第12讲 圆周运动（高效培优讲义）2027年高考物理一轮复习高效培优系列

该高中物理高考复习讲义聚焦圆周运动核心考点，涵盖运动学参量、动力学分析及传动、转盘、圆锥摆等模型，按夯实基础、突破重难、分层提能逻辑组织知识，通过考情解读、知识梳理、技法点拨、真题训练等环节，帮助学生系统构建解题框架。 讲义突出分层集训与模型建构特色，如轻绳轻杆模型通过临界条件分析培养科学思维，设置基础演练、能力进阶、真题实战三级练习，配合典例变式研析，确保高效突破难点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第12讲 圆周运动（培优复习讲义） 内容导航 夯实基础·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 基础・知识梳理（专题线索 知识导图 知识梳理） 知识01 圆周运动的运动学问题 知识02 圆周运动的动力学问题 重难・核心突破（技法点拨 典例突破 变式研析） 重难01 圆周运动的参量及三种传动方式 重难02 水平转盘 重难03 圆锥筒与圆锥摆 重难04 转弯、拱桥问题 重难05 轻绳、轻杆模型 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．掌握描述圆周运动的各物理量及关系，会分析匀速圆周运动的周期性及多解问题。 2．会分析圆周运动向心力的来源，并利用圆周运动的相关知识分析生活中的圆周运动。 3．会解决圆周运动和抛体运动的综合问题。 考题统计 核心考点 2026年 2025年 2024年 考点 圆周运动（5年41考） 江苏卷T14、湖北卷T9、黑吉辽蒙卷T9、广东卷T8、山东卷T17、上海卷T18、T20、浙江卷1月选考T19 安徽卷T6、河北卷T5、江苏卷T4、福建卷T5、山东卷T4、T10、广东卷T8、江西卷T7、重庆卷T3 北京卷T7、江西卷T14、甘肃卷T8、黑吉辽卷T2、江苏卷T8、T11、广东卷T5 考情解读 1．考查频次：本专题高考高频必考，力学核心重难点，选择、计算题均高频出现，模型类题型考查稳定，常结合受力分析综合命题。 2．考查要点：考查圆周运动基本物理量换算、三类传动规律；重点掌握水平面圆周运动、圆锥摆、交通转弯、拱桥、轻绳轻杆竖直圆周运动模型的向心力受力分析与临界条件计算。 3．命题情境：依托转盘、轨道、生活交通转弯、竖直圆周装置创设物理情境，围绕各类经典圆周模型设问，侧重考查向心力受力建模和临界极值分析能力。 备考策略 1．熟记基础参量：理清线速度、角速度等圆周物理量，牢记三类传动模型运算规律。 2．抓实向心力建模：针对水平面、竖直面场景规范受力分析，找准向心力来源。 3．吃透临界模型：掌握绳杆、转盘、拱桥、圆锥摆核心临界条件，固化解题模板。 基础・知识梳理 专题线索 1．概念线：梳理圆周运动基本物理量与皮带、同轴、齿轮三大传动规律。 2．场景线：整合水平类圆周模型（转盘、圆锥摆）与生活转弯模型。 3．临界线：归纳竖直面轻绳、轻杆、拱桥模型临界规律与解题方法。 知识导图 核心梳理 知识1 圆周运动的运动学问题 1．匀速圆周运动 （1）定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长度　相等　，就是匀速圆周运动。 （2）特点：加速度大小不变，方向始终指向　圆心　，是变加速运动。 （3）条件：合外力大小　不变　、方向始终与　速度　方向垂直且指向圆心。 2．描述圆周运动的物理量 （1） （2） （3） （4） （5） 知识2 圆周运动的动力学问题 1．匀速圆周运动的向心力 （1）作用效果：向心力产生向心加速度，只改变线速度的　方向　，不改变线速度的　大小　。 （2）大小：。 （3）方向：始终沿半径方向指向__圆心__，时刻在改变，即向心力是一个变力。 （4）来源：向心力可以由某个力提供，也可以由几个力的__合力__提供，还可以由某个力的__分力__提供。 2．圆周运动中向心力与合力的关系 3．圆周运动向心力来源的运动实例 运动模型 向心力Fn的来源 运动模型 向心力Fn的来源 运动模型 向心力Fn的来源 汽车在水平路面转弯 火车转弯 圆锥摆 飞机水平转弯 飞车走壁 水平转台（光滑） 航天器中的失重现象 1．航天器在近地圆轨道航行，可认为地球对航天器的万有引力等于航天器的重力，重力充当向心力，满足的关系为。 2．对航天员，设由重力和座椅的支持力的合力提供向心力，满足的关系为，可得FN=0，航天员处于完全失重状态，对座椅压力为零。 3．在正常情况下，航天器内的任何物体之间均没有压力。 4．离心运动和近心运动 （1）离心运动：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供其做圆周运动所需向心力的情况下，就做　逐渐远离圆心　的运动。 （2）受力特点 ①当F＝0时，物体沿　切线　方向飞出，做匀速直线运动。 ②当0＜F＜mrω2时，物体逐渐　远离　圆心，做　离心　运动。 ③当F＞mrω2时，物体逐渐　向圆心靠近　，做　近心　运动。 （3）本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的向心力　小于　做匀速圆周运动所需要的向心力。 重难・核心突破 重难01 圆周运动的参量及三种传动方式 【技法点拨】 1．描述圆周运动的物理量之间的关系如下： 线速度：； 角速度：； 转速/频率：； 向心力：。 2．三种传动方式 （1）皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。 （2）摩擦传动和齿轮传动：如图丙、丁所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。 （3） 同轴转动：如图戊、己所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，即ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。 【典例突破】（2026·广东·高考真题）（多选）如图所示，在光滑的水平地面上，P、Q、M、N四个质量相等的小球通过两根不可伸长的轻绳相连，P、Q间的绳长为，M、N间的绳长为，两绳相交于各自的中点，四球以相同角速度ω绕固定的点做匀速圆周运动，已知，P、Q的向心加速度大小均为，M、N的向心加速度大小均为，四球均可视为质点，忽略空气阻力，下列说法正确的有（     ） A． B． C．P的线速度大小为 D．轻绳对四球的拉力大小相等 【答案】AB 【解析】A．根据题意可知P、Q做圆周运动的半径 对P、Q根据可得，故A正确； B．因为四个球角速度相同，对球M、N有 所以，故B正确； C．对于P有，故C错误； D．绳子拉力提供向心力，根据可知由于四球质量相等，角速度相等，但半径不同，故拉力大小不相等，故D错误。 故选AB。 【变式研析】 1．（2026·广东揭阳·二模）图示为变速自行车的传动部件，变速自行车有三个飞轮和三个链轮，飞轮的齿数有24、18、12三种，链轮的齿数有48、36、24三种。当某同学以恒定的转速踩脚踏板时，下列说法正确的是（　　） A．链轮齿数不变，换用齿数更多的飞轮；自行车行驶速度变大 B．飞轮齿数不变，换用齿数更少的链轮，自行车行驶速度变大 C．该自行车行驶的最大速度与最小速度之比为 D．该自行车行驶的最大速度与最小速度之比为 【答案】C 【解析】链轮与脚踏板同轴，其齿数为；飞轮与后轮同轴，其齿数为；链条连接前后齿轮，则 所以飞轮与后轮角速度为 自行车行驶速度为 A．链轮齿数不变，换用齿数更多的飞轮；即不变，增大，则自行车速度减小，故A错误； B．飞轮齿数不变，换用齿数更少的链轮，即减小，不变，自行车行驶速度变小，故B错误； CD．该自行车行驶的最大速度与最小速度之比为，故C正确，D错误。 故选C。 2．（2026·湖南·模拟预测）辘轳是我国古代类似起重机的装置，如图甲所示，该机构利用差速轮盘实现起重。图乙是其简化模型：大圆盘半径为，小圆盘半径为，两盘都固定在同一根水平中轴上，且都缠有同一根绳子。绳子下端绕过一滑轮，其余段保持竖直，滑轮下端挂货物。某农夫以ω的角速度转动中轴，则货物上升的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】大小圆盘固定同轴转动，角速度均为，根据线速度与角速度的关系，可得大圆盘边缘线速度 小圆盘边缘线速度 中轴转动时，大圆盘收拢绳子，小圆盘放出绳子，时间内绳子的净缩短量为 下方挂货物的是动滑轮，绳子总净缩短量等于动滑轮两侧绳子缩短量之和，若货物上升速度为，时间内总缩短量满足 整理得 故选A。 3．（2026·江西赣州·二模）轴承的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有需要旋转运动的机械设备。其中滚动轴承一般由套圈（内圈、外圈）、滚珠、保持架等部件构成，如图甲所示。一滚动轴承的简化模型如图乙所示，厚度均不计的同心内圈A、外圈B的半径分别为R、2R，两圈间夹有直径恰好为R的滚珠，若B固定不动，当A绕圆心O以角速度ω匀速转动时，滚珠也跟着转动，且与A、B圈的接触点间无相对滑动，则滚珠绕自身中心转动的角速度为（    ） A．2ω B．ω C． D． 【答案】B 【解析】内圈A的半径为R，外圈B的半径为2R，因此滚珠的半径 内圈A以角速度为转动，因此边缘线速度为 外圈固定，滚珠与无相对滑动，因此滚珠和的接触点速度为0。设滚珠绕自身中心转动的角速度为，滚珠中心绕公转的线速度为，对滚珠与的接触点，接触点相对于滚珠中心的速度大小为，方向与公转速度相反，因此速度满足 解得 滚珠与无相对滑动，因此滚珠和接触点的速度等于边缘的线速度。该接触点相对于滚珠中心的速度大小为，方向与公转速度同向，因此速度满足 将、代入上式，得 解得 故选B。 重难02 水平转盘 【技法点拨】 1．如图所示，向心力由摩擦力提供，即，当物体刚要滑动时，（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），所以临界角速度。 2．规律：转盘角速度不变时，物体离转盘中心O越远，就越容易被“甩出去”；当物体离转盘中心O距离一定时，转盘角速度越大越容易被“甩出去”。 【典例突破】（2026·四川泸州·一模）摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中、分别为两轮盘的轴心。已知两个轮盘的半径比，且在正常工作时两轮盘不滑，今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心、的间距分别为、，且，若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（     ） A．两个轮盘的角速度之比为1∶1 B．转速增加后，滑块B先发生滑动 C．转速增加后，滑块A先发生滑动 D．转速增加后，两滑块一起发生滑动 【答案】B 【解析】A．摩擦传动两轮边缘线速度大小相等，由可知 故两个轮盘的角速度之比为，故A错误； BCD．滑块随盘做圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大静摩擦力时滑块开始滑动，此时向心加速度达到最大值满足 解得 两滑块的向心加速度分别为， 结合， 可得 由于两滑块材料相同，动摩擦因数相同，故最大静摩擦力提供的临界加速度相同。随着转速增加，始终是的倍，故先达到，滑块B先发生滑动，故B正确，C、D错误。 故选B。 【变式研析】 1．（2026·福建福州·三模）如图，在水平转台上放置有质量相同的滑块P和Q（可视为质点），它们与转台之间的动摩擦因数相同，P与转轴的距离为R1，Q与转轴的距离为R2，且R1<R2，转台绕转轴以角速度ω匀速转动，转动过程中，两滑块始终相对转台静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．滑块P和Q均受到四个力作用 B．P的向心加速度大于Q的向心加速度 C．P所受到的摩擦力大于Q所受到的摩擦力 D．若角速度ω缓慢增大，Q一定比P先开始滑动 【答案】D 【解析】A．转动过程中，两滑块相对转台静止，滑块P和Q均受到重力、支持力和摩擦力三个力作用，故A错误； BC．转动过程中，两滑块相对转台静止，两滑块有相同的角速度，都由静摩擦力提供向心力，则有 因两滑块的质量相同，而R1<R2，故，即P需要的向心力小于Q需要的向心力，P的向心加速度小于Q的向心加速度，故BC错误； D．设两滑块与转台的动摩擦因数为，则最大静摩擦力为 则两滑块的最大静摩擦力相同；根据上述分析可知，在没有滑动前，Q所需要的向心力总是大于P所需要的向心力，则Q所受的静摩擦力总是大于P所受的静摩擦力，当角速度ω缓慢增大时，Q先达到最大静摩擦力，则Q一定比P先开始滑动，故D正确。 故选D。 2．（2026·吉林长春·三模）如图A、B是水平转盘上的两物体，两物体之间用轻绳连接。其中A的质量为3m，到圆心O的距离为r；B的质量为m，到圆心O的距离为2r，物体A、B与圆盘间的动摩擦因数均为μ。现圆盘的转速从0开始缓慢增大，直至两物体相对转盘发生滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（　　） A．物体A先达到最大静摩擦力 B．B物体所受摩擦力先增大后保持不变 C．B达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度一定为 D．在范围内，A所受的摩擦力一直保持不变 【答案】D 【解析】A．根据，可得临界角速度 因B的转动半径较大，则临界角速度较小，则物体B先达到最大静摩擦力，A错误； BC．随着转盘的角速度从零开始增大时，根据，可知B物体所受摩擦力指向圆心逐渐增大，当静摩擦力达到最大值时，即 即 此后细绳出现张力，以后随角速度变大，细线张力变大，但B受最大静摩擦力不变；因，则最终当两物体都达到最大静摩擦力时B的最大静摩擦力方向背离圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆心，可知随着角速度增加，B的静摩擦力由指向圆心的最大变为逐渐减小然后反向增加到最大值，则B的静摩擦力先逐渐增加，后保持不变，然后逐渐减小，再逐渐变大；B达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度不一定为，BC错误； D．当A指向圆心的静摩擦力刚达到最大时，对A 对B 解得 当AB将要产生相对滑动时，A指向圆心的静摩擦力达到最大时，B背离圆心的静摩擦力达到最大时，则对A有 对B有 解得 可知在范围内，A所受的摩擦力一直保持指向圆心的最大值不变，D正确。 故选D。 3．如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，上面放置劲度系数k=56N/m的弹簧，弹簧的一端固定于轴O上，另一端连接质量m=1.0kg的小物块A，物块与圆盘间的动摩擦因数μ=0.40，开始时弹簧未发生形变，长度l0=25cm，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2，求： （1）圆盘的角速度为多大时，物块A开始滑动； （2）当圆盘角速度缓慢地增加到6.0rad/s时，弹簧的长度是多少？（弹簧始终在弹性限度内且物块未脱离圆盘） 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设圆盘的角速度为时，物块A将开始滑动，此时物块的最大静摩擦力提供向心力，则有 解得 （2）设此时弹簧的长度为，物块受到的摩擦力和弹簧的弹力的合力提供向心力，则有 代入数据解得 重难03 圆锥筒与圆锥摆 【技法点拨】 1．圆锥筒 （1）如图所示为圆锥筒模型。筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即，解得，。 （2）规律：稳定状态下，小球所处的位置越高，运动轨迹半径r越大，角速度ω就越小，线速度v就越大，小球受到的支持力和向心力并不随位置的变化而变化。 2．圆锥摆 （1）如图所示为圆锥摆模型。向心力，且，解得，。 （2）规律：稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力和运动所需向心力F向也越大。 （3）P、Q随旋转圆盘绕中心轴匀速转动，它们做圆周运动的角速度相等，线速度、向心加速度均与轨道半径成正比，且在竖直方向上受到的合力为零。 【典例突破】（2026·浙江·二模）2026年春晚节目《世界义乌中国年》中，93名孩子齐摇拨浪鼓送上新春祝福。如图所示，拨浪鼓边缘上与圆心等高处关于转轴对称的位置固定有长度分别为、的两根不可伸长的细绳，两根细绳另一端分别系着质量相同的小球A、B，其中。现匀速转动手柄使两小球均在水平面内匀速转动，连接小球A、B的细绳与竖直方向的夹角分别为和，两小球线速度大小分别为、，细绳对小球A、B的拉力大小分别为、，下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】AB．设拨浪鼓半径为R，细绳长为l，小球在水平面内做匀速圆周运动，设细绳与竖直方向夹角为，则有，解得。 由题意可知两小球角速度相同，由于，则根据公式可知。故AB错误； C．两小球轨道半径满足，角速度，则。故C正确； D．绳子的拉力可表示为，由于，则可得。故D错误。故选C。 【变式研析】 1．（2025·湖南·模拟预测）如图所示的圆锥筒开口向上，为圆锥筒的顶点，O点为底面圆的圆心，圆锥筒的母线与水平面的夹角为。一可视为质点、质量为kg的物体放在圆锥筒内壁，给物体一沿内壁向下的初速度，物体刚好匀速下滑。将物体放在距离点m处，现让圆锥筒绕中心轴线以角速度ω匀速转动，物体随圆锥筒做圆周运动且始终相对圆锥筒静止。假设物体与圆锥筒间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，，则下列说法正确的是（　　） A．物体与圆锥筒间的动摩擦因数为0.5 B．当rad/s时，物体只受重力和支持力的作用 C．当rad/s时，物体所受的摩擦力大小为3N D．当rad/s时，物体恰好不沿圆锥筒内壁上滑 【答案】B 【解析】A．物体沿圆锥筒内壁下滑时，物体受重力、支持力和沿圆锥筒内壁向上的滑动摩擦力，由力的平衡条件得， 又 解得，A错误； B．当圆锥筒做匀速圆周运动，物体只受重力和支持力作用时，有，又 代入数据解得rad/s，B正确； C．rad/s时，圆锥筒的角速度大于，物体有沿圆锥筒内壁向上滑动的趋势，则物体所受的静摩擦力沿内壁向下，竖直方向上有 水平方向上有 代入数据解得N，C错误； D．当物体开始沿圆锥筒内壁上滑时，物体与圆锥筒内壁的摩擦力达到最大静摩擦力，竖直方向上有 水平方向上有 又 解得rad/s，D错误。故选B。 2．（2026·江西吉安·模拟预测）（多选）鹰潭方特东方神话中的旋风飞椅项目因可体验高空旋转离心快感和飞一般的感觉，广受游客喜爱。旋风飞椅简化示意图如图所示：一根长度为L的轻绳，一端固定在半径为r0的圆盘上的P点，另一端系着一个质量为m的小球（可视为质点）。小球随圆盘绕其竖直中心轴OO'在水平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，绳子张紧并与竖直方向保持一个稳定的夹角θ。已知重力加速度为g，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球受到重力、绳子拉力和向心力三个力的作用 B．小球做圆周运动的角速度 C．绳子张力 D．若增大小球的质量，夹角θ变小 【答案】BC 【解析】A．小球受重力、绳子拉力两个力作用，向心力是这两个力的合力，效果是改变速度方向，不是物体实际受到的力，故A错误； B．小球做圆周运动的半径 根据牛顿第二定律，合外力提供向心力，有 解得，故B正确； C．在竖直方向上，小球受力平衡，有 解得绳子张力，故C正确； D．由 可知，等式两边质量消去，夹角与小球的质量无关，若增大小球的质量，夹角不变，故D错误。 故选BC。 3．（2025·河南新乡·模拟预测）公园中常有小朋友用发光转转球进行健身娱乐活动，如图1所示。情境可简化如下：不可伸长的轻绳一端系着质量m=1kg的小球，另一端系在固定竖直轴上。某次锻炼时，小球绕轴做角速度ω1=4rad/s的匀速圆周运动，此时轻绳与地面平行，拉力大小T1=4N，如图2所示。不计小球的一切阻力，小球可视为质点，sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度g取10m/s2。 （1）求轻绳的长度L； （2）若小球绕轴做角速度的匀速圆周运动，此时轻绳与轴的夹角，结点为O，如图3所示。求此时小球对地面的压力大小FN； 【答案】（1）0.25m （2）4N 【解析】（1）轻绳拉力充当向心力，有 代入数据可得，轻绳的长度 （2）此时小球做圆周运动的半径 绳拉力的水平分力充当向心力 竖直方向上受力平衡，有 可求得， 根据牛顿第三定律 重难04 转弯、拱桥问题 【技法点拨】 1．火车转弯时的规定速度 如图所示，设火车轨道两轨间距为L，内、外轨高度差为h，转弯处圆周运动半径为R。火车转弯时可看作做速圆周运动，运动轨迹在水平面内。 火车转弯处外轨略高于内轨，使得火车所受重力和支持力的合力F合提供向心力： ，故，当L、h、R确定时，v规是唯一的。 2．汽车过拱形桥 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面 受力分析 向心力 对桥（路面）的压力 状态 失重状态 超重状态 结论 汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小 汽车对路面的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对路面的压力越大 【典例突破】（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可知，转弯时车轮会向外偏移，这样导致轮子与外铁轨接触的位置半径增大为，根据几何关系有 同理可知，轮子与内铁轨接触的位置半径减小为，则有 设一段时间内，外轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，内轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为，由于两轮固定连接为一体，且轮子不打滑，则有 由于 则有 转弯过程俯视图，如图所示 由几何关系有 联立解得 故选C。 【变式研析】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图为我市某个圆形环岛路，两圆弧车道圆心相同，假设A、B两辆车轮胎与路面之间的动摩擦因数相同。当两车以大小相等的线速度匀速转弯时，下列说法正确的是（　　） A．A、B两车的向心加速度大小相等 B．A车的角速度比B车的角速度大 C．B车所受的合力大小一定比A车所受的合力小 D．若两车转弯线速度减小，则两车均会发生侧滑 【答案】B 【解析】A．