福建省龙岩市2025-2026学年高二下学期7月期末监测数学试题

**基本信息** 高二数学期末卷聚焦函数、概率、立体几何等核心知识，通过导数应用、概率统计等综合题，考查数学思维与逻辑推理能力，适配期末学业水平检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|函数性质、概率基础|第8题偶函数单调性分析，考查抽象能力| |填空题|3题15分|立体几何体积|第14题正三棱锥外接球体积最值，体现空间观念| |解答题|6题77分|导数应用、概率统计、立体几何|18题结合题库答题情境，19题导数极值点证明，培养逻辑推理与数据意识|

2025～2026学年第二学期高二期末监测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，则 A． B． C． D． 2．下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数分别是，，，，其中最大的是 A． B． C． D． 3．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中恰有2名男生的概率为 A． B． C． D． 4．若随机变量且，则 A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 5．如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，D是弧的中点，则异面直线与所成角的大小为 A． B． C． D． 6．设函数，若在R上单调递增，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 7．在长方体中，，，，，，．过M，N，P三点的平面与直线相交于点Q，则等于 A． B． C． D． 8．已知函数．若，，，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知函数，则 A．当时，曲线在处的切线方程为 B．若有且只有两个零点，则a的取值范围是 C．当时，在区间上的最大值为1 D．对任意，曲线上总存在两条切线，使得它们的斜率互为相反数 11．甲盒与乙盒中，初始时均装有大小、质地一样的1个白球和2个黑球．规定一次操作为：从甲盒中随机取出1个球，同时从乙盒中随机取出1个球，将取出的两个球交换放入对方盒中．按此规则重复进行次操作后，甲盒中恰有0个白球，1个白球，2个白球分别记为事件，，，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若随机变量，则__________． 13．已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________． 14．已知正三棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某教育科技公司为了解学生对线上学习工具的使用情况，同时分析工具的周活跃用户变化趋势，随机调查了80名学生，列联表数据如下： 不活跃 活跃 合计 初中生 16 24 40 高中生 4 36 40 合计 20 60 80 （1）根据调查结果回答：是否有99.5％的把握认为使用线上学习工具的活跃度与学段有关？ （2）下表为该工具上线前5周的周活跃用户数（单位：万人）： 周代码x 1 2 3 4 5 活跃用户y 41 36 30 24 19 求y关于x的线性回归方程． 附：①，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ②在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，，， ，． 16．（15分）已知函数，． （1）求的单调区间； （2）若恒成立，求a的取值范围． 17．（15分）如图，在正三棱柱中，M为线段的中点，N为线段上的动点． （1）求证：； （2）若，，二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 18．（17分）某校为庆祝建校百年，组织数理化知识竞赛．题库中数学、物理、化学占比分别为，，．甲同学从中任选一道题作答，设回答正确的概率为p． （1）若甲同学回答数学、物理、化学这三类题中每道题的正确率分别为，，． （ⅰ）求p； （ⅱ）若甲同学从这三类题中各任选一道题作答，回答正确得3分，回答错误得分．用X表示该同学回答三道题后的总得分，求X的分布列及数学期望； （2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于n道，即可获得奖励．若时获奖的可能性比时大，求p的取值范围，并说明理由． 19．（17分）已知函数，． （1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值； （2）已知，记为的导函数，，若存在两个极值点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）已知，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期高二期末监测 数学试题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C A C D B A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 题号 9 10 11 选项 AC ABD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．16 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 解：（1）假设：认为使用线上学习工具的频率与学段无关． 1分 由列联表中的数据，可得 4分 因为，故否定假设， 所以有99.5％的把握认为使用线上学习工具的活跃度与学段有关． 6分 （2）由前5周的活跃用户数，可得 ，， 8分 又，， 所以， 10分 则， 12分 故所求的线性回归方程为． 13分 16．（15分） 解：（1）由题意可得， 1分 当时，，函数在R上单调递减． 2分 当时，令，得， 因在R上单调递增， 3分 所以当时，，单调递减； 4分 当时，，单调递增； 5分 综上所述：当时，的单调递减区间是； 当时，单调递减区间是，单调递增区间是； 6分 （2）法1：当时，由（1）知在R上单调递减， ，与恒成立矛盾． 8分 当时，恒成立． 10分 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为， 13分 令，得． 综上，实数a的取值范围是． 15分 法2：由恒成立，得． 7分 当时，恒成立． 8分 当时，由恒成立，可得恒成立； 9分 当时，由恒成立，可得恒成立； 10分 设，则， 11分 令得，故当时，，在上单调递减， 故当或时，，在，上单调递增， 13分 所以当时，的最小值为，此时． 当时，，且当时，，此时 综上，a的取值范围是． 15分 17．（15分） 解：（1）连接， 在正三棱柱中，为等边三角形， 1分 又因为M为的中点，所以． 2分 又因为平面，平面，所以 3分 又因为，，平面， 所以平面． 5分 又因为平面，所以． 6分 （2）设为的中点， 由（1）知，，， 如图，以M为原点，以，，的方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 因为，，设，， 所以，， 7分 设平面的法向量为， 所以， 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 9分 由已知得，，， 所以的中点， 所以平面的一个法向量为， 10分 设平面与平面的夹角为， 因为二面角的余弦值为， 所以， 12分 化简得，解得，， 因为，所以， 13分 所以平面的一个法向量为,， 又，所以， 所以点到平面的距离， 所以点到平面的距离为． 15分 18．（17分） 解：（1）（ⅰ）设“甲同学所选的题目回答正确”， “所选的题目为数学相关知识的题目”， “所选的题目为物理相关知识的题目”， “所选的题目为化学相关知识的题目”， 则，且，，两两互斥． 根据题意得，，， ，，， 2分 则 ， 所以甲同学在该题库中任选一道题作答，他回答正确的概率为， 即． 4分 （ⅱ）X的可能取值为，1，5，，9， 5分 ， ， ， ， 9分 则X的分布列为： X 1 5 9 P 所以． 11分 （2）当时，Y为答对题目的数量，由题意可知， 故当时，获得奖励的概率， 12分 当时，获得奖励的情况可以分为如下情况： ①前8道题答对题目的数量大于等于5， ②前8道题答对题目的数量等于4，且最后2道题至少答对1道题， ③前8道题答对题目的数量等于3，且最后2道题全部答对， 故当时，获得奖励的概率， 14分 所以 ， 因为，所以，即， 所以． 17分 19．（17分） 解：（1）由题意，函数的定义域为， 求导得． 2分 由题意，切点为，切线斜率为e． 所以，， 解得，． 4分 （2）（ⅰ）法1：当时，，求导得． 5分 因有两个极值点，， 故方程有两个正实根，因此，解得． 6分 因是方程的根，故． 由，又因为，则． 将代入，得． 8分 要证，即证， 即证，即证， 令，，则， 在上单调递增， 故，即． 11分 法2：当时，，求导得． 5分 因有两个极值点，，故方程有两个正实根， 因此，解得． 6分 因为， 又，所以， 8分 因为在单调递减， 所以， 所以． 11分 （ⅱ）令，由，得，， 故． ． 13分 令，，． 令，则，在上单调递增， 故，，在上单调递增． 已知，故， 即． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $