第21章 二次函数与反比例函数 单元测试卷-2026-2027学年沪科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与反比例函数单元，覆盖核心概念与实际应用，梯度设计适配单元复习，强化抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|抛物线顶点坐标、反比例函数图像性质|基础概念辨析，如第1题考查顶点式，第6题比较开口大小| |填空题|4/20|函数平移、最值问题|第13题结合铁丝剪拼，体现数学思维中的运算能力| |解答题|10/90|函数表达式求解、实际应用（火箭升空、利润问题）|第20题商品利润建模，第22题抛物线拱门设计，强化模型意识与应用能力|

第21章 单元测试 (　班级：______　姓名：______) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1．抛物线y＝3(x－1)2＋2的顶点坐标是（） A．(1，2) B．(－1，2) C．(－1，－2) D．(1，－2) 2．反比例函数y＝ 的图象经过下列哪个点（） A．(－2，－2) B．(1，－4) C．(2，－2) D．(4，－1) 3．已知函数y＝－x2＋x，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是（） A．x≤1 B．x≥1 C．x≤－ D．x≥－ 4．如图所示的抛物线的表达式为（） A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1 C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)2 5．小明想存钱购买一套售价为6 000元的户外活动设备，若他目前已有存款2 000元，后期每个月计划存相同金额，则他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数关系式是（） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝2 000x－6 000 6．抛物线y＝x2，y＝－2x2，y＝－x2在同一坐标系中的图象开口最大的是（） A．y＝x2 B．y＝－2x2 C．y＝－x2 D．无法确定 7．如图，点M是函数y＝2x与函数y＝ 的图象在第一象限内的交点，OM＝2，则k的值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 8．如图，两个反比例函数y＝ 和y＝－ 在y轴右侧的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（） A．3 B．6 C．11 D．22 9．一次函数y＝ax－1(a≠0)与二次函数y＝ax2－x(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（） 10．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，点P在抛物线上，且在直线AB上方，则下列结论中正确的是（） A．abc>0 B．方程ax2＋bx＋c＝3有两个不相等的实数根 C．x(ax＋b)＜a＋b D．点P到直线AB的最大距离 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．反比例函数y＝的比例系数是_________. 12．把抛物线y＝－2x2＋1先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的表达式为_____________. 13．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是_______________cm2. 14．如图，反比例函数y＝经过点A(2，3)． (1)k＝________； (2)平移OA至BC，使点O的对应点C落在坐标轴上，点A的对应点B落在反比例函数y＝ 的图象上，若平行四边形OABC的面积为12，则m的值是_______________. 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．已知y与x成反比例，且其函数图象经过点(－6，－3)． (1)求y与x的函数表达式； (2)当y＝9时，求x的值． 16．我国是最早发明火箭的国家，制作火箭、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的关系是h＝－t2＋26t＋1，如果火箭在点火升空的最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时火箭的高度是多少？ 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)． (1)求二次函数的表达式； (2)画出该二次函数的图象； (3)若y＞0，请写出x的取值范围：__________. 18．王叔叔计划购买一套商品房，首付30万元后，剩余部分用贷款并按“等额本金”的形式偿还，即贷款金额按月分期还款，每月所还贷款本金数相同．设王叔叔每月偿还贷款本金y万元，x个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示． (1)求y与x的函数表达式； (2)王叔叔购买的商品房的总价是________万元； (3)若王叔叔计划每月偿还贷款本金不超过2 000元，则至少需要多少个月还清？ 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(－2，1)，B(1，n)两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 20．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？ 六、(本题满分12分) 21．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，AB⊥x轴，垂足为A，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点C，交AB于点D. (1)若OA＝AB，求k的值； (2)若BC＝BD，连接OC，求△OAC的面积． 七、(本题满分12分) 22．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48 m2，设计部门按要求给出了两个设计方案．如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12 m，拱高PE＝4 m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN. 方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8 m，拱高P′E′＝6 m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥ON′，OE′＝E′N′. 要在拱门中设置高为3 m的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计)．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A，D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面积记为S2，点A′，D′在抛物线上，边B′C′在ON′上．现知，小华已正确求出方案二中，当A′B′＝3 m时，S2＝12 m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当AB＝3 m时，求矩形框架ABCD的面积S1，并比较S1，S2的大小． 八、(本题满分14分) 23．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)交x轴于A(－2，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C，直线y＝kx＋m(k<0)与抛物线交于点M，N(点M在点N的右侧)，交y轴于点P. (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)若m＝5，点M，N均在第一象限，且△CMN的面积为3，求k的值； (3)若m＝－3k，且点M在第四象限，直线AN交y轴于点Q，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $第21章 单元测试 (　班级：______　姓名：______) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1．抛物线y＝3(x－1)2＋2的顶点坐标是（A） A．(1，2) B．(－1，2) C．(－1，－2) D．(1，－2) 2．反比例函数y＝ 的图象经过下列哪个点（A） A．(－2，－2) B．(1，－4) C．(2，－2) D．(4，－1) 3．已知函数y＝－x2＋x，当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是（A） A．x≤1 B．x≥1 C．x≤－ D．x≥－ 4．如图所示的抛物线的表达式为（C） A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1 C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)2 5．小明想存钱购买一套售价为6 000元的户外活动设备，若他目前已有存款2 000元，后期每个月计划存相同金额，则他存够买设备的钱所需月数y与每个月存款额x元之间的函数关系式是（A） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝2 000x－6 000 6．抛物线y＝x2，y＝－2x2，y＝－x2在同一坐标系中的图象开口最大的是（A） A．y＝x2 B．y＝－2x2 C．y＝－x2 D．无法确定 7．如图，点M是函数y＝2x与函数y＝ 的图象在第一象限内的交点，OM＝2，则k的值为（B） A．6 B．8 C．10 D．12 8．如图，两个反比例函数y＝ 和y＝－ 在y轴右侧的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（C） A．3 B．6 C．11 D．22 9．一次函数y＝ax－1(a≠0)与二次函数y＝ax2－x(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（C） 10．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，点P在抛物线上，且在直线AB上方，则下列结论中正确的是（D） A．abc>0 B．方程ax2＋bx＋c＝3有两个不相等的实数根 C．x(ax＋b)＜a＋b D．点P到直线AB的最大距离 【解析】求出函数的表达式和直线AB的表达式，当△PAB的面积最大时，P点到AB的距离最大． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11．反比例函数y＝的比例系数是. 12．把抛物线y＝－2x2＋1先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的表达式为y＝－2(x－3)2－1. 13．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是12.5cm2. 14．如图，反比例函数y＝经过点A(2，3)． (1)k＝6； (2)平移OA至BC，使点O的对应点C落在坐标轴上，点A的对应点B落在反比例函数y＝ 的图象上，若平行四边形OABC的面积为12，则m的值是18或－6. 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．已知y与x成反比例，且其函数图象经过点(－6，－3)． (1)求y与x的函数表达式； (2)当y＝9时，求x的值． 解：(1)设y与x的函数表达式为y＝， 将(－6，－3)代入，得－3＝， 解得k＝(－3)×(－6)＝18， ∴y与x的函数表达式为y＝. (2)由(1)得y＝，将y＝9代入，得9＝，解得x＝2. 16．我国是最早发明火箭的国家，制作火箭、模拟火箭升空是青少年喜爱的一项科技活动．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的关系是h＝－t2＋26t＋1，如果火箭在点火升空的最高点时打开降落伞，那么火箭点火后多少时间降落伞将打开？这时火箭的高度是多少？ 解：由题意可得 h＝－t2＋26t＋1＝－(t2－26t)＋1＝－(t－13)2＋170， 故火箭点火后13 s降落伞将打开，这时火箭的高度是170 m. 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)． (1)求二次函数的表达式； (2)画出该二次函数的图象； (3)若y＞0，请写出x的取值范围：x＞3或x＜1. 解：(1)二次函数的表达式为y＝x2－4x＋3. (2)如图所示． 18．王叔叔计划购买一套商品房，首付30万元后，剩余部分用贷款并按“等额本金”的形式偿还，即贷款金额按月分期还款，每月所还贷款本金数相同．设王叔叔每月偿还贷款本金y万元，x个月还清，且y是x的反比例函数，其图象如图所示． (1)求y与x的函数表达式； (2)王叔叔购买的商品房的总价是90万元； (3)若王叔叔计划每月偿还贷款本金不超过2 000元，则至少需要多少个月还清？ 解：(1)y与x的函数表达式为y＝. (3)当y≤0.2时，0.2≥，解得x≥300， 答：至少需要300个月还清． 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A(－2，1)，B(1，n)两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围． 解：(1)反比例函数的表达式为y＝， 一次函数的表达式为y＝－x－1. (2)由图象可知当0<x<1或x<－2时， 一次函数的值大于反比例函数的值． 20．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？ 解：(1)y＝－10x2＋80x＋1 800(0≤x≤5，且x为整数)． (2)当x＝＝4时，y最大＝1 960元， ∴每件商品的售价为34元． 答：每件商品的售价定为34元时，可获得的月利润最大，为1 960元． 六、(本题满分12分) 21．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝8，AB⊥x轴，垂足为A，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点C，交AB于点D. (1)若OA＝AB，求k的值； (2)若BC＝BD，连接OC，求△OAC的面积． 解：(1)过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥OA于点F，则BE＝AE＝CF＝4，∴CE＝AF＝3， ∴OF＝5，∴点C(5，4)，∴k＝20. (2)AD＝3.设A(m，0)，则C，D两点坐标分别为(m－3，4)，(m，3)， ∴4(m－3)＝3m，∴m＝12，∴A(12，0)，C(9，4)，D(12，3)， ∴S△AOC＝×12×4＝24. 七、(本题满分12分) 22．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48 m2，设计部门按要求给出了两个设计方案．如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12 m，拱高PE＝4 m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN. 方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8 m，拱高P′E′＝6 m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥ON′，OE′＝E′N′. 要在拱门中设置高为3 m的矩形框架，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计)．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A，D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面积记为S2，点A′，D′在抛物线上，边B′C′在ON′上．现知，小华已正确求出方案二中，当A′B′＝3 m时，S2＝12 m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当AB＝3 m时，求矩形框架ABCD的面积S1，并比较S1，S2的大小． 解：(1)由题意知，方案一中抛物线的顶点 P(6，4)， 设抛物线的函数表达式为y＝a(x－6)2＋4， 将O(0，0)代入得 0＝a(0－6)2＋4，解得a＝－， ∴y＝－(x－6)2＋4＝－x2＋x. (2)在y＝－x2＋x中，令y＝3，解得x＝3或x＝9， ∴BC＝9－3＝6(m)，∴S1＝AB·BC＝3×6＝18(m2)， ∵18＞12，∴S1＞S2. 八、(本题满分14分) 23．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)交x轴于A(－2，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C，直线y＝kx＋m(k<0)与抛物线交于点M，N(点M在点N的右侧)，交y轴于点P. (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)若m＝5，点M，N均在第一象限，且△CMN的面积为3，求k的值； (3)若m＝－3k，且点M在第四象限，直线AN交y轴于点Q，求的取值范围． 解：(1)抛物线的表达式为 y＝－x2＋x＋3 ＝－＋， 顶点坐标为. (2)由抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋3可知，C(0，3)，CO＝3， ∵m＝5，∴直线y＝kx＋5，∴P(0，5)，∴PC＝2， ∴S△CMN＝S△PCM－S△PCN＝ ×CP·(xM－xN)＝×2·(xM－xN)＝3， ∴xM－xN＝3. 联立得整理，得x2＋(2k－1)x＋4＝0， 由根与系数的关系，得xM＋xN＝1－2k，xM·xN＝4， 联立，得解得k＝－2或k＝3(舍去)，∴k＝－2. (3)∵m＝－3k，∴直线y＝kx＋m＝kx－3k＝k(x－3)， ∴直线y＝kx＋m过定点(3，0)． ∵B(3，0)，∴直线y＝kx＋m必过点B. 又∵点M在第四象限，∴点N与点B重合，点Q与原点O重合． ∵P(0，－3k)，C(0，3)，∴CP＝－3k－3，CQ＝CO＝3， ∴＝＝－k－1. 联立，得整理，得x2＋(2k－1)x－6k－6＝0， 由根与系数的关系，得xM·xN＝xM·3＝－6k－6，解得xM＝－2k－2， ∵点M在点N、点B的右侧，∴－2k－2>3，∴－k－1>， 即的取值范围为>. 学科网（北京）股份有限公司 $