线速度相等，根据可知A车的向心加速度更大，A错误； B．A车转弯半径比B车小，根据可知A车的角速度比B车的角速度大，B正确； C．两车质量未知，向心力大小无法比较，C错误； D．若两车转弯线速度减小，两车都不会侧滑，D错误。 故选B。 2．（2026·海南·一模）（多选）如图所示，将短道速滑运动员在弯道转弯的过程看成在水平冰面上的一段匀速圆周运动，转弯时由于冰刀嵌入冰内，因此冰刀受到与冰面夹角为θ（蹬冰角）的支持力，不计一切摩擦，转弯半径为R，重力加速度大小为g。关于该转弯过程，下列说法正确的是（　　） A．运动员所受合力大小不变 B．运动员的加速度大小为gtanθ C．运动员转弯时角速度的大小为 D．运动员的线速度大小为 【答案】AC 【解析】A．运动员做匀速圆周运动，合力提供向心力，所以他所受合力大小保持不变，故A正确； BCD．运动员受力如图所示 根据合力提供向心力有 可知运动员转弯时的线速度大小 又 解得 ，故BD错误，C正确。 故选AC。 3．（2026·江苏·高考真题）一质量的汽车经过一半径的拱形桥顶部时，速度。已知牵引力，阻力。求此时： （1）汽车的向心加速度大小； （2）汽车受到的合力大小。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据题意，由向心加速度公式可得 （2）汽车在最高点时，水平方向上有 竖直方向有 则汽车在最高点受到的合力大小为 重难05 轻绳、轻杆模型 【技法点拨】 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 安全通过最高点的临界条件 仅由重力提供向心力， 物体能运动到最高点即可， 对最高点的分析 绳子或轨道对物体的弹力为零，是物体在竖直面内过最高点的最小速度 轻杆或管道对物体的弹力为零，是物体所受弹力方向变化的临界速度 物体不能到达最高点 轻杆或管道对物体的弹力为，方向竖直向上 绳子或轨道对物体的弹力，方向竖直向下 轻杆或管道对物体的弹力，方向竖直向下 【典例突破】（2026·湖北·高考真题）（多选）如图所示，半径为、内壁光滑的圆环轨道固定在竖直平面内。初始时刻，质量为 的小球甲从圆环内表面最高处以大小为（为重力加速度大小）的水平初速度向右运动，同时质量为的小球乙从圆环内表面最低处以某一水平初速度向左运动。当甲第一次运动到圆环最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点。不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．乙的初速度大小为 B．甲、乙两小球运动的周期相等 C．任意时刻两小球的连线均过圆环圆心 D．任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零 【答案】BD 【解析】A．根据题意当甲第一次运动到最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点，根据对称性可知，乙的初速度大小等于甲到达最低点时的速度大小，故乙在最高点时的速度大小等于，设乙球在最低处时速度为，由机械能守恒得 解得，故A错误； B．根据题意当甲第一次运动到最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点，根据对称性可知，球从最高点到最低点和从最低点到最高点的时间相等，故甲乙两球运动的周期相等，故B正确； CD．分析可知，甲从最高点运动到最低点，速度大小从增大到，乙从最低点到最高点，速度大小从减小到，从初始时刻取一很短时间，甲经过的弧长短，乙经过的弧长长，转过的角度不同，故不可能任意时刻两小球的连线均过圆心；故C错误； D．根据前面分析可知除两球分别在最高点和最低点时两球连线经过圆心，其它位置均不满足两小球的连线过圆心，乙球在最高点和最低点时，分别有， 解得， 甲球在最低点和最高点时，分别有， 解得， 根据牛顿第三定律可知乙球在最高点时对圆环的作用力大小为，此时甲球在最低点对圆环的作用力大小为；当乙球在最低点时对圆环的作用力大小为，此时甲球在最高点对圆环的作用力大小为，故这两个位置两球对圆环的作用力的合力不为零，结合前面分析其它位置均不满足两小球的连线过圆心，即其它位置两球对圆环的作用力不共线，故合力不可能为零，故对任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零，故D正确。 故选BD。 【变式研析】 1．如图所示，竖直平面内半径为R的光滑圆轨道保持固定不动，质量为m=0.2 kg可视为质点的小球静止在圆轨道最低点A。现给小球一水平向右的初速度，使小球能做完整的圆周运动，当小球转过的圆心角时，轨道对小球的弹力大小为11 N，小球的动能减少0.6 J。重力加速度g取10 m/s2，则（　　 ） A．轨道半径R=0.5 m B．小球运动过程中的最小速度为2 m/s C．小球的初速度 D．小球对圆轨道任意两点压力差的最大值为12 N 【答案】D 【解析】A．小球从最低点运动到θ=60°位置的过程中，根据动能定理得：-mgR（1-cos60°）=ΔEk 已知m=0.2kg，ΔEk=-0.6J，解得R=0.6m，故A错误； C．在θ=60°处，根据牛顿第二定律得 解得 此时小球的动能为 小球的初动能Ek0+ΔEk=Ek1，解得Ek0=3.6J 根据 解得v0=6m/s，故C错误； B．小球能做完整的圆周运动，在最高点速度最小。从最低点到最高点，由机械能守恒定律可得 解得，故B错误； D．小球在最低点对轨道的压力最大，在最高点对轨道的压力最小（因全程，弹力方向均指向圆心）。最大压力 最小压力 压力差的最大值为ΔN=12N，故D正确。 故选D。 2．（2026·山东烟台·二模）如图所示，在粗糙水平地面上放置一个质量为M的支架，支架顶端通过轻质铰链连接一根长为L的轻杆，轻杆另一端连接一个质量为m的小球（小球的半径忽略不计）。开始时小球静止在底端，现给小球一水平初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，支架始终保持静止不动。重力加速度大小为g，运动过程中忽略空气阻力。当小球到达最高点时，支架对地面压力的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】小球从最低点运动到最高点，上升高度为，只有重力做功，机械能守恒 小球在最高点，圆心在小球下方，向心力向下指向圆心。设杆对小球的作用力为，向下为正方向，由向心力公式 得 说明杆对小球、小球对杆都没有作用力。 支架静止，受力平衡，自身重力为，地面对支架的支持力等于，根据牛顿第三定律，支架对地面的压力大小为。 故选B。 3．（2025·山东·模拟预测）如图所示，竖直面内固定一个圆心在点，半径的粗糙圆弧轨道，与水平地面相切于点，连线竖直，为轨道的一条直径，与之间的夹角。小球由点水平抛出，以的速度从点沿切线进入圆弧轨道，顺着轨道运动至点时脱离轨道。小球可视为质点，不计空气阻力，取，。求： （1）之间的水平距离； （2）小球在点时的速度大小； （3）小球运动到最高点时与点之间的竖直距离和水平距离（结果保留两位小数）。 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】（1）设小球在点水平向右的分速度大小为，竖直向下的分速度大小为，则有， 小球在竖直方向上做自由落体运动，设由至历时，有 在水平方向上，有 解得 （2）小球在点仅受重力作用，设小球质量为，有 解得 （3）小球经点后做斜抛运动，设小球轨迹最高点为，则之间的高度差 解得 设经时间小球从点到达点，则 之间的水平距离 解得 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·福建三明·二模）如图，停车场的道闸机可自动识别车牌开关大门，其横杆上有A、B两点，随横杆在竖直面内绕转轴旋转，则A、B的线速度大小判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【解析】同轴转动，角速度相同，根据可得 故选C。 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图所示的皮带传动装置，主动轮上两轮的半径分别为和r，从动轮的半径为，A、B、C分别为轮缘上的三点，设皮带不打滑，则下列说法正确的是（　　） A．A、B两点的线速度大小关系是 B．B、C两点的线速度大小关系是 C．A、B两点的的角速度关系是 D．B、C两点的的角速度关系是 【答案】A 【解析】AC．A、B点属于同轴传动，所以 根据可得 即，故A正确，C错误； BD．B、C为同皮带传动，所以有 根据线速度与角速度之关系可知B、C两点的角速度关系是，故BD错误。 故选A。 3．如图所示，有人设计了一种没有链条的自行车，传动系统由5个相互啮合的齿轮构成，最后面的一个齿轮e与后轮轮轴相连。在主动轮a以恒定角速度顺时针转动的前提下，以下说法正确的是（　　） A．中间3个齿轮换成4个半径稍小的齿轮，自行车仍然向前运动 B．自行车前进速度只由a、e两轮的半径决定，与中间3个齿轮的半径无关 C．把b换成半径小的齿轮、c换成半径大的齿轮，自行车的速度会增大 D．把c换成半径小的齿轮、d换成半径大的齿轮，自行车的速度会减小 【答案】B 【解析】A．中间3个齿轮改为4个齿轮之后，骑行者骑车时，正常踏动脚蹬，自行车就会后退，所以中间齿轮只能是奇数，不能是偶数，A错误； BCD．所有齿轮边缘的线速度大小总是相等，中间齿轮无论半径如何，都不会改变a、e两轮的角速度之比，设车轮半径为R，则自行车的速度，与b、c、d的半径大小无关，则B正确，CD错误。 故选B。 4．子弹沿水平方向穿过顺时针匀速转动的纸筒直径，子弹穿过纸筒的时间t=0.01s，最终纸筒上只留下一个孔洞。则纸筒的角速度可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】子弹穿过纸筒的时间，最终纸筒上只留下一个洞痕，则纸筒转过的角度为（，，） 则纸筒的角速度为（，，） 当时，可得 当时，可得 当时，可得 故选B。 5．如图所示，把一个可视为质点的小球放在内壁光滑的玻璃漏斗中，先后两次晃动漏斗，可以使小球沿漏斗内壁分别在不同水平面内沿轨迹1和轨迹2做匀速圆周运动。在两次做匀速圆周运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球受到重力、支持力和向心力的作用 B．小球所受合力沿漏斗内壁斜向下 C．小球在轨迹1、2上的向心加速度大小 D．小球在轨迹1、2上的线速度大小 【答案】C 【解析】A．向心力是效果力，由重力与支持力的合力提供，不能说小球受到向心力作用，故A错误； B．小球所受合力提供向心力，方向水平指向圆心（轴线），并非沿漏斗内壁斜向下，故B错误； C．设漏斗壁与竖直方向夹角为 ，由竖直方向 ，水平方向 ，得 ，与半径无关，故 ，C正确； D．由 ，结合 ，得 ，。图中轨迹1半径大于轨迹2，，故D错误。 故选C。 6．如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为，重力加速度为，则下列说法正确的是（     ） A．a、b两小球都是所受合外力充当向心力 B．a、b两小球圆周运动的半径之比为 C．小球b受到的绳子拉力大小为 D．小球a运动到最高点时受到绳子的拉力大小为 【答案】C 【解析】A．小球a做变速圆周运动，只在最低点处由合外力充当向心力，在其他位置时有切向方向的加速度；而小球b做匀速圆周运动，是合外力充当向心力，故A错误； B．假设细线长度为L，则a小球圆周运动的半径为L；b小球圆周运动的半径为 所以a、b两小球圆周运动的半径之比为，故B错误； C．对b球受力分析如图 竖直方向上 所以绳的拉力为，故C正确； D．小球a运动到最高点时速度为零，向心力也为0，受力如下图 沿半径方向上合力为0，满足，故D错误。 故选C。 7．如图所示，小物块a和b位于光滑水平平台上，a、b之间固定一钉子，两物块均用平行于平台的轻绳系在钉子上，a、b随平台以角速度绕过钉子的竖直轴转动。已知a、b质量分别为和，到钉子的距离分别为和，则钉子受到的拉力为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对小物块a，根据牛顿第二定律可得 对小物块b，根据牛顿第二定律可得 则钉子受到的拉力为 故选A。 8．如图所示，圆筒以角速度匀速转动，一物体紧贴圆筒内壁随圆筒一起转动而未滑落。当圆筒的角速度增大到某一值时继续匀速转动，物体仍能随圆筒一起转动而未滑落，下列对物体受力分析正确的是（     ） A．弹力增大，摩擦力增大 B．弹力不变，摩擦力减小 C．弹力减小，摩擦力不变 D．弹力增大，摩擦力不变 【答案】D 【解析】对物体，竖直方向，可知摩擦力不变；水平方向，则角速度增加，弹力变大。 故选D。 9．如图所示是浙江省义乌市商人在“鸡毛换糖”中所用的一种招引居民的工具，名叫拨浪鼓。现在，拨浪鼓已经成为义乌市标志性的纪念品。现将拨浪鼓简化为如图所示的物理模型，拨浪鼓边缘上与圆心等高处关于转轴对称的位置固定有长度分别为、的两根不可伸长的细绳，两根细绳的另一端分别系着质量不同的小球A、B，其中。当拨浪鼓的手柄匀速转动时，使得两个小球都在水平面内匀速转动，此时，连接A、B的细绳与竖直方向的夹角分别为和，则以下判断正确的是（     ） A．小球A、B的角速度不同 B．小球A、B的线速度大小相同 C．可能有 D．一定有 【答案】D 【解析】设拨浪鼓半径为R，细绳长为，小球在水平面内做匀速圆周运动，设细绳与竖直方向的夹角为，有 解得 可知细绳与竖直方向的夹角与小球的质量无关，根据题述可知两小球做圆周运动的角速度相同，由于，根据公式可判断出，根据，由于小球A做圆周运动的半径更大，可得小球A的线速度比B的大，故选D。 10．图（a）所示的油纸伞是我国古人智慧的结晶。图（b）为其结构示意图，ON是一条可绕伞顶O转动的伞骨，伞撑两端分别与ON中点M和滑环P铰接。保持伞柄不动，向上推滑环P，使得伞骨ON以恒定角速度开合，则（     ） A．M、N两点的线速度方向不同 B．M点的向心加速度方向沿MO方向 C．M点线速度大小是N点的2倍 D．N点的向心加速度大小是M点的4倍 【答案】B 【解析】A．圆周运动线速度方向为轨迹切线方向，始终垂直于转动半径ON，所以M、N两点的线速度方向相同，故A错误； B．由题意可知，ON是一条可绕伞顶O转动的伞骨，M点以O点为圆心做匀速圆周运动，所以向心加速度方向始终沿M指向圆心O，故B正确； C．由匀速圆周运动规律可知 由于， 可得 所以N点线速度大小是M点的2倍，故C错误； D．由向心加速度公式可知 由于， 可得 所以N点的向心加速度大小是M点的2倍，故D错误。 故选B。 11．如图是某新能源汽车采用的差速器圆锥齿轮传动系统，用于实现动力的90°轴交传递，驱动车轮转动。在圆锥齿轮90°轴交的示意图中，A是圆锥齿轮转轴上的点，B、C分别是圆锥齿轮边缘上的点，A、B、C三点到各自圆锥齿轮中心轴的距离分别记为rA、rB和rC，，下列说法正确的是（     ） A．B与C点的角速度关系为 B．C与A点的线速度关系为 C．B与A点的角速度关系为 D．A与C点的向心加速度关系为 【答案】B 【解析】A．根据题意，结合圆锥齿轮的特点，得，根据 解得，故A错误； BC．A、B同轴转动，故角速度相同，即 同时有 解得，故B正确，C错误； D．根据 解得，故D错误。 故选B。 12．如图，可视为质点的小球与、两根不可伸长的轻质细绳相连，两绳分别固定在细杆上的两点。其中绳长，小球随杆一起在水平面内匀速转动。当两绳都拉直时，、两绳和细杆的夹角分别为、，，，。若、两绳始终张紧，则小球运动的线速度大小可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设小球的质量为，运动的线速度大小为，细绳、的拉力分别为、，小球做匀速圆周运动的半径 由题图可知，两根绳子均拉着小球斜向上，在竖直方向上受力平衡，有 在水平方向上，两根绳子拉力的水平分力提供向心力，有 由于、两绳始终张紧，则必须满足且，当绳刚好拉直但无拉力时，，此时线速度最小，解得 当绳刚好拉直但无拉力时，，此时线速度最大，解得 因此小球运动的线速度大小范围是。 故选A。 13．如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（     ） A．A与B的动能相等 B．A与B的运动周期相等 C．A与B的向心加速度大小相等 D．悬挂A的缆绳拉力等于悬挂B的缆绳拉力 【答案】B 【解析】A．座椅A、B随圆盘一起做匀速圆周运动，角速度ω相等。由图可知B的转动半径大于A的转动半径，即。根据线速度公式可知。又因为质量相等，根据动能公式可知B的动能大于A的动能，故A错误； B．根据周期公式，由于ω相等，所以A与B的运动周期相等，故B正确； C．根据向心加速度公式，由于ω相等且，所以B的向心加速度大于A的向心加速度，故C错误； D．对座椅受力分析，设缆绳与竖直方向夹角为θ，竖直方向受力平衡有 水平方向合力提供向心力有 解得 因为，所以 又因为 θ越大cosθ越小，拉力越大，所以悬挂B的缆绳拉力大于悬挂A的缆绳拉力，故D错误。 故选B。 14．（多选）下列有关生活中圆周运动的实例分析，说法错误的是（     ） A．图甲中，附着在脱水桶内壁上随筒一起转动的衣服受到的摩擦力随角速度增大而增大 B．图乙中汽车通过拱桥最高点时的速度越大，汽车内的乘客感受到的超重感觉越明显 C．图丙为水平圆盘转动时的示意图，物体离转盘中心越远，越容易做离心运动 D．图丁中，在空间站用细绳系住小瓶做成“人工离心机”可成功将瓶中混合的水和食用油分离，其中b、d部分是食用油 【答案】ABD 【解析】A．图甲中，衣服附着在脱水桶内壁上随筒一起做匀速圆周运动，在竖直方向上，衣服受到重力和静摩擦力作用，二者平衡，即。只要衣服不滑落，静摩擦力大小始终等于重力，与角速度的大小无关，故A错误； B．图乙中，汽车通过拱桥最高点时，加速度方向竖直向下，由牛顿第二定律得 解得 可知支持力，汽车内的乘客处于失重状态，且速度越大，支持力越小，失重感觉越明显，故B错误； C．图丙中，物体随水平圆盘转动，由静摩擦力提供向心力，根据可知，当角速度一定时，物体离转盘中心越远（越大），所需的向心力（静摩擦力）越大，越容易达到最大静摩擦力而做离心运动，故C正确； D．图丁中，在空间站利用“人工离心机”分离水和油，原理是密度大的物质需要的向心力大（），从而做离心运动远离圆心。水的密度大于食用油，所以水应分布在远离圆心的外侧。由图可知，、部分位于瓶子的外侧（远离转轴），应为水，、部分为食用油，故D错误。 本题选错误的，故选ABD。 15．（多选）某同学在课后设计开发了如图所示的玩具装置。在水平圆台的中轴上O点固定一根结实的细绳，细绳长度为l，细绳的一端连接一个小木箱，木箱里放着一只玩具小熊，此时细绳与转轴间的夹角为θ＝53°，且处于恰好伸直的状态。已知小木箱与玩具小熊（可视为质点）的总质量为m，木箱与水平圆台间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，重力加速度为g，不计空气阻力。在可调速电动机的带动下，让水平圆台缓慢加速运动。则（　　） A．当圆台的角速度时，细绳中无张力 B．当圆台的角速度时，细绳中有张力 C．当圆台的角速度时，圆台对木箱无支持力 D．当角速度时，圆台对木箱有支持力 【答案】ABC 【解析】AB．当木箱与圆台之间的摩擦力刚好达到最大时，细绳恰好无张力，设此时的角速度为，则 可得 因此角速度大于时，绳子开始有张力，故AB正确； CD．当圆台对木箱的支持力恰好为零时，设此时圆台的角速度为，则 可得 故当角速度大于时，圆台对木箱的支持力为0，木箱开始离开圆台，故C正确，D错误。 故选ABC。 16．（多选）如图，轻绳OA拴着质量为的物体，在竖直平面内做半径为的圆周运动，下列说法正确的是（     ） A．小球过最高点时的最小速度是0 B．小球过最高点时，绳子拉力为零时，小球的速度是 C．若将轻绳OA换成轻杆，若小球过最高点时速度为0，则轻杆对小球的作用力与小球所受重力大小相等，方向相反 D．若将轻绳OA换成轻杆，若小球过最高点时速度大于，则轻杆对小球的作用力是竖直向下的拉力 【答案】BCD 【解析】AB．小球在最高点，向心力由重力和轻绳拉力共同提供，则有 当轻绳拉力变小时，小球速度会随之减小，当拉力为零时，小球具有最小速度为，故A错误，B正确； C．若将轻绳OA换成轻杆，小球过最高点时速度为零，此时满足 可知轻杆对小球的作用力与小球所受重力大小相等，方向相反，故C正确； D．根据上述分析可知，若将轻绳OA换成轻杆，当小球在最高点只受重力时，则有 解得 当小球过最高点的速度时，则有 解得 此时杆对小球的力为竖直向下的拉力，故D正确。 故选BCD。 17．如图所示，竖直放置的半圆形管道固定在水平面上，一直径略小于管道内径的质量m=0.4kg的小球（可视为质点）以v0=5m/s的速度沿水平面从管道最低点A进入管道，刚进入管道时对A点压力大小为29N，之后从管道最高点B点水平抛出，最后垂直落在倾角为45°的斜面上的C点（落到斜面上不反弹），测得B、C的高度差为5cm。已知重力加速度g=10m/s2。求： （1）圆弧管道半径R； （2）小球经过B点时管道对小球作用力的大小和方向。 【答案】（1）0.4m （2）3N，竖直向上 【解析】（1）当小球经过最低点A时，由牛顿第三定律可得轨道对小球的支持力 根据牛顿第二定律可得： 解得圆弧管道半径 （2）小球从B到C，做平抛运动， 设从B点飞出时的速度为vB ，根据， 可得 根据，可得 小球垂直落在倾角为45°的斜面上的C点，根据，可得 设小球在经过管道最高点B点时受到管道竖直向上的支持力，根据牛顿第二定律得 解得 小球经过B点时管道对小球作用力为支持力，大小为3N，方向竖直向上。 18．如图所示的装置，由中截面为正三角形的圆锥体及底座构成，其中圆锥体中轴A可以在底座B内上下调节，圆锥体可以绕中轴逆时针转动（从上往下看），用一不可伸长的细绳一端连接一质量为可视为质点的小球，另一端系在圆锥体中轴点，已知细绳长为，重力加速度为，忽略一切摩擦力。试求： （1）当角速度为多大时，小球恰好与圆锥体表面无作用力； （2）当角速度时，细绳上的张力大小； 【答案】（1） （2） 【解析】（1）小球绕中轴做匀速圆周运动，其中圆周运动半径 圆锥体的截面为正三角形，可知圆锥母线与竖直方向的夹角为；设角速度为时小球恰好与圆锥体表面无作用力，此时小球仅受重力和绳子的拉力，合力提供向心力，则有 竖直方向由平衡条件可得 联立解得 （2）因为，可知小球已经离开锥面，与锥面无弹力作用，设此时绳与竖直方向的夹角为，则圆周运动半径 细绳张力的水平方向提供向心力，则有 解得细绳上的张力大小为 19．一根长的绳子系着一个小球，小球在竖直平面内做圆周运动。已知球的质量，求： （1）试确定到达最高点时速度的最小值（保留根号）； （2）当小球在最高点时的速度为4m/s时，绳对小球的拉力； （3）当小球在最低点时的速度为6m/s时，绳对小球的拉力。 【答案】（1）； （2）8.33N，竖直向下； （3）35N，竖直向上 【解析】（1）小球在最高点恰好绳子拉力为0时，重力完全提供向心力，此时速度最小，由牛顿第二定律： 代入数据得： （2）此时重力和拉力共同提供向下的向心力，设拉力为： 得：，方向沿绳指向圆心（竖直向下）。 （3）此时拉力减重力提供向上的向心力，设拉力为： 得： ，方向沿绳指向圆心（竖直向上）。 20．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。转台以某一角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对陶罐静止，且它和O点的连线与之间的夹角为，重力加速度为g。 （1）若此时陶罐对小物块摩擦力恰好为零，求陶罐对小物块的支持力和小物块转动的周期； （2）若已知小物块与陶罐间的动摩擦因数，半径R=0.2 m，小物块能一直相对陶罐静止（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），g取10 m/s2，求转台转动角速度的最大值。 【答案】（1）， （2） 【解析】（1）对小物块进行受力分析，在竖直方向有 解得 在水平方向由牛顿第二定律可得 整理得 （2）受力分析如图所示，当角速度出现最大值时，物块有向上的运动趋势此时最大静摩擦力沿切线向下。 在竖直方向 且满足 在水平方向由牛顿第二定律可得 代入数据得 能力进阶 1．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，轻杆一端通过铰链与竖直杆的相连，另一端P通过细线与竖直杆的点相连，。具有一定质量的小球通过细线系在P点，以竖直杆为转轴，整个装置转动的角速度从零缓慢增大的过程中，下列说法正确的是（     ） A．细线的张力先增大后减小 B．轻杆对P点的弹力一直增大 C．轻杆对P点的弹力一直减小 D．轻杆对P点的弹力先减小后增大 【答案】D 【解析】设与竖直转轴夹角为，与竖直转轴夹角为，由题意知 即，。 对P点和小球整体受力分析，竖直方向合力为0，水平方向合力提供向心力 列方程 A．解方程可得细线的张力， 增大时，一直增大，故A错误； BCD．解得轻杆的弹力 当时，为正（推力），大小随增大逐渐减小； 当时，； 当时，为负（拉力），弹力大小随增大逐渐增大。 因此轻杆对P点的弹力（大小）先减小后增大，故BC错误，D正确。 故选D。 2．如图所示，竖直放置的薄圆筒内壁光滑，在内表面距离底面高为的O点处，给一个质量为m的小滑块沿水平切线方向的初速度，小滑块将沿筒内表面旋转滑下。假设滑块下滑过程中表面与筒内表面紧密贴合，圆筒内半径，重力加速度取。小滑块第一次滑过O点正下方时，恰好经过点，且的距离为0.2 m。则下列说法正确的是（　　） A．小滑块的初速度为2 m/s B．小滑块经过点的速度大小小于2 m/s C．小滑块运动过程中受到的筒壁的支持力不变 D．小滑块最后刚好能从点滑离圆筒 【答案】A 【解析】A．小滑块在竖直方向做自由落体运动，在水平方向做匀速圆周运动。小滑块第一次滑过点正下方时，恰好经过点，说明水平方向运动了一圈，竖直方向下降了 根据 解得 水平方向路程 解得。故A正确； B．小滑块经过点时，竖直分速度 水平分速度 合速度，所以速度大小大于。故B错误； C．小滑块运动过程中，筒壁的支持力提供向心力，大小不变，但方向始终指向圆心，时刻在改变，所以支持力是变化的。故C错误； D．小滑块从点滑到底面，竖直位移 根据 解得总时间 水平方向总路程 圆筒周长 转过的圈数圈 说明小滑块滑离圆筒时，位置在点正下方的直径对侧，而不是点正下方（即点）。故D错误。 故选A。 3．筒车（图甲）是利用水流带动车轮，使装在车轮上的竹筒自动将水提上岸进行灌溉的装置。其简化模型如图乙所示，转轴为在同一高度，分别为最低点和最高点，为水面；筒车在水流的推动下顺时针做半径为，角速度大小为的匀速圆周运动。竹筒在点开始打水，从点离开水面；假设从点到点的过程中，竹筒所装的水质量为且保持不变，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．竹筒过点时，线速度大小为 B．竹筒从点到点的过程中，向心加速度保持不变 C．水轮车上均匀装有16个竹筒，则相邻竹筒打水的时间间隔为 D．竹筒过点时，竹筒对水的作用力大小大于 【答案】D 【解析】A．竹筒过点时，线速度大小为，故A错误； B．竹筒从点到点的过程中，做匀速圆周运动，向心加速度大小恒定不变，向心加速度方向不断变化，故B错误； C．相邻竹筒打水的时间间隔为，故C错误； D．竹筒中的水做匀速圆周运动，合力指向圆心，如图所示 可知，故D正确； 故选D。 4．某压缩机的工作原理如图所示，圆盘上的B点与活塞上的A点用长为L=3r的轻杆连接（A、B处均通过铰链连接在轻杆两端），B点与圆盘中心O之间的距离为r，当圆盘以角速度ω匀速转动时，轻杆带动活塞在汽缸内做往复运动来压缩和输送气体。下列说法正确的是（　　） A．B点做匀变速曲线运动 B．A点做匀变速直线运动 C．当O、A、B三点共线时，A点的速率为3ωr D．当∠AOB=θ时，A点的速率为（） 【答案】D 【解析】A．B点与圆盘同轴转动，则B点做匀速圆周运动，加速度的方向时刻在变，B点做非匀变速曲线运动，故A错误； BCD．如下图所示 设，由正弦定理得 所以 又 由关联速度关系得 解得 可见A点速度不随时间均匀变化，A点做的不是匀变速直线运动；当O、A、B三点共线时，，此时A点的速率。故D正确，BC错误。 故选D。 5．如图所示，水平圆盘上放有A、B两个小物块，它们到圆盘中心处转轴的距离分别为和，质量分别为，两物块通过轻绳连接，与圆盘间的动摩擦因数均为，轻绳可以承受足够大的拉力。已知重力加速度为，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（     ） A．如图甲，，，当缓慢增加至时，A、B即将相对于圆盘滑动 B．如图乙，，当缓慢增加至时，A、B即将相对于圆盘滑动 C．如图丙，，当缓慢增加至时，A、B即将相对于圆盘滑动 D．甲、乙、丙三种情况下，丙中A、B两物块最容易发生滑动 【答案】C 【解析】对甲乙丙图中物体受力分析如下： A.图甲中，即将相对于圆盘滑动时，对B受力分析有 对A受力分析有 解得，故A错误； B.图乙中，即将相对滑动时，对B受力分析有 对A受力分析有 解得，故B错误； C.图丙中B先达到最大静摩擦力后绳子开始出现拉力，A受到的摩擦力将逐渐减小为0后反向增大，直到A也达到最大静摩擦力后，二者即将相对滑动，满足， 解得，故C正确； D.综合以上情况，乙图中即将滑动时角速度最小，最容易发生滑动，故D错误。 故选C。 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图所示，离地高度的处固定匀速转动的一个电机，电机通过一根长度的不可伸长的轻绳使小球在水平面内做以为圆心的匀速圆周运动，此时。某时刻，绳子和小球的连接处突然断开，小球最终落在所在的水平地面上。的连线垂直地面，不计空气对小球运动的影响，小球可视为质点且落地后即静止。重力加速度取，下列说法正确的是（，）（     ） A．若只增大小球的质量，落点到的距离减小 B．小球的落点到的距离为 C．若、一定，增大，落点到的距离先增大后减小 D．若、一定，增大，落点到的距离增大 【答案】D 【解析】AB．设小球做圆周运动的速度大小为，则有 绳子断开后小球做平抛运动，由 小球平抛的水平位移 小球落点到的距离为 代入数据解得 分析可知，小球落点到的距离与小球质量无关，故AB错误； C．由上述分析，，， 解得 又 若增大L，由二次函数知识可知落点到的距离一直增大，故C错误； D．若增大H，则小球平抛运动时间增大，小球平抛运动的初速度大小不变，则水平位移变大，落点到的距离变大，故D正确。 故选D。 7．如图所示，在竖直平面内，直径为R的光滑半圆轨道和半径为R的光滑四分之一圆轨道水平相切于最低点A，两轨道均被固定，一个质量为m的小球（可视为质点），从A点沿切线向左以某一初速度进入半圆轨道，恰好能通过半圆轨道的最高点M，然后经过时间落在四分之一圆轨道上的N点，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（     ） A．小球运动到M点时轨道对小球的弹力为m B．若改变速度v0可使小球垂直击中圆弧轨道 C．M、N两点间的高度差为 D．小球到达N点时的水平方向的分速度小于竖直方向的分速度 【答案】D 【解析】A．由题意可知，小球运动到M点时重力恰好提供向心力，此时轨道对小球没有弹力，故A错误； B．小球离开M点后做平抛运动，所以小球从M点到N点的运动轨迹是一段抛物线，故其位移垂直圆轨道，则速度不可能垂直于圆轨道，故B错误； C．小球在M点时，根据牛顿第二定律有 其中 解得 对小球从M到N的运动，根据平抛运动规律有， 联立解得，，故C错误； D．设小球到达N点时速度方向与水平方向夹角为，则 所以小球到达N点时的水平方向的分速度小于竖直方向的分速度，故D正确。 故选D。 8．（2026·湖南永州·三模）如图甲所示，一横截面为圆形的水泥涵管、内截面圆的半径为R。一儿童在最低点以一定的水平初速度踢出球，球沿管道运动在A点脱离管道后，恰好落入位于圆心O处的背兜，简化示意图如图乙所示。忽略一切阻力和滚动的影响，重力加速度为g，则A点离水平直径的距离h为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】球在A点脱离管道的瞬间，设球速度大小为，AO与水平方向夹角为，球和管道之间的弹力为0，由重力沿AO方向的分力提供向心力，有 球脱离管道后做斜抛运动，沿AO方向，球受重力沿AO方向的分力作用，根据牛顿第二定律，有 解得 设运动时间为，根据匀变速直线运动位移与时间的关系，得 沿垂直AO方向，球受重力垂直AO方向的分力作用，根据牛顿第二定律，有 解得 垂直于AO方向，有 代入，得 联立解得 则 所以A点离水平直径的距离h为 故选A。 9．如图所示，倾角为的斜面体和倾角为的斜面体均固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，两斜面最低点均在转轴上。质量均为、可视为质点的两个小物块、随转台一起匀速转动，到转轴的距离为，到转轴的距离为，、与斜面体间的动摩擦因数均为，重力加速度取，，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转台转动时，、均与斜面体保持相对静止。 （1）当不受摩擦力时，求转台的角速度； （2）当不受摩擦力时，求所受的摩擦力大小； （3）要保证、均与转台保持相对静止，求转台角速度的取值范围（结果用根号表示）。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）当P不受摩擦力时，仅受重力和支持力，合力提供向心力，受力示意图如下。 由牛顿第二定律，竖直方向，水平方向 联立解得 （2）当，设摩擦力沿斜面向上为正，受力示意图如下。 由牛顿第二定律，竖直方向，水平方向 代入数据联立解得， 故摩擦力大小，方向沿斜面向上。 （3）设物块在斜面上恰好不滑动时，摩擦力达到最大静摩擦力。设摩擦力方向沿斜面向上为正，则满足， 其中为斜面倾角，为物块到转轴的水平距离。稳定条件 对，， 代入数据，， 解得 对，， 代入数据，， 解得 综上 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 圆周运动（培优复习讲义） 内容导航 夯实基础·突破重难·分层提能 考情・分析解读（课标要求 考情解读 备考策略） 基础・知识梳理（专题线索 知识导图 知识梳理） 知识01 圆周运动的运动学问题 知识02 圆周运动的动力学问题 重难・核心突破（技法点拨 典例突破 变式研析） 重难01 圆周运动的参量及三种传动方式 重难02 水平转盘 重难03 圆锥筒与圆锥摆 重难04 转弯、拱桥问题 重难05 轻绳、轻杆模型 拔高・分层集训（基础演练 能力进阶 真题实战） 考情·分析解读 课标要求 1．掌握描述圆周运动的各物理量及关系，会分析匀速圆周运动的周期性及多解问题。 2．会分析圆周运动向心力的来源，并利用圆周运动的相关知识分析生活中的圆周运动。 3．会解决圆周运动和抛体运动的综合问题。 考题统计 核心考点 2026年 2025年 2024年 考点 圆周运动（5年41考） 江苏卷T14、湖北卷T9、黑吉辽蒙卷T9、广东卷T8、山东卷T17、上海卷T18、T20、浙江卷1月选考T19 安徽卷T6、河北卷T5、江苏卷T4、福建卷T5、山东卷T4、T10、广东卷T8、江西卷T7、重庆卷T3 北京卷T7、江西卷T14、甘肃卷T8、黑吉辽卷T2、江苏卷T8、T11、广东卷T5 考情解读 1．考查频次：本专题高考高频必考，力学核心重难点，选择、计算题均高频出现，模型类题型考查稳定，常结合受力分析综合命题。 2．考查要点：考查圆周运动基本物理量换算、三类传动规律；重点掌握水平面圆周运动、圆锥摆、交通转弯、拱桥、轻绳轻杆竖直圆周运动模型的向心力受力分析与临界条件计算。 3．命题情境：依托转盘、轨道、生活交通转弯、竖直圆周装置创设物理情境，围绕各类经典圆周模型设问，侧重考查向心力受力建模和临界极值分析能力。 备考策略 1．熟记基础参量：理清线速度、角速度等圆周物理量，牢记三类传动模型运算规律。 2．抓实向心力建模：针对水平面、竖直面场景规范受力分析，找准向心力来源。 3．吃透临界模型：掌握绳杆、转盘、拱桥、圆锥摆核心临界条件，固化解题模板。 基础・知识梳理 专题线索 1．概念线：梳理圆周运动基本物理量与皮带、同轴、齿轮三大传动规律。 2．场景线：整合水平类圆周模型（转盘、圆锥摆）与生活转弯模型。 3．临界线：归纳竖直面轻绳、轻杆、拱桥模型临界规律与解题方法。 知识导图 核心梳理 知识1 圆周运动的运动学问题 1．匀速圆周运动 （1）定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长度 ，就是匀速圆周运动。 （2）特点：加速度大小不变，方向始终指向 ，是变加速运动。 （3）条件：合外力大小 、方向始终与 方向垂直且指向圆心。 2．描述圆周运动的物理量 （1） （2） （3） （4） （5） 知识2 圆周运动的动力学问题 1．匀速圆周运动的向心力 （1）作用效果：向心力产生向心加速度，只改变线速度的 ，不改变线速度的 。 （2）大小：。 （3）方向：始终沿半径方向指向 ，时刻在改变，即向心力是一个变力。 （4）来源：向心力可以由某个力提供，也可以由几个力的 提供，还可以由某个力的 提供。 2．圆周运动中向心力与合力的关系 3．圆周运动向心力来源的运动实例 运动模型 向心力Fn的来源 运动模型 向心力Fn的来源 运动模型 向心力Fn的来源 汽车在水平路面转弯 Fn＝ 火车转弯 Fn＝ 圆锥摆 Fn＝ ，r＝ 飞机水平转弯 Fn＝ 飞车走壁 Fn＝ 水平转台 （光滑） Fn＝ ＝ 航天器中的失重现象 1．航天器在近地圆轨道航行，可认为地球对航天器的万有引力等于航天器的重力，重力充当向心力，满足的关系为。 2．对航天员，设由重力和座椅的支持力的合力提供向心力，满足的关系为，可得FN=0，航天员处于完全失重状态，对座椅压力为零。 3．在正常情况下，航天器内的任何物体之间均没有压力。 4．离心运动和近心运动 （1）离心运动：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供其做圆周运动所需向心力的情况下，就做 的运动。 （2）受力特点 ①当F＝0时，物体沿 方向飞出，做匀速直线运动。 ②当0＜F＜mrω2时，物体逐渐 圆心，做 运动。 ③当F＞mrω2时，物体逐渐 　，做 运动。 （3）本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的向心力 做匀速圆周运动所需要的向心力。 重难・核心突破 重难01 圆周运动的参量及三种传动方式 【技法点拨】 1．描述圆周运动的物理量之间的关系如下： 线速度：； 角速度：； 转速/频率：； 向心力：。 2．三种传动方式 （1）皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。 （2）摩擦传动和齿轮传动：如图丙、丁所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。 （3） 同轴转动：如图戊、己所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，即ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。 【典例突破】（2026·广东·高考真题）（多选）如图所示，在光滑的水平地面上，P、Q、M、N四个质量相等的小球通过两根不可伸长的轻绳相连，P、Q间的绳长为，M、N间的绳长为，两绳相交于各自的中点，四球以相同角速度ω绕固定的点做匀速圆周运动，已知，P、Q的向心加速度大小均为，M、N的向心加速度大小均为，四球均可视为质点，忽略空气阻力，下列说法正确的有（     ） A． B． C．P的线速度大小为 D．轻绳对四球的拉力大小相等 【变式研析】 1．（2026·广东揭阳·二模）图示为变速自行车的传动部件，变速自行车有三个飞轮和三个链轮，飞轮的齿数有24、18、12三种，链轮的齿数有48、36、24三种。当某同学以恒定的转速踩脚踏板时，下列说法正确的是（　　） A．链轮齿数不变，换用齿数更多的飞轮；自行车行驶速度变大 B．飞轮齿数不变，换用齿数更少的链轮，自行车行驶速度变大 C．该自行车行驶的最大速度与最小速度之比为 D．该自行车行驶的最大速度与最小速度之比为 2．（2026·湖南·模拟预测）辘轳是我国古代类似起重机的装置，如图甲所示，该机构利用差速轮盘实现起重。图乙是其简化模型：大圆盘半径为，小圆盘半径为，两盘都固定在同一根水平中轴上，且都缠有同一根绳子。绳子下端绕过一滑轮，其余段保持竖直，滑轮下端挂货物。某农夫以ω的角速度转动中轴，则货物上升的速度为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·江西赣州·二模）轴承的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有需要旋转运动的机械设备。其中滚动轴承一般由套圈（内圈、外圈）、滚珠、保持架等部件构成，如图甲所示。一滚动轴承的简化模型如图乙所示，厚度均不计的同心内圈A、外圈B的半径分别为R、2R，两圈间夹有直径恰好为R的滚珠，若B固定不动，当A绕圆心O以角速度ω匀速转动时，滚珠也跟着转动，且与A、B圈的接触点间无相对滑动，则滚珠绕自身中心转动的角速度为（    ） A．2ω B．ω C． D． 重难02 水平转盘 【技法点拨】 1．如图所示，向心力由摩擦力提供，即，当物体刚要滑动时，（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），所以临界角速度。 2．规律：转盘角速度不变时，物体离转盘中心O越远，就越容易被“甩出去”；当物体离转盘中心O距离一定时，转盘角速度越大越容易被“甩出去”。 【典例突破】（2026·四川泸州·一模）摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中、分别为两轮盘的轴心。已知两个轮盘的半径比，且在正常工作时两轮盘不滑，今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心、的间距分别为、，且，若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（     ） A．两个轮盘的角速度之比为1∶1 B．转速增加后，滑块B先发生滑动 C．转速增加后，滑块A先发生滑动 D．转速增加后，两滑块一起发生滑动 【变式研析】 1．（2026·福建福州·三模）如图，在水平转台上放置有质量相同的滑块P和Q（可视为质点），它们与转台之间的动摩擦因数相同，P与转轴的距离为R1，Q与转轴的距离为R2，且R1<R2，转台绕转轴以角速度ω匀速转动，转动过程中，两滑块始终相对转台静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．滑块P和Q均受到四个力作用 B．P的向心加速度大于Q的向心加速度 C．P所受到的摩擦力大于Q所受到的摩擦力 D．若角速度ω缓慢增大，Q一定比P先开始滑动 2．（2026·吉林长春·三模）如图A、B是水平转盘上的两物体，两物体之间用轻绳连接。其中A的质量为3m，到圆心O的距离为r；B的质量为m，到圆心O的距离为2r，物体A、B与圆盘间的动摩擦因数均为μ。现圆盘的转速从0开始缓慢增大，直至两物体相对转盘发生滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（　　） A．物体A先达到最大静摩擦力 B．B物体所受摩擦力先增大后保持不变 C．B达到最大静摩擦力时，圆盘的角速度一定为 D．在范围内，A所受的摩擦力一直保持不变 3．如图所示，有一可绕竖直中心轴转动的水平圆盘，上面放置劲度系数k=56N/m的弹簧，弹簧的一端固定于轴O上，另一端连接质量m=1.0kg的小物块A，物块与圆盘间的动摩擦因数μ=0.40，开始时弹簧未发生形变，长度l0=25cm，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2，求： （1）圆盘的角速度为多大时，物块A开始滑动； （2）当圆盘角速度缓慢地增加到6.0rad/s时，弹簧的长度是多少？（弹簧始终在弹性限度内且物块未脱离圆盘） 重难03 圆锥筒与圆锥摆 【技法点拨】 1．圆锥筒 （1）如图所示为圆锥筒模型。筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即，解得，。 （2）规律：稳定状态下，小球所处的位置越高，运动轨迹半径r越大，角速度ω就越小，线速度v就越大，小球受到的支持力和向心力并不随位置的变化而变化。 2．圆锥摆 （1）如图所示为圆锥摆模型。向心力，且，解得，。 （2）规律：稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力和运动所需向心力F向也越大。 （3）P、Q随旋转圆盘绕中心轴匀速转动，它们做圆周运动的角速度相等，线速度、向心加速度均与轨道半径成正比，且在竖直方向上受到的合力为零。 【典例突破】（2026·浙江·二模）2026年春晚节目《世界义乌中国年》中，93名孩子齐摇拨浪鼓送上新春祝福。如图所示，拨浪鼓边缘上与圆心等高处关于转轴对称的位置固定有长度分别为、的两根不可伸长的细绳，两根细绳另一端分别系着质量相同的小球A、B，其中。现匀速转动手柄使两小球均在水平面内匀速转动，连接小球A、B的细绳与竖直方向的夹角分别为和，两小球线速度大小分别为、，细绳对小球A、B的拉力大小分别为、，下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式研析】 1．（2025·湖南·模拟预测）如图所示的圆锥筒开口向上，为圆锥筒的顶点，O点为底面圆的圆心，圆锥筒的母线与水平面的夹角为。一可视为质点、质量为kg的物体放在圆锥筒内壁，给物体一沿内壁向下的初速度，物体刚好匀速下滑。将物体放在距离点m处，现让圆锥筒绕中心轴线以角速度ω匀速转动，物体随圆锥筒做圆周运动且始终相对圆锥筒静止。假设物体与圆锥筒间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，，则下列说法正确的是（　　） A．物体与圆锥筒间的动摩擦因数为0.5 B．当rad/s时，物体只受重力和支持力的作用 C．当rad/s时，物体所受的摩擦力大小为3N D．当rad/s时，物体恰好不沿圆锥筒内壁上滑 2．（2026·江西吉安·模拟预测）（多选）鹰潭方特东方神话中的旋风飞椅项目因可体验高空旋转离心快感和飞一般的感觉，广受游客喜爱。旋风飞椅简化示意图如图所示：一根长度为L的轻绳，一端固定在半径为r0的圆盘上的P点，另一端系着一个质量为m的小球（可视为质点）。小球随圆盘绕其竖直中心轴OO'在水平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，绳子张紧并与竖直方向保持一个稳定的夹角θ。已知重力加速度为g，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球受到重力、绳子拉力和向心力三个力的作用 B．小球做圆周运动的角速度 C．绳子张力 D．若增大小球的质量，夹角θ变小 3．（2025·河南新乡·模拟预测）公园中常有小朋友用发光转转球进行健身娱乐活动，如图1所示。情境可简化如下：不可伸长的轻绳一端系着质量m=1kg的小球，另一端系在固定竖直轴上。某次锻炼时，小球绕轴做角速度ω1=4rad/s的匀速圆周运动，此时轻绳与地面平行，拉力大小T1=4N，如图2所示。不计小球的一切阻力，小球可视为质点，sin53°=0.8，cos53°=0.6，重力加速度g取10m/s2。 （1）求轻绳的长度L； （2）若小球绕轴做角速度的匀速圆周运动，此时轻绳与轴的夹角，结点为O，如图3所示。求此时小球对地面的压力大小FN； 重难04 转弯、拱桥问题 【技法点拨】 1．火车转弯时的规定速度 如图所示，设火车轨道两轨间距为L，内、外轨高度差为h，转弯处圆周运动半径为R。火车转弯时可看作做速圆周运动，运动轨迹在水平面内。 火车转弯处外轨略高于内轨，使得火车所受重力和支持力的合力F合提供向心力： ，故，当L、h、R确定时，v规是唯一的。 2．汽车过拱形桥 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面 受力分析 向心力 对桥（路面）的压力 状态 失重状态 超重状态 结论 汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小 汽车对路面的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对路面的压力越大 【典例突破】（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在很小时，。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过，则最小过弯半径R为（　　） A． B． C． D． 【变式研析】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）如图为我市某个圆形环岛路，两圆弧车道圆心相同，假设A、B两辆车轮胎与路面之间的动摩擦因数相同。当两车以大小相等的线速度匀速转弯时，下列说法正确的是（　　） A．A、B两车的向心加速度大小相等 B．A车的角速度比B车的角速度大 C．B车所受的合力大小一定比A车所受的合力小 D．若两车转弯线速度减小，则两车均会发生侧滑 2．（2026·海南·一模）（多选）如图所示，将短道速滑运动员在弯道转弯的过程看成在水平冰面上的一段匀速圆周运动，转弯时由于冰刀嵌入冰内，因此冰刀受到与冰面夹角为θ（蹬冰角）的支持力，不计一切摩擦，转弯半径为R，重力加速度大小为g。关于该转弯过程，下列说法正确的是（　　） A．运动员所受合力大小不变 B．运动员的加速度大小为gtanθ C．运动员转弯时角速度的大小为 D．运动员的线速度大小为 3．（2026·江苏·高考真题）一质量的汽车经过一半径的拱形桥顶部时，速度。已知牵引力，阻力。求此时： （1）汽车的向心加速度大小； （2）汽车受到的合力大小。 重难05 轻绳、轻杆模型 【技法点拨】 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 安全通过最高点的临界条件 仅由重力提供向心力， 物体能运动到最高点即可， 对最高点的分析 绳子或轨道对物体的弹力为零，是物体在竖直面内过最高点的最小速度 轻杆或管道对物体的弹力为零，是物体所受弹力方向变化的临界速度 物体不能到达最高点 轻杆或管道对物体的弹力为，方向竖直向上 绳子或轨道对物体的弹力，方向竖直向下 轻杆或管道对物体的弹力，方向竖直向下 【典例突破】（2026·湖北·高考真题）（多选）如图所示，半径为、内壁光滑的圆环轨道固定在竖直平面内。初始时刻，质量为 的小球甲从圆环内表面最高处以大小为（为重力加速度大小）的水平初速度向右运动，同时质量为的小球乙从圆环内表面最低处以某一水平初速度向左运动。当甲第一次运动到圆环最低点时，乙恰好第一次运动到圆环最高点。不计空气阻力，下列说法正确的是（     ） A．乙的初速度大小为 B．甲、乙两小球运动的周期相等 C．任意时刻两小球的连线均过圆环圆心 D．任意时刻两小球对圆环作用力的合力均不为零 【变式研析】 1．如图所示，竖直平面内半径为R的光滑圆轨道保持固定不动，质量为m=0.2 kg可视为质点的小球静止在圆轨道最低点A。现给小球一水平向右的初速度，使小球能做完整的圆周运动，当小球转过的圆心角时，轨道对小球的弹力大小为11 N，小球的动能减少0.6 J。重力加速度g取10 m/s2，则（　　 ） A．轨道半径R=0.5 m B．小球运动过程中的最小速度为2 m/s C．小球的初速度 D．小球对圆轨道任意两点压力差的最大值为12 N 2．（2026·山东烟台·二模）如图所示，在粗糙水平地面上放置一个质量为M的支架，支架顶端通过轻质铰链连接一根长为L的轻杆，轻杆另一端连接一个质量为m的小球（小球的半径忽略不计）。开始时小球静止在底端，现给小球一水平初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，支架始终保持静止不动。重力加速度大小为g，运动过程中忽略空气阻力。当小球到达最高点时，支架对地面压力的大小为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·山东·模拟预测）如图所示，竖直面内固定一个圆心在点，半径的粗糙圆弧轨道，与水平地面相切于点，连线竖直，为轨道的一条直径，与之间的夹角。小球由点水平抛出，以的速度从点沿切线进入圆弧轨道，顺着轨道运动至点时脱离轨道。小球可视为质点，不计空气阻力，取，。求： （1）之间的水平距离； （2）小球在点时的速度大小； （3）小球运动到最高点时与点之间的竖直距离和水平距离（结果保留两位小数）。 拔高・分层集训 基础演练 1．（2026·福建三明·二模）如图，停车场的道闸机可自动识别车牌开关大门，其横杆上有A、B两点，随横杆在竖直面内绕转轴旋转，则A、B的线速度大小判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图所示的皮带传动装置，主动轮上两轮的半径分别为和r，从动轮的半径为，A、B、C分别为轮缘上的三点，设皮带不打滑，则下列说法正确的是（　　） A．A、B两点的线速度大小关系是 B．B、C两点的线速度大小关系是 C．A、B两点的的角速度关系是 D．B、C两点的的角速度关系是 3．如图所示，有人设计了一种没有链条的自行车，传动系统由5个相互啮合的齿轮构成，最后面的一个齿轮e与后轮轮轴相连。在主动轮a以恒定角速度顺时针转动的前提下，以下说法正确的是（　　） A．中间3个齿轮换成4个半径稍小的齿轮，自行车仍然向前运动 B．自行车前进速度只由a、e两轮的半径决定，与中间3个齿轮的半径无关 C．把b换成半径小的齿轮、c换成半径大的齿轮，自行车的速度会增大 D．把c换成半径小的齿轮、d换成半径大的齿轮，自行车的速度会减小 4．子弹沿水平方向穿过顺时针匀速转动的纸筒直径，子弹穿过纸筒的时间t=0.01s，最终纸筒上只留下一个孔洞。则纸筒的角速度可能为（     ） A． B． C． D． 5．如图所示，把一个可视为质点的小球放在内壁光滑的玻璃漏斗中，先后两次晃动漏斗，可以使小球沿漏斗内壁分别在不同水平面内沿轨迹1和轨迹2做匀速圆周运动。在两次做匀速圆周运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球受到重力、支持力和向心力的作用 B．小球所受合力沿漏斗内壁斜向下 C．小球在轨迹1、2上的向心加速度大小 D．小球在轨迹1、2上的线速度大小 6．如图所示，质量均为m的a、b两小球用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，连接小球b的绳子与竖直方向的夹角和小球a摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为，重力加速度为，则下列说法正确的是（     ） A．a、b两小球都是所受合外力充当向心力 B．a、b两小球圆周运动的半径之比为 C．小球b受到的绳子拉力大小为 D．小球a运动到最高点时受到绳子的拉力大小为 7．如图所示，小物块a和b位于光滑水平平台上，a、b之间固定一钉子，两物块均用平行于平台的轻绳系在钉子上，a、b随平台以角速度绕过钉子的竖直轴转动。已知a、b质量分别为和，到钉子的距离分别为和，则钉子受到的拉力为（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，圆筒以角速度匀速转动，一物体紧贴圆筒内壁随圆筒一起转动而未滑落。当圆筒的角速度增大到某一值时继续匀速转动，物体仍能随圆筒一起转动而未滑落，下列对物体受力分析正确的是（     ） A．弹力增大，摩擦力增大 B．弹力不变，摩擦力减小 C．弹力减小，摩擦力不变 D．弹力增大，摩擦力不变 9．如图所示是浙江省义乌市商人在“鸡毛换糖”中所用的一种招引居民的工具，名叫拨浪鼓。现在，拨浪鼓已经成为义乌市标志性的纪念品。现将拨浪鼓简化为如图所示的物理模型，拨浪鼓边缘上与圆心等高处关于转轴对称的位置固定有长度分别为、的两根不可伸长的细绳，两根细绳的另一端分别系着质量不同的小球A、B，其中。当拨浪鼓的手柄匀速转动时，使得两个小球都在水平面内匀速转动，此时，连接A、B的细绳与竖直方向的夹角分别为和，则以下判断正确的是（     ） A．小球A、B的角速度不同 B．小球A、B的线速度大小相同 C．可能有 D．一定有 10．图（a）所示的油纸伞是我国古人智慧的结晶。图（b）为其结构示意图，ON是一条可绕伞顶O转动的伞骨，伞撑两端分别与ON中点M和滑环P铰接。保持伞柄不动，向上推滑环P，使得伞骨ON以恒定角速度开合，则（     ） A．M、N两点的线速度方向不同 B．M点的向心加速度方向沿MO方向 C．M点线速度大小是N点的2倍 D．N点的向心加速度大小是M点的4倍 11．如图是某新能源汽车采用的差速器圆锥齿轮传动系统，用于实现动力的90°轴交传递，驱动车轮转动。在圆锥齿轮90°轴交的示意图中，A是圆锥齿轮转轴上的点，B、C分别是圆锥齿轮边缘上的点，A、B、C三点到各自圆锥齿轮中心轴的距离分别记为rA、rB和rC，，下列说法正确的是（     ） A．B与C点的角速度关系为 B．C与A点的线速度关系为 C．B与A点的角速度关系为 D．A与C点的向心加速度关系为 12．如图，可视为质点的小球与、两根不可伸长的轻质细绳相连，两绳分别固定在细杆上的两点。其中绳长，小球随杆一起在水平面内匀速转动。当两绳都拉直时，、两绳和细杆的夹角分别为、，，，。若、两绳始终张紧，则小球运动的线速度大小可能是（     ） A． B． C． D． 13．如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（     ） A．A与B的动能相等 B．A与B的运动周期相等 C．A与B的向心加速度大小相等 D．悬挂A的缆绳拉力等于悬挂B的缆绳拉力 14．（多选）下列有关生活中圆周运动的实例分析，说法错误的是（     ） A．图甲中，附着在脱水桶内壁上随筒一起转动的衣服受到的摩擦力随角速度增大而增大 B．图乙中汽车通过拱桥最高点时的速度越大，汽车内的乘客感受到的超重感觉越明显 C．图丙为水平圆盘转动时的示意图，物体离转盘中心越远，越容易做离心运动 D．图丁中，在空间站用细绳系住小瓶做成“人工离心机”可成功将瓶中混合的水和食用油分离，其中b、d部分是食用油 15．（多选）某同学在课后设计开发了如图所示的玩具装置。在水平圆台的中轴上O点固定一根结实的细绳，细绳长度为l，细绳的一端连接一个小木箱，木箱里放着一只玩具小熊，此时细绳与转轴间的夹角为θ＝53°，且处于恰好伸直的状态。已知小木箱与玩具小熊（可视为质点）的总质量为m，木箱与水平圆台间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，重力加速度为g，不计空气阻力。在可调速电动机的带动下，让水平圆台缓慢加速运动。则（　　） A．当圆台的角速度时，细绳中无张力 B．当圆台的角速度时，细绳中有张力 C．当圆台的角速度时，圆台对木箱无支持力 D．当角速度时，圆台对木箱有支持力 16．（多选）如图，轻绳OA拴着质量为的物体，在竖直平面内做半径为的圆周运动，下列说法正确的是（     ） A．小球过最高点时的最小速度是0 B．小球过最高点时，绳子拉力为零时，小球的速度是 C．若将轻绳OA换成轻杆，若小球过最高点时速度为0，则轻杆对小球的作用力与小球所受重力大小相等，方向相反 D．若将轻绳OA换成轻杆，若小球过最高点时速度大于，则轻杆对小球的作用力是竖直向下的拉力 17．如图所示，竖直放置的半圆形管道固定在水平面上，一直径略小于管道内径的质量m=0.4kg的小球（可视为质点）以v0=5m/s的速度沿水平面从管道最低点A进入管道，刚进入管道时对A点压力大小为29N，之后从管道最高点B点水平抛出，最后垂直落在倾角为45°的斜面上的C点（落到斜面上不反弹），测得B、C的高度差为5cm。已知重力加速度g=10m/s2。求： （1）圆弧管道半径R； （2）小球经过B点时管道对小球作用力的大小和方向。 18．如图所示的装置，由中截面为正三角形的圆锥体及底座构成，其中圆锥体中轴A可以在底座B内上下调节，圆锥体可以绕中轴逆时针转动（从上往下看），用一不可伸长的细绳一端连接一质量为可视为质点的小球，另一端系在圆锥体中轴点，已知细绳长为，重力加速度为，忽略一切摩擦力。试求： （1）当角速度为多大时，小球恰好与圆锥体表面无作用力； （2）当角速度时，细绳上的张力大小； 19．一根长的绳子系着一个小球，小球在竖直平面内做圆周运动。已知球的质量，求： （1）试确定到达最高点时速度的最小值（保留根号）； （2）当小球在最高点时的速度为4m/s时，绳对小球的拉力； （3）当小球在最低点时的速度为6m/s时，绳对小球的拉力。 20．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。转台以某一角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对陶罐静止，且它和O点的连线与之间的夹角为，重力加速度为g。 （1）若此时陶罐对小物块摩擦力恰好为零，求陶罐对小物块的支持力和小物块转动的周期； （2）若已知小物块与陶罐间的动摩擦因数，半径R=0.2 m，小物块能一直相对陶罐静止（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），g取10 m/s2，求转台转动角速度的最大值。 能力进阶 1．（2025·江西新余·模拟预测）如图所示，轻杆一端通过铰链与竖直杆的相连，另一端P通过细线与竖直杆的点相连，。具有一定质量的小球通过细线系在P点，以竖直杆为转轴，整个装置转动的角速度从零缓慢增大的过程中，下列说法正确的是（     ） A．细线的张力先增大后减小 B．轻杆对P点的弹力一直增大 C．轻杆对P点的弹力一直减小 D．轻杆对P点的弹力先减小后增大 2．如图所示，竖直放置的薄圆筒内壁光滑，在内表面距离底面高为的O点处，给一个质量为m的小滑块沿水平切线方向的初速度，小滑块将沿筒内表面旋转滑下。假设滑块下滑过程中表面与筒内表面紧密贴合，圆筒内半径，重力加速度取。小滑块第一次滑过O点正下方时，恰好经过点，且的距离为0.2 m。则下列说法正确的是（　　） A．小滑块的初速度为2 m/s B．小滑块经过点的速度大小小于2 m/s C．小滑块运动过程中受到的筒壁的支持力不变 D．小滑块最后刚好能从点滑离圆筒 3．筒车（图甲）是利用水流带动车轮，使装在车轮上的竹筒自动将水提上岸进行灌溉的装置。其简化模型如图乙所示，转轴为在同一高度，分别为最低点和最高点，为水面；筒车在水流的推动下顺时针做半径为，角速度大小为的匀速圆周运动。竹筒在点开始打水，从点离开水面；假设从点到点的过程中，竹筒所装的水质量为且保持不变，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．竹筒过点时，线速度大小为 B．竹筒从点到点的过程中，向心加速度保持不变 C．水轮车上均匀装有16个竹筒，则相邻竹筒打水的时间间隔为 D．竹筒过点时，竹筒对水的作用力大小大于 4．某压缩机的工作原理如图所示，圆盘上的B点与活塞上的A点用长为L=3r的轻杆连接（A、B处均通过铰链连接在轻杆两端），B点与圆盘中心O之间的距离为r，当圆盘以角速度ω匀速转动时，轻杆带动活塞在汽缸内做往复运动来压缩和输送气体。下列说法正确的是（　　） A．B点做匀变速曲线运动 B．A点做匀变速直线运动 C．当O、A、B三点共线时，A点的速率为3ωr D．当∠AOB=θ时，A点的速率为（） 5．如图所示，水平圆盘上放有A、B两个小物块，它们到圆盘中心处转轴的距离分别为和，质量分别为，两物块通过轻绳连接，与圆盘间的动摩擦因数均为，轻绳可以承受足够大的拉力。已知重力加速度为，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（     ） A．如图甲，，，当缓慢增加至时，A、B即将相对于圆盘滑动 B．如图乙，，当缓慢增加至时，A、B即将相对于圆盘滑动 C．如图丙，，当缓慢增加至时，A、B即将相对于圆盘滑动 D．甲、乙、丙三种情况下，丙中A、B两物块最容易发生滑动 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图所示，离地高度的处固定匀速转动的一个电机，电机通过一根长度的不可伸长的轻绳使小球在水平面内做以为圆心的匀速圆周运动，此时。某时刻，绳子和小球的连接处突然断开，小球最终落在所在的水平地面上。的连线垂直地面，不计空气对小球运动的影响，小球可视为质点且落地后即静止。重力加速度取，下列说法正确的是（，）（     ） A．若只增大小球的质量，落点到的距离减小 B．小球的落点到的距离为 C．若、一定，增大，落点到的距离先增大后减小 D．若、一定，增大，落点到的距离增大 7．如图所示，在竖直平面内，直径为R的光滑半圆轨道和半径为R的光滑四分之一圆轨道水平相切于最低点A，两轨道均被固定，一个质量为m的小球（可视为质点），从A点沿切线向左以某一初速度进入半圆轨道，恰好能通过半圆轨道的最高点M，然后经过时间落在四分之一圆轨道上的N点，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（     ） A．小球运动到M点时轨道对小球的弹力为m B．若改变速度v0可使小球垂直击中圆弧轨道 C．M、N两点间的高度差为 D．小球到达N点时的水平方向的分速度小于竖直方向的分速度 8．（2026·湖南永州·三模）如图甲所示，一横截面为圆形的水泥涵管、内截面圆的半径为R。一儿童在最低点以一定的水平初速度踢出球，球沿管道运动在A点脱离管道后，恰好落入位于圆心O处的背兜，简化示意图如图乙所示。忽略一切阻力和滚动的影响，重力加速度为g，则A点离水平直径的距离h为（　　） A． B． C． D． 9．如图所示，倾角为的斜面体和倾角为的斜面体均固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，两斜面最低点均在转轴上。质量均为、可视为质点的两个小物块、随转台一起匀速转动，到转轴的距离为，到转轴的距离为，、与斜面体间的动摩擦因数均为，重力加速度取，，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转台转动时，、均与斜面体保持相对静止。 （1）当不受摩擦力时，求转台的角速度； （2）当不受摩擦力时，求所受的摩擦力大小； （3）要保证、均与转台保持相对静止，求转台角速度的取值范围（结果用根号表示）。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 圆周运动（培优复习讲义） 参考答案 基础・知识梳理 核心梳理 知识1 圆周运动的运动学问题 1．相等 圆心 不变 速度 2． 知识2 圆周运动的动力学问题 1．方向 大小 圆心 合力 分力 3．Ff mgtanθ mgtanθ lsinθ mgtanθ mgtanθ FT＝mBg 4．（1）逐渐远离圆心 （2）①切线 ②远离 离心 向圆心靠近 （3）小于 重难・核心突破 重难01 圆周运动的参量及三种传动方式 【典例突破】 AB 【变式研析】1．C 2．A 3．B 重难02 水平转盘 【典例突破】 B 【变式研析】1．D 2．D 3．（1） （2） 重难03 圆锥筒与圆锥摆 【典例突破】 C 【变式研析】1．B 2．BC 3．（1）0.25m （2）4N 重难04 转弯、拱桥问题 【典例突破】 C 【变式研析】1．B 2．AC 3．（1） （2） 重难05 轻绳、轻杆模型 【典例突破】 BD 【变式研析】1．D 2．B 3．（1） （2） （3）， 拔高・分层集训 基础演练 1．C 2．A 3．B 4．B 5．C 6．C 7．A 8．D 9．D 10．B 11．B 12．A 13．B 14．ABD 15．ABC 16．BCD 17．（1）0.4m （2）3N，竖直向上 18．（1） （2） 19．（1）； （2）8.33N，竖直向下； （3）35N，竖直向上 20．（1）， （2） 能力进阶 1．D 2．A 3．D 4．D 5．C 6．D 7．D 8．A 9．（1） （2） （3） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $