线段，点和点均为线段的黄金分割点，那么______． 14. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______． 15. 如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为______． 三、解答题．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 19. 如图，在中，，正方形的四个顶点都在的边上． （1）求证：； （2）若正方形的边长是，，求的长． 20. 如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． （1）求证：； （2）若，，直接写出，的周长； （3）在（2）的条件下，求的长． 21. 如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长． 22. 如图，，，，一个以点为顶点的角绕点旋转，角的两边与，分别交于点，，与，的延长线分别交于点，，连接． （1）在旋转的过程中，当时，如图1，求证：； （2）在旋转的过程中，当时，如图2，如果，，求的值，写出解答过程． 23. 如图，矩形中，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若为中点，且，，求的长； （3）如图3，若为中点，为中点，连接，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义，需满足被开方数不含能开方的因数且分母不含根号，据此逐一分析各选项即可确定答案． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. ＝±3 B. ＋＝ C. ＝2 D. ÷＝3 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根和二次根式的运算法则去判断即可． 【详解】解：A，故此选项不符合题意． B，与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意． C，故此选项符合题意． D，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 3. 如图，矩形中，交于点，分别为的中点．若，则的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质和含角的直角三角形的性质得出，进而求出，再依据中位线的性质推知，即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形，交于点，， ， ，即， ， 分别为的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 5. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据题意得△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质可求出CD的长. 详解：∵，， ∴∠ABO=∠CDO, ∵∠AOB=∠COD, ∴△AOB∽△COD， ∴ ∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m， ∴. 故选C. 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△AOB∽△COD是解题关键． 6. 下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丁 C. 甲和丙 D. 甲和丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 7. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（　　） A. （6，4） B. （6，2） C. （4，4） D. （8，4） 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案． 【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ， ∴， ∵BG＝12， ∴AD＝BC＝4， ∵AD∥BG， ∴△OAD∽△OBG， ∴ ∴ 解得：OA＝2， ∴OB＝6， ∴C点坐标为：（6，4）， 故选A． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO的长是解题关键． 8. 如图，已知是线段的中点，是线段的中点，连接并延长交于点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加平行线辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．过点作交于点，先证明得到，再证明得到，即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10. 如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 解法一：连接BD交AC于O，由平行四边形的性质推出，，判定是的中位线，推出，求出，即可得到答案； 解法二：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果； 解法三：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：解法一：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 解法二：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 解法三：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分） 11. 若，，，则__________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，根据相似三角形的性质得出，进而利用三角形内角和为180度可求出答案． 【详解】解：∵， ， 故答案为：30． 12. 如图，点，分别在的边，上，且，，若的面积是4，则四边形的面积是__________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ∵，的面积是4， ∴， ∴， 解得， ∴四边形的面积， 故答案为：21． 13. 如图，线段，点和点均为线段的黄金分割点，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义求解即可得到答案． 【详解】解：∵点C和点D均为线段AB的黄金分割点， ∴，, ∴, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了黄金分割点的定义，解题的关键在于能够熟练掌握黄金分割的比例． 14. 边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为15． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 15. 如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证和全等得，然后在中由勾股定理求出，则，再根据由三角形的面积求出，进而可得的长． 【详解】解：四边形为正方形，且边长为4， ，， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 由三角形的面积得：， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等；正方形的四条边相等、四个角都是直角；难点是利用三角形的面积公式进行计算． 三、解答题．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算和加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法运算法则计算即可； （2）先化简二次根式再进行加减计算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求解，熟练掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， ∴，或， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴，． 18. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 19. 如图，在中，，正方形的四个顶点都在的边上． （1）求证：； （2）若正方形的边长是，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，正方形的性质是解题的关键． （1）先由正方形得到，再由互余关系证明，即可证明相似； （2）由求出，再由线段和差计算即可． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ∴ ∵ ， ， 【小问2详解】 解：， ， ，， ， 解得， （）． 20. 如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． （1）求证：； （2）若，，直接写出，的周长； （3）在（2）的条件下，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）14，10 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明结论； （2）有已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，，最后根据三角形周长的定义即可解答； （3）根据相似三角形的性质列式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴ ∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴， ∴的周长为： 的周长为：． 【小问3详解】 ∵． 又∵的周长为：14，的周长为：10 ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， ， ∴， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，证明，推出，即可解答； （2）通过平行四边形的性质证明，再通过（1）中的结论得到，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设,则， 可得方程， 解得， 即的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键． 22. 如图，，，，一个以点为顶点的角绕点旋转，角的两边与，分别交于点，，与，的延长线分别交于点，，连接． （1）在旋转的过程中，当时，如图1，求证：； （2）在旋转的过程中，当时，如图2，如果，，求的值，写出解答过程． 【答案】（1）见解析； （2）2，过程见解析． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，关键在于能够找到相似三角形． （1）先证明，然后再证明即可得； （2）过点C作于点G，先求出的长，再证明，根据相似三角形的性质即可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点， ，， ， ， ． ， ． 又， ． ． ，即． ． 23. 如图，矩形中，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． （1）如图1，求证：； （2）如图2，若为中点，且，，求的长； （3）如图3，若为中点，为中点，连接，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，求得，得到，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）根据矩形的性质得到，设，得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）延长交于点M，连接根据折叠的性质得到直线，根据等腰三角形的性质得到，设，求得，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，，即，解得， ， ， ， ， ，解得， ， ； 【小问3详解】 解：如图：延长，交于点，连接． ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， （）， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $