专题08 平抛运动的综合问题（专项训练）（全国通用）2027年高考物理一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以考法为纲构建平抛运动问题解决体系，通过6类约束情境（斜面、圆弧面等）提炼分解法、临界分析等通解通法，形成从基础到立体综合的知识逻辑链，培养运动和相互作用观念与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |斜面约束|5题|分解速度/位移方向，最大距离分析|平抛规律在斜面坐标系中的应用| |圆弧面约束|4题|速度方向与切线关系，位移几何关系|平抛与圆周运动几何条件结合| |类平抛|4题|建立直角坐标系，分解运动方程|恒力作用下曲线运动的普适分析| |临界极值|4题|临界条件识别，二次函数/均值不等式求极值|运动限制条件下的边界问题处理| |立体空间|3题|三维降二维，斜面坐标系分解|空间运动向平面问题的转化| |相遇问题|5题|运动时间关联，位移坐标方程|多体运动的时空关系建立|

专题08 平抛运动的综合问题 参考答案 真题·命题感知 考法01 斜面约束的抛体运动 1．B 2．B 3．D 4．BD 5．（1）1s （2） 考法02 圆弧面约束的平抛运动 1．B 2．A 3．BD 4．（1）0.3s；（2）4m/s 考法03 类平抛运动的分析 1．C 2．C 3．C 4．（1） （2） （3），方向与A点抛出速度方向相反。 考法04 抛体运动中的临界、极值问题 1．D 2．C 3．BD 4．（1）， （2）， 考法05 立体空间中的抛体运动问题 1．D 2．C 3．（1） （2） （3） 考法06 抛体运动中的相遇问题 1．C 2．D 3．B 4．D 5．（1） （2） （3） 进阶·强化演练 1．B 2．C 3．A 4．B 5．B 6．D 7．C 8．D 9．A 10．C 11．D 12．D 13．C 14．D 15．D 16．D 17．A 18．AB 19．BCD 20．AC 21．BCD 22．BC 拔高·模拟预测 一、选择题：本题共16小题，每小题4分，共64分。 1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C 7．A 8．C 9．B 10．C 11．C 12．B 13．B 14．A 15．AC 16．BC 二、非选择题：本题共3题，共36分。 17．（1） （2）， 18．（1） （2）， 19．（1）， （2） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平抛运动的综合问题 目 录 真题·命题感知 考法01 斜面约束的抛体运动 1 考法02 圆弧面约束的平抛运动 6 考法03 类平抛运动的分析 10 考法04 抛体运动中的临界、极值问题 14 考法05 立体空间中的抛体运动问题 19 考法06 抛体运动中的相遇问题 22 进阶·强化演练 26 拔高·模拟预测 47 真题·命题感知 考法01 斜面约束的抛体运动 1．（2026·浙江宁波·二模）一种定点投抛游戏可简化为如题图所示的模型，以水平速度从O点抛出小球，正好落入倾角为的斜面上的洞中，洞口处于斜面上的P点，OP的连线与斜面垂直不计空气阻力，重力加速度为g，则平抛过程中小球从O点到P点的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因OP的连线与斜面垂直，由几何关系得位移的偏转角为，设运动时间为t，水平方向 竖直方向 由 解得。故选B。 2．（2026·河北衡水·模拟预测）如图所示，滑雪运动员从跳台点处以初速度沿水平方向跳出，经过一段时间后在斜坡上的点处着陆，运动到点时离斜坡最远。其中斜坡上点为点在垂直斜坡方向的投影点。已知斜坡倾角，当地的重力加速度为，则点到点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】运动到点时离斜坡最远,故点的速度方向沿斜面向下，将初速度和重力加速度分别沿垂直于斜面和沿斜面向下分解，沿斜面向下做匀加速直线运动，垂直于斜面向上做类竖直上抛运动 沿斜面向下的分速度和分加速度分别为， 垂直斜面向上的分速度和垂直斜面向下分加速度分别为， 点到c点时间 沿斜面向下做匀加速直线运动，则点到点的距离为。故选B。 3．（2026·湖北·二模）2026年春节期间，第25届米兰-科尔蒂纳冬季奥运会，中国跳台滑雪队取得了历史性突破。在跳台滑雪混合团体项目中，中国队获得第8名，创造了在该项目上的历史最好成绩。如图所示为跳台滑雪的简易示意图，运动员（可视为质点）从雪坡上某位置由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方的斜面上的M、N两点。设落在M、N两点时小球的速度方向与斜面间的夹角分别为、，不计空气阻力，关于运动员在PM与PN两段运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动的时间相等 B．速度的变化量相等 C．速度的变化快慢不相等 D． 【答案】D 【解析】A．运动员做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，由，得 由图可知落在点时下落高度大，运动时间长，故A错误； B．速度变化量 因运动时间不相等，故速度变化量不相等，故B错误； C．运动员只受重力，加速度为，故速度变化快慢相等，故C错误； D．设斜面倾角为，点距斜面顶端竖直高度为，落点水平位移为，竖直位移为，则 又， 联立得 两边同除以，得 设速度与水平方向夹角为，则 故 即 因，故，即，而。故，故D正确。 故选D。 4．（2026·河北承德·一模）（多选）如图所示，水平面上放置一倾角为θ的斜面体，其斜边足够长。现有一小球从斜面上以初速度v0沿与斜面成α角的方向抛出（），最后落到斜面，位移为x。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．当α=θ时，小球落至斜面时速度方向与斜面的夹角为θ B．当α=θ时，小球离开斜面的最大距离为 C．当θ一定时，α越大，位移x越大 D．当α一定时，θ越大，位移x越大 【答案】BD 【解析】A．将初速度沿斜面向下和垂直斜面向上分解为， 将重力加速度沿斜面向下和垂直斜面向上分解为， 当小球落到斜面上时，垂直斜面方向位移为0，得运动总时间 落至斜面时，速度分量， 设速度与斜面夹角为，则 代入，得 因此，故A错误； B．当小球垂直斜面方向速度减为0时，离开斜面距离最大，由匀变速运动公式，最大距离 代入，得，故B正确； C．沿斜面位移的表达式 一定时，在时取最大值，先增大后减小，不是越大越大，故C错误； D．对位移的表达式变形，得 令 对求导可得 一定时，范围内始终大于0，则随增大单调递增，因此越大，位移越大，故D正确。故选BD。 5．（2025·河南·三模）一倾角的斜坡截面图如图所示，某同学从斜坡上将小石块水平向右抛出，小石块落到了斜坡上。已知小石块出手时到斜坡的垂直距离，离开手时的速度大小。忽略空气阻力，取，，。求： （1）小石块在空中运动的时间； （2）小石块抛出点与落点之间的距离。 【答案】（1）1s （2） 【解析】（1）将小石块的初速度、重力加速度均沿斜面和垂直斜面分解，则沿斜面的分速度大小 垂直斜面的分速度大小 沿斜面方向的加速度大小 垂直斜面向下的加速度大小 规定垂直斜面向下为正方向，则 解得（舍去） （2）小石块沿斜面方向上运动的位移，解得 则小石块抛出点与落点之间的距离 解得 解题方法 （明确末速度方向） 由，得 （明确速度方向） 由，得 （明确位移方向） 由，得 （明确位移方向） 由，得 小球离斜面最大距离分析 （1）沿水平方向、竖直方向建坐标系：速度与水平方向夹角为θ时，离斜面距离最大，此时。 （2）沿斜面和垂直斜面建坐标系 考法02 圆弧面约束的平抛运动 1．（2026·山西·一模）如图所示，质量为3m的抛物线型凹槽锁定在光滑水平地面上。质量为m，可看做质点的小球从凹槽左端点（左端点处固定弹射装置）水平弹出后恰好落在轨道底部。以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系xOy，抛物线方程为。重力加速度g取。则（　　） A．小球从凹槽左端点水平弹出的初速度为2m/s B．小球从凹槽任一点以2.5m/s的水平初速度弹出后都能落到O点 C．若凹槽解除锁定，小球从凹槽左端点以1m/s的水平初速度弹出后仍然恰好落在轨道底部 D．若凹槽解除锁定，小球从凹槽左端点弹出后仍然恰好落在轨道底部，此过程凹槽向左移动1.5m 【答案】B 【解析】A．由抛物线方程为，得抛出点坐标为 由平抛运动 联立解得，，故A错误； B．将代入得 联立 消去t得 即小球从凹槽任一点以2.5m/s的水平初速度弹出后都能落到O点，故B正确； CD．若凹槽解除锁定，由动量守恒 恰好落在轨道底部 解得 凹槽向左移动，故CD错误。 故选B。 2．（2025·全国·模拟预测）如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α＝60°，一小球在圆轨道左侧的A点以速度＝5m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为：（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为。由， 联立解得A、B之间的水平距离为 故选A。 3．（多选）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，轨道半径为，圆心为A点，分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度（未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的点，重力加速度为，小球可视为质点，下列说法正确的是（   ） A．若，小球运动到点时速度与水平方向的夹角为，则有 B．若小球从A到运动时间为，则 C．改变的大小，小球落到圆弧上的速度最大值为 D．改变的大小，小球落到圆弧上速度的最小值为 【答案】BD 【解析】A．设，则平抛运动位移的偏转角为 当速度的偏转角为时，根据平抛运动的推论，可得 综合可得 故A错误； B．小球从A到，由平抛运动的规律可得， 由几何关系可得 综合解得 故B正确； CD．若让小球从A点以不同初速度水平向右抛出，由平抛运动的规律可得小球刚到达某点点时的速度为 结合，， 综合可得 由数学知识可得 则的最小值为 故C错误，D正确。故选BD。 4．如图所示，一个半径R=0.75m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出（小球可视为质点），恰好从半圆柱体的C点掠过。已知O为半圆柱体圆心，OC与水平方向夹角为53°，（，，）， （1）小球从B点运动到C点所用时间； （2）小球做平抛运动的初速度。 【答案】（1）0.3s；（2）4m/s 【解析】（1）小球做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于C点，可知速度与水平方向的夹角为37°，设位移与水平方向的夹角为θ，则有 因为 由几何关系可得 联立解得 根据 解得 （2）水平位移为 x=1.6R=v0t 联立解得 v0=4m/s 解题方法 （明确速度方向） 由，得 （明确位移关系） 由，得 （明确速度方向） 由，得 考法03 类平抛运动的分析 1．如图所示，在光滑水平面上，一质量为做匀速直线运动的小球，经过a点时受一水平恒力的作用，经过点时速度方向偏转。已知经过点的速度大小为、方向与连线夹角为，连线长度为。对小球从到的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球在点的速度为 B．所用的时间为 C．最小速度大小为 D．若仅改变小球在点的速度大小，小球下一次经过连线时的速度偏转角也发生变化 【答案】C 【解析】A B．将恒力F分解为水平分力和竖直分力，从a到b，水平分速度减为零，根据匀变速规律 解得 竖直方向与水平方向运动时间相等，根据匀变速规律 解得，故AB错误； C．根据牛顿第二定律，水平方向 竖直方向 设小球受到的恒力为，则有 设与竖直方向夹角为，则有，即 当速度与垂直时速度最小，则最小速度，故C正确； D．a点速度变化，但恒力不变，小球水平和竖直方向的加速度不变 当小球水平速度减为零时， 此时竖直位移，即小球在ab连线上某个位置，此时小球水平速度减为零，只有竖直方向速度，即速度的偏转角仍是，故D错误。 故选C。 2．如图所示，坐标系的x轴水平向右，质量为的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力的作用，风力与的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　） A．小球的速度先减小后增大 B．小球的加速度大小为 C．小球再次回到x轴所需时间0.6s D．小球再次回到x轴的位置距坐标原点 【答案】C 【解析】A．由受力分析可知，重力为G=10N竖直向下，风力为，与重力夹角为120°，可知两个力的合力为，方向与x轴夹角为30°斜向下，即合力方向与初速度方向垂直，物体做类平抛运动，则物体的速度一直增加，A错误； B．物体的加速度为，B错误； CD．小球竖直方向的加速度向下，大小为 则回到轴的时间是 水平加速度 距原点，C正确，D错误。 故选C。 3．如图，某人从高出水平地面h的山坡上P点处水平击出一个质量为m的高尔夫球，高尔夫球在飞行中受到恒定的水平风力作用，最终竖直落入距击球点水平距离为L的洞穴Q中，则（　　） A．高尔夫球飞行中做的是平抛运动 B．高尔夫球飞行的时间为 C．高尔夫球飞行中受到的水平风力大小为 D．高尔夫球被击出时的初速度大小为 【答案】C 【解析】AB．根据题意可知，高尔夫球飞行中，水平方向做匀减速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则高尔夫球飞行中做的不是平抛运动，竖直方向上有 解得高尔夫球飞行的时间为 故AB错误； D．根据题意，设初速度为v0，水平方向上有 解得 故D错误； C．根据题意，水平方向末速度为零，由运动学公式 可得高尔夫球水平方向上的加速度大小为 由牛顿第二定律可得，高尔夫球飞行中受到的水平风力大小为 故C正确。故选C。 4．荒野探险小分队在某星球上发现一特殊区域，所有物体在该区域除星球重力外，都会受到一水平方向的恒力作用。现将一质量为的小球在该区域从点以速度水平抛出，最终在点落地，速度方向竖直向下。已知连线与水平方向夹角为，之间的距离为，星球重力加速度未知，忽略空气阻力，所有结果用题目中已知量表示。求： （1）小球从到的运动时间； （2）落地时的速度大小； （3）小球运动过程中受到的水平恒力。 【答案】（1） （2） （3），方向与A点抛出速度方向相反。 【解析】（1）将小球的运动分解为水平方向的匀减速直线运动和竖直方向的自由落体运动。 由 得 （2）竖直方向，由 得 （3）水平方向 由牛顿第二定律 得恒力大小 方向与A点抛出速度方向相反。 解题方法 1．运动图示：以抛出点为坐标原点，以初速度方向为x轴正方向，合力方向为y轴正方向，建立坐标系。 2．速度关系 3．位移关系 考法04 抛体运动中的临界、极值问题 1．（2026·四川泸州·一模）如图所示，运动员正前方有一固定的竖直障碍板，板上开有一下端距地面高为，高为的矩形孔。运动员将飞镖从高为处垂直向障碍板方向以速度水平射出，重力加速度为，且。运动员可前后调整位置，使命中地面位置与障碍板的水平距离最大，则最大距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】飞镖做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，水平方向为匀速直线运动。设飞镖从射出到落地总时间为，总下落高度为，由 可得总时间 总水平位移为 设射出点到障碍板的水平距离为，落点到障碍板的水平距离为，则满足 要使最大，需要使最小。矩形孔下沿距地面高，孔高，因此孔上沿距地面高。飞镖到达障碍板时，位置高度满足 对应下落高度满足 飞镖到达障碍板的时间 下落高度 代入得 可得的最小值 将代入的表达式得 故选D。 2．中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（　　） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 【答案】C 【解析】A．小面圈的运动视为平抛运动，其竖直方向为自由落体运动，则由 可得小面圈在空中运动的时间为 由于相同，所以所有小面圈在空中运动的时间也都相同，故A正确，不符合题意； B．根据可得，由于所有小面圈在空中运动的时间都相同，所以所有小面圈的速度变化量都相同，故B正确，不符合题意； D．由题意可知，小面圈运动过程水平位移的取值范围为 由于平抛运动水平方向为匀速直线运动，则水平初速度的最小值为 同理水平初速度的最大值为 所以水平初速度的取值范围为，故D正确，不符合题意； C．落入锅中时，最大速度为 最小速度为 则 即最大速度不是最小速度的3倍，故C错误，符合题意。故选C。 3．（2025·河北·模拟预测）（多选）如图所示，水平面上有两个光滑竖直墙壁M、N，两墙壁间的水平距离为，可视为质点的小球P从竖直墙壁M上的a点水平向右抛出，小球P与竖直墙壁碰撞后，竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向相反。已知a点距水平面高度为，重力加速度为，不计空气阻力，若要使小球P第一次落至水平面时恰好可以击中竖直墙壁N与水平面的交点Q，则小球P抛出时速度大小可能是（　　） A．1.2m/s B．1.5m/s C．2.4m/s D．2.5m/s 【答案】BD 【解析】小球抛出后，竖直方向做自由落体，由 解得小球P从抛出至落在水平面的时间 设小球抛出时的初速度为，要使小球第一次落至水平面上恰好可以击中竖直墙面与水平面的交点，则必须满足（取奇数） 代入四个选项验证，BD符合题意。 故选BD。 4．一种新型智能网球发球机可将网球从发球口沿水平面内任意方向击出，供运动员进行日常训练。如图所示，运动员将发球机置于网球场左侧底线AB的中点G处，发球口在G点正上方高度为2h的H点。球网两侧球场ABCF与FCDE均为边长l的正方形，I为DE中点，球网高度为h，网球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 （1）若网球水平击出后恰好垂直击中球网，求发球速度v0与运动时间t。 （2）若发球方向可在水平面内任意调节，求能越过球网的最小初速度，以及能落在右侧球场内的最大初速度。 【答案】（1）， （2）， 【解析】（1）网球水平击出后恰好垂直击中球网，则竖直方向下落高度 且有 解得 水平方向有 解得 （2）恰好过网有， 解得 恰好落底线有 右侧球场内离G最远点为D或E顶点，G到该点的水平距离 且有 解得 解题方法 1．抛体运动中的临界问题 （1）抛体运动的临界问题的两种常见情境 ①物体有最大位移、最小位移、最大初速度最小初速度等。 ②物体的速度方向恰好为某一方向。 （2）处理抛体运动的临界问题的关键 ①关于临界条件的关键信息：“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行“速度方向与圆周相切”等。 ②解题关键：从实际出发寻找临界点，画出物体运动的草图，确定临界条件。 2．抛体运动中的极值问题 抛体运动的极值问题主要是利用抛体运动规律和几何关系，列出关系式，得到相关的函数关系，利用数学方法得到最大值或最小值的问题。常见的数学方法有二次函数求极值、均值不等式求极值、导数求极值等。极值问题中往往蕴含临界问题。 考法05 立体空间中的抛体运动问题 1．如图，长方体中，，将可视为质点的小球从顶点A在∠BAD所在范围内（包括边界）分别沿不同方向水平抛出，落点都在范围内（包括边界）。不计空气阻力，则小球（　　） A．抛出速度最大时落在点 B．抛出速度最小时落在点 C．落在中点的速度与落在点的速度相等 D．从抛出到落在线段上任何一点所需的时间都相等 【答案】D 【解析】D．设高度为高度为，从抛出到落在线段上任何一点时，由 得 从抛出到落在线段上任何一点所需的时间都相等。D正确； A ．设平抛的水平位移为，抛出速度 落在点水平位移最大，因此抛出速度最大时落在点。A错误； B．水平位移小于时，比落在点抛出速度更小，落在点的抛出速度最小。B错误； C．由得，落在中点的竖直方向分速度与落在点的竖直方向分速度 落在中点时水平位移大于落在点时的水平位移，得落在中点的水平分速度大于落在点的水平速度。由 得，落在中点的速度大于落在点的速度。C错误。 故选D。 2．如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长a＝5m，宽b＝4m，倾角θ＝30°，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（　　） A．小球运动的加速度为10m/s2 B．小球从B运动到A所用时间为2s C．小球从B点水平射入时的速度为m/s D．小球从B点水平射入时的速度为4m/s 【答案】C 【解析】A．对小球受力分析，受到重力和斜面的支持力，根据牛顿第二定律，可得 解得 方向沿斜面向下，故A错误； BCD．小球从B到A做类平抛运动，设球从B点水平射入时的速度为，从B运动到A所用时间为；水平方向有 沿斜面向下方向有 联立解得 ， 故C正确，BD错误。 故选C。 3．如图所示，固定于水平地面上倾角的光滑斜面足够大，在斜面上建立直角坐标系，其中轴平行于斜面底边，轴沿斜面向下且与轴垂直。时刻，将可视为质点的物块从点以的初速度沿轴正方向抛出，取重力加速度大小，，，不计空气阻力。 （1）求时，物块的轴坐标； （2）若某时刻物块的速度方向与轴的夹角，求该时刻； （3）试写出物块运动轨迹的解析式（结果保留和）。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）物块的加速度平行于轴，加速度大小 时，物块的轴坐标 解得。 （2）时刻物块在轴正方向的分速度 根据速度的合成和分解有 解得。 （3）物块在轴正方向做匀速直线运动，有 物块在轴正方向做匀加速直线运动，有 整理得物块运动轨迹的解析式。 解题方法 处理三维空间的抛体运动问题，核心思想为建立合适的坐标系，将三维问题降为二维问题，将立体空间问题转化为平面问题，结合合成与分解的思想“化曲为直”，进行求解。 如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点P以初速度v0水平射入，恰好从底端Q点离开斜面。 分析方法：对物块进行受力分析，如图1所示，可知其所受合力沿斜面向下，物块在斜面上做类平抛运动，其轨迹如图2所示。物块沿水平向右做匀速直线运动，位移是b；沿斜面向下做初速度为0的匀加速直线运动，位移是l。 → 考法06 抛体运动中的相遇问题 1．（2026·北京昌平·二模）如图所示，A、B两小球（可视为质点）从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。不计空气阻力。若两个小球抛出位置不变而抛出速度大小均变为原来的2倍，则相遇时间为（　　） A．t B． C． D． 【答案】C 【解析】由于两小球从相同高度同时抛出，竖直方向运动规律完全一致（初速度为0、加速度为），任意时刻两球的竖直下落高度相同，因此相遇条件仅由水平方向的相对运动决定。 设两球初始水平间距为，第一次抛出的初速度分别为、，水平方向相对速度大小为，第一次相遇时间为，则水平方向满足： 当两球抛出速度均变为原来的2倍时，新的初速度为、，水平相对速度变为 设新的相遇时间为，则： 联立两式解得： 故选C。 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图所示，为同一竖直平面内三点，位于同一条竖直线上，位于水平地面上.小球甲从点水平抛出，同时小球乙从点沿与水平方向成角抛出，两球在点相遇。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A． B．甲、乙的加速度大小之比为 C．甲、乙的初速度大小之比为 D．相遇前瞬间，甲、乙的速度大小之比为 【答案】D 【解析】AC．小球甲做平抛运动，水平方向有，竖直方向有 小球乙做斜上抛运动，水平方向有，竖直方向有 联立可得，故AC错误； B．两小球均只受重力，故加速度相同，故B错误； D．相遇前瞬间，甲的竖直分速度大小，则甲的速度大小 乙的速度大小，则，故D正确。 故选D。 3．（2025·广东江门·二模）如图所示，体育课上，甲、乙两同学分别将两篮球同时从A、B两点抛出，两篮球在空中相遇。已知从A点抛出的篮球的初速度水平向右、大小为10m/s，A、B两点在竖直方向和水平方向的距离相等，不计空气阻力，则从B点竖直向上抛出的篮球的初速度大小是（　　） A．5m/s B．10m/s C．8m/s D． 【答案】B 【解析】设A、B两点在竖直方向和水平方向的距离均为，B点篮球的初速度为，则对A点抛出的篮球， 对B点抛出的篮球 又因为 联立，解得 故选B。 4．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，从距地面5m高处的塔上，同时从同一位置抛出两小球（均可视为质点），初速度大小都为2m/s，A球初速度方向水平向右，B球初速度方向与水平方向成60°角斜向右上，忽略空气阻力，重力加速度大小为10 m/s2，则（　　） A．在A落地前，A、B可能在空中相遇 B．在A落地前，A、B间的距离不会超过 m C．B比A滞后s落地 D．A、B从抛出至落地的过程，A的水平位移大于B的水平位移 【答案】D 【解析】A．A、B同时从同一位置抛出，由于A在水平方向的速度大于B在水平方向的速度，故在A落地前，A、B不可能在空中相遇，A错误； B．由题意得A落地瞬间A、B间距离最大，A下落时间为 A的水平位移为 在A下落的时间内，B下落的高度为 B的水平位移为 则A落地瞬间B到地面的距离为 A、B间的水平距离为 故A、B间的最大距离为，B错误； C．B在竖直方向有 解得 则B比A晚落地的时间为，C错误； D．B从抛出至落地过程的水平位移，D正确。 故选D。 5．如图所示，在水平地面上固定一倾角、表面光滑的斜面体，物体A以的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出。物体A恰好可以上滑到最高点，此时物体A恰好被物体B击中。A、B均可看成质点，不计空气阻力，，，g取。求： （1）物体A上滑到最高点所用的时间； （2）物体B抛出时的初速度的大小； （3）物体A、B间初始位置的高度差。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）物体A在斜面上运动时的加速度 物体A上滑到最高点所用的时间 （2）斜面长度 物体B的水平位移为 物体B的初速度 （3）物体B竖直方向的位移为 代入数据可求得 解题方法 1．常见类型：常见的有平抛与直线运动相遇、平抛与平抛运动相遇、平抛与竖直上抛相遇、平抛与斜上抛相遇等。 2．解题方法 两物体相遇即二者同一时刻到达空间同一位置。利用运动的合成与分解将二维的追及相遇问题转化为一维的追及相遇问题，根据运动过程图列出相应的速度关系、位移关系和时间关系。 进阶·强化演练 1．（2026·广东·高考真题）如图是月球上一圆柱形阴影坑竖直截面图。假定某飞行器在月面上空向坑中心方向以速度匀速水平飞行。在距坑边的点正上方关闭动力，此后只受月球重力，直至抵达着陆线。已知坑直径，月面至着陆线深度，月面重力加速度取，飞行器可视为质点。飞行器安全到达着陆线，则的大小可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知飞行器安全到达着陆线，速度最小时会刚好通过月面坑边到达着陆线，此时根据平抛运动规律在竖直方向有，代入数据解得 在水平方向有，代入数据可得； 飞行器安全到达着陆线，速度最大时会到达着陆线最右端的坑边缘，此时根据平抛运动规律在竖直方向有，代入数据解得 在水平方向有，代入数据可得 所以飞行器安全到达着陆线需满足 故选B。 2．（2026·江苏·高考真题）如图所示，小明跳起从同一高度将排球水平击出三次，排球分别落于a、b、c三点，不计空气阻力，关于该过程，下列说法正确的是（   ） A．排球的飞行时间满足ta > tb > tc B．排球的飞行时间满足ta < tb < tc C．排球的初速度满足va < vb < vc D．排球的初速度满足va = vb = vc 【答案】C 【解析】AB．竖直方向上，根据自由落体运动公式，可得飞行时间 因为排球从同一高度抛出，且落在同一水平面上，所以下落高度h相同，故三次飞行的时间相等，即ta = tb = tc，故A错误，B错误； CD．水平方向上，根据匀速直线运动公式，可得初速度 由图可知，排球的水平位移关系为，且已知飞行时间t相等，所以初速度满足，故C正确，D错误。 故选C。 3．（2026·河南·高考真题）如图1，网球运动员将球沿水平方向击出，球运动轨迹所在平面与球网面的夹角为，球恰好擦过球网上沿的点，图2为球运动轨迹在球网所在平面的投影，轨迹投影在点的切线与球网上沿的夹角为。已知击出时球的速度大小为，，重力加速度大小取，不计阻力，则击球点到球网面的距离为（     ） A．4 m B．6 m C．8 m D．10 m 【答案】A 【解析】网球被水平击出后做平抛运动，初速度大小为​，轨迹平面与球网面夹角为，将初速度分解，垂直于球网面的速度 平行于球网面的速度 网球在竖直方向做自由落体运动，设从击球点到点的运动时间为，网球在点的竖直速度 点的切线与球网上沿夹角为，切线斜率满足 代入，，得 网球在垂直于球网方向匀速运动，位移 代入和的表达式，得 解得 因此击球点到球网面的距离为4 m。 故选A。 4．（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若小孩能接到球，则有， 联立解得 故选B。 5．（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，则（　　） A．钢球平抛初速度为 B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 【答案】B 【解析】AB．根据平抛运动的规律可知，钢球在空中飞行时间为 钢球平抛初速度为，A错误，B正确； C．钢球撞击木板时速度方向与水平方向的夹角满足 可知，增大h，钢球撞击木板的速度方向与水平方向的夹角变大，C错误； D．根据可知，减小h，钢球落点离桌边的水平距离x减小，D错误。 故选B。 6．（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 【答案】D 【解析】AB．鸟食的运动视为平抛运动，则在竖直方向有 由于hM < hN，则tM < tN，要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟食先抛出，故AB错误； CD．在水平方向有x = v0t，如图 过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，故C错误，D正确。 故选D。 7．（2026·河南信阳·模拟预测）如图所示，一个平台静止在水平面上，现给水平面上点处的小球一个斜向上的初速度，使小球从平台上表面左端的点沿水平方向滑上平台，已知、连线与水平方向的夹角为，则小球抛出的初速度与水平方向的夹角应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将物体的运动看做是逆向的平抛运动，则，， 解得， 故选C。 8．（2026·安徽·模拟预测）如图所示，小球从斜面上A点以大小相等的初速度分别水平向右（图甲）和垂直斜面向上（图乙）抛出，随后小球均与斜面发生一次弹性碰撞并反弹（小球垂直斜面的速度大小不变、方向反向，沿斜面方向的速度大小和方向均不变，碰撞时间极短），之后分别落回斜面上的C、D两点。设小球从A到B、B到C的运动时间依次为t1、t2，位移依次为x1、x2；小球从A到E、E到D的运动时间依次为t3、t4，位移依次为x3、x4，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．t1<t2 B．t1=t3 C．x1∶x2=1∶3 D．x3∶x4=1∶3 【答案】D 【解析】AB．斜面倾角相同，可知平行斜面方向的加速度均为 垂直斜面方向上的加速度均为 小球在平行斜面方向都做匀加速直线运动，在垂直斜面方向上，都做相同的类竖直上抛运动。小球与斜面发生弹性碰撞并反弹（小球垂直斜面的速度大小不变、方向反向，沿斜面方向的速度大小和方向均不变，碰撞时间极短），对图甲可知从A到B、B到C的运动时间相等，均为；同理对图乙 可得 ，故AB错误； CD．对图甲：小球从A到B、B到C的位移依次为x1、x2，有， 可得 可得 对图乙：小球从A到E、E到D的位移依次为x3、x4，有， 可得，故C错误，D正确。 故选D。 9．（2026·河南郑州·模拟预测）在单板滑雪U形场地赛中，运动员运动轨迹如图所示，滑道边缘线的倾角为，运动员以速度从上的点沿的竖直切面滑出滑道，滑出时速度方向与的夹角为，腾空后从上的点进入滑道。已知，重力加速度为，运动员可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．、两点间的距离为 B．运动员腾空中离的最大距离为 C．若仅减小夹角，则运动员腾空时间可能保持不变 D．若仅增大的大小，则运动员再滑入轨道的速度方向可能改变 【答案】A 【解析】AB．将初速度和加速度分别沿斜面方向和垂直斜面方向分解，则垂直于斜面方向做类竖直上抛运动，则有运动学公式可得，运动员在空中运动的时间为 运动员腾空时与的最大距离为 则、两点间的距离为，故A正确，B错误； C．运动员腾空的时间为 若仅减小夹角，则运动员腾空时间减小，故C错误； D．运动员再次滑入轨道时，垂直于斜面方向的速度不变，仍为，沿斜面向下的速度为 则合速度与斜面的夹角为 由此可知运动员再滑入轨道的速度方向与初速度无关，故D错误。 故选A。 10．如图所示，第一次从倾角为的斜面顶端A处将一可视为质点的小球以初速度向右水平抛出，小球落在斜面上的B点处；第二次从A的正上方某点处将同一小球以相同的初速度向右水平抛出，小球落在斜面上的C点处。已知，不计空气阻力，则关于第一次小球落在B点的速度与第二次小球落在C点的速度之比的判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设斜面倾角为，第一次平抛运动时间为，第二次为。第一次从点抛出落在点，水平位移 竖直位移 由几何关系 解得 落在点时竖直分速度 合速度 第二次从点抛出落在点，已知，则点相对于点的水平位移 第二次平抛水平位移 因水平速度仍为，故运动时间 落在点时竖直分速度 合速度 速度之比 由题图知， 代入得 所以 故选C。 11．（2026·河南濮阳·模拟预测）如图所示，倾角的斜面体，点在点正上方且与点位于同一高度，小球甲、乙分别从、两点沿水平方向抛出，经过一段时间两球均落在斜面上的点，甲的速度与斜面垂直，，重力加速度为，，，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．两球在点的速度方向与水平方向的夹角相同 B．、两点之间的距离为 C．甲的初速度大小为 D．乙的初速度大小为 【答案】D 【解析】A．两球均落在斜面上的点，甲的速度垂直斜面，则甲的速度与水平方向的夹角为 则有 乙从到，位移偏角等于，根据平抛运动推论可得乙在点的速度与水平方向的夹角满足 可知两球在点的速度方向与水平方向的夹角不相同，故A错误； BC．设甲的初速度大小为，甲垂直斜面落在点，则有 根据平抛运动规律有， 根据几何关系可得 联立解得，， 则、两点之间的距离为，故BC错误； D．乙做平抛运动的水平位移为 由于甲乙下落高度相同，运动时间相等，则乙的初速度大小为，故D正确。 故选D。 12．如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为，且轨迹交于点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（     ） A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度等于 C．两谷粒从到的平均速度相等 D．若两谷粒在点相遇，应先抛谷粒2 【答案】D 【解析】A．忽略空气阻力，两谷粒抛出后在空中均只受重力作用，其加速度均为竖直向下的重力加速度，故A错误； B．设O点到P点的竖直高度差为，水平位移为。谷粒1在竖直方向做自由落体运动，时间为；谷粒2具有竖直向上的初速度分量，在竖直方向先向上做减速运动再向下做自由落体运动，落至同一下降高度所需的时间为。显然 在水平方向上，两谷粒均做匀速直线运动，且水平位移相同。根据 由于，必然有谷粒2的水平分速度 谷粒2在最高点时竖直分速度为零，此时的速度刚好等于其水平分速度，因此谷粒2在最高点的速度小于，故B错误； C．两谷粒均从O点运动到P点，初末位置相同，因此两者的位移矢量完全相同。但由于它们在空中的运动时间，根据平均速度的定义式，两者的平均速度大小不相等，故C错误； D．由上述推导可知，谷粒2从O到P飞行的时间更长（）。若要使两谷粒在P点相遇（即同时到达P点），必须让在空中飞行时间更长的谷粒2提前抛出，故D正确。 故选D。 13．随着物理学和数学的不断发展，中国在智能机器人的研发方面取得了突破性的进步，无论是在工业生产还是惠民生活以及军事领域都带来了巨大的便利。如图所示，两个智能机器人可以控制a、b两个小球按照需求从不同高度处水平抛出，忽略空气阻力，机器人模拟出两小球的运动轨迹的交点为Q，则下列说法正确的是（    ） A．若两小球同时落地，则必须要同时抛出 B．若两小球同时落地，则必须先抛出b球 C．若两小球同时落地，a球后经过Q点 D．无论怎么抛出，两小球都不可能在空中相碰 【答案】C 【解析】AB．平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，根据，可得 由图可知 球的抛出点高度大于 球的抛出点高度，即 所以 球的落地时间长， 若两小球同时落地，则 球必须先抛出，故A、B错误； C．若两小球同时落地，设落地时刻为 。点离地高度为 。 球经过点时，已下落高度 ，竖直分速度 球经过 点时，已下落高度 ，竖直分速度 因为 ，所以 。从点到落地，两球竖直位移均为 根据 ，初速度 越大，所用时间 越短，所以球从点落地的时间小于球从点落地的时间。 球经过 点的时刻为，球经过点的时刻为。因为，所以，即球后经过点，故C正确； D．两球轨迹相交于 点，说明空间位置重合。 球到达点所需时间 球到达点所需时间 因为，所以。 若球先抛出，且时间差，则两球可以同时到达点而在空中相碰，故D错误。