1.5 等边三角形专项训练-2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

等边三角形 【等边三角形性质】 一、解答题 1．已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE＝CD，过D作DF⊥BE于F． （1）求证：BD＝DE； （2）请猜想FC与BF间的数量关系，并证明． 2．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE． （1）求∠EDC的度数； （2）若AD＝2，求△AED的面积． 3．如图，在四边形ABCD中，线段AC、BD相交于点O，AB＝BC＝CD，以AB为边作等边△ABE，点E位于四边形内部，连接DE，∠ABC＝70°，∠BCD＝170°． （1）求∠EBD的度数； （2）求证：∠EAD＝∠EDA． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠ABC＝60°，D是BC边上的点，且DC＝3，过点D作BC边的垂线交AC边于点E，求AE的长． 5．如图，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DF⊥BE，垂足是F，求证：BF＝EF． 6．如图，已知△ABC是等边三角形，BD是中线，BD＝6，延长BC到E．使CE＝CD，求DE的长． 7．如图，O是等边三角形ABC内一点，∠1＝∠2，求∠BOC的度数． 8．如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，点M是BE的中点，求证：DM⊥BE． 9．如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD＝80°，AD＝AP，求∠DPC的度数． 10．如图，已知△ACD是等边三角形，AB是△ACD的中线，延长AD到点E，使得AB＝BE．求证：BD＝ED． 11．如图，在等边三角形ABC中，BE是AC上的中线，D在BA的延长线上，AE＝AD，试说明：DE＝EB． 12．已知如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ACE，△CBD都是等边三角形，试判断EC与BD的位置关系，并证明你的结论． 13．如图，△ABC是正三角形，∠B和∠C的平分线相交于D，BD，CD的垂直平分线分别交BC于E，F．求证：BE＝CF． 14．若D是△ABC内一点，△ABC与△ADE均为等边三角形，若∠BDC＝100°，∠ADB＝α，则α为多少度时△CDE是等腰三角形． 15．如图，点C在BE上，BD是等边△ABC的中线，CE＝CD，求证：DE＝DB． 16．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 17．如图，在△ABD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，交BD于点E，连接BC，CD． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若∠BCD＝130°，求∠ABC的度数． 18．在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC． （1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长． 19．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，以AD为边作等腰三角形ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于点F，∠BAD＝15°． （Ⅰ）求∠CAE的度数； （Ⅱ）求∠FDC的度数． 20．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE． 21．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝20，求△ODE的周长． 22．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE． （1）求∠EDC的度数； （2）若AD＝6，求△ADE的面积． 23．如图，在等边△ABC中，D是边AB上的一点，E是CB延长线上的一点，连接CD，DE．若∠BDE＝25°，CD＝DE，求∠ACD的度数． 24．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 25．如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上的任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM交于点Q． （1）求证：△BAN≌△ACM； （2）求∠BQM的大小． 26．某如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°． （1）求∠ADB的度数； （2）判断△ABE的形状并加以证明； （3）连接DE，若DE⊥BD，DE＝10，直接写出AD的长． 27．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F． （1）如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝则 　120°　 ，如图2，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝　90°　 ，如图3，若∠ACD＝α，则∠AFB＝　180°﹣α　 （用含α的式子表示）； （2）设∠ACD＝α，将图3中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图4，试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明． 28．已知M是等边三角形ABC的边BC上的点． （1）如图13﹣①，过点M作MN∥AC，且交AB边于点N，求证：BM＝BN； （2）如图13﹣②，在图13﹣①的基础上连接AM，过点M作∠AMH＝60°，MH与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点H． ①若∠CAM＝45°，则∠HMC＝　15　 °； ②求证：△ANM≌△MCH． 29．如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB，求PP′的长和∠APB的角度． 【等边三角形判定】 1．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，∠DAC＝∠B，且∠BAD＝60°，求证：△AEF是等边三角形． 2．已知：如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB＝HC，∠A＝60°，求证：△ABC为等边三角形． 3．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F，延长FD、CA交于点E．若∠E＝30°，AD＝AE．求证：△ABC为等边三角形． 4．已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE＝60°．求证：△ACE是等边三角形． 5．如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形． 6．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC 于点D，∠ABD＝30°，求证：△ABC为等边三角形． 7．如图，已知△ABC中，BD平分∠ABC，CE＝CD，DB＝DE，∠E＝30°． 求证：△ABC是等边三角形． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝2∠A，CD是△ABC的中线，求证：△BCD是等边三角形． 9．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．求证：△ADE是等边三角形． 10．已知：如图，E为△ABC的边BA延长线上的一点，AD∥BC．∠EAD＝∠CAD＝60°．求证：△ABC是等边三角形． 11．如图，∠ABD＝∠ADB＝15°，∠CBD＝45°，∠CDB＝30°．求证：△ABC是等边三角形． 12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝60°，点M、N分别在AB、AD边上，MC＝NC，求证：△AMN是等边三角形． 13．在△ABC中点D是BC上一点，∠BAC＝90°，∠C＝30°，作AC的中垂线DE交BC于D点，连接AD，求证：△ABD是等边三角形． 14．如图，点D在线段AB的垂直平分线上，∠ABC＝87°，∠ACB＝33°．求证：△ABD是等边三角形． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D是AB的中点，求证：△ACD是等边三角形． 16．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC于点D，E是BC上一点，连接AE，与BD相交于点O，连接OC，DE，且OB＝OC． （1）求证：AE垂直平分BC； （2）若∠OED＝∠ODE，求证：CO平分∠ACB； （3）若∠BAC＝60°，求证：△CDE是等边三角形． 17．如图，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点D在线段AB的垂直平分线上，∠ABC＝87°，∠ACB＝33°，∠CAE＝27°．求证：△ABD是等边三角形． 18．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD⊥AC，延长BC至E，恰好使得CE＝CD，BD＝DE． （1）求：∠E的度数； （2）求证：△ABC为等边三角形． 19．如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形． 20．如图，△ABC中，AB＝BC，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，若BD＝ED，求证：△ABC是等边三角形． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形． 22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE． （1）试说明：∠E＝∠ECD； （2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，求证：△ECB为等边三角形． 23．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E是AC的中点，DE⊥AC，交AB于D，连接CD．求证：△CDB是等边三角形． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE，AD＝CD． （1）求∠EAD的度数； （2）求证：△ADE是等边三角形． 25．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF． 求证：（1）∠B＝∠C； （2）△ABC是等边三角形． 26．在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． （1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值； （2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？ 27．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形． 28．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F． （1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由； （2）若∠C＝30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由． 29．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC． （1）求证：AD＝DC； （2）如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论． 30．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形． 31．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M． （1）如果AB＝AC，求证：△DEF是等边三角形； （2）如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果△DEF是等边三角形，请加以证明；如果△DEF不是等边三角形，请说明理由； （3）如果CM＝4，FM＝5，求BE的长度． 等边三角形 参考答案与试题解析 一、解答题 1．已知，如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE＝CD，过D作DF⊥BE于F． （1）求证：BD＝DE； （2）请猜想FC与BF间的数量关系，并证明． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD⊥AC， ∴AD＝CD，∠DBC∠ABC＝30°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CDE+∠E， ∴∠E＝30°， ∴∠DBE＝∠E， ∴BD＝DE； （2）BF＝3FC； 证明：∵DF⊥BE，∠BCD＝60°， ∴DC＝2FC， ∵BD⊥AC，∠DBC＝30°， ∴BC＝2DC， ∴BC＝4FC， ∴BF＝3FC． 2．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE． （1）求∠EDC的度数； （2）若AD＝2，求△AED的面积． 【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC， ∵AD为中线， ∴AD⊥CD，， ∵AD＝AE， ∴， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝15°； （2）解：过D作DH⊥AC于H， ∴∠AHD＝90°， ∵∠CAD＝30°， ∴， ∵AD＝AE＝2， ∴． 3．如图，在四边形ABCD中，线段AC、BD相交于点O，AB＝BC＝CD，以AB为边作等边△ABE，点E位于四边形内部，连接DE，∠ABC＝70°，∠BCD＝170°． （1）求∠EBD的度数； （2）求证：∠EAD＝∠EDA． 【解答】（1）解：∵BC＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB， ∵∠BCD＝170°， ∴， ∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°， ∵∠ABC＝70°， ∴∠EBD＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBD＝5°； （2）证明：∵△ABE是等边三角形， ∴AB＝BE＝AE， ∵AB＝BC， ∴BE＝BC， 又∵∠EBD＝∠CBD＝5°，BD＝BD， ∴△EBD≌△CBD（SAS）， ∴DE＝CD， ∵CD＝AB， ∴DE＝AE， ∴∠EAD＝∠EDA． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠ABC＝60°，D是BC边上的点，且DC＝3，过点D作BC边的垂线交AC边于点E，求AE的长． 【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴∠C＝60°， ∵CD＝3， ∴CE＝2CD＝6， ∵AC＝10， ∴AE＝AC﹣CE＝10﹣6＝4． 5．如图，等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DF⊥BE，垂足是F，求证：BF＝EF． 【解答】证明：∵在等边△ABC，且D是AC的中点， ∴∠DBC∠ABC60°＝30°，∠ACB＝60°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CDE+∠E， ∴∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E＝30°， ∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形， 又∵DF⊥BE， ∴F是BE的中点， ∴BF＝EF． 6．如图，已知△ABC是等边三角形，BD是中线，BD＝6，延长BC到E．使CE＝CD，求DE的长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵AD＝CD， ∴∠DBC∠ABC＝30°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CDE+∠E， ∴∠E＝30°， ∴∠DBE＝∠E， ∴BD＝DE＝6． 7．如图，O是等边三角形ABC内一点，∠1＝∠2，求∠BOC的度数． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠1+∠OBC＝60°， ∵∠1＝∠2， ∴∠2+∠OBC＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠2+∠OBC）＝180°﹣60°＝120°． 8．如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，点M是BE的中点，求证：DM⊥BE． 【解答】证明：连接BD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠DCB＝60°， ∵D是AC的中点， ∴BD平分∠ABC， ∴∠DBC∠ABC＝30°， ∵CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， ∵∠BCD＝∠E+∠CDE， ∴∠E∠BCD＝30°， ∴∠E＝∠DBC， ∴DB＝DE， ∵M是BE的中点， ∴DM⊥BE． 9．如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且∠APD＝80°，AD＝AP，求∠DPC的度数． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠C＝60°， ∵AD＝AP， ∴∠APD＝∠ADP， ∵∠APD＝80°， ∴∠ADP＝80°， ∵∠ADP＝∠C+∠DPC， ∴∠DPC＝∠ADP﹣∠C＝80°﹣60°＝20°． 10．如图，已知△ACD是等边三角形，AB是△ACD的中线，延长AD到点E，使得AB＝BE．求证：BD＝ED． 【解答】证明：∵△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝∠ADC＝∠CAD＝60°， ∵AB平分∠CAD， ∴∠CAB＝∠DAB＝30°， ∵AB＝BE， ∴∠BAD＝∠AEB， ∵∠DBE+∠E＝∠ADC＝60°， ∴∠DBE＝∠E＝30°， ∴BD＝ED． 11．如图，在等边三角形ABC中，BE是AC上的中线，D在BA的延长线上，AE＝AD，试说明：DE＝EB． 【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，BE是AC上的中线， ∴BD平分∠ABC，∠ABC＝∠BAC＝60°． ∴∠EBA∠ABC＝30°． ∵AE＝AD， ∴∠ADE＝∠DEA． ∵∠BAC为△ADE的外角， ∴∠ADE+∠DEA＝60°． ∴∠ADE＝∠DEA＝30°， ∴∠D＝∠EBD＝30°， ∴DE＝EB． 12．已知如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ACE，△CBD都是等边三角形，试判断EC与BD的位置关系，并证明你的结论． 【解答】解：EC⊥BD． 证明：延长EC交BD于点F，则∠ECA+∠ACB+∠BCF＝180°， ∵△ACD和△BCE都是等边三角形， ∴∠ECA＝∠CBF＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF＝180°﹣∠ACB﹣∠ECA＝30°， ∵∠CBF＝60°， ∴∠DFC＝∠CBF+∠BCF＝60°+30°＝90°， 即EF⊥BD， ∴EC⊥BD． 13．如图，△ABC是正三角形，∠B和∠C的平分线相交于D，BD，CD的垂直平分线分别交BC于E，F．求证：BE＝CF． 【解答】证明： 连接ED、FD， ∵∠B和∠C的平分线相交于D，BD，CD的垂直平分线分别交BC于E，F， ∴BE＝DE，CF＝DF， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠EDB＝30°， ∴∠DEC＝60°， 同理∠DFB＝60°， ∴△DEF为等边三角形， ∴DE＝DF， ∴BE＝CF． 14．若D是△ABC内一点，△ABC与△ADE均为等边三角形，若∠BDC＝100°，∠ADB＝α，则α为多少度时△CDE是等腰三角形． 【解答】解：设∠ADB＝x． ∵∠ADE＝360°﹣∠BDC﹣∠ADB﹣∠ADE，∠ADE＝60°，∠BDC＝100°， ∴∠CDE＝200°﹣x， ∵∠AEC＝∠ADB＝x，∠AED＝60°， ∴∠CED＝x﹣60°， ∵△CDE是等腰三角形， ∴有三种可能，①∠CED＝∠CDE， ∴x﹣60°＝200°﹣x， ∴x＝130°． ②∠CED＝∠DCE， ∴x﹣60°＝180°﹣（x﹣60°）﹣（200°﹣x）， ∴x＝100°． ③∠ECD＝∠EDC， ∴200°﹣x＝180°﹣（x﹣60°）﹣（200°﹣x）， ∴x＝160°， 综上所述，满足条件的∠ADB的度数为130°或100°或160°． 15．如图，点C在BE上，BD是等边△ABC的中线，CE＝CD，求证：DE＝DB． 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°． ∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）． 又∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED． 又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED， ∴∠CDE＝∠CED∠BCD＝30°． ∴∠DBC＝∠DEC． ∴DB＝DE（等角对等边）． 16．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 【解答】（1）证明：∵△ABC等边三角形，BD是中线； ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BD⊥AC，BD平分∠ABC， ∴， ∵∠ACB＝60°＝∠E+∠CDE， ∵CE＝CD，∠E＝∠CDE， ∴∠E+∠CDE＝∠ACB， 即2∠E＝60°， ∠E＝30°， ∴∠E＝∠DBC， ∴BD＝DE， ∴△BDE是等腰三角形； （2）解∵DF⊥BE，∠ACB＝60°， ∴∠FDC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°， ∴DC＝2FC＝2×4＝8，AC＝2DC＝2×8＝16， ∴△ABC周长：16×3＝48． 17．如图，在△ABD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，交BD于点E，连接BC，CD． （1）求证：△BCD是等腰三角形； （2）若∠BCD＝130°，求∠ABC的度数． 【解答】（1）证明：∵AB＝AD，AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， 在△BAC与△DAC中， ， ∴△BAC≌△DAC（SAS）， ∴BC＝DC， ∴△BCD是等腰三角形； （2）解：由（1）可知，BC＝DC， ∴∠CBD＝∠CDB， ∵∠BCD＝130°， ∴， ∵∠BAD＝60°，AB＝AD， ∴， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝85°． 18．在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC． （1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD； （2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°， ∵EB＝AE， ∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线， ∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°， ∴2EB＝BC， ∵ED＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD＝30°， ∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°， ∴BD＝BE， ∴2BD＝BC； （2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形， ∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE， ∵ED＝EC， ∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC， ∴∠EDB＝∠FEC， 在△BDE和△FEC中， ， ∴△BDE≌△FEC（AAS）， ∴BD＝EF， ∴AE＝BD， ∴CD＝BC+BD＝12+2＝14． 19．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上一点，以AD为边作等腰三角形ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于点F，∠BAD＝15°． （Ⅰ）求∠CAE的度数； （Ⅱ）求∠FDC的度数． 【解答】解：（Ⅰ）∵三角形ABC为等边三角形， ∴∠BAE＝60°， ∵∠BAD＝15°， ∴∠DAC＝60°﹣15°＝45°， ∵∠DAE＝80°， ∴∠CAE＝80°﹣45°＝35°； （Ⅱ）∵∠DAE＝80°，AD＝AE， ∴∠ADE（180°﹣80°）＝50°， ∠ADC＝∠BAD+∠B＝15°+60°＝75°， 又∵∠ADE＝50° ∴∠FDC＝∠ADC﹣∠ADE＝75°﹣50°＝25°． 20．如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE． 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°． ∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）． 又∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠CED． 又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED， ∴∠CDE＝∠CED∠BCD＝30°． ∴∠DBC＝∠DEC． ∴DB＝DE（等角对等边）． 21．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点． （1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由； （2）若BC＝20，求△ODE的周长． 【解答】解：（1）△ODE为等边三角形，理由如下： ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵OD∥AB，OE∥AC， ∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°， ∴∠DOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠ODE＝∠OED＝∠DOE， ∴△ODE为等边三角形； （2）∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠DBO， ∵OD∥AB， ∴∠ABO＝∠DOB， ∴∠DOB＝∠DBO， ∴BD＝OD， 同理CE＝OE， ∴△ODE的周长＝OD+DE+OE＝BD+DE+EC＝BC＝20． 22．如图所示，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD＝AE． （1）求∠EDC的度数； （2）若AD＝6，求△ADE的面积． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°， ∵AD为中线， ∴∠CAD∠BAC60°＝30°，AD⊥CD， ∵AD＝AE， ∴， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝15°； （2）过D作DF⊥AC于点F，则∠AFD＝90° ∵∠CAD＝30°，AD＝6， ∴． ∵AE＝AD＝2×3＝6， ∴． 23．如图，在等边△ABC中，D是边AB上的一点，E是CB延长线上的一点，连接CD，DE．若∠BDE＝25°，CD＝DE，求∠ACD的度数． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°． ∵∠BDE＝25°，∠ABC是△BDE的一个外角， ∴∠E＝∠ABC﹣∠BDE＝60°﹣25°＝35°． ∵CD＝DE， ∴∠DCE＝∠E＝35°（等边对等角）， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCE＝60°﹣35°＝25°， ∴∠ACD的度数为25°． 24．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：DB＝DE； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴∠ACB＝60°，， ∵CE＝CD， ∴， ∴∠CBD＝∠E＝30°． ∴DB＝DE； （2）解：∵DF⊥BE， ∴∠DFC＝90°，∠FDC＝90°﹣∠C＝30°， ∵CF＝4， ∴DC＝2CF＝8． ∵△ABC为等边三角形，BD是中线， ∴AB＝BC＝AC＝2DC＝16， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝3×16＝48． 25．如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上的任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，直线BN与AM交于点Q． （1）求证：△BAN≌△ACM； （2）求∠BQM的大小． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠BCA＝60°， ∵BM＝CN， ∴CM＝AN， 又∵∠BAN＝∠ACM， ∴△BAN≌△ACM； （2）∴∠CAM＝∠ABN， ∴∠BQM＝∠ABN+∠BAQ＝∠CAM+∠BAQ＝∠BAC＝60°． 26．某如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°． （1）求∠ADB的度数； （2）判断△ABE的形状并加以证明； （3）连接DE，若DE⊥BD，DE＝10，直接写出AD的长． 【解答】解：（1）∵BD＝BC，∠DBC＝60°， ∴△DBC是等边三角形， ∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°， 在△ADB和△ADC中，AB＝AC，AD＝AD，DB＝DC， ∴△ADB△≌△ADC（SSS）， ∴∠ADB＝∠ADC， ∴； （2）结论：△ABE是等边三角形．理由如下： ∵∠ABE＝∠DBC＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△EBC中，∠ADB＝∠BCE＝150°，BD＝BC，∠ABD＝∠CBE， ∴△ABD≌△EBC（ASA）， ∴AB＝BE， ∵∠ABE＝60°， ∴△ABE是等边三角形； （3）如图：连接DE， ∵∠BCE＝150°，∠DCB＝60°， ∴∠DCE＝90°， ∵∠EDB＝90°，∠BDC＝60°， ∴∠EDC＝30°， ∴， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD＝EC＝5． 27．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F． （1）如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝则 　120°　 ，如图2，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝　90°　 ，如图3，若∠ACD＝α，则∠AFB＝　180°﹣α　 （用含α的式子表示）； （2）设∠ACD＝α，将图3中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图4，试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明． 【解答】解：（1）如图1，CA＝CD，∠ACD＝60°， 所以△ACD是等边三角形． ∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°， 所以△ECB是等边三角形． ∵AC＝DC，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠BCD＝∠BCE+∠DCE， 又∵∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACE＝∠BCD． ∵AC＝DC，CE＝BC， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC＝∠BDC． ∠AFB是△ADF的外角． ∴∠AFB＝∠ADF+∠FAD＝∠ADC+∠CDB+∠FAD＝∠ADC+∠EAC+∠FAD＝∠ADC+∠DAC＝120°． 如图2，∵AC＝CD，∠ACE＝∠DCB＝90°，EC＝CB， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠AEC＝∠DBC， 又∵∠FDE＝∠CDB，∠DCB＝90°， ∴∠EFD＝90°． ∴∠AFB＝90°． 如图3，∵∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE． ∴∠ACE＝∠DCB． ∴∠CAE＝∠CDB． ∴∠DFA＝∠ACD． ∴∠AFB＝180°﹣∠DFA＝180°﹣∠ACD＝180°﹣α． （2）∠AFB＝180°﹣α； 证明：∵∠ACD＝∠BCE＝α，则∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE， 即∠ACE＝∠DCB． 在△ACE和△DCB中， ∵， ∴△ACE≌△DCB（SAS）． 则∠CBD＝∠CEA，由三角形内角和知∠EFB＝∠ECB＝α． ∠AFB＝180°﹣∠EFB＝180°﹣α． 28．已知M是等边三角形ABC的边BC上的点． （1）如图13﹣①，过点M作MN∥AC，且交AB边于点N，求证：BM＝BN； （2）如图13﹣②，在图13﹣①的基础上连接AM，过点M作∠AMH＝60°，MH与△ABC的外角∠ACD的平分线交于点H． ①若∠CAM＝45°，则∠HMC＝　15　 °； ②求证：△ANM≌△MCH． 【解答】（1）证明：由题意得：∠C＝∠B＝60°， ∵MN∥AC， ∴∠BMN＝∠C＝60°，∠BNM＝∠B＝60°， ∴∠BMN＝∠BNM＝60°， ∴BM＝BN． （2）①∵∠BAC＝60°，∠CAM＝45°， ∴∠BAM＝15°， ∵∠AMH+∠HMC＝∠AMC＝∠BAM+∠B， ∴60°+∠HMC＝∠AMC＝15°+60°， ∴∠HMC＝15°， 故答案为：15； ②∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC， ∵BM＝BN， ∴AN＝MC， ∵CH是∠ACB外角平分线， ∴∠ACH＝60°， ∴∠MCH＝∠ACB+∠ACH＝120°， ∵∠BNM＝60°， ∴∠ANM＝120°， ∴∠ANM＝∠MCH， 又∵∠NMC＝180°﹣60°＝120°，∠AMH＝60°， ∴∠HMC+∠AMN＝60°， 又∵∠NAM+∠AMN＝∠BNM＝60°， ∴∠HMC＝∠MAN， 在△ANM和△MCH中， ， ∴△ANM≌△MCH（ASA）． 29．如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB，求PP′的长和∠APB的角度． 【解答】解：∵△ABC是边三角形， ∴∠CAB＝60°， ∵△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB， ∴∠PAP′＝∠CAB＝60°，AP＝AP′，P′B＝PC＝10， ∴△APP′是等边三角形， ∴PP′＝AP＝6，∠APP′＝60°， ∵PB2+PP′2＝82+62＝100＝P′B2， ∴△BPP′是直角三角形， ∴∠P′PB＝90°， ∴∠APB＝∠APP′+∠P′PB＝150°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/29 9:15:20；用户：5dd41c2c；邮箱：5dd41c2c-3597-441c-94ab-42762b318310.24208687；学号：65723282等边三角形 参考答案与试题解析 一、解答题 1．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，∠DAC＝∠B，且∠BAD＝60°，求证：△AEF是等边三角形． 【解答】证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠BCE， ∵∠AEF＝∠BCE+∠B，∠AFE＝∠DAC+∠ACE，∠DAC＝∠B， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵∠BAD＝60°， ∴△AEF是等边三角形． 2．已知：如图，BE和CF是△ABC的高，H是BE和CF的交点，且HB＝HC，∠A＝60°，求证：△ABC为等边三角形． 【解答】证明：∵HB＝HC， ∴∠HBC＝∠HCB， ∵CF⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BFC＝∠BEC＝90°， ∴∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 3．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DF⊥BC于点F，延长FD、CA交于点E．若∠E＝30°，AD＝AE．求证：△ABC为等边三角形． 【解答】证明：∵AD＝AE， ∴∠E＝∠ADE＝30°， ∴∠CAB＝∠E+∠ADE＝30°+30°＝60°， ∵DF⊥BC， ∴∠EFC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠E＝60°， ∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠CAB＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠C＝∠B＝∠CAB， ∴△ABC为等边三角形． 4．已知：如图，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE交BC的延长线于点E，且∠ACE＝60°．求证：△ACE是等边三角形． 【解答】证明：∵∠ACE＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ACE＝120°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD∠ACB＝60°， ∵AE∥DC， ∴∠CAE＝∠ACD＝60°，∠E＝∠BCD＝60°， ∴∠CAE＝∠E＝∠ACE＝60°， ∴△ACE是等边三角形． 5．如图，已知D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求证：△ABC是等边三角形． 【解答】证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△BED和△CFD都是直角三角形， 在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC（等角对等边）． ∵∠BDE＝30°，DE⊥AB， ∴∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 6．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC 于点D，∠ABD＝30°，求证：△ABC为等边三角形． 【解答】证明：∵AB＝BC，BD⊥AC于点D， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∵∠ABD＝30°， ∴∠ABC＝60°， 又AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形． 7．如图，已知△ABC中，BD平分∠ABC，CE＝CD，DB＝DE，∠E＝30°． 求证：△ABC是等边三角形． 【解答】证明：∵DB＝DE， ∴∠DBC＝∠E＝30°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠DBC＝60°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E＝30°， ∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB， ∴△ABC是等边三角形． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝2∠A，CD是△ABC的中线，求证：△BCD是等边三角形． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝2∠A， ∴∠B＝60°， ∵CD是△ABC的中线， ∴CDAB＝BD， ∴△BCD是等边三角形． 9．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．求证：△ADE是等边三角形． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， 即∠C＝30°． ∵AD⊥AC，AE⊥AB． ∴∠ADC＝∠AEB＝60°， ∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 10．已知：如图，E为△ABC的边BA延长线上的一点，AD∥BC．∠EAD＝∠CAD＝60°．求证：△ABC是等边三角形． 【解答】证明：∵AD∥BC．∠EAD＝∠CAD＝60°， ∴∠B＝∠EAD＝60°，∠C＝∠CAD＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 11．如图，∠ABD＝∠ADB＝15°，∠CBD＝45°，∠CDB＝30°．求证：△ABC是等边三角形． 【解答】证明：如图作等边三角形BDE，连接AE． ∵∠ABD＝∠ADB＝15°， ∴AB＝AD ∵EB＝ED， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SSS）， ∴∠AEB＝∠AED＝30°， ∵∠BDC＝30°， ∴∠AEB＝∠BDC， ∵∠EBD＝60°，∠ABD＝15°， ∴∠EBA＝45°＝∠CBD 在△BAE和△BCD中， ∴△BAE≌△BCD（ASA） ∴BA＝BC ∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD ＝15°+45° ＝60° ∴△ABC是等边三角形． 12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝60°，点M、N分别在AB、AD边上，MC＝NC，求证：△AMN是等边三角形． 【解答】证明：连接AC， ∵AB⊥BC，AD⊥CD， ∴∠B＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴BC＝DC， 在Rt△MBC和Rt△NDC中， ， ∴Rt△MBC≌Rt△NDC（HL）， ∴BM＝DN， ∵AB＝AD， ∴AM＝AN， ∵∠BAD＝60°， ∴△AMN是等边三角形． 13．在△ABC中点D是BC上一点，∠BAC＝90°，∠C＝30°，作AC的中垂线DE交BC于D点，连接AD，求证：△ABD是等边三角形． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴∠B＝60°， ∵AC的中垂线DE交BC于D点， ∴AD＝CD， ∴∠DAC＝∠C＝30°， ∴∠BAD＝60°， ∴△ABD是等边三角形． 14．如图，点D在线段AB的垂直平分线上，∠ABC＝87°，∠ACB＝33°．求证：△ABD是等边三角形． 【解答】证明：在△ABC中，∠ABC＝87°，∠ACB＝33°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°， ∵点D在线段AB的垂直平分线上， ∴DA＝DB， ∴△ABD是等边三角形． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D是AB的中点，求证：△ACD是等边三角形． 【解答】证明：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝60°， ∵D是AB的中点， ∴CD＝ADAB， ∴△ACD是等边三角形． 16．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC于点D，E是BC上一点，连接AE，与BD相交于点O，连接OC，DE，且OB＝OC． （1）求证：AE垂直平分BC； （2）若∠OED＝∠ODE，求证：CO平分∠ACB； （3）若∠BAC＝60°，求证：△CDE是等边三角形． 【解答】证明：（1）∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC． ∵OB＝OC，点A，O在AE上， ∴AE垂直平分BC； （2）∵∠OED＝∠ODE， ∴OD＝OE． 又∵BD⊥AC，AE⊥BC， 即OD⊥AC，OE⊥BC， ∴CO平分∠ACB； （3）由（1）知AB＝AC． ∵∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°． 由（1）知AE垂直平分BC， ∴E是BC的中点， ∴ECBC， ∵BD⊥AC， ∴， ∴EC＝CD， ∴△CDE是等边三角形． 17．如图，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点D在线段AB的垂直平分线上，∠ABC＝87°，∠ACB＝33°，∠CAE＝27°．求证：△ABD是等边三角形． 【解答】解：∵∠ACB＝33°，∠CAE＝27°，∠AEB是△AEC的外角， ∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝60°， 在△ABE中，∠ABC＝87°， ∴∠BAE＝180°﹣（∠ABC+∠AEB）＝180°﹣（87°+60°）＝33°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝33°+27°＝60°， ∵点D在线段AB的垂直平分线上， ∴DA＝DB， ∴△ABD是等边三角形． 18．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD⊥AC，延长BC至E，恰好使得CE＝CD，BD＝DE． （1）求：∠E的度数； （2）求证：△ABC为等边三角形． 【解答】解：（1）在△ABC中，BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∵CE＝CD，BD＝DE， ∴∠E＝∠CDE，∠E＝∠DBE， ∵∠DCB是△DCE的外角， ∴∠DCB＝∠E+∠CDE， 设∠E＝x°，则∠DBE＝∠E＝∠CDE＝x°， ∴∠DCB＝∠E+∠CDE＝2x°， 在△BCD中， ∵∠BDC+∠DCB+∠DBC＝180°， 即：90°+2x°+x°＝180°， ∴x＝30， 故∠E＝30°； （2）由（1）得，∠DCB＝2∠E＝60°， ∵BA＝BC， ∴△ABC是等边三角形． 19．如图，在△ABC中，∠B＝60°，过点C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求证：△ABC是等边三角形． 【解答】证明：证法一：∵CD∥AB， ∴∠A＝∠ACD＝60°， ∵∠B＝60°， 在△ABC中， ∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°， ∴∠A＝∠B＝∠ACB． ∴△ABC是等边三角形； 证法二：∵CD∥AB， ∴∠B+∠BCD＝180°． ∵∠B＝60°， ∴∠BCD＝120°． ∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACD＝60° 在△ABC中， ∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝60° ∴∠A＝∠B＝∠ACB． ∴△ABC是等边三角形． 20．如图，△ABC中，AB＝BC，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，若BD＝ED，求证：△ABC是等边三角形． 【解答】证明：∵△ABC中，AB＝BC，BD是中线， ∴BD⊥AC，∠BDC＝90°， ∵CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， ∵BD＝DE， ∴∠DBE＝∠E， △BDE中，∠DBE+∠BDE+∠E＝180°， ∴∠DBE+90°+∠CDE+∠E＝180°， 即3∠DBE+90°＝180°， ∴∠DBE＝30°，∠BCD＝60°， 又AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AB边的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，DE＝DF．求证：△ABC是等边三角形． 【解答】证明：∵D为AB的中点， ∴AD＝BD． ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠AED＝∠BFD＝90°． 在Rt△ADE和Rt△BDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BDF（HL）， ∴∠A＝∠B， ∴CA＝CB， ∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝AC ∴△ABC是等边三角形． 22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE． （1）试说明：∠E＝∠ECD； （2）若∠E＝60°，CE平分∠BCD，求证：△ECB为等边三角形． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠D＝∠EAD， ∴BE∥CD， ∴∠E＝∠ECD； （2）由（1）知∠E＝∠ECD， ∵∠E＝60°， ∴∠ECD＝60°， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠ECD＝60°， ∴∠EBC＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠E＝∠B＝∠BCE， ∴△ECB为等边三角形． 23．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E是AC的中点，DE⊥AC，交AB于D，连接CD．求证：△CDB是等边三角形． 【解答】证明：∵E是AC的中点，DE⊥AC， ∴AD＝CD， ∵DE∥BC， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠DCA＝30°， ∴∠CDB＝60°， ∵∠A＝30°， ∴BCAB， ∴BC＝BD， ∴△BDC是等边三角形． 24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE，AD＝CD． （1）求∠EAD的度数； （2）求证：△ADE是等边三角形． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AE＝BE，AD＝CD， ∴∠B＝∠EAB＝30°，∠C＝∠DAC＝30°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠EAB﹣∠DAC ＝120°﹣30°﹣30° ＝60°． （2）∵∠B＝∠EAB＝30°，∠C＝∠DAC＝30°， ∴∠AED＝∠B+∠BAE＝60°，∠ADE＝∠C+∠DAC＝60°， ∴∠EAD＝∠AED＝∠ADE， ∴△ADE是等边三角形． 25．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF． 求证：（1）∠B＝∠C； （2）△ABC是等边三角形． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C； （2）∵D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴AD＝CD，∠AED＝∠CFD＝90°， 在Rt△AED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△CFD（HL）， ∴∠A＝∠C， 由（1）知，∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B＝∠C， ∴△ABC是等边三角形． 26．在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． （1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值； （2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？ 【解答】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC， ∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°， 又∠B＝60°， ∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ， ∴△BPQ是等边三角形， ∴BP＝BQ， 由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t， ∴9﹣t＝6， 解得：t＝3， ∴当t的值为3时，PQ∥AC； （2）如图2，①当点Q在边BC上时， 此时△APQ不可能为等边三角形； ②当点Q在边AC上时， 若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ， 由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t， ∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t， 即：18﹣2t＝t，解得：t＝6， ∴当t＝6时，△APQ为等边三角形． 27．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形． 【解答】证明：∵CE⊥AB于点D，且DE＝DC， ∴BC＝BE， ∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D， ∴∠ECB＝60°， ∴△CEB为等边三角形． 28．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F． （1）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由； （2）若∠C＝30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）BE垂直平分AD，理由： ∵AM⊥BC， ∴∠ABC+∠5＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠C＝90°， ∴∠5＝∠C； ∵AD平分∠MAC， ∴∠3＝∠4， ∵∠BAD＝∠5+∠3，∠ADB＝∠C+∠4，∠5＝∠C， ∴∠BAD＝∠ADB， ∴△BAD是等腰三角形， 又∵∠1＝∠2， ∴BE垂直平分AD． （2）△ABD、△GAE是等边三角形．理由： ∵BE垂直平分AD， ∴BA＝BD， 又∵∠C＝30°，∠BAC＝90°， ∴∠ABD＝60°， ∴△ABD是等边三角形． ∵Rt△BGM中，∠BGM＝60°＝∠AGE， 又∵Rt△ACM中，∠CAM＝60°， ∴∠AEG＝∠AGE＝∠GAE， ∴△AEG是等边三角形． 29．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC． （1）求证：AD＝DC； （2）如图2，在上述条件下，若∠A＝∠ABC＝60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论． 【解答】（1）证明：∵DC∥AB， ∴∠CDB＝∠ABD， 又∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴BC＝DC， 又∵AD＝BC， ∴AD＝DC； （2）△DEF为等边三角形， 证明：∵BC＝DC（已证），CF⊥BD， ∴点F是BD的中点， ∵∠DEB＝90°，∴EF＝DF＝BF． ∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC， ∴∠DBE＝30°，∠BDE＝60°， ∴△DEF为等边三角形． 30．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形． 【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF， ∵EC＝ED， ∴∠ECD＝∠EDC， ∴∠ECB＝∠EDF， ∴△ECB≌△EDF（SAS）， ∴BE＝EF，∠B＝60°， ∴△BEF为等边三角形， ∴BE＝BF， ∵AE＝BD， ∴DF＝AB，BC＝DF， ∴AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形． 31．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M． （1）如果AB＝AC，求证：△DEF是等边三角形； （2）如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果△DEF是等边三角形，请加以证明；如果△DEF不是等边三角形，请说明理由； （3）如果CM＝4，FM＝5，求BE的长度． 【解答】（1）证明：∵∠A＝60°，AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∵BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F， ∴E、F分别是AC、AB边的中点， 又∵点D是BC的中点， EFBC，DEAB，DFAC， ∴EF＝ED＝DF， ∴△DEF是等边三角形； （2）解：△DEF是等边三角形． 理由如下：∵∠A＝60°，BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠ABE＝∠ACF＝90°﹣60°＝30°， 在△ABC中，∠BCF+∠CBE＝180°﹣60°﹣30°×2＝60°， ∵点D是BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB， ∴DE＝DF＝BD＝CD， ∴∠BDF＝2∠BCF，∠CDE＝2∠CBE， ∴∠BDF+∠CDE＝2（∠BCF+∠CBE）＝2×60°＝120°， ∴∠EDF＝60°， ∴△DEF是等边三角形； （3）解：∵∠A＝60°，BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠ABE＝∠ACF＝90°﹣60°＝30°， ∴BM＝2FM＝2×5＝10，MECM4＝2， ∴BE＝BM+ME＝10+2＝12． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $