暑假预习专题16 对数函数（3知识+20题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

暑假预习专题16 对数函数 对数函数的定义 定义 当底数 固定，且 时， 以 为底的对数 确定了变量 随变量 变化的规律，称为底为的对数函数. 注意： （1）对数函数的定义域为 （全体正数）； （2）当 时， ； （3）当 时， ． 对数函数的图像 图像 对数函数 且 的图像过定点 ，所以讨论与对数函数有关的函数的图像过定点的问题，只需令真数为 1 ，解出相应的 、 ，即可得到定点的坐标． 掌握三组关系—一底数 与函数图像的关系 （1）底数 与 1 的大小关系决定了对数函数图像的＂升降＂：当 时，对数函数的图像＂上升＂； 当 时，对数函数的图像＂下降＂． （2）底数的大小决定了图像相对位置的高低： 不论是 还是 ，在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大． （3）函数 与 且 的图像关于 轴对称． 对数函数的性质 图像 性质 在上是严格增函数 在上是严格减函数 当 时， ，当 时， 当 时， ，当 时， （1）讨论对数函数的性质时，若底数 的大小不确定，必须分 1 和 两种情况讨论． （2）根据对数函数的性质可知，对数函数 且 的图像都经过点 ，且图像都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数的大致图像． 题型一、对数函数的概念判断与求值 例1下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答. 【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 故选：C 1-1下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】根据对数函数的定义进行判断即可． 【详解】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合. 故答案为：②. 1-2下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2) (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是对数函数 (2)不是对数函数 (3)不是对数函数 (4)不是对数函数 (5)是对数函数 【分析】利用对数函数的定义判断. 【详解】（1）该函数解析式中真数不是自变量，不是对数函数． （2）该函数解析式中对数式后加2，所以不是对数函数． （3）该函数解析式中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数． （4）该函数解析式中底数是自变量，并非常数，所以不是对数函数． （5）该函数解析式中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数． 题型二、求对数函数的解析式 例2对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 【答案】A 【分析】设对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，将点代入即可求解. 【详解】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)． 由于对数函数的图像过点M(125，3)， 所以3＝loga125，得a＝5. 所以对数函数的解析式为y＝log5x. 故选：A. 2-1对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式 ． 【答案】 【分析】将点的坐标代入函数解析式，求出的值，由此可得出所求函数的解析式. 【详解】由已知条件可得，可得，因为且，所以，. 因此，所求函数解析式为. 故答案为：. 2-2（23-24高一上·上海·阶段练习）已知对数函数过点，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法，设出函数解析式，把点代入求解即可. 【详解】设对数函数解析式为（，且）， 因为对数函数过点， 所以，解得， 所以对数函数解析式为. 故答案为： 2-3函数（且），若它的图象经过，，则 ． 【答案】8 【分析】先将坐标代入函数中求出的值，从而可求出函数解析式，再将代入函数中可求出. 【详解】因为的图象经过，所以， 所以，因为，所以， 所以， 因为点在函数图象上，所以. 故答案为：8 题型三、判断对数型函数图象形状 例3对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图象，分别讨论和时，的单调性和的开口方向以及根的位置即可求解. 【详解】选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为， 选项A中，由图象得，从而，选项A可能； 选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能； 选项D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，选项D不可能； 选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能. 故选：A. 3-1已知，函数与函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据题意结合指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】则，从而， 当时，函数与函数在定义域内都是单调递增； 当时，函数与函数在定义域内都是单调递减； 函数与函数在定义域内单调性相同. 故选：C. 3-2（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每个选项中函数的单调性求出实数的取值范围，再由函数（且）的图象与轴的交点，求出的取值范围，观察的范围能否一致，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数为增函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，解得，合乎题意； 对于B选项，函数为减函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，解得，不合乎题意； 对于C选项，函数为减函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，可得，不合乎题意； 对于D选项，函数为增函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，可得，不合乎题意. 故选：A. 题型四、根据对数型函数图 象判断参数的范围 例4已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解. 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 4-1已知正实数满足，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系内，分别作出函数的图象，结合图象，即可求解． 【详解】由题意，在同一坐标系内，分别作出函数的图象， 结合图象可得：，故选B． 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用，其中解中熟记指数函数、对数函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题． 4-2已知函数的图像不经过第四象限，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的图像不经过第四象限得到，解不等式求得的取值范围. 【详解】由于函数的图像不经过第四象限，所以，即，所以. 故填：. 【点睛】本小题主要考查对数型函数的图像与性质，考查对数不等式的解法，属于基础题. 题型五、对数型函数图象过定点问题 例5（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数且的图像必过的定点坐标为 . 【答案】 【分析】根据对数函数的定点坐标运算求解. 【详解】令，可得，则， 所以定点坐标为. 故答案为：. 5-1（24-25高一上·上海闵行·期末）若，对任意且，函数的图像必过定点 【答案】 【分析】根据对数函数的性质求解． 【详解】令，则，，图象过定点， 故答案为：． 5-2函数且的图象必经过点 . 【答案】 【分析】由对数函数的性质即可得出. 【详解】因为且， 当时，， 所以且的图象恒过定点. 故答案为：. 5-3（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数恒过定点 【答案】 【分析】根据对数函数所过定点，可得答案. 【详解】令，则，则函数过定点. 故答案为：. 题型六、对数函数图象的应用 例6如图是对数函数的图像，已知a取则相应于的a值依次为 .    【答案】，，， 【分析】根据对数函数底数在第一象限由左向右、从小到大分布规律解答. 【详解】的底数都大于1，当时底数大的图低(第一象限内)， 所以对应的a值分别为，， 的底数都大于0小于1，当时底数大的图低(第四象限内)， 所以对应的a值分别为，， 综合以上分析，可得对应的a值依次为，，，. 故答案为：. 6-1设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为 . 【答案】 【分析】设，求得点坐标并代入，求得，进而求得的横坐标. 【详解】设，线段的中点坐标为，， 因为是以为斜边的等腰直角三角形， 所以，因为点在函数的图像上， 所以，， 所以，所以， 解得，所以点的横坐标为. 故答案为： 6-2函数，其中，函数，其中．两个函数的图象如图所示．    (1)试根据函数的增长差异指出，分别对应的函数； (2)以两图象交点为分界点，对，的大小进行比较． 【答案】(1)对应的函数为；对应的函数为． (2)答案见解析 【分析】（1）根据函数的增长速度即可判断； （2）根据图象即可分析函数的大小. 【详解】（1）根据函数的增长差异性，在一定范围内一次函数增长速度快于对数函数的增长速度， 故对应的函数为；对应的函数为． （2）由图象可知， 当时，； 当时，； 当时，； 当或时，． 6-3（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知两条水平直线：和：（其），且直线与函数的图象从左至右相交于点A、B，直线与函数的图象从左至右相交于点C、D．若记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b（投影点重合时长度为0）． (1)记点A、B、C、D的横坐标分别为、、、，求证：； (2)当时，求m的值； (3)当，m变化时，记，求函数的解析式及其最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，，从而计算即可证明； （2）由题意可得，即或，求解即可； （3）由（2）可得，结合指数的运算性质和基本不等式即可求解. 【详解】（1）直线与函数的图象从左至右相交于点A、B， ， 与函数的图象从左至右相交于C、D， ， 所以，，所以； （2）因为，又， 所以， 所以或， 当，即，即， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以，即，又，解得； 当，即， 所以，即或， 当时，则，即，又，解得， 当时，则，所以，又，方程无解， 综上，； （3）由（2）可知， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 题型七、求对数函数的定义域 例7函数 的定义域是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由题意列出不等式组解出即可. 【详解】由题意得，∴或， 故定义域为或， 故选：D. 7-1（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据对数的真数大于0有意义求解. 【详解】因为，所以，即函数的定义域为. 故答案为：. 7-2函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质求该对数型函数的定义域即可. 【详解】要使该函数有意义，则需，解得： 函数的定义域为 故答案为： 7-3函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据对数函数的真数大于零即可求解. 【详解】由解得， 故答案为: . 7-4函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】分别求出 和 的定义域，再求交集. 【详解】由题意 ，解得 ，即 ； 故答案为： . 题型八、求对数型复合函数的定义域 例8求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分母不为得到不等式，解得即可； （2）（3）根据偶次方根的被开方数非负得到不等式（组），解得即可； （4）根据对数的真数大于，分母不为，偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）对于函数，令，解得且， 所以函数的定义域为； （2）对于函数，令，即，解得， 所以函数的定义域为； （3）对于函数，令，解得， 所以函数的定义域为； （4）对于函数，令，解得或， 所以函数的定义域为. 8-1（24-25高一上·上海·期末）函数 的定义域为 . 【答案】 【分析】利用给定的函数的意义，列出不等式组求解即得. 【详解】依题意，，解得， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 8-2（24-25高一上·上海浦东新·期末）函数 的定义域为 【答案】 【分析】根据对数函数的定义域列不等式求解即可. 【详解】由得， 所以函数 的定义域为. 故答案为：. 8-3（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据真数大于求得结果. 【详解】因为，所以，解得或， 所以定义域为， 故答案为：. 题型九、求对数函数在区间上的值域 例9对数函数的图象和性质 （1）填表： 图象       定义域 值域 函数值的变化 当时， 当时， 当时， ； 当时， 性质 均过定点 单调性： 单调性： （2）对对数函数（），当越来越小时，其图象与 的负半轴越来越靠近；对对数函数（），当越来越小时，其图象与 的正半轴越来越靠近. （3）对于对数函数的图象，在第一象限内，当时，底数越大，图象越 ；当时，底数越小，图象越 【答案】 单调减 单调增 轴 轴 接近轴； 接近轴 【解析】略 9-1函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质，先求函数的范围，再求函数的值域. 【详解】由知，，值域是． 故选：C 9-2已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性求出函数的值域，再根据交集的定义计算即可. 【详解】因为对数函数是上的增函数， 所以由，得，则； 因为指数函数是上的减函数， 所以由，得，则， 由此，. 故选：B. 题型十、求对数型复合函数的值域 例10（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】令，结合对数函数的图象与性质求出的范围，再结合反比例函数的图象和性质即可求出值域. 【详解】令则， ，，. ，. 结合反比例函数的图象,如图可知： . 故答案为： . 10-1函数的值域是 . 【答案】 【分析】根据真数的取值范围及对数函数的单调性得出值域. 【详解】由， 可得， 所以函数的值域为， 故答案为： 10-2（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据对数函数的单调性求值域. 【详解】由，解得，所以的定义域是， 二次函数的开口向下，对称轴为， 所以， 又函数在上单调递增， 所以的值域是. 故答案为： 10-3函数的值域为 ． 【答案】 【分析】配方得到，结合对数函数单调性得到值域. 【详解】， 又在上单调递增， 故，故值域为. 故答案为： 题型十一、根据对数函数的值域求参数值或范围 例11（24-25高一上·上海静安·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则 . 【答案】 【分析】先分析的单调性，然后对进行分类讨论或，结合单调性以及可求得结果. 【详解】因为在上单调递减，且， 当时，在上单调递减， 因为函数的定义域和值域都是， 所以，这与矛盾，不符合题意； 当时，在上单调递增， 因为函数的定义域和值域都是， 所以，则，因为， 所以， 故答案为：. 11-1（24-25高一上·上海·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由对数复合函数的值域为，即是值域的子集，结合一次、二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】若，要使的值域为， 即是函数的值域的子集， 所以或，可得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 11-2（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过，，三种情况讨论即可. 【详解】， 当时，，存在最大值，不满足值域为， 当，，值域为，满足题意； 当，若的值域为，同时必有， 解得， 综上实数的取值范围是， 故答案为： 题型十二、研究对数函数的单调性 例12（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，条件，条件，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的性质即可判断. 【详解】若成立，根据对数函数的性质，可得，即由可以推出.    若成立，当，时，满足. 但是此时无意义，所以不成立，即由不能推出.    综上，是的必要不充分条件. 故选：B 12-1（22-23高一上·上海长宁·期末）下列函数在定义域内不是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数、对钩函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为，所以函数是奇函数， 当时，函数单调递增，且， 所以函数是实数集上的严格增函数； 指数函数的底数大于，所以函数是实数集上的严格增函数； 对数函数的底数大于，所以函数是正实数集上的严格增函数； 因为函数在上单调递减，在上单调递增，显然函数在定义域内不是严格增函数， 故选：D 12-2（2024·上海宝山·一模）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】对于A：因为，所以不存在零点，故A错误； 对于B：令 没有实数解，所以不存在零点，故B错误； 对于C：令，所以零点为1，又因为， 所以在为增函数，故C正确； 对于D：在单调递增，在单调递减，故D错误. 故选：C. 12-3（22-23高一上·上海宝山·期末）当，时，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由且，得出，用均值不等式即可得出答案． 【详解】，且，而函数在上单调递增， ，即，且，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故答案为： 题型十三、对数型复合函数的单调性 例13（24-25高一上·上海·期末）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】对于A：因为在区间上是严格减函数，故A错误； 对于B： 在区间上是严格增函数，但 在区间上不存在零点，故B错误； 对于C：，在区间上是严格增函数， 由可得，在区间上且存在零点，故C正确； 对于D：在单调递减，在单调递增，故D错误. 故选：C. 13-1（24-25高一上·上海·期末）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】利用复合函数法可得出函数的单调递增区间. 【详解】对于函数，有，解得或， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上单调递减，在上单调递增， 外层函数为增函数， 故函数的单调递增区间为. 故答案为：. 13-2（24-25高一上·上海金山·阶段练习）函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】由对数型复合函数的单调性求解． 【详解】由，可得， 所以函数的定义域为， 令， 由t在上单调递增，在上单调递减， 又因为在定义域上为增函数， 由复合函数的单调性可知的单调递减区间是：． 故答案为：． 13-3（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的严格增区间是 . 【答案】 【分析】先求得对数型复合函数的定义域，再利用复合函数单调性求解即可. 【详解】由，即， 即，解得， 所以函数的定义域为， 设，则其图象开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域内单调递减， 因此函数的严格增区间是. 故答案为：. 题型十四、由对数（型）的单调性求参数 例14（23-24高一下·上海静安·期末）若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意以及对数函数的单调性性质即可直接求解. 【详解】函数在内是严格减函数， 所以，，故. 故选：D. 14-1（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用复合函数的性质“同增异减”即可得到结果. 【详解】令，则，且为减函数． 函数在上是严格减函数， 则，解得，故实数的取值范围是. 故答案为：． 14-2对数函数，当时图象在x轴上方，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，推理得到函数在上的单调性，由此即可确定底数范围即得. 【详解】由题意知，当时，，即 故在上为增函数， ，解得，即a的取值范围为. 故答案为：. 14-3已知函数若函数在上是严格增函数，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数以及一次函数的单调递增求出的范围，同时需要满足即可． 【详解】解：对数函数在时是增函数，所以， 又，是增函数， ， 当时，取到最大值， 要使得函数在上是严格增函数， 则， 即， 所以， 则a的取值范围为， 故答案为：． 题型十五、由对数函数的单调性解不等式 例15（24-25高一上·上海·期末）已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的性质把不等式转化为，通过举例说明BCD是错误的即可. 【详解】且，关于x的不等式①， 当，时，不等式①的解集为，排除C； 当，，时，不等式①的解集为，排除B； 当，，时，恒成立，不等式①的解集为，排除D. 故选：A 15-1（24-25高一上·上海·期末）若集合，则 . 【答案】； 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】由可得，解得， 故， 故答案为： 15-2（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将所求不等式变形为，构造函数，其中，分析函数在定义域上的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出所求不等式的解集. 【详解】由可得， 令，其中， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 且， 由可得，解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 15-3（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 【答案】 【分析】令，分析该函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】令，则该函数的定义域为， 因为，即函数为偶函数， 当时，， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，且， 由可得，即， 所以，，解得或， 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 题型十六、比较对数式的大小 例16（24-25高一上·上海金山·阶段练习）已知，以下不等关系不一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质、对数函数性质判断各选项． 【详解】由，得，故A正确； 当时，，故B错误； 因为为增函数，， 则，故C正确； 因为， 所以，故D正确． 故选：B． 16-1（24-25高一上·上海静安·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据不等式性质分析判断即可. 【详解】因为， 对于ABD：例如，满足， 但，，，故ABD错误； 对于C：因为，故C正确. 故选：C. 16-2若实数满足，则下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，，即可判断出选项A，B和C的正误；选项D，根据条件，利用不等式性质，即可求解. 【详解】对于选项A，取，，显然有，但，所以选项A错误， 对于选项B，取，，显然有，但，所以选项B错误， 对于选项C，取，，显然有，但，所以选项C错误， 对于选项D，因为，得到，所以，所以选项D正确， 故选：D． 16-3已知，，，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用作差法，结合换底公式可比较大小. 【详解】， 因为， 所以，，，， 所以，即， 故答案为：. 题型十七、对数函数单调性的应用 例17（24-25高一上·上海·期末）下列选项中“”的充分非必要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别就每个选项分析，得出,的大小关系，再利用充分非必要条件定义判断正误. 【详解】由选项A, 得,,异号时,不能推出；由选项B得, ,当,异号时,不能推出; 由选项C得, ,当时, ,故为充要条件;由选项D得,, 但由,因为不确定,的正负,所以不一定得,故为充分非必要条件. 故选：D 17-1（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】, 【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在,上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围． 【详解】方程可变形为，由于方程在上有解， 而当,时，，所以，解得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 17-2已知，那么，满足的条件是 ． 【答案】 【分析】由换底公式结合对数函数单调性即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：. 题型十八、求对数函数的最值 例18（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在上的单调性可求其最大值. 【详解】因为，则函数在上为减函数，则. 故选：A. 18-1函数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】利用整体换元，将复合函数的最值转化为对数函数的最值求解即可. 【详解】令，则，. 又在上单调递增， 所以，此时. 故答案为： 18-2函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用二次函数和对数函数的性质得到与的单调性，再利用复合函数单调性的求法得到，再求解最值即可. 【详解】令，， 则由与复合而成， 首先令，解得， 则定义域为， 而对称轴为，其开口向下， 由二次函数性质得在单调递增，在单调递减， 由对数函数性质得在上单调递减， 由复合函数单调性得在单调递减， 在单调递增，所以当时，取得最小值， 此时最小值为. 故答案为： 18-3函数的最大值是 【答案】 【分析】由对数函数的单调性和二次函数的知识可得答案. 【详解】由对数函数的单调性可得当取得最小值时，函数取得最大值， 所以当时，. 故答案为： 题型十九、根据对数函数的最值求参数或范围 例19（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 【答案】2 【分析】根据对数函数的单调性，结合已知列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，函数在区间上单调递增. 又对数函数在区间上的最大值比最小值大1， 所以，，解得. 故答案为：2. 19-1已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析出函数在上单调递增，可得出，即可求得实数的值. 【详解】因为函数在上单调递增， 对任意的，都存在唯一的，使得， 则，解得. 故答案为：. 19-2若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案. 【详解】解：因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，，， 则问题转化为在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图象， 要想满足在上恒成立，只需，即，解得． 综上：实数的取值范围是. 故答案为： 19-3函数的最大值比最小值大2，求实数的值． 【答案】或． 【分析】利用分类讨论思想来确定函数的单调性求最值，再根据题意得方程求解. 【详解】因为为对数函数的底数，所以且． 当时，函数在定义域内是严格增函数， 所以在上的最小值为，最大值为， 由题意知，即，则，解得； 当时，函数在定义域内是严格减函数， 所以在上的最小值为，最大值为， 由题意知，即，则，解得． 综上，或． 题型二十、对数函数最值与不等式的综合问题 例20已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解 【详解】， ， 由题意得 故答案为： 20-1某同学向王老师请教一题：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．王老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号，且在有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由参变量分离法可得出，利用已知条件求出函数在上的最小值，由此可得出实数的取值范围. 【详解】，，由可得， 由于不等式恒成立，当且仅当时取等号，且存在，使得， 所以，，当且仅当时，等号成立，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 20-2已知，. （1）当时，求函数的值域； （2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）当时，当时，当时，. 【分析】（1）依题意可得，根据二次函数的性质计算可得； （2）由得，令，对一切的恒成立，参变分离，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出参数的取值范围； 【详解】（1）因为，， 令， ∵，∴，所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值， ∴函数的值域为. （2）由得， 令，∵，∴， ∴对一切的恒成立， ①当时，若时，； 当时，恒成立，即， 函数在单调递减，于是时取最小值-2，此时， 于是； ②当时，此时时，恒成立，即， ∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为-3，； ③当时，此时时，恒成立，即， 函数在单调递增，于是时取最小值， 此时，于是. 综上可得：当时，当时，当时， 1．若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为 . 【答案】 【分析】将点代入对数解析式求出底数，即可求解. 【详解】设对数函数为，，因为对数函数的图象过点，所以，即，解得，所以. 故答案为： 2.当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过底数范围判断指对函数是增函数还是减函数，即可判断图像，得出答案. 【详解】当时，，函数为底数大于1的指数函数，是增函数，函数为底数大于0、小于1的对数函数，是减函数， 故选：C. 3．（23-24高一上·上海·期末）若函数（且）的图象恒过定点A，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】结合对数运算，令即可得定点的坐标. 【详解】令得，此时， 即函数（且）恒过定点. 故答案为： 4. 函数的最小值为 ． 【答案】0 【分析】利用复合函数的性质求函数的最小值． 【详解】解：设，则， 的定义域为， 所以函数，在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的同增异减可得：在区间上单调递减，在上单调递增， ，最小值是0． 故答案为：0． 5．（23-24高一上·上海·阶段练习）若对数函数在上严格单调递减，则 . 【答案】 【分析】根据对数函数的概念与单调性可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为函数为对数函数，则， 解得或， 又因为对数函数在上严格单调递减， 则，故. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海松江·期中）若函数的定义域为，且对任意，都有，则称具有“性质”． (1)当时，判断是否具有“性质”，并说明理由； (2)当时，证明：具有“性质”； (3)如果函数具有“性质”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）取验证即可判断； （2）通过，转换成证明恒成立即可. （3）通过对任意恒成立，讨论三种情况即可. 【详解】（1）当时，，则不具有“性质”． （2）若要证具有“性质”，则 只需要证成立即可， 又，则，恒成立， 则具有“性质”． （3）由题意知， 则对任意恒成立， 当时，成立，当时不成立， 当时，或． 7．（20-21高一上·上海金山·阶段练习）已知函数为偶函数，. （1）求实数的值； （2）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； （3）求函数在上的最大值与最小值之和为2020，求实数的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据偶函数定义列方程可得解； （2）由时，恒成立，参变分离得，进而求函数最大值即可； （3）化简函数为，结合可得最值，从而得解. 【详解】（1） 函数为偶函数， ， ， 得， 解得，即. （2）若时，函数的图像恒在图像的上方， 则恒成立， 即，即. 所以. 因为时，， 所以，得. （3）， 所以当时， 当 时，取得最大值，当取得最小值， 所以，解得. 【点睛】本题主要了考查函数与方程的综合应用，结合函数奇偶性求出k的值，以及利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于难题． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习专题16 对数函数 对数函数的定义 定义 当底数 固定，且 时， 以 为底的对数 确定了变量 随变量 变化的规律，称为底为的对数函数. 注意： （1）对数函数的定义域为 （全体正数）； （2）当 时， ； （3）当 时， ． 对数函数的图像 图像 对数函数 且 的图像过定点 ，所以讨论与对数函数有关的函数的图像过定点的问题，只需令真数为 1 ，解出相应的 、 ，即可得到定点的坐标． 掌握三组关系—一底数 与函数图像的关系 （1）底数 与 1 的大小关系决定了对数函数图像的＂升降＂：当 时，对数函数的图像＂上升＂； 当 时，对数函数的图像＂下降＂． （2）底数的大小决定了图像相对位置的高低： 不论是 还是 ，在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大． （3）函数 与 且 的图像关于 轴对称． 对数函数的性质 图像 性质 在上是严格增函数 在上是严格减函数 当 时， ，当 时， 当 时， ，当 时， （1）讨论对数函数的性质时，若底数 的大小不确定，必须分 1 和 两种情况讨论． （2）根据对数函数的性质可知，对数函数 且 的图像都经过点 ，且图像都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数的大致图像． 题型一、对数函数的概念判断与求值 例1下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 1-1下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 1-2下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2) (3)； (4)； (5)． 题型二、求对数函数的解析式 例2对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 2-1对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式 ． 2-2（23-24高一上·上海·阶段练习）已知对数函数过点，则其解析式为 ． 2-3函数（且），若它的图象经过，，则 ． 题型三、判断对数型函数图象形状 例3对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3-1已知，函数与函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   3-2（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型四、根据对数型函数图 象判断参数的范围 例4已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4-1已知正实数满足，，则 A． B． C． D． 4-2已知函数的图像不经过第四象限，则实数的取值范围是 . 题型五、对数型函数图象过定点问题 例5（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数且的图像必过的定点坐标为 . 5-1（24-25高一上·上海闵行·期末）若，对任意且，函数的图像必过定点 5-2函数且的图象必经过点 . 5-3（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数恒过定点 题型六、对数函数图象的应用 例6如图是对数函数的图像，已知a取则相应于的a值依次为 .    6-1设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为 . 6-2函数，其中，函数，其中．两个函数的图象如图所示．    (1)试根据函数的增长差异指出，分别对应的函数； (2)以两图象交点为分界点，对，的大小进行比较． 6-3（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知两条水平直线：和：（其），且直线与函数的图象从左至右相交于点A、B，直线与函数的图象从左至右相交于点C、D．若记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b（投影点重合时长度为0）． (1)记点A、B、C、D的横坐标分别为、、、，求证：； (2)当时，求m的值； (3)当，m变化时，记，求函数的解析式及其最小值． 题型七、求对数函数的定义域 例7函数 的定义域是（    ） A． B．或 C． D．或 7-1（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为 . 7-2函数的定义域为 ． 7-3函数的定义域是 . 7-4函数的定义域为 ． 题型八、求对数型复合函数的定义域 例8求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4). 8-1（24-25高一上·上海·期末）函数 的定义域为 . 8-2（24-25高一上·上海浦东新·期末）函数 的定义域为 8-3（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的定义域是 . 题型九、求对数函数在区间上的值域 例9对数函数的图象和性质 （1）填表： 图象       定义域 值域 函数值的变化 当时， 当时， 当时， ； 当时， 性质 均过定点 单调性： 单调性： （2）对对数函数（），当越来越小时，其图象与 的负半轴越来越靠近；对对数函数（），当越来越小时，其图象与 的正半轴越来越靠近. （3）对于对数函数的图象，在第一象限内，当时，底数越大，图象越 ；当时，底数越小，图象越 9-1函数的值域为（    ） A． B． C． D． 9-2已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型十、求对数型复合函数的值域 例10（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 ． 10-1函数的值域是 . 10-2（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 . 10-3函数的值域为 ． 题型十一、根据对数函数的值域求参数值或范围 例11（24-25高一上·上海静安·阶段练习）已知函数的定义域和值域都是，则 . 11-1（24-25高一上·上海·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 11-2（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 题型十二、研究对数函数的单调性 例12（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，条件，条件，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12-1（22-23高一上·上海长宁·期末）下列函数在定义域内不是严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 12-2（2024·上海宝山·一模）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（   ） A． B． C． D． 12-3（22-23高一上·上海宝山·期末）当，时，则的最小值是 ． 题型十三、对数型复合函数的单调性 例13（24-25高一上·上海·期末）下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（    ） A． B． C． D． 13-1（24-25高一上·上海·期末）函数的单调递增区间为 . 13-2（24-25高一上·上海金山·阶段练习）函数的单调递减区间是 ． 13-3（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的严格增区间是 . 题型十四、由对数（型）的单调性求参数 例14（23-24高一下·上海静安·期末）若函数在内是严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14-1（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 14-2对数函数，当时图象在x轴上方，则a的取值范围为 . 14-3已知函数若函数在上是严格增函数，则a的取值范围为 ． 题型十五、由对数函数的单调性解不等式 例15（24-25高一上·上海·期末）已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是（    ） A． B． C． D． 15-1（24-25高一上·上海·期末）若集合，则 . 15-2（24-25高一上·上海宝山·期末）不等式的解集为 ． 15-3（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 题型十六、比较对数式的大小 例16（24-25高一上·上海金山·阶段练习）已知，以下不等关系不一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 16-1（24-25高一上·上海静安·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 16-2若实数满足，则下列不等式中成立的是（    ）． A． B． C． D． 16-3已知，，，则与的大小关系是 ． 题型十七、对数函数单调性的应用 例17（24-25高一上·上海·期末）下列选项中“”的充分非必要条件是（    ）． A． B． C． D． 17-1（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 17-2已知，那么，满足的条件是 ． 题型十八、求对数函数的最值 例18（23-24高一上·上海·期中）已知实数满足，则函数在上的最大值是（    ） A． B． C． D． 18-1函数的最小值是 ． 18-2函数的最小值为 ． 18-3函数的最大值是 题型十九、根据对数函数的最值求参数或范围 例19（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ． 19-1已知，（是自然对数的底数），若对任意的，都存在唯一的，使得，则实数的取值范围是 . 19-2若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 19-3函数的最大值比最小值大2，求实数的值． 题型二十、对数函数最值与不等式的综合问题 例20已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数m的取值范围为 ． 20-1某同学向王老师请教一题：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．王老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号，且在有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中的取值范围是 ． 20-2已知，. （1）当时，求函数的值域； （2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1．若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为 . 2.当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海·期末）若函数（且）的图象恒过定点A，则点A的坐标是 ． 4. 函数的最小值为 ． 5．（23-24高一上·上海·阶段练习）若对数函数在上严格单调递减，则 . 6．（24-25高一上·上海松江·期中）若函数的定义域为，且对任意，都有，则称具有“性质”． (1)当时，判断是否具有“性质”，并说明理由； (2)当时，证明：具有“性质”； (3)如果函数具有“性质”，求实数的取值范围． 7．已知函数为偶函数，. （1）求实数的值； （2）若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围； （3）求函数在上的最大值与最小值之和为2020，求实数的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$