故选C。 14．如图所示，一质量为的小球在光滑水平桌面上受一水平恒力的作用，先后经过、两点，速度方向偏转90°。已知经过点时的速度大小为、方向与连线夹角为60°，连线长为。对小球从运动到的过程，下列说法正确的是（　　） A．小球在点的速度大小为 B．小球从到运动的时间为 C．水平恒力方向与连线夹角为30° D．水平恒力的大小为 【答案】D 【解析】A B．将水平恒力F分解为沿A点速度方向分力和垂直A点速度方向分力，从A到B，沿A点速度方向速度减为零，根据匀变速运动规律可得沿A点速度方向的平均速度大小为 沿A点速度方向，根据匀变速规律可得 解得所用的时间为 垂直A点速度方向，根据匀变速规律可得 解得小球在B点的速度为，故AB错误； C D．沿A点速度方向，根据牛顿第二定律可得（向左） 垂直A点速度方向，根据牛顿第二定律可得（向下） 则小球受到的恒力大小为 水平恒力方向与夹角为，则 解得，由几何关系可知水平恒力方向与连线夹角为60°，故C错误、D正确。 故选D。 15．（2026·河北廊坊·一模）如图甲所示是一种倾斜桌面上投球入洞的游戏，可简化为图乙。若长方形光滑桌面长边水平，短边倾斜，倾角为，小球（可视为质点）从一短边出发，出发点离该边较高桌角的距离记为d，沿另一短边从较高桌角每隔0.15m有一个宽为0.15m的洞口，共3个洞口，洞口到对面桌边的距离为2m，小球初速度平行于长边，大小记为。取重力加速度则下列组合中，小球直接入洞机会最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】初速度方向做匀速直线运动，位移为洞口到对面桌边的距离，因此运动时间满足 合力为，做初速度为0的匀加速曲线运动，加速度 到达洞口边时沿桌面向下的位移为 洞口沿短边从较高桌角开始，3个洞口范围为、、 A．当时，，得 小球到达洞口边的位置坐标，只可进入第二个洞口，且范围为 B．当时，小球到达洞口边的位置坐标，只可进入第三个洞口，且范围为 C．当时，，得 小球到达洞口边的位置坐标，只可进入第二个洞口，且范围为 当时，小球到达洞口边的位置坐标，只可进入第二个洞口，且范围为 综上可得，小球直接入洞机会最大的是D选项。 故选D。 16．如图所示的光滑斜面长度为L，宽度为S，倾角为θ，某滑块（可视为质点）沿斜面左上方顶点P以初速度v0水平射入，恰好从斜面右侧的Q点离开斜面，Q点距离底端的距离为，已知重力加速度为g。则（　　） A．滑块由P点至Q点做变加速曲线运动 B．滑块由P点至Q点做匀变速曲线运动，且加速度大小为gcosθ C．滑块由P点至Q点的运动时间为 D．滑块的初速度大小为 【答案】D 【解析】AB．滑块由P点至Q点，依据曲线条件，初速度与合力方向垂直，且合力大小、方向恒定不变，则滑块做匀变速曲线运动；根据牛顿第二定律得，滑块的加速度大小为 故AB错误； CD．滑块由P点至Q点，沿斜面向下方向，有 解得 沿初速度方向有 解得 故C错误，D正确。 故选D。 17．如图所示，某同学利用一底面是正方形的长方体容器粗略测量小区一细水管的流量。已知容器底边边长为a，高度为，细水管横截面积为s，离地高度为h，重力加速度为g。测量时，在地面上移动容器，使水恰好从容器上表面一顶点无阻挡落到下表面对顶点，则水管的流量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设出口到容器上表面一顶点的水平距离为x，则从流出到到达该点时有， 从流出到落到下表面对顶点则， 解得 则水管的流量为 故选A。 18．（多选）如图所示是排球场地的示意图。排球场为矩形，长边，前场区的长度为，宽，网高为。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．若在底线上方沿垂直水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，临界高度为 C．若在底线的点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，击球的速度为 【答案】AB 【解析】A．临界高度可以理解为既触网，又出界。若在底线上方沿垂直水平击球，则在CD上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动，根据几何关系，可知打到触网点与打到AB线水平位移之比为1:2，故打到触网点与打到AB线时间之比为1:2；在竖直方向做自由落体运动，根据可知下落高度之比为1:4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4:3，则临界高度为，故A正确； B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，则在E点上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动。设球从E点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从E点打到B点，水平位移为，根据几何关系有 可得球从E点打到触网点与球从E点打到B点水平位移之比为 故球从E点打到触网点与球从E点打到B点时间之比为1:4；在竖直方向做自由落体运动，根据可知下落高度之比为1:16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16:15，则临界高度为，故B正确； C．若在底线CD的D点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，则在D点上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动，设球从D点打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为；球从D点打到B点，水平位移为，根据几何关系有 可得球从D点打到触网点与球从D点打到B点水平位移之比为 故球从D点打到触网点与球从D点打到B点时间之比为1:2；在竖直方向做自由落体运动，根据可知下落高度之比为1:4，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为4:3，则临界高度为 设球从D点打到B点的水平速度为，在竖直方向上有 解得 根据几何关系，可得对应的水平位移为 在水平方向上，根据 解得，故C错误； D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，则在EF上某高度建立平抛模型，根据平抛运动的规律，在水平方向做匀速直线运动。设球从EF线上打到触网点，触网点在水平方向上的投影点为，水平位移为 球从EF线打到AB线，水平位移为 则球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线水平位移之比为 故球从EF线上打到触网点与球从EF线打到AB线时间之比为1:4；在竖直方向做自由落体运动，根据可知下落高度之比为1:16，根据几何关系，可知临界高度与网高之比为16:15，则临界高度为 设球从EF线打到AB线的水平速度为，在竖直方向上有 在水平方向上有 解得，故D错误。 故选AB。 19．（多选）2022年北京冬奥会跳台滑雪项目将在位于张家口的国家跳台滑雪中心举行，国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主体建筑灵感来自于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”。跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板在滑雪道上获得定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，如图所示。测得ab间的距离为40m，斜坡与水平方向夹角为30°，不计空气阻力，g取，下列说法正确的是（   ） A．运动员在a处的速度大小为10m/s B．运动员在空中的飞行时间为2s C．运动员在b点处的速度大小为 D．运动员在空中的飞行过程中离坡面的最大距离 【答案】BCD 【解析】AB．运动员做平抛运动，设间的距离为，竖直方向有 水平方向有 联立解得，，故A错误，B正确； C．运动员在b点处的竖直分速度大小为 则运动员在b点处的速度大小为，故C正确； D．将运动员在空中的运动分解为沿坡面和垂直坡面两个分运动，当垂直坡面的分速度减为0时，运动员离坡面的距离最大，则运动员在空中的飞行过程中离坡面的最大距离为 代入数据解得，故D正确。 故选BCD。 20．（2026·广西桂林·三模）（多选）如图所示，水平面上固定一倾角的斜面，斜面足够长。现有无数小球从斜面上某一位置以初速度大小与斜面成任意角抛出，最后落到斜面上。重力加速度，忽略空气阻力，。则（    ） A．小球在空中运动的最长时间为2.5s B．小球在空中运动的最长时间为2s C．小球离斜面最大距离为6.25m D．小球离斜面最大距离为5m 【答案】AC 【解析】假设小球的速度v0与斜面的夹角为，垂直斜面向上，则 当vy=0时，小球上升到最高点，上升的时间 当时，上升的时间最长，上升的最长时间 所以小球在空中运动的最长时间 小球在垂直于斜面向上运动的距离 解得 当时，小球离斜面的距离最大，最大值为hm=6.25m 故选AC。 21．（2026·湖南衡阳·模拟预测）（多选）飞镖扎气球是一种娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，O点为镖靶中心，OP水平、OQ竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同一位置M点水平射出飞镖，且M、O、Q三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射中靶面O、P、Q三点的飞镖，下列说法正确的是（     ） A．射中O点的飞镖射出时的速度最小 B．射中P点的飞镖射出时的速度最大 C．射中Q点的飞镖在空中飞行的时间最长 D．射中O、P两点的飞镖在空中飞行的时间相等 【答案】BCD 【解析】AB．飞镖做平抛运动，由平抛运动的特点知， 解得飞镖初速度 水平方向位移 竖直方向位移 可得飞镖射出时的速度 即射中点的飞镖射出时的速度最小，射中点的飞镖射出时的速度最大，故A错误，B正确； CD．解得飞镖飞行时间 竖直方向位移 可得飞镖在空中飞行的时间 即飞镖射中两点的飞镖在空中飞行的时间相等，射中点的飞镖在空中飞行的时间最长，故CD正确。 故选BCD。 22．（多选）如图所示，A、B两球在同一水平线上同时抛出，A球以与水平方向成角斜向右上方抛出，抛出初速度大小为，B球竖直向上抛出，结果两球在上升过程中相遇，不计空气阻力，重力加速度为，，，则下列说法正确的是（     ） A．小球B抛出的初速度大小等于 B．小球B抛出的初速度大小等于 C．A、B两球刚抛出时相距的距离可能等于 D．A、B两球刚抛出时相距的距离可能等于 【答案】BC 【解析】AB．A、B两球在同一水平线上同时抛出，结果两球在上升过程中相遇，可知A、B两球在竖直方向有相同的运动情景，小球B抛出的初速度大小等于A球抛出的初速度的竖直分量，则有，故A错误，B正确； CD．A、B两球在竖直方向上升到最高点所用时间为 由于两球在上升过程中相遇，则A、B两球刚抛出时相距的距离应满足 由于，故C正确，D错误。 故选BC。 拔高·模拟预测 一、选择题：本题共16小题，每小题4分，共64分。 1．某地因持续强降雨引发山体滑坡，应急救援直升机执行“空中生命线”任务。假设直升机到达目标村落正上方后，悬停于距水平地面20 m高处。质量为的物资被静止释放后，下落过程受大小恒为的水平风力作用。忽略空气阻力对物资下落速度的影响，取。则物资（　　） A．在空中的运动轨迹是曲线 B．落地时速度大小为 C．下落过程水平方向的位移为0.8 m D．下落时间会因水平风力的影响而大于2 s 【答案】C 【解析】物资的运动可分解为水平方向和竖直方向的独立分运动 竖直方向：不受水平风力影响，做自由落体运动，由得下落时间 水平方向：受恒力作用，做初速度为0的匀加速直线运动，加速度。 A．物资初速度为0，所受合力为重力与水平风力的恒力，初速度与合力方向共线，做匀加速直线运动，轨迹为直线，故A错误； B．落地时竖直分速度，水平分速度，合速度，故B错误； C．水平方向做初速度为零的匀加速运动，，故C正确； D．竖直方向运动与水平方向无关，下落时间为2s，不受水平风力影响，故D错误。故选C。 2．如图所示，在一个科技展览馆内，有一个可视为光滑斜面的ABCD展示装置，该斜面是边长为的正方形，倾角为。为了展示物体的运动轨迹，工作人员在斜面左上方顶点A处设置了一个小型弹射装置，可将不同质量的物块，以相同速度弹出。某次将质量为的物块（视为质点）以平行于AB边的初速度水平射入斜面。物块射出后，会在斜面上留下运动轨迹，且恰好到达底边CD的中点E。重力加速度g取，则（　　） A．可得物块弹出的速度为 B．若仅将物块质量加倍，从A运动到底边的时间不变 C．若仅将物块质量加倍，为使物块仍能经过E点，则应减小物块从A点入射的速度 D．若仅将斜面倾角变为，射入初速度不变，则物块运动到底边的时间仍然不变 【答案】B 【解析】A．物块做类平抛运动，加速度为 根据类平抛运动的规律有， 解得，，故A错误； B．结合上述可知，物块运动时间与质量无关，可知，若仅将物块质量加倍，从A运动到底边的时间不变，故B正确； C．结合上述可知，物块运动速度与质量无关，可知，若仅将物块质量加倍，为使物块仍能经过E点，则物块从A点入射的速度不变，故C错误； D．若仅将斜面倾角变为，则加速度 射入初速度不变，根据类平抛运动的规律有 解得 可知，物块运动到底边的时间发生了变化，故D错误。 故选B。 3．如图所示，一个质量为m的小球从倾斜角为θ的斜面顶端以速度水平向右抛出，重力加速度为g，斜面足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．从抛出小球开始计时，经过后小球距离斜面最远 B．小球抛出的初速度越大，则小球落到斜面上的速度方向与水平方向的夹角也越大 C．若小球还受到一个竖直向下的恒力，恒力大小与其重力大小相等，则小球落到斜面上的速度大小为 D．若小球还受到一个位于竖直平面内的恒力（方向未知），且小球抛出经过足够长的时间之后速度方向趋于与斜面平行，则该恒力的最小值是 【答案】D 【解析】A．如图所示， 物体距离斜面最远时速度方向与斜面方向平行，可得 即 故A错误； B．在平抛运动中，速度偏转角的正切值是位移偏转角正切值的两倍。由于物体在斜面上抛出又落在斜面上，因此在不同初速度抛出的情况下位移偏转角相同，则速度偏转角相同。故增大初速度，速度偏转角不变。故B错误； C．若小球还受到一个竖直向下的恒力，恒力大小与其重力大小相等，由牛顿第二定律可得 则物体的加速度 分解小球落在斜面上的速度，如图所示 可得 ， 故C错误； D．如图所示， 经过足够长的时间，物体的速度趋于与斜面平行，则合力的方向与斜面方向平行。由几何关系可知，当恒力方向与合力方向垂直时，恒力最小。恒力的最小值为 故D正确。故选D。 4．如图所示，在某军事演习区正上方距离地面4000m处悬停着装载有炸弹的无人机，无人机可以向水平及以下方向无死角的以初速度抛出炸弹，在无人机正下方距离地面2000m处设置圆形拦截炸弹区，不计空气阻力，重力加速度大小，则拦截炸弹区的最小半径为（     ） A．200m B． C．100m D． 【答案】A 【解析】炸弹距拦截区的竖直下落高度 水平抛出的炸弹，竖直方向的分速度最小，运动的时间最长，且水平方向的分速度最大，则水平位移最大。最大水平位移就是拦截区的最小半径，根据平抛运动规律可知， 联立解得，故选A。 5．设某次演习中，轰炸机沿水平方向投放了一枚炸弹，炸弹下降高度后正好垂直击中倾角为θ=37°的斜坡上的目标，如图所示。不计空气阻力，重力加速度。则（　　） A．炸弹飞行的时间是4s B．炸弹飞行的初速度大小是15m/s C．炸弹击中目标时的速度大小为20m/s D．炸弹飞行的水平距离是15m 【答案】B 【解析】A．炸弹做平抛运动，在竖直方向 解得炸弹飞行的时间，故A错误； B．炸弹正好垂直击中倾角为的斜坡上的目标，有 解得炸弹飞行的初速度大小，故B正确； C．炸弹击中目标时的速度大小为，故C错误； D．炸弹飞行的水平距离，故D错误。 故选B。 6．如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，AB为水平直径，O为圆心，将一些半径远小于轨道半径的小球从A点以不同的初速度水平向右抛出，若不计空气阻力，在小球从抛出到碰到轨道这个过程中，下列说法正确的是（     ） A．初速度大的小球运动时间长 B．落在圆形轨道最低点的小球初始速度最小 C．初速度不同的小球运动时间有可能相同 D．只要初速度大小适当小球有可能垂直打在轨道上 【答案】C 【解析】A．平抛运动竖直方向做自由落体运动 落地时间，仅由下落高度决定，与初速度无关，初速度大的小球可能落在靠近B点处，运动时间短，二者无必然正相关，故A错误； B．落在轨道最低点的小球下落高度最大，运动时间最长，但初速度 存在落在靠近A点的小球，其下落高度更小、运动时间更短，但初速度比落在最低点的小球更小，故B错误； C．对下半圆轨道，同一下落高度对应两个不同落点（分别在圆心O的左侧、右侧），二者竖直高度相同，因此运动时间相同，但水平位移不同，对应初速度不同，故初速度不同的小球运动时间有可能相同，故C正确； D．若小球垂直打在轨道上，速度方向必然沿轨道法线，即延长线过圆心O，根据平抛运动推论速度的反向延长线一定过水平位移的中点，若反向延长线过O，则O点必须是水平位移的中点，可推得落点为B点，此时下落高度为0，不可能实现，故D错误。 故选C。 7．图中给出某一通关游戏的示意图，安装在轨道AB上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射出口在B点的正上方，竖直面内的半圆弧BCD的半径为R=2.0 m，直径BD水平且与轨道AB处在同一竖直平面内，小孔P和圆心O连线与水平方向夹角为37°，游戏要求弹丸垂直于P点圆弧切线方向射入小孔P就能进入下一关，不计空气阻力，g取，sin37°=0.6，cos37°=0.8。为了能通关，弹射器离B点的高度和弹丸射出的初速度分别是（　　） A．0.15 m， B．1.50 m， C．0.15m， D．1.50 m， 【答案】A 【解析】弹丸垂直于P点圆弧切线射入小孔，因此弹丸在P点的速度方向沿半径方向，即速度方向与水平方向夹角为。 由平抛运动速度偏转角关系： 得 设B为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，则： 弹射器坐标为，圆心O坐标为 P点坐标为 平抛水平位移满足： 解得 竖直方向下落高度满足 得 故选A。 8．（2026·河北邢台·二模）如图所示，半圆形凹槽半径为R，圆心为O，MN为水平直径。A点与O等高，B点在O点正下方，P点位于槽面上，P到O的水平距离为。现从A、B点分别以水平速度vA、vB抛出小球，恰好都垂直槽面击中P点，所用时间分别为tA、tB。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．A、B、P三点不共线 【答案】C 【解析】AC．由于两小球均垂直槽面击中P点，所以速度的反向延长线必过水平位移中点，即经过圆心O，如图所示 根据几何关系可得 解得 根据平抛运动的规律可得，，， 联立解得，，故A错误，C正确； B．由于， 所以，故B错误； D．根据平抛运动的推论可知，由于两小球的速度偏转角相等，即速度方向与水平方向的夹角相等，所以位移与水平方向的夹角相等，则A、B、P三点共线，故D错误。 故选C。 9．中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，将面削出飞入开水锅里。假设小面片均沿着开水锅的半径方向水平飞出，最后落入锅中，且小面片刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的中心为点O，半径为L，如图所示。若将削出的小面片视为质点，其运动视为平抛运动，忽略空气阻力，重力加速度为g，则下列关于小面片的描述中错误的是（　　） A．所有小面片的运动时间都相同 B．小面片落到O点时的速度大小为 C．落入锅中的小面片，从飞出到落水前，速度的变化量相同 D．若落入锅中的小面片初速度为v0，则v0的范围 【答案】B 【解析】A．小面片做平抛过程运动中，在竖直方向有 解得 削面时小面片的下落高度相同，则运动的时间相同，故A正确，不符合题意； B．根据平抛运动规律有， 联立解得， 则小面片落到O点时的速度大小为，故B错误，符合题意； C．由A选项可知，小面片空中运动的时间相同，根据可知，落入锅中的小面片，从飞出到落水前，速度的变化量相同，故C正确，不符合题意； D．落入锅中的小面片，在水平方向的位移大小满足，又因为 联立解得的范围，故D正确，不符合题意。 故选B。 10．如图所示，在饺子（可视为质点）加工厂的自动化生产线上，水平传送带末端与收集槽（槽壁厚度不计）左边缘的水平距离为，与收集槽上边缘的高度差为，收集槽的开口宽度也为，重力加速度为，不计空气阻力。为使水平传送带上的饺子准确落入收集槽中，则饺子离开传送带的速度的大小应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】饺子竖直方向做自由落体运动，根据 解得 刚好落到槽口左边缘，水平方向有 联立得初速度 刚好落到槽口右边缘，水平方向有 联立解得 综上可得。 故选C。 11．如图所示，小车静止于水平地面上（小车最左端位于地面上A点），可视为质点的小球从B点以大小为3v0的初速度水平向右抛出，同时小车从A点以大小为v0的速度水平向左匀速运动。小球和小车轨迹在同一竖直平面内，经过一段时间小球落到小车上。若不计空气阻力，AB水平距离为l，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球相对于小车的速度一直为4v0 B．以小车为参考系，小球的运动轨迹为直线 C．小球运动的最短时间为 D．A、B两点高度差最小值为 【答案】C 【解析】AB．水平方向小球相对于小车的速度一直为4v0，竖直方向小车速度为0，小球的速度一直变化，则小球相对于小车的速度变化，以小车为参考系，小球的运动轨迹为曲线，AB错误； C．小球与小车在水平方向均做匀速直线运动，当小球恰好落到小车最左端时有最短时间，则当小球落在小车最左端时，在水平方向小球的位移大小 小车的位移大小 依题意有 解得，C正确； D．小球做平抛，根据前面分析可得A、B两点间最小的高度差，D错误。 故选C。 12．如图所示，可视为质点的两个小球在同一水平线AB上。当一个小球从A点以初速度被水平抛出的同时，另一个小球从B点开始自由下落（空气阻力忽略不计），曲线AC和直线BD为两小球的运动轨迹，两轨迹相交于O点。下列说法正确的是（　　） A．两小球运动到O点所用的时间不一定相同 B．从开始下落到运动至O点的过程中，两小球速度的变化量相等 C．若增大，则两小球不一定能相遇 D．若减小，则两小球在O上方某位置相遇 【答案】B 【解析】A B．从两小球开始下落到相遇于O点的过程中，竖直方向根据 因高度相同，故两小球运动到O点所用的时间一定相同 又 从开始下落到运动至O点的过程中，两小球速度的变化量相等，故A错误，B正确； C．若增大，则两小球一定O上方某位置相遇，故C错误， D．若减小，相遇时间间隔变长，则可能在O下方某位置相遇, 故D错误。 故选B。 13．如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等且在同一竖直面内，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a、b能同时落到半圆轨道和斜面上，不计空气阻力，重力加速度，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】斜面底边长是其竖直高度的2倍，即斜面底边长为半圆轨道半径的2倍，将半圆轨道和斜面放在一起，如图，两小球将落在A点 设水平位移为，竖直位移为，则有，，， 代入数据求得 故选B。 14．（2025·山东临沂·二模）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，球1与地面的碰后水平速度保持不变竖直速度反向，忽略空气阻力，则竖直挡板AB的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设球1、球2的平抛初速度分别为v1、v2，设M点到N点水平距离为L，由平抛规律可知球2整个运动过程的时间 可得 球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，根据对称性可知，球1与地面碰撞后到达的最高点与初始高度相同为H，球2在水平方向一直做匀速运动，设球1从抛出到落地时间为t1，则有 且 联立解得 设球1与地面碰撞时竖直方向速度大小为vy1，碰撞点到M点和B点的水平距离分别为x1、x2，有 设球1到达A点时竖直方向速度大小为vy2，将球1与地面碰撞后到达最高点时的过程反向来看可得 可得碰撞点到A点的时间为 球2刚好越过挡板AB的时间为 水平方向位移关系有 联立以上，解得 故选A。 15．（多选）如图所示，在一个倾角=15°的足够长固定斜面底端P点将小球a以某一初速度斜向上抛出，抛出方向与斜面的夹角=30°，小球a将落在斜面上的Q点，P、Q之间的距离为l。若将小球b以相同大小的初速度从P点抛出，抛出方向与斜面的夹角调整为45°，不计空气阻力，重力加速度为g， 则（　　） A．从抛出到落在斜面上，小球a所用的时间为 B．从抛出到落在斜面上，小球a、b所用的时间相等 C．小球b将落在Q点 D．小球b将落在Q点的下方 【答案】AC 【解析】A．将a的重力mg和初速度沿斜面方向和垂直斜面方向分解，设初速度大小为，则从抛出到落在斜面上，小球a所用的时间为 则沿斜面方向有 代入题中数据，联立解得 故A正确； B．同理，小球b所用的时间为 可知小球a、b所用的时间不相等，故B错误； CD．设b球落点距离b球距离为x，则有 联立以上，解得 故C正确，D错误。 故选AC。 16．（多选）在中国男篮2025年7月16日进行的国际热身赛中，中国男篮成功击败了荷兰队。假设某篮球运动员在练习投篮时，两次球出手的位置和速度方向保持不变（即抛出速度与水平方向的夹角θ保持不变），第一次击中篮板时速度方向为水平，第二次击中篮板的位置与抛出点处于同一高度，如图所示。则第一次与第二次投球过程中的初速度之比、运动的总时间之比、篮球上升的最大高度之比，以及速度偏转角的正切值之比的说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】AB．将两次的初速度正交分解，由于每次的抛出角度不变，两次水平位移相同，即 第一次 第二次 可得，，故A错误B正确； C．根据位移公式有篮球第一次上升的最大高度 第二次上升的最大高度 可得，故C正确； D．第二次的末速度与初速度的大小相同，速度矢量关系如图所示，速度偏转角，正切值非2倍的关系，故D错误。 故选BC。 二、非选择题：本题共3题，共36分。 17．（2026·山东·模拟预测）（12分）如图所示，滑雪运动员从跳台点处以初速度沿水平方向跳出，经过一段时间后在斜坡上的点处着陆，运动到点时离斜坡最远。其中斜坡上点为点在垂直斜坡方向的投影点，斜坡上点为点在竖直方向的投影点。已知斜坡倾角，当地的重力加速度为，求： （1）运动员从点运动到点的时间； （2）点到点的距离和点到点的距离。 【答案】（1） （2）， 【解析】（1）运动员运动到c点时离斜坡最远，此时运动员的速度方向与斜坡平行，运动员做平抛运动，有，且竖直方向上有 所以 （2）沿着斜面与垂直斜面建立直角坐标系，如图所示 将运动分解，运动员沿两坐标轴的初速度大小分别为， 沿两坐标轴的加速度大小分别为， 所以运动到c点时沿y轴方向的速度刚好减为0，根据运动学公式有 沿x轴方向上，， 18．（12分）如图所示，质量为m的滑块（可视为质点）从光滑平台的端点A以一定初速度水平飞出后，恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道BC。A、B两点的高度差为h，光滑圆弧半径OB与竖直方向夹角为53°，重力加速度为g，不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： （1）滑块从A到B的时间t； （2）滑块从A点飞出的速度v0和在B点时的速度v1的大小。 【答案】（1） （2）， 【解析】（1）根据平抛运动竖直方向的运动规律有 解得 （2）滑块在B点，竖直方向的速度为 滑块恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道，则有， 解得， 19．（12分）如图所示，圆柱形水桶放置在水平面上，拧开水龙头，水从离地高为2h放置的水平水管A端流出，刚好从水桶口中心B处无阻挡地落到桶底边沿C处，已知水桶高为h，直径为D，水管的内径为d（），求： （1）水从A点流出时的速度及水管末端A与水桶口中心B之间水平距离； （2）充满整个水管截面的水从水管末端A流出时开始计时，经过多长时间将水桶装满。 【答案】（1）， （2） 【解析】（1）流出的水做平抛运动，从A点到B点，水平方向上 竖直方向上 从A点到C点，水平方向上 竖直方向上 解得， （2）单位时间流量为 水桶的体积为 则灌满水 解得 除此之外还要计算水从水管末端A流出至B的时间，故整个时间为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平抛运动的综合问题 目 录 真题·命题感知 考法01 斜面约束的抛体运动 1 考法02 圆弧面约束的平抛运动 4 考法03 类平抛运动的分析 6 考法04 抛体运动中的临界、极值问题 8 考法05 立体空间中的抛体运动问题 11 考法06 抛体运动中的相遇问题 12 进阶·强化演练 15 拔高·模拟预测 23 真题·命题感知 考法01 斜面约束的抛体运动 1．（2026·浙江宁波·二模）一种定点投抛游戏可简化为如题图所示的模型，以水平速度从O点抛出小球，正好落入倾角为的斜面上的洞中，洞口处于斜面上的P点，OP的连线与斜面垂直不计空气阻力，重力加速度为g，则平抛过程中小球从O点到P点的时间为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·河北衡水·模拟预测）如图所示，滑雪运动员从跳台点处以初速度沿水平方向跳出，经过一段时间后在斜坡上的点处着陆，运动到点时离斜坡最远。其中斜坡上点为点在垂直斜坡方向的投影点。已知斜坡倾角，当地的重力加速度为，则点到点的距离为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·湖北·二模）2026年春节期间，第25届米兰-科尔蒂纳冬季奥运会，中国跳台滑雪队取得了历史性突破。在跳台滑雪混合团体项目中，中国队获得第8名，创造了在该项目上的历史最好成绩。如图所示为跳台滑雪的简易示意图，运动员（可视为质点）从雪坡上某位置由静止滑下，到达P点后分别以大小不同的速度水平飞出，分别落在平台下方的斜面上的M、N两点。设落在M、N两点时小球的速度方向与斜面间的夹角分别为、，不计空气阻力，关于运动员在PM与PN两段运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．运动的时间相等 B．速度的变化量相等 C．速度的变化快慢不相等 D． 4．（2026·河北承德·一模）（多选）如图所示，水平面上放置一倾角为θ的斜面体，其斜边足够长。现有一小球从斜面上以初速度v0沿与斜面成α角的方向抛出（），最后落到斜面，位移为x。重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．当α=θ时，小球落至斜面时速度方向与斜面的夹角为θ B．当α=θ时，小球离开斜面的最大距离为 C．当θ一定时，α越大，位移x越大 D．当α一定时，θ越大，位移x越大 5．（2025·河南·三模）一倾角的斜坡截面图如图所示，某同学从斜坡上将小石块水平向右抛出，小石块落到了斜坡上。已知小石块出手时到斜坡的垂直距离，离开手时的速度大小。忽略空气阻力，取，，。求： （1）小石块在空中运动的时间； （2）小石块抛出点与落点之间的距离。 解题方法 （明确末速度方向） 由，得 （明确速度方向） 由，得 （明确位移方向） 由，得 （明确位移方向） 由，得 小球离斜面最大距离分析 （1）沿水平方向、竖直方向建坐标系：速度与水平方向夹角为θ时，离斜面距离最大，此时。 （2）沿斜面和垂直斜面建坐标系 考法02 圆弧面约束的平抛运动 1．（2026·山西·一模）如图所示，质量为3m的抛物线型凹槽锁定在光滑水平地面上。质量为m，可看做质点的小球从凹槽左端点（左端点处固定弹射装置）水平弹出后恰好落在轨道底部。以抛物线的顶点为坐标原点建立直角坐标系xOy，抛物线方程为。重力加速度g取。则（　　） A．小球从凹槽左端点水平弹出的初速度为2m/s B．小球从凹槽任一点以2.5m/s的水平初速度弹出后都能落到O点 C．若凹槽解除锁定，小球从凹槽左端点以1m/s的水平初速度弹出后仍然恰好落在轨道底部 D．若凹槽解除锁定，小球从凹槽左端点弹出后仍然恰好落在轨道底部，此过程凹槽向左移动1.5m 2．（2025·全国·模拟预测）如图，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α＝60°，一小球在圆轨道左侧的A点以速度＝5m/s平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为：（　　） A． B． C． D． 3．（多选）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，轨道半径为，圆心为A点，分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度（未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的点，重力加速度为，小球可视为质点，下列说法正确的是（   ） A．若，小球运动到点时速度与水平方向的夹角为，则有 B．若小球从A到运动时间为，则 C．改变的大小，小球落到圆弧上的速度最大值为 D．改变的大小，小球落到圆弧上速度的最小值为 4．如图所示，一个半径R=0.75m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出（小球可视为质点），恰好从半圆柱体的C点掠过。已知O为半圆柱体圆心，OC与水平方向夹角为53°，（，，）。 （1）小球从B点运动到C点所用时间； （2）小球做平抛运动的初速度。 解题方法 （明确速度方向） 由，得 （明确位移关系） 由，得 （明确速度方向） 由，得 考法03 类平抛运动的分析 1．如图所示，在光滑水平面上，一质量为做匀速直线运动的小球，经过a点时受一水平恒力的作用，经过点时速度方向偏转。已知经过点的速度大小为、方向与连线夹角为，连线长度为。对小球从到的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球在点的速度为 B．所用的时间为 C．最小速度大小为 D．若仅改变小球在点的速度大小，小球下一次经过连线时的速度偏转角也发生变化 2．如图所示，坐标系的x轴水平向右，质量为的小球从坐标原点O处，以初速度斜向右上方抛出，同时受到斜向右上方恒定的风力的作用，风力与的夹角为30°，风力与x轴正方向的夹角也为30°，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　） A．小球的速度先减小后增大 B．小球的加速度大小为 C．小球再次回到x轴所需时间0.6s D．小球再次回到x轴的位置距坐标原点 3．如图，某人从高出水平地面h的山坡上P点处水平击出一个质量为m的高尔夫球，高尔夫球在飞行中受到恒定的水平风力作用，最终竖直落入距击球点水平距离为L的洞穴Q中，则（　　） A．高尔夫球飞行中做的是平抛运动 B．高尔夫球飞行的时间为 C．高尔夫球飞行中受到的水平风力大小为 D．高尔夫球被击出时的初速度大小为 4．荒野探险小分队在某星球上发现一特殊区域，所有物体在该区域除星球重力外，都会受到一水平方向的恒力作用。现将一质量为的小球在该区域从点以速度水平抛出，最终在点落地，速度方向竖直向下。已知连线与水平方向夹角为，之间的距离为，星球重力加速度未知，忽略空气阻力，所有结果用题目中已知量表示。求： （1）小球从到的运动时间； （2）落地时的速度大小； （3）小球运动过程中受到的水平恒力。 解题方法 1．运动图示：以抛出点为坐标原点，以初速度方向为x轴正方向，合力方向为y轴正方向，建立坐标系。 2．速度关系 3．位移关系 考法04 抛体运动中的临界、极值问题 1．（2026·四川泸州·一模）如图所示，运动员正前方有一固定的竖直障碍板，板上开有一下端距地面高为，高为的矩形孔。运动员将飞镖从高为处垂直向障碍板方向以速度水平射出，重力加速度为，且。运动员可前后调整位置，使命中地面位置与障碍板的水平距离最大，则最大距离为（     ） A． B． C． D． 2．中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里。如图所示，小面圈刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的半径也为L，将削出的小面圈的运动视为平抛运动，且小面圈都落入锅中，重力加速度为g，则下列关于所有小面圈在空中运动的描述错误的是（　　） A．运动的时间都相同 B．速度的变化量都相同 C．落入锅中时，最大速度是最小速度的3倍 D．若初速度为，则 3．（2025·河北·模拟预测）（多选）如图所示，水平面上有两个光滑竖直墙壁M、N，两墙壁间的水平距离为，可视为质点的小球P从竖直墙壁M上的a点水平向右抛出，小球P与竖直墙壁碰撞后，竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向相反。已知a点距水平面高度为，重力加速度为，不计空气阻力，若要使小球P第一次落至水平面时恰好可以击中竖直墙壁N与水平面的交点Q，则小球P抛出时速度大小可能是（　　） A．1.2m/s B．1.5m/s C．2.4m/s D．2.5m/s 4．一种新型智能网球发球机可将网球从发球口沿水平面内任意方向击出，供运动员进行日常训练。如图所示，运动员将发球机置于网球场左侧底线AB的中点G处，发球口在G点正上方高度为2h的H点。球网两侧球场ABCF与FCDE均为边长l的正方形，I为DE中点，球网高度为h，网球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 （1）若网球水平击出后恰好垂直击中球网，求发球速度v0与运动时间t。 （2）若发球方向可在水平面内任意调节，求能越过球网的最小初速度，以及能落在右侧球场内的最大初速度。 解题方法 1．抛体运动中的临界问题 （1）抛体运动的临界问题的两种常见情境 ①物体有最大位移、最小位移、最大初速度最小初速度等。 ②物体的速度方向恰好为某一方向。 （2）处理抛体运动的临界问题的关键 ①关于临界条件的关键信息：“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行“速度方向与圆周相切”等。 ②解题关键：从实际出发寻找临界点，画出物体运动的草图，确定临界条件。 2．抛体运动中的极值问题 抛体运动的极值问题主要是利用抛体运动规律和几何关系，列出关系式，得到相关的函数关系，利用数学方法得到最大值或最小值的问题。常见的数学方法有二次函数求极值、均值不等式求极值、导数求极值等。极值问题中往往蕴含临界问题。 考法05 立体空间中的抛体运动问题 1．如图，长方体中，，将可视为质点的小球从顶点A在∠BAD所在范围内（包括边界）分别沿不同方向水平抛出，落点都在范围内（包括边界）。不计空气阻力，则小球（　　） A．抛出速度最大时落在点 B．抛出速度最小时落在点 C．落在中点的速度与落在点的速度相等 D．从抛出到落在线段上任何一点所需的时间都相等 2．如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长a＝5m，宽b＝4m，倾角θ＝30°，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端点A处射出，重力加速度g取10m/s2。则下列说法正确的是（　　） A．小球运动的加速度为10m/s2 B．小球从B运动到A所用时间为2s C．小球从B点水平射入时的速度为m/s D．小球从B点水平射入时的速度为4m/s 3．如图所示，固定于水平地面上倾角的光滑斜面足够大，在斜面上建立直角坐标系，其中轴平行于斜面底边，轴沿斜面向下且与轴垂直。时刻，将可视为质点的物块从点以的初速度沿轴正方向抛出，取重力加速度大小，，，不计空气阻力。 （1）求时，物块的轴坐标； （2）若某时刻物块的速度方向与轴的夹角，求该时刻； （3）试写出物块运动轨迹的解析式（结果保留和）。 解题方法 处理三维空间的抛体运动问题，核心思想为建立合适的坐标系，将三维问题降为二维问题，将立体空间问题转化为平面问题，结合合成与分解的思想“化曲为直”，进行求解。 如图所示的光滑斜面长为l，宽为b，倾角为θ，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点P以初速度v0水平射入，恰好从底端Q点离开斜面。 分析方法：对物块进行受力分析，如图1所示，可知其所受合力沿斜面向下，物块在斜面上做类平抛运动，其轨迹如图2所示。物块沿水平向右做匀速直线运动，位移是b；沿斜面向下做初速度为0的匀加速直线运动，位移是l。 → 考法06 抛体运动中的相遇问题 1．（2026·北京昌平·二模）如图所示，A、B两小球（可视为质点）从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。不计空气阻力。若两个小球抛出位置不变而抛出速度大小均变为原来的2倍，则相遇时间为（　　） A．t B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图所示，为同一竖直平面内三点，位于同一条竖直线上，位于水平地面上.小球甲从点水平抛出，同时小球乙从点沿与水平方向成角抛出，两球在点相遇。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A． B．甲、乙的加速度大小之比为 C．甲、乙的初速度大小之比为 D．相遇前瞬间，甲、乙的速度大小之比为 3．（2025·广东江门·二模）如图所示，体育课上，甲、乙两同学分别将两篮球同时从A、B两点抛出，两篮球在空中相遇。已知从A点抛出的篮球的初速度水平向右、大小为10m/s，A、B两点在竖直方向和水平方向的距离相等，不计空气阻力，则从B点竖直向上抛出的篮球的初速度大小是（　　） A．5m/s B．10m/s C．8m/s D． 4．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，从距地面5m高处的塔上，同时从同一位置抛出两小球（均可视为质点），初速度大小都为2m/s，A球初速度方向水平向右，B球初速度方向与水平方向成60°角斜向右上，忽略空气阻力，重力加速度大小为10 m/s2，则（　　） A．在A落地前，A、B可能在空中相遇 B．在A落地前，A、B间的距离不会超过 m C．B比A滞后s落地 D．A、B从抛出至落地的过程，A的水平位移大于B的水平位移 5．如图所示，在水平地面上固定一倾角、表面光滑的斜面体，物体A以的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出。物体A恰好可以上滑到最高点，此时物体A恰好被物体B击中。A、B均可看成质点，不计空气阻力，，，g取。求： （1）物体A上滑到最高点所用的时间； （2）物体B抛出时的初速度的大小； （3）物体A、B间初始位置的高度差。 解题方法 1．常见类型：常见的有平抛与直线运动相遇、平抛与平抛运动相遇、平抛与竖直上抛相遇、平抛与斜上抛相遇等。 2．解题方法 两物体相遇即二者同一时刻到达空间同一位置。利用运动的合成与分解将二维的追及相遇问题转化为一维的追及相遇问题，根据运动过程图列出相应的速度关系、位移关系和时间关系。 进阶·强化演练 1．（2026·广东·高考真题）如图是月球上一圆柱形阴影坑竖直截面图。假定某飞行器在月面上空向坑中心方向以速度匀速水平飞行。在距坑边的点正上方关闭动力，此后只受月球重力，直至抵达着陆线。已知坑直径，月面至着陆线深度，月面重力加速度取，飞行器可视为质点。飞行器安全到达着陆线，则的大小可能是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏·高考真题）如图所示，小明跳起从同一高度将排球水平击出三次，排球分别落于a、b、c三点，不计空气阻力，关于该过程，下列说法正确的是（   ） A．排球的飞行时间满足ta > tb > tc B．排球的飞行时间满足ta < tb < tc C．排球的初速度满足va < vb < vc D．排球的初速度满足va = vb = vc 3．（2026·河南·高考真题）如图1，网球运动员将球沿水平方向击出，球运动轨迹所在平面与球网面的夹角为，球恰好擦过球网上沿的点，图2为球运动轨迹在球网所在平面的投影，轨迹投影在点的切线与球网上沿的夹角为。已知击出时球的速度大小为，，重力加速度大小取，不计阻力，则击球点到球网面的距离为（     ） A．4 m B．6 m C．8 m D．10 m 4．（2025·江西·高考真题）如图所示，人形机器人陪伴小孩玩接球游戏。机器人在高度为H的固定点以速率水平向右抛球，小孩以速率水平向左匀速运动，接球时手掌离地面高度为h。当小孩与机器人水平距离为时，机器人将小球抛出。忽略空气阻力，重力加速度为g。若小孩能接到球，则为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·高考真题）如图所示，在水平桌面上放置一斜面，在桌边水平放置一块高度可调的木板。让钢球从斜面上同一位置静止滚下，越过桌边后做平抛运动。当木板离桌面的竖直距离为h时，钢球在木板上的落点离桌边的水平距离为x，则（　　） A．钢球平抛初速度为 B．钢球在空中飞行时间为 C．增大h，钢球撞击木板的速度方向不变 D．减小h，钢球落点离桌边的水平距离不变 6．（2025·云南·高考真题）如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．两颗鸟食同时抛出 B．在N点接到的鸟食后抛出 C．两颗鸟食平抛的初速度相同 D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大 7．（2026·河南信阳·模拟预测）如图所示，一个平台静止在水平面上，现给水平面上点处的小球一个斜向上的初速度，使小球从平台上表面左端的点沿水平方向滑上平台，已知、连线与水平方向的夹角为，则小球抛出的初速度与水平方向的夹角应满足的条件是（　　） A． B． C． D． 8．（2026·安徽·模拟预测）如图所示，小球从斜面上A点以大小相等的初速度分别水平向右（图甲）和垂直斜面向上（图乙）抛出，随后小球均与斜面发生一次弹性碰撞并反弹（小球垂直斜面的速度大小不变、方向反向，沿斜面方向的速度大小和方向均不变，碰撞时间极短），之后分别落回斜面上的C、D两点。设小球从A到B、B到C的运动时间依次为t1、t2，位移依次为x1、x2；小球从A到E、E到D的运动时间依次为t3、t4，位移依次为x3、x4，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．t1<t2 B．t1=t3 C．x1∶x2=1∶3 D．x3∶x4=1∶3 9．（2026·河南郑州·模拟预测）在单板滑雪U形场地赛中，运动员运动轨迹如图所示，滑道边缘线的倾角为，运动员以速度从上的点沿的竖直切面滑出滑道，滑出时速度方向与的夹角为，腾空后从上的点进入滑道。已知，重力加速度为，运动员可视为质点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．、两点间的距离为 B．运动员腾空中离的最大距离为 C．若仅减小夹角，则运动员腾空时间可能保持不变 D．若仅增大的大小，则运动员再滑入轨道的速度方向可能改变 10．如图所示，第一次从倾角为的斜面顶端A处将一可视为质点的小球以初速度向右水平抛出，小球落在斜面上的B点处；第二次从A的正上方某点处将同一小球以相同的初速度向右水平抛出，小球落在斜面上的C点处。已知，不计空气阻力，则关于第一次小球落在B点的速度与第二次小球落在C点的速度之比的判断正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（2026·河南濮阳·模拟预测）如图所示，倾角的斜面体，点在点正上方且与点位于同一高度，小球甲、乙分别从、两点沿水平方向抛出，经过一段时间两球均落在斜面上的点，甲的速度与斜面垂直，，重力加速度为，，，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．两球在点的速度方向与水平方向的夹角相同 B．、两点之间的距离为 C．甲的初速度大小为 D．乙的初速度大小为 12．如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为，且轨迹交于点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为和，其中方向水平，方向斜向上。忽略空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（     ） A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度等于 C．两谷粒从到的平均速度相等 D．若两谷粒在点相遇，应先抛谷粒2 13．随着物理学和数学的不断发展，中国在智能机器人的研发方面取得了突破性的进步，无论是在工业生产还是惠民生活以及军事领域都带来了巨大的便利。如图所示，两个智能机器人可以控制a、b两个小球按照需求从不同高度处水平抛出，忽略空气阻力，机器人模拟出两小球的运动轨迹的交点为Q，则下列说法正确的是（    ） A．若两小球同时落地，则必须要同时抛出 B．若两小球同时落地，则必须先抛出b球 C．若两小球同时落地，a球后经过Q点 D．无论怎么抛出，两小球都不可能在空中相碰 14．如图所示，一质量为的小球在光滑水平桌面上受一水平恒力的作用，先后经过、两点，速度方向偏转90°。已知经过点时的速度大小为、方向与连线夹角为60°，连线长为。对小球从运动到的过程，下列说法正确的是（　　） A．小球在点的速度大小为 B．小球从到运动的时间为 C．水平恒力方向与连线夹角为30° D．水平恒力的大小为 15．（2026·河北廊坊·一模）如图甲所示是一种倾斜桌面上投球入洞的游戏，可简化为图乙。若长方形光滑桌面长边水平，短边倾斜，倾角为，小球（可视为质点）从一短边出发，出发点离该边较高桌角的距离记为d，沿另一短边从较高桌角每隔0.15m有一个宽为0.15m的洞口，共3个洞口，洞口到对面桌边的距离为2m，小球初速度平行于长边，大小记为。取重力加速度则下列组合中，小球直接入洞机会最大的是（　　） A． B． C． D． 16．如图所示的光滑斜面长度为L，宽度为S，倾角为θ，某滑块（可视为质点）沿斜面左上方顶点P以初速度v0水平射入，恰好从斜面右侧的Q点离开斜面，Q点距离底端的距离为，已知重力加速度为g。则（　　） A．滑块由P点至Q点做变加速曲线运动 B．滑块由P点至Q点做匀变速曲线运动，且加速度大小为gcosθ C．滑块由P点至Q点的运动时间为 D．滑块的初速度大小为 17．如图所示，某同学利用一底面是正方形的长方体容器粗略测量小区一细水管的流量。已知容器底边边长为a，高度为，细水管横截面积为s，离地高度为h，重力加速度为g。测量时，在地面上移动容器，使水恰好从容器上表面一顶点无阻挡落到下表面对顶点，则水管的流量为（　　） A． B． C． D． 18．（多选）如图所示是排球场地的示意图。排球场为矩形，长边，前场区的长度为，宽，网高为。在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度低于某个临界值，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．若在底线上方沿垂直水平击球，临界高度为 B．若在前后场区的分界线的点正上方水平击球，沿着方向击球，临界高度为 C．若在底线的点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球，击球的速度为 D．若在前后场区的分界线正上方的临界高度沿垂直水平击球，击球的速度为 19．（多选）2022年北京冬奥会跳台滑雪项目将在位于张家口的国家跳台滑雪中心举行，国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主体建筑灵感来自于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”。跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员穿专用滑雪板在滑雪道上获得定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台a处沿水平方向飞出，在斜坡b处着陆，如图所示。测得ab间的距离为40m，斜坡与水平方向夹角为30°，不计空气阻力，g取，下列说法正确的是（   ） A．运动员在a处的速度大小为10m/s B．运动员在空中的飞行时间为2s C．运动员在b点处的速度大小为 D．运动员在空中的飞行过程中离坡面的最大距离 20．（2026·广西桂林·三模）（多选）如图所示，水平面上固定一倾角的斜面，斜面足够长。现有无数小球从斜面上某一位置以初速度大小与斜面成任意角抛出，最后落到斜面上。重力加速度，忽略空气阻力，。则（    ） A．小球在空中运动的最长时间为2.5s B．小球在空中运动的最长时间为2s C．小球离斜面最大距离为6.25m D．小球离斜面最大距离为5m 21．（2026·湖南衡阳·模拟预测）（多选）飞镖扎气球是一种娱乐游戏项目，其示意图如图甲所示，靶面竖直固定，O点为镖靶中心，OP水平、OQ竖直，靶面图如图乙所示。若每次都在空中同一位置M点水平射出飞镖，且M、O、Q三点在同一竖直平面，忽略空气阻力。关于分别射中靶面O、P、Q三点的飞镖，下列说法正确的是（     ） A．射中O点的飞镖射出时的速度最小 B．射中P点的飞镖射出时的速度最大 C．射中Q点的飞镖在空中飞行的时间最长 D．射中O、P两点的飞镖在空中飞行的时间相等 22．（多选）如图所示，A、B两球在同一水平线上同时抛出，A球以与水平方向成角斜向右上方抛出，抛出初速度大小为，B球竖直向上抛出，结果两球在上升过程中相遇，不计空气阻力，重力加速度为，，，则下列说法正确的是（     ） A．小球B抛出的初速度大小等于 B．小球B抛出的初速度大小等于 C．A、B两球刚抛出时相距的距离可能等于 D．A、B两球刚抛出时相距的距离可能等于 拔高·模拟预测 一、选择题：本题共16小题，每小题4分，共64分。 1．某地因持续强降雨引发山体滑坡，应急救援直升机执行“空中生命线”任务。假设直升机到达目标村落正上方后，悬停于距水平地面20 m高处。质量为的物资被静止释放后，下落过程受大小恒为的水平风力作用。忽略空气阻力对物资下落速度的影响，取。则物资（　　） A．在空中的运动轨迹是曲线 B．落地时速度大小为 C．下落过程水平方向的位移为0.8 m D．下落时间会因水平风力的影响而大于2 s 2．如图所示，在一个科技展览馆内，有一个可视为光滑斜面的ABCD展示装置，该斜面是边长为的正方形，倾角为。为了展示物体的运动轨迹，工作人员在斜面左上方顶点A处设置了一个小型弹射装置，可将不同质量的物块，以相同速度弹出。某次将质量为的物块（视为质点）以平行于AB边的初速度水平射入斜面。物块射出后，会在斜面上留下运动轨迹，且恰好到达底边CD的中点E。重力加速度g取，则（　　） A．可得物块弹出的速度为 B．若仅将物块质量加倍，从A运动到底边的时间不变 C．若仅将物块质量加倍，为使物块仍能经过E点，则应减小物块从A点入射的速度 D．若仅将斜面倾角变为，射入初速度不变，则物块运动到底边的时间仍然不变 3．如图所示，一个质量为m的小球从倾斜角为θ的斜面顶端以速度水平向右抛出，重力加速度为g，斜面足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．从抛出小球开始计时，经过后小球距离斜面最远 B．小球抛出的初速度越大，则小球落到斜面上的速度方向与水平方向的夹角也越大 C．若小球还受到一个竖直向下的恒力，恒力大小与其重力大小相等，则小球落到斜面上的速度大小为 D．若小球还受到一个位于竖直平面内的恒力（方向未知），且小球抛出经过足够长的时间之后速度方向趋于与斜面平行，则该恒力的最小值是 4．如图所示，在某军事演习区正上方距离地面4000m处悬停着装载有炸弹的无人机，无人机可以向水平及以下方向无死角的以初速度抛出炸弹，在无人机正下方距离地面2000m处设置圆形拦截炸弹区，不计空气阻力，重力加速度大小，则拦截炸弹区的最小半径为（     ） A．200m B． C．100m D． 5．设某次演习中，轰炸机沿水平方向投放了一枚炸弹，炸弹下降高度后正好垂直击中倾角为θ=37°的斜坡上的目标，如图所示。不计空气阻力，重力加速度。则（　　） A．炸弹飞行的时间是4s B．炸弹飞行的初速度大小是15m/s C．炸弹击中目标时的速度大小为20m/s D．炸弹飞行的水平距离是15m 6．如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，AB为水平直径，O为圆心，将一些半径远小于轨道半径的小球从A点以不同的初速度水平向右抛出，若不计空气阻力，在小球从抛出到碰到轨道这个过程中，下列说法正确的是（     ） A．初速度大的小球运动时间长 B．落在圆形轨道最低点的小球初始速度最小 C．初速度不同的小球运动时间有可能相同 D．只要初速度大小适当小球有可能垂直打在轨道上 7．图中给出某一通关游戏的示意图，安装在轨道AB上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射出口在B点的正上方，竖直面内的半圆弧BCD的半径为R=2.0 m，直径BD水平且与轨道AB处在同一竖直平面内，小孔P和圆心O连线与水平方向夹角为37°，游戏要求弹丸垂直于P点圆弧切线方向射入小孔P就能进入下一关，不计空气阻力，g取，sin37°=0.6，cos37°=0.8。为了能通关，弹射器离B点的高度和弹丸射出的初速度分别是（　　） A．0.15 m， B．1.50 m， C．0.15m， D．1.50 m， 8．（2026·河北邢台·二模）如图所示，半圆形凹槽半径为R，圆心为O，MN为水平直径。A点与O等高，B点在O点正下方，P点位于槽面上，P到O的水平距离为。现从A、B点分别以水平速度vA、vB抛出小球，恰好都垂直槽面击中P点，所用时间分别为tA、tB。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．A、B、P三点不共线 9．中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，将面削出飞入开水锅里。假设小面片均沿着开水锅的半径方向水平飞出，最后落入锅中，且小面片刚被削离时距开水锅的高度为h，与锅沿的水平距离为L，锅的中心为点O，半径为L，如图所示。若将削出的小面片视为质点，其运动视为平抛运动，忽略空气阻力，重力加速度为g，则下列关于小面片的描述中错误的是（　　） A．所有小面片的运动时间都相同 B．小面片落到O点时的速度大小为 C．落入锅中的小面片，从飞出到落水前，速度的变化量相同 D．若落入锅中的小面片初速度为v0，则v0的范围 10．如图所示，在饺子（可视为质点）加工厂的自动化生产线上，水平传送带末端与收集槽（槽壁厚度不计）左边缘的水平距离为，与收集槽上边缘的高度差为，收集槽的开口宽度也为，重力加速度为，不计空气阻力。为使水平传送带上的饺子准确落入收集槽中，则饺子离开传送带的速度的大小应满足（　　） A． B． C． D． 11．如图所示，小车静止于水平地面上（小车最左端位于地面上A点），可视为质点的小球从B点以大小为3v0的初速度水平向右抛出，同时小车从A点以大小为v0的速度水平向左匀速运动。小球和小车轨迹在同一竖直平面内，经过一段时间小球落到小车上。若不计空气阻力，AB水平距离为l，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．小球相对于小车的速度一直为4v0 B．以小车为参考系，小球的运动轨迹为直线 C．小球运动的最短时间为 D．A、B两点高度差最小值为 12．如图所示，可视为质点的两个小球在同一水平线AB上。当一个小球从A点以初速度被水平抛出的同时，另一个小球从B点开始自由下落（空气阻力忽略不计），曲线AC和直线BD为两小球的运动轨迹，两轨迹相交于O点。下列说法正确的是（　　） A．两小球运动到O点所用的时间不一定相同 B．从开始下落到运动至O点的过程中，两小球速度的变化量相等 C．若增大，则两小球不一定能相遇 D．若减小，则两小球在O上方某位置相遇 13．如图所示，a、b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等且在同一竖直面内，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a、b能同时落到半圆轨道和斜面上，不计空气阻力，重力加速度，则为（     ） A． B． C． D． 14．（2025·山东临沂·二模）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，球1与地面的碰后水平速度保持不变竖直速度反向，忽略空气阻力，则竖直挡板AB的高度为（　　） A． B． C． D． 15．（多选）如图所示，在一个倾角=15°的足够长固定斜面底端P点将小球a以某一初速度斜向上抛出，抛出方向与斜面的夹角=30°，小球a将落在斜面上的Q点，P、Q之间的距离为l。若将小球b以相同大小的初速度从P点抛出，抛出方向与斜面的夹角调整为45°，不计空气阻力，重力加速度为g， 则（　　） A．从抛出到落在斜面上，小球a所用的时间为 B．从抛出到落在斜面上，小球a、b所用的时间相等 C．小球b将落在Q点 D．小球b将落在Q点的下方 16．（多选）在中国男篮2025年7月16日进行的国际热身赛中，中国男篮成功击败了荷兰队。假设某篮球运动员在练习投篮时，两次球出手的位置和速度方向保持不变（即抛出速度与水平方向的夹角θ保持不变），第一次击中篮板时速度方向为水平，第二次击中篮板的位置与抛出点处于同一高度，如图所示。则第一次与第二次投球过程中的初速度之比、运动的总时间之比、篮球上升的最大高度之比，以及速度偏转角的正切值之比的说法正确的是（　　） A． B． C． D． 二、非选择题：本题共3题，共36分。 17．（2026·山东·模拟预测）（12分）如图所示，滑雪运动员从跳台点处以初速度沿水平方向跳出，经过一段时间后在斜坡上的点处着陆，运动到点时离斜坡最远。其中斜坡上点为点在垂直斜坡方向的投影点，斜坡上点为点在竖直方向的投影点。已知斜坡倾角，当地的重力加速度为，求： （1）运动员从点运动到点的时间； （2）点到点的距离和点到点的距离。 18．（12分）如图所示，质量为m的滑块（可视为质点）从光滑平台的端点A以一定初速度水平飞出后，恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道BC。A、B两点的高度差为h，光滑圆弧半径OB与竖直方向夹角为53°，重力加速度为g，不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： （1）滑块从A到B的时间t； （2）滑块从A点飞出的速度v0和在B点时的速度v1的大小。 19．（12分）如图所示，圆柱形水桶放置在水平面上，拧开水龙头，水从离地高为2h放置的水平水管A端流出，刚好从水桶口中心B处无阻挡地落到桶底边沿C处，已知水桶高为h，直径为D，水管的内径为d（），求： （1）水从A点流出时的速度及水管末端A与水桶口中心B之间水平距离； （2）充满整个水管截面的水从水管末端A流出时开始计时，经过多长时间将水桶装满。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $