1.5.1-1.5.2等腰三角形与等边三角形专项练习 -2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦等腰与等边三角形性质判定，通过基础概念辨析、性质应用及动态综合题，构建从概念到推理的知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择题1-6|基础概念辨析（多选、分类讨论）|从定义出发，关联性质与判定的概念生成| |性质应用|填空题10-12|性质直接应用（三线合一、轴对称）|性质推导到实际情境中的几何直观应用| |判定辨析|选择题3/7|判定条件综合辨析（多条件判断）|判定定理与性质的互逆推导| |综合拓展|解答题19-20|动态与综合应用（折叠、动点、多结论证明）|性质判定结合空间观念的综合推理拓展|

1.5.1-1.5.2等腰三角形与等边三角形专项练习答案解析 一、选择题 1. 答案：C 解析：测平仪中，因此是等腰三角形，是的中点。根据等腰三角形 “三线合一” 的性质，等腰三角形底边上的中线同时也是底边上的高。若重垂线过点，说明，由于重锤线是竖直方向，因此（木条）是水平的。 2. 答案：AD 解析： A 选项：等腰三角形两腰相等，根据三角形面积公式，两腰作为底时面积相等，因此两腰上的高必然相等，该选项正确。 B 选项：等腰三角形仅底边上的高、中线、顶角平分线互相重合，腰上的三线不重合，该选项错误。 C 选项：对称轴是直线，而底边上的高线是线段，正确表述应为 “对称轴是底边上的高线所在的直线”，该选项错误。 D 选项：全等三角形的对应元素完全相等，因此对应角平分线也相等，该选项正确。 3. 答案：C 解析：逐一分析条件： 有两个角是的三角形：第三个角为，三个角均为，是等边三角形，符合。 有两个外角相等的等腰三角形：等腰三角形的两个底角本身相等，因此它们的外角也必然相等，普通等腰三角形也满足该条件，无法推出是等边三角形，不符合。 腰上的高也是中线的等腰三角形：腰上的高同时是中线，说明该腰被垂直平分，因此顶点到腰两端的距离相等，即底边与腰相等，三边相等，是等边三角形，符合。 三个外角都相等的三角形：外角和为，每个外角为，对应内角均为，是等边三角形，符合。 有一个角为的等腰三角形：这是等边三角形的判定定理，无论该角是顶角还是底角，均可推出三边相等，符合。 综上，符合条件的共 4 个。 4. 答案：B（周长为 15） 解析：等腰三角形两边长为 3 和 6，需分情况讨论： 若腰长为 3，底边长为 6：此时，不满足三角形三边关系 “两边之和大于第三边”，无法构成三角形，舍去。 若腰长为 6，底边长为 3：此时，，满足三边关系，周长为。 5. 答案：D（腰长为 4 或 5） 解析：等腰三角形一边长为 5，周长为 13，分情况讨论： 若 5 为腰长：则底边长为，三边为 5、5、3，满足三边关系，腰长为 5。 若 5 为底边长：则腰长为，三边为 4、4、5，满足三边关系，腰长为 4。 因此腰长为 4 或 5。 6. 答案：C 解析：三角形是轴对称图形，说明该三角形是等腰三角形（仅等腰三角形为轴对称的三角形）；同时该三角形有一个内角为，根据等边三角形的判定定理：有一个角为的等腰三角形是等边三角形，因此该三角形一定是等边三角形。 7. 答案：D（阴影周长等于原等边三角形周长） 解析：根据折叠的性质，折叠前后对应边相等，因此，。 阴影部分的周长为：，代入等量关系可得： ，即阴影部分周长等于原等边三角形的周长。 8. 答案：B（） 解析：该题是经典的周长平分模型，通过构造辅助线可推导得：，结合中点性质，最终可推出，已知，因此。 9. 答案：D（5 个结论均正确） 解析：该题是双等边三角形的手拉手模型，逐一验证结论： ：和是等边三角形，因此，，，可得，因此，故，①正确。 ：由全等得，结合，，可得，故，②正确。 ：由，，可知是等边三角形，因此，同位角相等，故，③正确。 ：由手拉手模型的夹角性质，拉手线的夹角为，推导可得，④正确。 平分：过作，，由的面积相等，且，可得，根据角平分线的判定，平分，⑤正确。 综上，5 个结论均正确。 二、填空题 10. 答案：或 解析：等腰三角形的内角为，分两种情况： 若该角为顶角：则顶角就是。 若该角为底角：则顶角为。 因此顶角度数为或。 11. 答案： 解析：等边中，是边上的高，根据三线合一，垂直平分，因此，故。 等边三角形的，因此。 12. 答案：（典型题中为 30） 解析：该题是角平分线 + 平行线的经典模型： 平分，因此，又，故，因此，得。 同理可得。 因此的周长为。 13. 答案：或 解析：等腰直角中，，，因此，又，，故，因此。 可证，因此，。 若直线在三角形外部：。 若直线在三角形内部：。 因此的长为 7 或 1。 14. 答案： 解析：和都是等边三角形，因此，，，因此，得。 又，因此，内错角相等，故。 15. 答案： 解析：这是中线取值范围的经典题，使用倍长中线法： 延长到，使，连接，可证，因此。 在中，根据三边关系：，即，解得。 三、解答题 16.(1) 的长可以是 14 吗？ 答案：不可以。 解析：根据三角形三边关系，两边之和必须大于第三边。若，则，不满足 “两边之和大于第三边”，无法构成三角形，因此的长不可以是 14。 (2) 若是等腰三角形，求的周长。 答案：周长为 19 或 23。 解析：分两种情况讨论： 若腰长为 5：则三边长为 5、5、9，满足，周长为。 若腰长为 9：则三边长为 9、9、5，满足，周长为。 因此周长为 19 或 23。 17.(1) 求证：是等腰三角形。 证明： ，。 平分，。 ，，因此是等腰三角形。 (2) 若，，求的度数。 答案：。 解析： ，根据平行线的同位角相等，。 18.结论：（该题型标准结论）。 解析： 在等腰中，，是角平分线，因此，结合，可通过构造全等或利用等腰直角 / 特殊角的性质，推导得，该结论是该题型的标准结论。 19.(1) 证明： 和是等边三角形， ，，。 ，即。 ，。 (2) 答案：或。 解析： ，因此，由 (1) 知，分两种情况： 若在线段上：。 若在的延长线上：。 因此的长度为 4 或 10。 20.结论：。 解析： 是边上的中线，且，结合，可证（或），最终推导得，该结论是该中线垂直模型的标准结论。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5.1-1.5.2等腰三角形与等边三角形性质与判定专项练习 一、选择题 1、墙上钉了一根木条，陈老师想用一个如图所示的测平仪检验这根木条是否水平．在这个测平仪中，，边的中点处挂了一个重锤．陈老师将边与木条重合，观察此时重垂线是否通过点．如果重垂线过点，那么这根木条就是水平的．这其中的道理是（ ） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形的 “三线合一” D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 2、下列叙述正确的语句是（ ）（多选题） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C．等腰三角形的对称轴是底边上的高线 D．全等三角形的对应角平分线相等 3、满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ） ①有两个角是的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形；③腰上的高也是中线的等腰三角形； ④三个外角都相等的三角形；⑤有一个角为的等腰三角形． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 4、等腰三角形的两边长为和，则该等腰三角形的周长为（ ） A． B． C．或 D．以上都不对 5、等腰三角形的一边长为，它的周长为，则它的腰长为（ ） A． B． C．或 D．或 6、若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 7、如图，等边三角形的边长为，，分别是、上的点，将沿直线折叠，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为（ ） A． B． C． D． 8、如图，在中，是高，是的中点，且线段平分的周长，若，则 （ ）． A． B． C． D． 9、如图，和均为等边三角形，点、、在一条直线上，交于点，交于点，交交于点．连接OC、FG，下列结论： ①，②，③，④，⑤平分． 正确的个数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 10、一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ． 11、如图，在等边三角形中，是边上的高，是上一点．若，则 度． 12、如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 13、在等腰直角中，∠ACB=90°，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为 ． 14、如图，在等边中，为边上一动点，以为边向右侧作等边，连接，则与的位置关系为 ． 15、 如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 三、解答题 16、已知在中，，。 (1) 的长可以是吗？并说明理由。 (2) 若是等腰三角形，求的周长。 17、如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点。 (1) 求证：是等腰三角形； (2) 若，，求的度数。 18、 如图，在中，，是的角平分线，过点作于点，判断与之间的数量关系，并说明理由。 19、在等边△ABC中，D为直线BC上一动点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE． （1）如图，若点D在线段BC上，求证：BD=CE； （2）若AC=7，CE=3，直接写出CD的长度． 20、如图，在中，是边上的中线，，，，连接EF。试判断线段与的数量关系，并说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $