第二十六章 二次函数 04讲 实际问题与二次函数（1大知识点+8大常考题型+巩固练习）2026-2027学年人教版数学九年级上册预习

本讲义聚焦二次函数的实际应用这一核心知识点，系统梳理图形面积、动态几何、拱桥、销售等8类题型，以知识清单中“审题意、设未知量、列关系式”等步骤为支架，衔接二次函数性质与实际问题解决。 资料特色在于题型设计贴近生活，如投球、喷水等情境培养学生用数学眼光观察现实世界，通过例题与变式训练发展模型意识和推理能力，巩固练习含中考真题助于课后查漏补缺，提升教学效果与学生应用能力。

第二十六章 二次函数 04讲 实际问题与二次函数 题型归纳 【知识点1 利用二次函数解决实际问题 1】 【题型1. 图形面积问题 2】 【题型2. 动态几何问题 4】 【题型3. 拱桥问题 6】 【题型4. 销售问题 9】 【题型5. 投球问题 11】 【题型6. 喷水问题 13】 【题型7. 增长率问题 16】 【题型8. 其他问题 17】 【巩固练习 19】 知识清单 知识点1 利用二次函数解决实际问题 1. 一般步骤 (1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证结果是否符合实际． 2. 求二次函数最值 将解析式写成的形式，当时，y有最大（小）值k； 对二次函数使用配方法，则当时，y有最大（小）值． 题型专练 题型1. 图形面积问题 【例1】用一段米长的铁丝在平地上围成一个一边靠墙的长方形，墙长足够长．设长方形与墙垂直的一边长为米，与墙平行的边留了一个米的门，长方形的面积为平方米，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 【变式1】如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，中间用篱笆隔开，，墙长．设，矩形的面积为，则y关于x的函数关系式是_______，x的取值范围是_______． 【变式2】有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【变式3】一个菱形风筝的两条对角线的长之和为．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在这个变化过程中，其中一条对角线的长为． (1)写出菱形的面积y（单位：）关于x（单位：）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)当时，求y的函数值． 【变式4】根据以下素材，探索完成任务． 探索设计停车场 背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，入口与出口通道位置如右图所示．已知，． 方案 社区工作者设计了四列阴影部分为停车位，按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，即，且停车位的宽度不小于，其余部分是等宽的通道． (1)任务1：①设停车位的宽度为，通道的宽度为，求与之间的函数关系式； ②若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准． (2)任务2：若通道的宽度要求不小于，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积． 题型2. 动态几何问题 【例1】如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 【变式2】如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发． (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． (3)在移动过程中，的最大面积是多少？ 【变式3】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【变式4】如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 题型3. 拱桥问题 【例1】如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 【例2】3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 【变式1】如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【变式2】如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是__________． 【变式3】如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ (1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________． (2)依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为___________________． ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可） (3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？ 【变式4】“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度． 【变式5】某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的顶棚由两段抛物线：，组成，立柱均与地面垂直，垂足分别为，且米，米，抛物线的最高点与地面的距离为3米，点分别在抛物线上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，现要在抛物线的下方安装一个矩形广告牌（点M在点Q的左侧），轴，且点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米，与之间的距离为2米，求的长． 题型4. 销售问题 【例1】某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【例2】某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个．设每个双肩包涨价元（为正整数），每月的销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式： ； (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【变式1】某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售．已知每盒咸鸭蛋进价为30元，售价为x元，每星期可卖出(250-5x)盒，当x=___时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大． 【变式2】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 【变式3】2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼在省内各地开展．某体育用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量件与售价元/件满足一次函数关系，部分数据如下表： （元/件） 120 130 140 150 160 （件） 1200 1100 1000 900 800 (1)求与的函数关系式； (2)求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等； (3)求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值． 【变式4】某公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为：，且其日销售量y（）与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 40 日销售量y（） 118 114 108 100 80 40 (1)求出y与t之间的函数关系式． (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润（）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 题型5. 投球问题 【例1】掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范图，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为（  ） A． B．3 C．8 D．10 【例2】掷实心球是中考体育考试的项目．如图是一男生所掷实心球的行进路线（抛物线的一部分）的高度与水平距离之间的函数图象，且掷出时起点处高度为2m，当到起点的水平距离为4m时，实心球行进至最高点，此时实心球与地面的距离为3m． (1)求抛物线的函数解析式； (2)在该市的评分标准中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10m时，即可得满分，试判断该男生在此项考试中能否得满分，并说明理由（参考数据：）． 【变式1】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是__． 【变式3】如图，一名篮球运动员在距离篮球框中心A点（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面．    (1)求该篮球的运行路线（抛物线）的表达式； (2)求出篮球在该运动员出手时的高度． 【变式4】跳水运动员在米跳台训练中，身体（可看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳台米，跳台距水面的高度米，在距起跳点水平距离1米时运动员达到最大高度米．以水面所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)当时，求该抛物线的解析式． (2)在（1）的条件下，①求入水点的坐标． ②正常情况下，运动员在距水面高度5米之前必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则会出现失误．若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距离起跳点的水平距离为3.5米，请判断该运动员本次训练是否会失误，并说明理由． (3)图中米，米，若运动员在区域内（含点，）入水时才能达到训练要求，求的取值范围． 题型6. 喷水问题 【例1】2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【变式1】小北在公园进行摄影学习，发现某广场有一喷水池所喷出的水流形状像一条抛物线，他将其拍下来，发现水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系满足，当水流喷出的高度为时，喷出水流的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头A向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是________．    【变式3】某消防中队进行技能比赛，在一栋废弃高楼的10米高处的点和正上方的点处设置了火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点处，水流恰好到达点处，且水流的最大高度为．待处火熄灭后，消防员退到点处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点处，已知点到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的表达式． (2)若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求，两点之间的距离． 【变式4】某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直径扩大到米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 题型7. 增长率问题 【例1】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【变式1】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为_______ 【变式3】为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式为______． 【变式4】某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 题型8. 其他问题 【例1】图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽为，碗的最大深度为，碗底高为． (1)以F为原点，直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体抛物线对应的函数表达式； (2)将碗中盛汤，当汤的深度为时，求汤面的直径长． 【变式1】一辆电动车（如图所示）在公路上匀速行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶需要的时间为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度（m）与飞行时间（s）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为______． 【变式3】多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动，在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似的看成抛物线，阳光体育活动时间，小李和小王分别站在﹑两点进行摇绳，两位同学的摇绳点﹑高度一致，其他小伙伴参与跳绳，已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点与地面刚好接触时，以点为坐标原点，地面 为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求此时抛物线的表达式； (2)若参与跳绳的同学站在点处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？ 【变式4】如图，成熟麦穗的形状可以看成抛物线的一部分．如图，将麦秆所在直线作为轴，以水平地面上的一条直线作为轴，建立平面直角坐标系．已知：抛物线（点与点之间的部分），是常数，抛物线的顶点距离轴的水平距离是，点到轴的距离是． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求的值． 巩固练习 1．（2026·甘肃陇南·一模）伞是生活中常见的一种工具，其撑开后的形状近似抛物线．如图所示，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨的交点为原点建立平面直角坐标系，为抛物线与轴的交点，点在抛物线上，关于轴对称．已知抛物线的表达式为，若点到轴的距离是，则两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江金华·期末）金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东威海·期末）酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性（单位：U）与温度（单位：）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在__________． 4．（2026·陕西西安·一模）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 5．（25-26九年级上·广东汕尾·期末）综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． (1)方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． (2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 6．（25-26九年级上·江西宜春·期末）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处（米）弹跳到人梯顶端B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点． (1)若将其身体（看成一个点）的路线为抛物线的一部分，求抛物线的解析式． (2)在一次表演中，已知人梯高米，演员弹跳到最高点处后落到人梯上，为了这次表演成功，一人梯离起跳点A的水平距离是多少米？请说明理由． 7．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图1，玻璃杯的杯壁轮廓线可以近似地看成某抛物线的一部分，杯口直径，杯底直径，且，以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系（如图2），此时点与轴的距离为，杯底杯壁厚度忽略不计． (1)求抛物线解析式； (2)当倒满水时，求水的深度（与之间的距离）． 8．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻功”．如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球，是特色的民俗节目．某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点离开后，在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)若观众区边缘点与原点的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由． 9．（25-26九年级上·浙江台州·期末）经观察，白鲸的喷水形状近似看作一条二次项系数为的抛物线，如图，当白鲸在水池边缘O处表演喷水时，以O为原点建立平面直角坐标系，观众席段解析式为：，测得抛物线水柱在观众席的落点处C的横坐标为2，试求白鲸在O点处喷水产生的抛物线解析式． 10．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 11．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 12．（2026·广东东莞·三模）如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 13．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同步甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．现在以两人的站立点所在的直线为轴，过小明拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式． (1)求绳子所对应的抛物线的解析式． (2)身高为的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由． (3)身高为的小红站在绳子的下方，设她距离小明拿绳子的手为，为保证绳子甩到最高处时过她的头顶，直接写出的取值范围． 14．（25-26九年级下·湖北宜昌·期中）为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作水电站的模型，模型包含多个水轮发电机等组件，如图，制作一个水轮发电机需配备个铜线圈、组叶片和若干其他基础配件．已知购买一个铜线圈需元，购买一组叶片需元（其它基础配件库存充足，无需购买）． (1)现有经费元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作多少个水轮发电机？ (2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行．兴趣小组测试时发现：若同时工作的发电机不超过个，每个发电机发电功率为每秒焦耳；若超过个，每增加个发电机同时工作，每个发电机的功率每秒将减少焦耳．（总发电功率工作的发电机个数每个发电机的功率） 设同时工作的发电机有个，当时，求总发电功率（单位：焦耳秒）关于的函数关系式； 在（）的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？ 15．（2026·河南郑州·二模）塑料大棚是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟．农户老张准备靠墙建造一个塑料大棚种植蔬菜，如图，蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分，以墙所在的直线为轴，以水平地面所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，若离轴水平距离为2米时塑料大棚最高为3米，且点距离地面2米． (1)求此抛物线的解析式； (2)为加固大棚，老张准备在距离地面米处加装多组钢架，如图，钢架两个端点均在抛物线上，求钢架的长； (3)为更好地种植蔬菜，老张准备将点上移米，但整个大棚的形状不变，施工完成后，在大棚内设置多组平行的吊架，吊架底端平行于地面，在吊架上安装补光灯，增强蔬菜的光合作用．已知吊架底端的长度为2米，吊架底端两个端点到大棚的水平距离等于米，且到地面的距离均为3米，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 04讲 实际问题与二次函数 题型归纳 【知识点1 利用二次函数解决实际问题 1】 【题型1. 图形面积问题 2】 【题型2. 动态几何问题 6】 【题型3. 拱桥问题 11】 【题型4. 销售问题 18】 【题型5. 投球问题 23】 【题型6. 喷水问题 29】 【题型7. 增长率问题 34】 【题型8. 其他问题 37】 【巩固练习 41】 知识清单 知识点1 利用二次函数解决实际问题 1. 一般步骤 (1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；(4)解答实际问题；(5)验证结果是否符合实际． 2. 求二次函数最值 将解析式写成的形式，当时，y有最大（小）值k； 对二次函数使用配方法，则当时，y有最大（小）值． 题型专练 题型1. 图形面积问题 【例1】用一段米长的铁丝在平地上围成一个一边靠墙的长方形，墙长足够长．设长方形与墙垂直的一边长为米，与墙平行的边留了一个米的门，长方形的面积为平方米，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意可得与墙平行的边长为米，进而根据矩形的面积公式即可列出函数关系式． 【详解】解：由题意可得，与墙平行的边长为米， ∴， 故选：． 【例2】如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为． (1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 【答案】(1) (2)当米时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，正确理解题意是解题关键． （1）由题意得，，再利用矩形的面积公式即可求解； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 则， 由题意得，， ∴； （2）解：， 当米时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米． 【变式1】如图，用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，中间用篱笆隔开，，墙长．设，矩形的面积为，则y关于x的函数关系式是_______，x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求自变量的取值范围． 用x表示的长度，即可得到y与x的函数关系式，根据墙长列不等式，可求x的范围． 【详解】解：由已知得：， ∴， ∵墙长， ∴， 解得， ∴x的取值范围为； 故答案为：，． 【变式2】有一根长为的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】 当矩形框的长和宽均为时，矩形面积最大，最大面积是 【分析】先利用矩形周长公式，用长表示出宽，再根据面积公式得到面积关于长的二次函数，最后配方求二次函数的最大值即可，用到矩形周长、面积公式和二次函数的最值性质． 【详解】解：设矩形框的长为，矩形的面积为，已知铁丝总长为，因此矩形框的宽为，可得自变量取值范围为， 根据矩形面积公式得： 二次项系数 当时，取得最大值， 此时矩形的宽为 答：当矩形框的长、宽都为时，矩形面积最大，最大面积是． 【变式3】一个菱形风筝的两条对角线的长之和为．其对角线的长发生变化时，菱形的面积也发生变化．在这个变化过程中，其中一条对角线的长为． (1)写出菱形的面积y（单位：）关于x（单位：）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (2)当时，求y的函数值． 【答案】(1)， (2)800 【分析】（1）先求出另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式求出函数解析式即可； （2）把代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，菱形的另一条对角线的长为， ∴，其中； （2）解：由（1）知，， ∴当时，． 【变式4】根据以下素材，探索完成任务． 探索设计停车场 背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，入口与出口通道位置如右图所示．已知，． 方案 社区工作者设计了四列阴影部分为停车位，按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，即，且停车位的宽度不小于，其余部分是等宽的通道． (1)任务1：①设停车位的宽度为，通道的宽度为，求与之间的函数关系式； ②若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准． (2)任务2：若通道的宽度要求不小于，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积． 【答案】(1)①； ②符合标准；理由如下： 停车位总面积为， ， 将①中代入，得 ， ∴ ， ∴， ∴或（舍去）， ， ∴符合标准. (2)当停车位的宽度为时，停车位的总面积最大为. 【分析】（1）①设停车位的宽度为，通道的宽度为，根据图形可知：，进而得到，②根据停车位总面积为，列出方程进行求解后，结合停车位的宽度不小于进行判断即可； （2）设停车位的总面积为，面积公式表示出，配方法求最值即可． 【详解】（1）解：①由题意得：， ； ②略 （2）解：设停车位的总面积为，由（1）可知：， ∴ ， ， ∵且， ∴， ∴当时，最大， 答：当停车位的宽度为时，停车位的总面积最大为． 题型2. 动态几何问题 【例1】如图，矩形中，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先理解题意，算出以及点在，，线段上的时间，然后分别讨论点在上运动的情况，然后根据面积公式列式，即可求解． 【详解】解：∵矩形中，， ∴， ∵动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止 ∴ ∵设点P的运动时间是时，的面积是， ∴①当点在上运动时，即： ， 这是开口方向向上的二次函数； ∴②当点在上运动时，即： ； 这是一次函数； ∴③当点在上运动时，即： ， 这是开口方向向下的二次函数； 综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意． 【变式1】如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为：， 故答案为：． 【变式2】如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发． (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． (3)在移动过程中，的最大面积是多少？ 【答案】(1)经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米 (2)不存在，理由见解析 (3)的最大面积是9 【分析】此题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设经过t秒时，的面积等于8平方厘米，根据题意得出，再根据三角形的面积公式即可求出答案； （2）根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列出方程，求出方程无解，从而得出不存在的面积等于矩形的面积的四分之一的情况； （3）设经过t秒时，的面积等于S平方厘米，列出二次函数表达式并根据二次函数性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设经过t秒时，的面积等于8平方厘米， ∵厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动， ∴， ∴， 解得：； 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）不存在，理由如下： 设经过t秒时，的面积能等于矩形的面积的四分之一，则由题意得： ， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴不存在的面积等于矩形的面积的四分之一． （3）设经过t秒时，的面积为S平方厘米， ， ， ∴当时，取最大值为9， ∴的最大面积是9． 【变式3】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【答案】(1) (2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 【变式4】如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为厘米，与在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y（平方厘米）与时间t（秒）之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识．根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ，， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型3. 拱桥问题 【例1】如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 【答案】 【详解】解：根据题意，选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是， 则选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位， ∵原抛物线的顶点为， ∴根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为． 【例2】3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）设，把点A的坐标代入求解即可； （2）把代入（1）中所求表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 设， 代入，得， ∴， ∴ （2）解：当时，， 解得，， ∴， 答：两条彩带之间的水平距离为米． 【变式1】如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】令，解方程即可求出水面的宽度． 【详解】解：根据题意，令，得： ， 解得：，， 所以水面宽为：米． 【变式2】如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：． 【变式3】如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ (1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案___________、____________． (2)依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为___________________． ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为________________．（根据需要的个数填写即可） (3)直接写出：当水面下降时，水面宽度增加多少？ 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点，即可； （2）①根据题意可得抛物线的顶点坐标为，即可求解；②根据题意可得，即可求解； （3）把点代入，求出抛物线的解析式，再把代入抛物线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解∶ 如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，O为原点， （2）解：①根据题意得：抛物线的顶点坐标为， ∴可设出抛物线解析式为； 故答案为：； ②根据题意得：， ∴抛物线经过的点； 故答案为： （3）解：把点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴当水面下降时，水面宽度为， ∴当水面下降时，水面宽度增加了． 【变式4】“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出点的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）设，则，得出纵坐标为：，即，确定，再根据题意得出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：轴垂直平分，， ，， 由题意得， 设该抛物线的函数表达式为，将代入， ， 解得： 该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图所示： 设， ∴， ∴点E的横坐标为x， ∴纵坐标为：，即， ∴， ∵灯饰C与其水中倒影之间的距离， ∴， ∵灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴． 【变式5】某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的顶棚由两段抛物线：，组成，立柱均与地面垂直，垂足分别为，且米，米，抛物线的最高点与地面的距离为3米，点分别在抛物线上，抛物线和抛物线关于所在直线对称．以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，现要在抛物线的下方安装一个矩形广告牌（点M在点Q的左侧），轴，且点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米，与之间的距离为2米，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题意可知，，得到对称轴为直线，根据抛物线的最高点与地面的距离为3米可设抛物线的函数表达式为，将代入计算即可； （2）根据抛物线和抛物线关于所在直线对称求出抛物线的函数表达式为，延长交抛物线于，求出，进而求出，进而可求的长． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的最高点与地面的距离为3米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）知，的顶点坐标为， ∵抛物线和抛物线关于所在直线对称， ∴抛物线开口大小、方向不变，顶点坐标变为， 则抛物线的函数表达式为， 如图，延长交抛物线于， ， ∵点到地面的距离为米，到抛物线的竖直距离为米， ∴， 此时， 解得：，（舍去）， ∵与之间的距离为2米， ∴． 题型4. 销售问题 【例1】某商店销售一种商品，每件成本为元，售价为元，每天可销售件，每天的利润为元，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利润问题中的函数关系建立，解题的关键是明确利润的计算公式． 根据利润的计算公式，利润每件利润销售数量，每件利润为元，销售数量为件，代入公式即可得到与之间的函数关系式． 【详解】解：每件利润为元，销售数量为件， 每天的利润， 即函数关系式为， 故选：． 【例2】某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元．市场调查发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个．设每个双肩包涨价元（为正整数），每月的销售量为个． (1)直接写出与的函数关系式： ； (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，为正整数） (2)当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，审清题意，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，列出函数解析式即可； （2）设每月获得利润元，根据题意，可得，整理得，，再根据二次函数的性质取最值即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，涨价元，则每月可少销售个， 每月的销售量为个， 销售量要大于或等于0， ，解得，则； 故答案为：（，为正整数）； （2）解：设每月获得利润元， 由题可得，， 整理得，， ， 当时，取得最大值，为元， ， 答：当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是元 【变式1】某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售．已知每盒咸鸭蛋进价为30元，售价为x元，每星期可卖出(250-5x)盒，当x=___时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大． 【答案】40 【分析】本题考查二次函数的应用，利润函数为二次函数，通过求顶点坐标得到最大值． 【详解】解：设利润为P，则． 由于二次项系数为负， 所以，抛物线开口向下，顶点处取得最大值．顶点横坐标． 故答案为：40． 【变式2】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于．经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，它的图像如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)记商场销售该服装获得的利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数关系式； (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 【答案】(1)， (2) (3)销售单价定为90元时，商场可获得最大利润 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设与的函数关系式为，然后由图像可把点代入进行求解即可； （2）根据（2）及利润=单个利润×总的销售量即可求解； （3）由（2）结合二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，由题意， 得，解得， 与的函数关系式为， 成本为60元，获利不超， ； （2）解：由题意，得： ； （3）解：由（2），得， ， 二次函数图像开口向下，对称轴为直线， 当时，有最大值900， 答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润． 【变式3】2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼在省内各地开展．某体育用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（）．调查发现，线上的销售量为件；线下的销售量件与售价元/件满足一次函数关系，部分数据如下表： （元/件） 120 130 140 150 160 （件） 1200 1100 1000 900 800 (1)求与的函数关系式； (2)求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等； (3)求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值． 【答案】(1) (2)100元或180元 (3)100元 【详解】（1）设与的函数关系式为， , 解得 即与的函数关系式是． （2）由题意可得 ． 解得：． 答：当售价为每件100元或180元时，线上的销售量与线下的销售量相等． （3）设线上和线下销售量的和为件， 则 ∴当时，取得最大值为2800． 答：当售价为每件100元时，线上和线下销售量的和最大． 【变式4】某公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为：，且其日销售量y（）与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 40 日销售量y（） 118 114 108 100 80 40 (1)求出y与t之间的函数关系式． (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润（）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)第10天利润最大，最大利润为1250元 (3) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设第天的销售利润为w元，分两种情况，分别求出二次函数解析式，求最值即可； （3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元，求出二次函数解析式，根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，与成一次函数关系， 设， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：设第天的销售利润为w元，则 ①当时， ； ∴当时，最大值为1250； ②当时， ， ∵对称轴为， ∴在对称轴左侧随增大而减小， ∴时，最大值； ∵， 故第10天利润最大，最大利润为1250元； （3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元． 由题意 ， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大， ∴，解得， 又∵， ∴． 题型5. 投球问题 【例1】掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范图，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（米）与飞行的水平距离x（米）之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为（  ） A． B．3 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是正确理解题意，根据题意把代入解析式即可求解 【详解】解：由题意，当时，则， 解得（舍去），． 故选：D． 【例2】掷实心球是中考体育考试的项目．如图是一男生所掷实心球的行进路线（抛物线的一部分）的高度与水平距离之间的函数图象，且掷出时起点处高度为2m，当到起点的水平距离为4m时，实心球行进至最高点，此时实心球与地面的距离为3m． (1)求抛物线的函数解析式； (2)在该市的评分标准中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10m时，即可得满分，试判断该男生在此项考试中能否得满分，并说明理由（参考数据：）． 【答案】(1) (2)能得满分，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能利用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）依据题意，设抛物线解析式为，又将点代入得，，进而求出，从而可以得解； （2）依据题意，结合（1）所得解析式，令，则，从而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为， 又将点代入得，， ． ； （2）解：由（1），令，则． 解得：或（舍． ， ． 实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分， 该男生在此项考试中能得满分． 【变式1】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，他推出铅球的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，函数中自变量与函数表达的实际意义；令，计算求解即可求出结果． 【详解】解：令 即 解得：（舍去） ∴推出铅球的距离为； 故选：C． 【变式2】某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是__． 【答案】0.8 【分析】本题考查二次函数的应用，设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为，用待定系数法求出，根据二次函数的图象和性质即可得出答案． 【详解】解：设飞行的高度与足球飞行的时间之间的二次函数关系为， 将，代入，得 ， 解得， ， ∴， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线 足球到达最高点所需的时间是． 故答案为：0.8． 【变式3】如图，一名篮球运动员在距离篮球框中心A点（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为时，篮球达到最大高度B点处，且最大高度为，以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面．    (1)求该篮球的运行路线（抛物线）的表达式； (2)求出篮球在该运动员出手时的高度． 【答案】(1) (2)篮球在该运动员出手时的高度是2.25米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意设出抛物线的解析式为：，将点A的坐标代入，即可求出解析式； （2）将点C的横坐标代入，即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得：，，点C的横坐标为， 设抛物线的表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， ∴篮球在该运动员出手时的高度是2.25米． 【变式4】跳水运动员在米跳台训练中，身体（可看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳台米，跳台距水面的高度米，在距起跳点水平距离1米时运动员达到最大高度米．以水面所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)当时，求该抛物线的解析式． (2)在（1）的条件下，①求入水点的坐标． ②正常情况下，运动员在距水面高度5米之前必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则会出现失误．若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距离起跳点的水平距离为3.5米，请判断该运动员本次训练是否会失误，并说明理由． (3)图中米，米，若运动员在区域内（含点，）入水时才能达到训练要求，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①入水点的坐标；②会失误，理由见解析 (3) 【分析】（1）由题意，设抛物线的解析式为，因为抛物线过点，即可求得，得到抛物线解析式； （2）①中，令，即可求出入水点的坐标；②对于，当时，，可以判定本次训练会失误； （3）设抛物线的解析式为，因为抛物线过点，解得，即抛物线的解析式为，由运动员在区域内（含点，）入水时才能达到训练要求，即当时，，当时，，可以求出的取值范围． 【详解】（1）解：由题意，，，在距起跳点水平距离1米时运动员达到最大高度米，， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得，， ； （2）①，令，则， 解得，（舍去）或 入水点的坐标为； ②会失误，理由如下： 对于， 当时，， 本次训练会失误； （3）由题意，可设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得，， ； 运动员在区域内（含点，）入水时才能达到训练要求， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 则的取值范围为． 题型6. 喷水问题 【例1】2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)水流不会碰到这棵景观树，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的解析式，再与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：水流运行轨迹的最高点的坐标为，过点， 设水流运行轨迹的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流运行轨迹的函数解析式为； （2）解：水流不会碰到这棵景观树，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵景观树． 【变式1】小北在公园进行摄影学习，发现某广场有一喷水池所喷出的水流形状像一条抛物线，他将其拍下来，发现水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系满足，当水流喷出的高度为时，喷出水流的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；将代入抛物线方程，得到关于x的一元二次方程，求解后得到两个解，但水平距离不能为负，因此舍去负值解，选择正值解，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可把代入得：， 解得：（负根舍去）； 故选C． 【变式2】如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头A向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是________．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流喷出的最大高度是， 故答案为：． 【变式3】某消防中队进行技能比赛，在一栋废弃高楼的10米高处的点和正上方的点处设置了火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点处，水流恰好到达点处，且水流的最大高度为．待处火熄灭后，消防员退到点处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点处，已知点到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的表达式． (2)若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求，两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）设水流所在抛物线的表达式为，把代入求出a的值即可； （2）设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，把点代入求出c的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第一次灭火时水流最高点的坐标为 设水流所在抛物线的表达式为． 点在抛物线上， ， 解得， 消防员第一次灭火时水流所在抛物线的表达式为． （2）解：两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为 可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为． 该抛物线过点， ， 解得， ． 令，则， ． ， ． 答：两点之间的距离为． 【变式4】某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下，把水池的直径扩大到米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【答案】(1)水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为； (2)为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内； (3)扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数（第一象限部分）的顶点式，代入点，求出值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为，代入点可求出值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵如图所示，可知第一象限的顶点坐标为，经过， ∴设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． （2）∵当时，代入得：， ， ， ， ， ∴解得：，(舍)． ∴为了不被淋湿，身高米的王师傅站立时必须在离水池中心米以内． （3）设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． ∵改造前，当时，， 又∵喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合， ∴． ∵改造前后喷出水柱形状不变， ∴，即． ∵水池的直径扩大到米， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）与轴交于， 将代入得： ， ， ， ， 即． ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 题型7. 增长率问题 【例1】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 【变式1】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 【变式2】某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元．设每月的平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式为_______ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用．由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元，依题意得，． 【详解】解：由题意知，二月份的营业额万元，三月份的营业额万元， 依题意得，， 故答案为：． 【变式3】为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．该药品的原价是元，第一次降价后是元，第二次降价后是元，据此解答即可． 【详解】解：根据题意， 故答案为：． 【变式4】某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 题型8. 其他问题 【例1】图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽为，碗的最大深度为，碗底高为． (1)以F为原点，直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体抛物线对应的函数表达式； (2)将碗中盛汤，当汤的深度为时，求汤面的直径长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用： （1）由题意可得顶点的坐标为，点的坐标为，设抛物线对应的函数表达式为，将点代入抛物线对应的函数表达式，即可求解； （2）把代入（1）解析式可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 由题意得：顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线对应的函数表达式为， 将点代入抛物线对应的函数表达式得：， 解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为：； （2）解：将碗中盛汤，当汤的深度为时，即， ，解得：， ∴， 即汤面的直径长为． 【变式1】一辆电动车（如图所示）在公路上匀速行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶需要的时间为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得， 整理，得， 解得（不符合题意，舍去），或， 所以行驶需要的时间为． 【变式2】“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度（m）与飞行时间（s）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为______． 【答案】 6s 【分析】本题考查了二次函数的应用，令升空高度，代入关系式得到关于t的一元二次方程，解方程求，即可求解． 【详解】解：由题意，令，得 ， 整理得， 解得． 故答案为． 【变式3】多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动，在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似的看成抛物线，阳光体育活动时间，小李和小王分别站在﹑两点进行摇绳，两位同学的摇绳点﹑高度一致，其他小伙伴参与跳绳，已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点与地面刚好接触时，以点为坐标原点，地面 为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求此时抛物线的表达式； (2)若参与跳绳的同学站在点处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？ 【答案】(1) (2)该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意可得：抛物线的顶点E为，从而可设抛物线为，又抛物线过点，将其代入求得a的值即可解答； （2）依据题意可得：点F的横坐标为，从而点G的横坐标为，将代入（1）中的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线的顶点E为，， ∴可设抛物线为． 又∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线为． （2）解：如图：过F作轴交抛物线于G， 由题意可知，点F的横坐标为，则点G的横坐标为， ∴点G的纵坐标为 ∴该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过． 【变式4】如图，成熟麦穗的形状可以看成抛物线的一部分．如图，将麦秆所在直线作为轴，以水平地面上的一条直线作为轴，建立平面直角坐标系．已知：抛物线（点与点之间的部分），是常数，抛物线的顶点距离轴的水平距离是，点到轴的距离是． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出这个抛物线的顶点坐标，再根据抛物线的顶点的横坐标为1可得的值，代入计算即可； （2）先求出点的坐标，再代入计算即可． 【详解】（1）解：将化成顶点式为， ∴这个抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点距离轴的水平距离是，且， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：∵点到轴的距离是，且， ∴， 将点代入得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 巩固练习 1．（2026·甘肃陇南·一模）伞是生活中常见的一种工具，其撑开后的形状近似抛物线．如图所示，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨的交点为原点建立平面直角坐标系，为抛物线与轴的交点，点在抛物线上，关于轴对称．已知抛物线的表达式为，若点到轴的距离是，则两点之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意并结合二次函数对称性，将代入解析式中求出横坐标，即可解题． 【详解】解：点到轴的距离是，关于轴对称． 当时，有， 解得， 两点之间的距离． 2．（25-26九年级上·浙江金华·期末）金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东威海·期末）酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性（单位：U）与温度（单位：）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，函数开口向下时，顶点处取得最大值，利用顶点公式求解． 【详解】解：由函数可得，， 顶点横坐标为， 故当温度为时，活性最高，催化反应最快． 故答案为：． 4．（2026·陕西西安·一模）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2)小明在这次投掷中得到了满分， 理由如下： 当时，则， 解得或（舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分． 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，把关系式设为顶点式，再代入即可求出对应的关系式； （2）把代入，即可求出x的值，再与比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得 解得， ∴ 抛物线的关系式为； （2）略 5．（25-26九年级上·广东汕尾·期末）综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． (1)方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． (2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 【答案】(1)，； (2)，当时，矩形实践基地的面积最大，最大为 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据篱笆的长度直接计算即可； （2）根据二次函数的性质进行解题． 【详解】（1）解：∵篱笆的长度为， ∴， ； 故答案为：，； （2）解：， 设矩形实践基地的面积为， 由题意，得， 当时，有最大值， 即当时，矩形实践基地的面积最大，最大为. 6．（25-26九年级上·江西宜春·期末）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处（米）弹跳到人梯顶端B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点． (1)若将其身体（看成一个点）的路线为抛物线的一部分，求抛物线的解析式． (2)在一次表演中，已知人梯高米，演员弹跳到最高点处后落到人梯上，为了这次表演成功，一人梯离起跳点A的水平距离是多少米？请说明理由． 【答案】(1) (2)4米，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的应用，求二次函数的解析式． （1）先利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把代入（1）中解析式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设抛物线的解析式为：， ∵， ∴把代入中得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：： （2）解：点A的水平距离是4米，理由如下： 把代入得： ， 解得：（舍去）， ∵点B在对称轴的右侧， ∴人梯到起跳点A的水平最远距离是4米时，这次表演是成功的． 7．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图1，玻璃杯的杯壁轮廓线可以近似地看成某抛物线的一部分，杯口直径，杯底直径，且，以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系（如图2），此时点与轴的距离为，杯底杯壁厚度忽略不计． (1)求抛物线解析式； (2)当倒满水时，求水的深度（与之间的距离）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）设抛物线的解析式为，代入，即可求解． （2）依题意，的横坐标为，将代入解析式，得出的纵坐标，进而根据点与轴的距离为，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，设抛物线的解析式为， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：依题意，的横坐标为 当时， 又∵点与轴的距离为， ∴之间的距离为． ∴当倒满水时，水的深度为． 8．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻功”．如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球，是特色的民俗节目．某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点离开后，在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)若观众区边缘点与原点的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能抛到观众区，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，求出抛物线与轴正半轴的交点横坐标，再与10比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：不能抛到观众区，理由如下： 令，则， 解得，， ∵， ∴， ∵观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米， ∴不能抛到观众区． 9．（25-26九年级上·浙江台州·期末）经观察，白鲸的喷水形状近似看作一条二次项系数为的抛物线，如图，当白鲸在水池边缘O处表演喷水时，以O为原点建立平面直角坐标系，观众席段解析式为：，测得抛物线水柱在观众席的落点处C的横坐标为2，试求白鲸在O点处喷水产生的抛物线解析式． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意求出点的坐标，进而求解． 【详解】解：将代入， 则， ∴， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴该抛物线解析式为． 10．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 11．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 12．（2026·广东东莞·三模）如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉．已知中间主跨地面宽度为35米，实际结构可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形．某测量小组测得为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E，测得E点处对应的高度（即点E上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线顶点到地面的距离）．（精确到） 【答案】主跨的高度约为． 【分析】以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得，，设该抛物线的表达式为，求出抛物线的解析式即可解答． 【详解】解：以线段所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示． ， ，， ，． 设该抛物线的表达式为， 将，代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为． 当时，． 答：主跨的高度约为． 13．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同步甩动绳子．当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．下图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距．现在以两人的站立点所在的直线为轴，过小明拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式． (1)求绳子所对应的抛物线的解析式． (2)身高为的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由． (3)身高为的小红站在绳子的下方，设她距离小明拿绳子的手为，为保证绳子甩到最高处时过她的头顶，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)绳子不能过他的头顶，理由见详解 (3) 【分析】（1）由题意可知抛物线经过点，建立方程组即可解答； （2）先理解题意，分析身高为的君君站在绳子的正下方，再把代入抛物线计算，即可作答． （3）令，求出，再结合二次函数的图象性质，求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意，抛物线经过点， 解得， ∴绳子所对应的抛物线的解析式为； （2）解：身高为的君君站在绳子的正下方，绳子不能过他的头顶．理由如下： 由（1）得抛物线的解析式为， 对称轴为直线， ∵身高为的君君站在绳子的正下方， ∴把代入，得， ∵， ∴绳子不能过他的头顶． （3）解：由（1）得抛物线的解析式为， 依题意，当时， 解得或， ∵函数的， ∴函数的开口方向向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ． 14．（25-26九年级下·湖北宜昌·期中）为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作水电站的模型，模型包含多个水轮发电机等组件，如图，制作一个水轮发电机需配备个铜线圈、组叶片和若干其他基础配件．已知购买一个铜线圈需元，购买一组叶片需元（其它基础配件库存充足，无需购买）． (1)现有经费元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作多少个水轮发电机？ (2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行．兴趣小组测试时发现：若同时工作的发电机不超过个，每个发电机发电功率为每秒焦耳；若超过个，每增加个发电机同时工作，每个发电机的功率每秒将减少焦耳．（总发电功率工作的发电机个数每个发电机的功率） 设同时工作的发电机有个，当时，求总发电功率（单位：焦耳秒）关于的函数关系式； 在（）的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？ 【答案】(1)； (2) ； ． 【分析】设兴趣小组最多能制作个水轮发电机，根据题意，得，然后解不等式即可； 当时，每个发电机每秒的发电功率，则； 分为当时和当时两种情况，然后通过二次函数的性质分别求出的最大值，再比较即可． 【详解】（1）解：设兴趣小组最多能制作个水轮发电机，根据题意，得， 解得， ∴兴趣小组最多能制作个水轮发电机； （2）解：当时，每个发电机每秒的发电功率， ∴； 当时，， ∵，， ∴时，总发电功率最大值：（焦耳秒）， 当时，最大总发电功率（焦耳秒）， ∵， ∴模型的总发电功率最大是每秒焦耳． 15．（2026·河南郑州·二模）塑料大棚是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟．农户老张准备靠墙建造一个塑料大棚种植蔬菜，如图，蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分，以墙所在的直线为轴，以水平地面所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，若离轴水平距离为2米时塑料大棚最高为3米，且点距离地面2米． (1)求此抛物线的解析式； (2)为加固大棚，老张准备在距离地面米处加装多组钢架，如图，钢架两个端点均在抛物线上，求钢架的长； (3)为更好地种植蔬菜，老张准备将点上移米，但整个大棚的形状不变，施工完成后，在大棚内设置多组平行的吊架，吊架底端平行于地面，在吊架上安装补光灯，增强蔬菜的光合作用．已知吊架底端的长度为2米，吊架底端两个端点到大棚的水平距离等于米，且到地面的距离均为3米，求的值． 【答案】(1) (2)钢架的长为米 (3) 【分析】（1）设顶点式，再将点代入解析式，求出的值，即可确定抛物线的解析式； （2）将代入已求出的抛物线解析式，解出对应的两个值，这两个值就是点和点的横坐标，最后计算两横坐标之差的绝对值，即为钢架的长度； （3）先根据“大棚形状不变”设出上移后的抛物线解析式，再令吊架高度，求出此时大棚在该高度的水平宽度；接着结合吊架长度和两端水平距离的条件，得到水平宽度为3米；最后通过列方程求解m的值． 【详解】（1）解：根据题意可设二次函数的解析式为：， 将代入得，， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， 解得， （米）， ∴钢架的长为米； （3）解：设上移后的抛物线的解析式为：， 由题意可知，吊架底端两个端点到地面的距离均为3米，令， 解得， 即此时大棚在该高度的水平宽度为米， ∵吊架底端的长度为2米，吊架底端两个端点到大棚的水平距离等于米， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $第二十六章二次函数 04讲实际问题与二次函数 >题型归纳 【知识点1利用二次函数解决实际问题： …1】 【题型1.图形面积问题… 2】 【题型2.动态几何问题 4】 【题型3.拱桥问题… 6】 【题型4.销售问题… 9】 【题型5.投球问题 11】 【题型6.喷水问题… …13】 【题型7.增长率问题… 16】 【题型8.其他问题… …17】 【巩固练习… …19】 知识清单 知识点1利用二次函数解决实际问题 1.一般步骤 (1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；（④）解答实际问题：(5)验证结果是否符合实际 2.求二次函数最值 将解析式写成y=a(x-h)+(a0)的形式，当x=h时，y有最大（小）值k; 对二次函数+bx+c使用配方法，则当x=-时，y有最大（小）值c 2a a 1/27 >题型专练 题型1。图形面积问题 【例1】用一段20米长的铁丝在平地上围成一个一边靠墙的长方形，墙长足够长.设长方 形与墙垂直的一边长为x米，与墙平行的边留了一个1米的门，长方形的面积为y平方米， 则y与x的函数关系式为() A.y=-2x2+21x B.y=x2-20x C.y=-x2+20x D.y=2x2-21x 【例2】如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m),用79m长的篱笆围成一个矩形场地， 并且与墙平行的边留有1m宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设AB=xm,矩形ABCD 的面积为ym2. 墙 (1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围： (2)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 【变式1】如图，用一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形ABCD菜园，中间用篱笆EF 隔开，EF II AB,墙长12m.设AB=xm,矩形ABCD的面积为ym2,则y关于x的函数关系 式是，x的取值范围是 12m E 2/27 【变式2】有一根长为40cm的铁丝，把它弯成一个矩形框.当矩形框的长、宽各是多少时， 矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【变式3】一个菱形风筝的两条对角线的长之和为100cm.其对角线的长发生变化时，菱形 的面积也发生变化.在这个变化过程中，其中一条对角线的长为xcm. (1)写出菱形的面积y(单位：cm2)关于x(单位：cm)的函数表达式，并写出自变量x的 取值范围. (2)当x=20时，求y的函数值. 【变式4】根据以下素材，探索完成任务. 探索设计停车场 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车 D 场，其布局如图所示，空地四周围墙，入口与 背景 18 出口通道位置如右图所示.已知AB=18m, 壁 出▣ BC=32m. 77777777777777777C 社区工作者设计了四列阴影部分为停车位，按 A 照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都 方案 相同，即GH=2BE=2DF,且停车位的宽度 G H 出▣ 不小于4.8m,其余部分是等宽的通道. B C 3/27 (1)任务1：①设停车位的宽度为xm,通道的宽度为ym,求y与x之间的函数关系式； ②若停车位总面积为180m2,请计算停车位的宽度是否符合标准. (2)任务2：若通道的宽度要求不小于4m,当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并 求出最大停车位总面积. 题型2，动态几何问题 【例1】如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿 线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点 B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止.设点P的运动时间是x(S)时，△APQ的面积 是y(cm),则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是() D A. 34 c.O134 D.O134 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm,BC=4cm,点P从点A出发， 以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动，当点Q 到达C时，P、Q两点同时停止运动，则△PBQ的最大面积是 4/27 0 【变式2】如图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从点A开始沿AB边向 点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如 果P、Q分别从A、B同时出发， P (1)经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？ (2)在运动过程中，△PBQ的面积能否等于矩形ABCD的面积的四分之一？若能，求出运动时 间；若不能，说明理由。 (3)在移动过程中，△PBQ的最大面积是多少？ 【变式3】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8Cm,BC=6cm,点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当 点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动. (1)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么△PBQ的面积S随时间t的变化而变化，请写出 S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时△PBQ的面积等于15cm2? 5/27 【变式4】如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC 与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动， 最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y(平方厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式 B H A 题型3.拱桥问题 【例1】如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m,己知桥洞的拱形 是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线 解析式是y=-号(x-6)+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线项点坐标是一· 4m A-12m B不 【例2】3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会.学校为学生们搭建了一 个拱形的“理想门”，其形状为抛物线.已知拱门的底部宽度为6米（即OA=6米），最高点 B距地面4.5米.如图所示，以0为原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. B Ay/m D FOx/m (1)求抛物线的表达式： (2)拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”.若彩带CE、DF 的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 6/27 【变式1】如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y=一x,当水面离桥顶的高 度为空米时，水面的宽度为（） A.8米 B.9米 C.10米 D.11米 【变式2】如图，一辆宽为2m的货车要通过跨度为8m、拱高为4m的单行抛物线形隧道 (从正中通过)，抛物线满足表达式y=一2+4，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少 要有0.6m的距离，则货车的限高应是 m 12 【变式3】如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2时，水面宽4.当水面下降1m 时，水面宽度增加多少？ 2m 4m (1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案 (2)依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为 ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为 (根据需要的个数填写即可) (3)直接写出：当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ 7/27 【变式4】“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢跳北楼》，生动描 绘了小桥倒映水中的美景.已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A,B的距离 为8米，桥拱最高点C到水面的距离为2.4米.如图，以水面AB为x轴，AB的垂直平分线 为y轴，建立平面直角坐标系， (1)求该抛物线的函数表达式： (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为DE.若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小 忽略不计)，当灯饰C与其水中倒影C之间的距离CC'与水面宽度DE比为1：2时，形成的景 色最美，求此时水面的宽度， 【变式5】某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的项棚由两段抛物 线：L1,2组成，立柱DE,AO,BC均与地面EC垂直，垂足分别为E,O,C,且DE=A0=BC=月 米，OC=6米，抛物线L1的最高点与地面EC的距离为3米，点B,D分别在抛物线L1,L2上， 抛物线L1和抛物线L2关于AO所在直线对称.以O为坐标原点，EC所在直线为x轴，OA所在直 线为y轴建立平面直角坐标系. (1)求抛物线L1的函数表达式： (2)如图，现要在抛物线L2的下方安装一个矩形广告牌MNPQ（点M在点Q的左侧)，MQIx 轴，且点M到地面EC的距离为米，到抛物线L2的竖直距离为米，QP与OA之间的距离为2 米，求MQ的长. 8/27 题型4.销售问题 【例1】某商店销售一种商品，每件成本为50元，售价为x元，每天可销售(100一x)件， 每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为() A.y=(x-50)(100-x) B.y=x(100-x) C.y=(x+50)(100-x) D.y=100x-50(100-x) 【例2】某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元.市场调查 发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个.设 每个双肩包涨价x元(x为正整数)，每月的销售量为y个. (1)直接写出y与x的函数关系式： (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【变式1】某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售.己知每盒咸鸭蛋进价为30元，售价为x 元，每星期可卖出(250-5x)盒，当x=时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大 【变式2】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单 价，且获利不得高于60%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数， 它的图像如图所示 (件) 55 45 6575 (元) (1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围： (2)记商场销售该服装获得的利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的函数关系式： (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 9/27 【变式3】2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如茶在省内各地开展.某体育 用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件 (80≤x≤190).调查发现，线上的销售量为-2(x-120)2+1500件：线下的销售量y 件与售价x元/件满足一次函数关系，部分数据如下表： x(元/件) 120 130 140 150 160 y(件) 1200 1100 1000 900 800 (1)求y与x的函数关系式： (2)求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等： (3)求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值. 【变式4】某公司购进某种水果的成本为20元/kg,经过市场调研发现，这种水果在未来 48天的销售单价p（元/kg)与时间t(天)之间的函数关系式为：p= +30(1≤t≤24，t为整数) 且其日销售量y(kg)与时间t（天)的关系如下表： t+48(25≤t≤48，t为整数) 时间t(天) 3 6 10 20 40 日销售量y(kg) 118 114 108 100 80 40 (1)求出y与t之间的函数关系式. (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润(n<9)给“精准扶 贫”对象.现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求 n的取值范围. 10/27 题型5.投球问题 【例1】掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范图，小明发现实 心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（米)与飞行的水平 距离x(米)之间具有函数关系y=一立2+号x+则小明这次实心球训练的成绩为（) 1 A. B.3 C.8 D.10 【例2】掷实心球是中考体育考试的项目.如图是一男生所掷实心球的行进路线（抛物线的 一部分)的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象，且掷出时起点处高度为2m,当到 起点的水平距离为4m时，实心球行进至最高点，此时实心球与地面的距离为3m. 3 (1)求抛物线的函数解析式： (2)在该市的评分标准中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10m时，即可得满分， 试判断该男生在此项考试中能否得满分，并说明理由（参考数据：√3≈1.73） 11/27 【变式1】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m) 之间的关系是y=-立x2+号x+3他推出铅球的距离为（) A.2m B.3m C.10m D.12m 【变式2】某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足 球飞行的高度h(单位：m)与足球飞行的时间t(单位：s)之间具有二次函数关系，其部 分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是$ ◆h(m) 2.75 0.5 1.1 t(s) 【变式3】如图，一名篮球运动员在距离篮球框中心A点4m(水平距离)远处跳起投篮， 篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球 达到最大高度B点处，且最大高度为3.5m,以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的 直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面3.05m. y 3.5B 3.05 ←2.5m- -4m -2.5 1.5 (1)求该篮球的运行路线（抛物线）的表达式： (2)求出篮球在该运动员出手时的高度. 12/27 【变式4】跳水运动员在10米跳台训练中，身体（可看成一点）在空中的运动路线是如图 所示的一条抛物线.己知跳台AB=6米，跳台距水面的高度BC=10米，在距起跳点A水平 距离1米时运动员达到最大高度米.以水面所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平 面直角坐标系xOy. B 跳台 跳 10米 台 支 柱 EF衣 (1)当m=11时，求该抛物线的解析式。 (2)在(1)的条件下，①求入水点的坐标 ②正常情况下，运动员在距水面高度5米之前必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好 入水姿势，否则会出现失误.若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距离起跳点A的水平 距离为3.5米，请判断该运动员本次训练是否会失误，并说明理由 (3)图中CE=10米，CF=12米，若运动员在区域EF内（含点E,F)入水时才能达到训练 要求，求m的取值范围. 题型6。喷水问题 【例1】2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一 台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线，如图，喷水装置置于 平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为1.2米，当喷射出 的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米. 6 10 13/27 (1)求水流运行轨迹的函数解析式： (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入A科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这 棵景观树？请通过计算说明. 【变式1】小北在公园进行摄影学习，发现某广场有一喷水池所喷出的水流形状像一条抛物 线，他将其拍下来，发现水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系满足y=-x2+ 2x+,当水流喷出的高度为m时，喷出水流的水平距离为() A.(4-2W⑤mB.(4-2V3m c.(4+2W5mD.(4+23m 【变式2】如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置0A,喷头A向外喷 水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出 的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+(x>0),则水流喷出的最大 高度是 m. ◆y/m x/m 【变式3】某消防中队进行技能比赛，在一栋废弃高楼的10米高处的点A和正上方的点B 处设置了火源.消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与 地面的距离忽略不计)，第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且 水流的最大高度为12.5m.待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火， 使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为10，假设两次灭火时水流的最高点 到高楼的水平距离均为2.5m.建立如图所示的平面直角坐标系. 14/27 ◆y/m 10a 02.5 CD (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的表达式. (2)若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求A,B两点之间的距离. 【变式4】某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出 的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好 在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角 坐标系 9-8-765-4-3-2-0123456789主 (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式： (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅 站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下， 把水池的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变） 处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度 15/27 题型7.增长率问题 【例1】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价 若干进入国家医保用药目录.如果每次降价的百分率都是x,则两次降价后的价格y(元) 与每次降价的百分率x之间的函数关系式是() A.y=300(1-x) B.y=300(1-x)2 C.y=300(1+x)2 D.y=300(1-x2) 【变式1】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放α个垃圾桶，计划第三 个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x,那么 y与x的函数关系是() A.y=a(1+x)2 B.y=a(1-x)2 C.y=(1+x)2+a D.y=x2+a 【变式2】某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元.设每月的平均增 长率为x,则y与x之间的函数表达式为 【变式3】为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价.若 设平均每次降价的百分率为x,该药品的原价是100元，降价后的价格是y元，则y与x的 函数关系式为一 【变式4】某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件. (1)第二、三天该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，第二、三天的销 售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件. ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的10%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费 每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 16/27 题型8.其他问题 【例1】图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计)，碗口 宽CD为12cm,碗的最大深度EG为8cm,碗底高EF为1cm D G A 图1 图2 (1)以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体抛物线对应 的函数表达式： (2)将碗中盛汤，当汤的深度ET为6cm时，求汤面的直径PQ长， 【变式1】一辆电动车（如图所示）在公路上匀速行驶，它行驶的路程s(m)和时间t)之 间的关系式为s=t2+35t,那么行驶36km需要的时间为() A.1h B.3h C.2h D.3h 【变式2】“科教兴国，强国有我”.某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭"升空实 验，已知“箭"的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足的关系为h=-t2+12t+1.当“水 火箭"的升空高度为37m时，此时的飞行时间为 【变式3】多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动，在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可 以近似的看成抛物线，阳光体育活动时间，小李和小王分别站在A、B两点进行摇绳，两位 17/27 同学的摇绳点C、D高度一致，其他小伙伴参与跳绳，已知AB=6米，AC=1.2米.当大绳 所在平面与地面垂直，且大绳的最低点E与地面刚好接触时，以点A为坐标原点，地面AB为 x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系， C (1)求此时抛物线的表达式： (2)若参与跳绳的同学站在点F处，EF=2米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳 过多少米，才能让绳安全通过？ 【变式4】如图1，成熟麦穗的形状可以看成抛物线的一部分.如图2，将麦秆所在直线作 为y轴，以水平地面上的一条直线作为x轴，建立平面直角坐标系.己知：抛物线（点A与点 B之间的部分)y=-x2+bx+b+1(0≤x≤m),m是常数，抛物线的顶点距离y轴的水平 距离是1dnm,点B到x轴的距离是dm 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)求m的值. 18/27 >巩固练习 1.（2026甘肃陇南.一模)伞是生活中常见的一种工具，其撑开后的形状近似抛物线.如图 所示，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA,OB的交点O为原点建立平面直角坐标系，C为抛 物线与y轴的交点，点A,B在抛物线上，OA,OB关于y轴对称.已知抛物线的表达式为y= 0.2x2+1,若点A到x轴的距离是0.6dm,则A,B两点之间的距离是() A.v2dm B.2dm C.2v2dm D.4dm 2.(25-26九年级上浙江金华.期末)金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手， 若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多 售出5斤，设每斤降价x元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为() A.y=(15+x)(30-5x) B.y=(15-x)(30+5x) C.y=(15-x)(30-5x) D.y=(15+x)(30+5x) 3.（25-26九年级上山东威海期末)酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越 高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系.己知某种酶在一定温度范围内， 其活性y(单位：U)与温度x(单位：℃)的关系可以近似用函数y=-x2+25x+1000 表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在 oC. 4.（2026陕西西安.一模)掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到 落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水 平距离的二次函数.已知实心球出手时候的高度是2m,当水平距离是4m时，实心球达到 最大高度3.6m. y/m Ommmmmmmmmim x/m (1)求满足条件的抛物线的关系式： (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版)，在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平 19/27 距离不小于9.6m时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由. 5.(25-26九年级上广东汕尾·期末)综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业.为落实国家《关于全面 加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围 墙不限长)和长度为40m的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地ABCD（如图)，用于开 展青梅育苗与管护实践活动.该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除 围墙外，篱笆仅围AD,DC,BC三边，篱笆无浪费)，请根据方案完成以下探究 围墙 A D C (1)方案一：若限定矩形实践基地的CD边为10m,则矩形实践基地的AD边为m,此时 矩形实践基地的面积为m2. (2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的AD边为xm,则用含x 的代数式表示CD边的长度为m;当AD边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最 大为多少？ 20/27 6.(25-26九年级上·江西宜春.期末)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处(0A=1米) 弹跳到人梯顶端B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点P(,?) y/米 0 x/米 (1)若将其身体（看成一个点）的路线为抛物线的一部分，求抛物线的解析式. (2)在一次表演中，己知人梯高BC=3.4米，演员弹跳到最高点P处后落到人梯上，为了这次 表演成功，一人梯离起跳点A的水平距离0C是多少米？请说明理由. 7.(25-26九年级上浙江绍兴期末)如图1，玻璃杯的杯壁轮廓线AC,BD可以近似地看成某 抛物线的一部分，杯口直径AB=8cm,杯底直径CD=4cm,且ABICD,以抛物线顶点为 原点建立平面直角坐标系xOy(如图2)，此时点D与x轴的距离为2cm,杯底杯壁厚度忽略 不计. B 0 (图1) (图2) (1)求抛物线解析式： (2)当倒满水时，求水的深度(AB与CD之间的距离). 21/27 8.(25-26九年级上.贵州遵义期末)独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻 功”.如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球， 是特色的民俗节目.某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运 动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点A(0,1)离 开后，在点B(4,3)处达到最高. 观众区 (图1) (图2) (1)求抛物线的解析式： (2)若观众区边缘点P与原点0的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由. 9.(25-26九年级上浙江台州期末)经观察，白鲸的喷水形状近似看作一条二次项系数为- 的抛物线，如图，当白鲸在水池边缘O处表演喷水时，以O为原点建立平面直角坐标系， 观众席AB段解析式为：y=x-(1≤x≤41)，测得抛物线水柱在观众席的落点处C的横 坐标为2，试求白鲸在O点处喷水产生的抛物线解析式. B 观众席 22/27 10.(2025陕西中考真题)某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示， 桥L,钢缆L1,L2均呈抛物线型，线段BC为桥面，线段0A为立柱，OA1BC,OA=2m,L1,L2 关于OA所在直线对称.L1的最低点到BC的距离为m,到0A的距离为2m.以0为原点，以 BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系、 M, L2 (1)求L1所在抛物线的函数表达式： (2)现要悬挂两条灯带M1N1,M2N2来增加夜景效果，M1N1,M2N2均与BC垂直，点M1,M2分别 在L1,L2上，点N1,N2在L上，点M1,M2到0A的距离均为3m.已知L所在抛物线的函数表达 式为y=一，求这两条灯带的总长. 11.(2025江苏盐城中考真题)[生活观察]小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一 个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图(1)、(2) 所示 扣杀球近似路线 网前吊球近似路线 图(1) 图(2) 图(3) [数学建模]小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线.羽毛 球运动轨迹的剖面图如图(3)所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的 距离A0=2.4m,球网上端点B到地面的距离BC=1.55m,人与球网之间的距离0C=1.6m, 假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D,网前吊球和扣杀球的落点分别为点E、 23/27 F. (1)请在图(3)中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式 [模型应用] (2)网前吊球的落点到球网的距离CE的长是 m. (3)甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36ms.网前吊球时，羽毛球下降 的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h=5t2.乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲 击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s.请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球. 12.(2026广东东莞·三模)如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式 巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉.已知中间主跨地面宽度AB为35米，实际结构 可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形ABCD.某测量小组测得AD 为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E,测得E点处对应的高度EF(即 点E上方到抛物线轮廓的竖直距离)为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线 顶点到地面的距离).（精确到0.1m) D--- AE 图1 图2 24/27 13.(2026新疆乌鲁木齐.三模)跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人 同步甩动绳子.当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线.下图是小明和小亮甩绳子 到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m,并且相距4m.现在以 两人的站立点所在的直线为x轴，过小明拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平 面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式y=-x2+bx+c. 小明2 小亮 12 (1)求绳子所对应的抛物线的解析式. (2)身高为1.6m的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由. (3)身高为1.42m的小红站在绳子的下方，设她距离小明拿绳子的手为dm,为保证绳子甩 到最高处时过她的头顶，直接写出d的取值范围. 14.（25-26九年级下·湖北宜昌·期中)为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作 水电站的模型，模型包含多个水轮发电机等组件，如图，制作一个水轮发电机需配备2个 铜线圈、1组叶片和若干其他基础配件.已知购买一个铜线圈需5元，购买一组叶片需2元 (其它基础配件库存充足，无需购买) 一叶片 内含2个铜线圈 25/27 (1)现有经费240元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作 多少个水轮发电机？ (2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行.兴趣小组测试时发现：若同时 工作的发电机不超过5个，每个发电机发电功率为每秒10焦耳：若超过5个，每增加1个 发电机同时工作，每个发电机的功率每秒将减少0.4焦耳.（总发电功率=工作的发电机个 数×每个发电机的功率) ①设同时工作的发电机有x个，当x>5时，求总发电功率P(单位：焦耳/秒)关于x的函数 关系式： ②在(1)的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？ 15.(2026河南郑州·二模)塑料大棚是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的 种植技术已经十分成熟.农户老张准备靠墙建造一个塑料大棚种植蔬菜，如图，蔬菜塑料大 棚的横截面是由抛物线的一部分AB,以墙OA所在的直线为y轴，以水平地面所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若离y轴水平距离为2米时塑料大棚最高为3米，且点A距离地 面2米. B (1)求此抛物线的解析式： 26/27 (2)为加固大棚，老张准备在距离地面米处加装多组钢架，如图，钢架CD两个端点均在抛物 线上，求钢架CD的长： (3)为更好地种植蔬菜，老张准备将A点上移米，但整个大棚的形状不变，施工完成后，在 大棚内设置多组平行的吊架，吊架底端平行于地面，在吊架上安装补光灯，增强蔬菜的光合 作用.已知吊架底端的长度为2米，吊架底端两个端点到大棚的水平距离等于0.5米，且到 地面的距离均为3米，求m的值. 27/27第二十六章二次函数 04讲实际问题与二次函数 >题型归纳 【知识点1利用二次函数解决实际问题： …1】 【题型1.图形面积问题… 2】 【题型2.动态几何问题 6】 【题型3.拱桥问题… …11】 【题型4.销售问题… …18】 【题型5.投球问题 23】 【题型6.喷水问题… …29】 【题型7.增长率问题… 34】 【题型8.其他问题… …37】 【巩固练习… …41】 知识清单 知识点1利用二次函数解决实际问题 1.一般步骤 (1)审题意；(2)设未知量；(3)列关系式；（④）解答实际问题：(5)验证结果是否符合实际 2.求二次函数最值 将解析式写成=(x-h)+k(a0)的形式，当=h时，y有最大（小）值k: 对二次函数+bx+c使用配方法，则当x=-时，y有最大（小）值c 2a a 1/57 >题型专练 题型1.图形面积问题 【例1】用一段20米长的铁丝在平地上围成一个一边靠墙的长方形，墙长足够长.设长方 形与墙垂直的一边长为x米，与墙平行的边留了一个1米的门，长方形的面积为y平方米， 则y与x的函数关系式为() A.y=-2x2+21x B.y=x2-20x C.y=-x2+20x D.y=2x2-21x 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意可得与墙平行的边长为20-2x+1=(21 2x)米，进而根据矩形的面积公式即可列出函数关系式. 【详解】解：由题意可得，与墙平行的边长为20-2x+1=(21-2x)米， y=(21-2x)x=-2x2+21x, 故选：A. 【例2】如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m),用79m长的篱笆围成一个矩形场地， 并且与墙平行的边留有1m宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设AB=m,矩形ABCD 的面积为ym2. (1)请求出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 【答案】(1)y=-2x2+40x(1<x≤45) (2)当x=40米时，矩形场地的面积最大，最大值为800平方米 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，正确理解题意是解题关键 (1)由题意得，AD=BC=(79-x+1)=(40-x)m,再利用矩形的面积公式即可求 解 2/57 (2)根据二次函数的性质即可求解。 【详解】(1)解：由题意得，AD=BC=(79-x+1)=(40-x)m, 则y=x(40-刘)=-2+40x 由题意得，1<x≤45， y=-2x2+40x(1<x≤45)： (2)解：“y=-x2+40x=-c-40)2+800, 当x=40米时，矩形场地的面积最大，最大值为800平方米 【变式1】如图，用一段长30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形ABCD菜园，中间用篱笆EF 隔开，EF‖AB,墙长12m.设AB=xm,矩形ABCD的面积为ym2,则y关于x的函数关系 式是 ,x的取值范围是 12m 墙 E B 【答案】 y=-3x2+30x 6≤x<10 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求自变量的取值范围. 用x表示BC的长度，即可得到y与x的函数关系式，根据墙长12m列不等式，可求x的范 围。 【详解】解：由已知得：BC=(30-3x)m, .y=x(30-3x)=-3x2+30x, ,墙长12m, .0<30-3x≤12， 解得6≤x<10, .x的取值范围为6≤x<10: 故答案为：y=-3x2+30x,6≤x<10 【变式2】有一根长为40cm的铁丝，把它弯成一个矩形框.当矩形框的长、宽各是多少时， 矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】 3/57 当矩形框的长和宽均为10cm时，矩形面积最大，最大面积是100cm2 【分析】先利用矩形周长公式，用长表示出宽，再根据面积公式得到面积关于长的二次函数， 最后配方求二次函数的最大值即可，用到矩形周长、面积公式和二次函数的最值性质， 【详解】解：设矩形框的长为xcm,矩形的面积为Scm2,已知铁丝总长为40cm,因此矩形 框的宽为0,2丝=(20-)cm,可得自变量取值范围为0<x<20, 2 根据矩形面积公式得：S=x(20-x)=一x2+20x S=-(x-10)2+100 二次项系数-1<0 ∴当x=10时，S取得最大值100， 此时矩形的宽为20-10=10(cm) 答：当矩形框的长、宽都为10cm时，矩形面积最大，最大面积是100cm2, 【变式3】一个菱形风筝的两条对角线的长之和为100cm.其对角线的长发生变化时，菱形 的面积也发生变化.在这个变化过程中，其中一条对角线的长为xcm. (1)写出菱形的面积y(单位：cm)关于x(单位：cm)的函数表达式，并写出自变量x的 取值范围、 (2)当x=20时，求y的函数值. 【答案】(ay=-+50x,0<x<100 (2)800 【分析】(1)先求出另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式求出函数解析式即可： (2)把x=20代入函数解析式进行求解即可. 【详解】(1)解：由题意，菱形的另一条对角线的长为(100-x)cm, y=x(10-)=-x2+50x,其中0<x<100: (2)解：由(1)知，y=-2+50x, 当x=20时，y=-×202+50×20=80. 【变式4】根据以下素材，探索完成任务. 探索设计停车场 4/57 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车 场，其布局如图所示，空地四周围墙，入口与 背景 墙 出口通道位置如右图所示.己知AB=18m, BC=32m. 出 -C 社区工作者设计了四列阴影部分为停车位，按 照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都 方案 相同，即GH=2BE=2DF,且停车位的宽度 出口 不小于48m,其余部分是等宽的通道. B (1)任务1：①设停车位的宽度为xm,通道的宽度为ym,求y与x之间的函数关系式： ②若停车位总面积为180m2,请计算停车位的宽度是否符合标准. (2)任务2：若通道的宽度要求不小于4m,当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并 求出最大停车位总面积。 【答案】(1)①y=-2x+16: ②符合标准：理由如下： 停车位总面积为180m2, ·.2x(18-y)+2x(18-2y)=180, 将①中y=-2x+16代入，得2x(18+2x-16)+2x(18+4x-32)=180, .x2-2x-15=0, .(x-5)(x+3)=0, x=5或x=-3(舍去) x=5>48, 符合标准。 (2)当停车位的宽度为6m时，停车位的总面积最大为288m2。 【分析】(1)①设停车位的宽度为x,通道的宽度为y,根据图形可知：4x+2y=32,进 而得到y=16-2x,②根据停车位总面积为180m2,列出方程进行求解后，结合停车位的 宽度不小于4.8m进行判断即可： (2)设停车位的总面积为S,面积公式表示出S,配方法求最值即可. 【详解】(1)解：①由题意得：4x+2y=32, y=-2x+16: 5/57 ②略 (2)解：设停车位的总面积为Sm2,由(1)可知：y=16-2x, .S=x(18-y)×2+2x×(18-2y) =x(18-16+2x)×2+2x×(18-32+4x), =12x2-24x =12(x-1)2-12, y=16-2x≥4且x≥48， 4.8≤x≤6， ∴.当x=6时，S最大=12×(6-1)2-12=288， 答：当停车位的宽度为6m时，停车位的总面积最大为288m2. 题型2.动态几何问题 【例1】如图，矩形ABCD中，AB=2AD=4cm,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿 线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点 B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止.设点P的运动时间是x(s)时，△APQ的面积 是y(cm),则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是() D 34 A 34衣 D O 1 34衣 【答案】A 【分析】先理解题意，算出AD=BC=2cm,DC=AB=4m以及点Q在AD,CD,CB线段 6/57 上的时间，然后分别讨论点Q在AD,CD,CB上运动的情况，然后根据面积公式列式，即可求 解。 【详解】解：矩形ABCD中，AB=2AD=4cm, .'.AD BC 2cm,DC=AB 4cm, ,动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发， 以2cm/s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止 ∴.2÷2=1，(2+4)÷2=3，(2+4+2)÷2=4,4÷1=4 ,设点P的运动时间是x(s)时，△APQ的面积是y(cm), .①当点Q在AD上运动时，即0≤x≤1： y=5×AP×A0=x·2x=x2, 这是开口方向向上的二次函数： .②当点Q在CD上运动时，即1<x≤3： y=i×AP X AD=x:2=x 这是一次函数： .③当点Q在CB上运动时，即3<x≤4： y=×AP×BQ=x×(2+4+2-2)=-2+4x, 这是开口方向向下的二次函数： 综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意. 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm,BC=4cm,点P从点A出发， 以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动，当点Q 到达C时，P、Q两点同时停止运动，则△PBQ的最大面积是· 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质 是关键 7/57 依据题意，设动点运动的时间为ts,从而PB=6-)cmBQ=2tcm,故S△PQ=BQ:PB= -t2+3t(0≤t≤2)，再结合二次函数的性质可以判断得解. 【详解】解：根据题意，点P运动的时间为3÷1=3(s),点Q运动的时间为4÷2=2(s), 设动点运动的时间为ts,则0≤t≤2， .PB (3-t)cm,BQ 2tcm, S△P8Q=BQPQ=×2t×(3-t)=-t2+3t, :SaP0=-(t-}+是 ∴当t=时，△PBQ的最大面积为：S△PB0=(cm), 故答案为：cm2 【变式2】如图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P从点A开始沿AB边向 点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如 果P、Q分别从A、B同时出发. B (1)经过几秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米？ (2)在运动过程中，△PBQ的面积能否等于矩形ABCD的面积的四分之一？若能，求出运动时 间若不能，说明理由 (3)在移动过程中，△PBQ的最大面积是多少？ 【答案】(1)经过2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米 (2)不存在，理由见解析 3)△PBQ的最大面积是9 【分析】此题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思， 根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解. (1)设经过t秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米，根据题意得出PB=(6-t)cm,BQ=2tcm, 再根据三角形的面积公式即可求出答案： (2)根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列出方程，求出方程无解，从而得出不存在 8/57 △PBQ的面积等于矩形ABCD的面积的四分之一的情况； (3)设经过t秒时，△PBQ的面积等于S平方厘米，列出二次函数表达式并根据二次函数 性质求出最值即可。 【详解】(1)解：设经过t秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米， ,AB=6厘米，BC=12厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动， .'PB =(6-t)cm,BQ 2tcm, (6-)×2t=8, 解得：t1=2,t2=4 答：经过2秒或4秒时，△PBQ的面积等于8平方厘米： (2)不存在，理由如下： 设经过t秒时，△PBQ的面积能等于矩形ABCD的面积的四分之一，则由题意得： 6-0×2t=×6×12, 整理得：t2-6t+18=0, 4=(-6)2-4×1×18=-36<0, 原方程无解， ∴.不存在△PBQ的面积等于矩形ABCD的面积的四分之一. (3)设经过t秒时，△PBQ的面积为S平方厘米， S=×(6-0×2t=-t2+6t=-(t-3)2+9, a=-1<0, ∴.当t=3时，S取最大值为9， △PBQ的最大面积是9. 【变式3】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=6cm,点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当 点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动. 9/57 (1)如果P,Q分别从A,B同时出发，那么△PBQ的面积S随时间t的变化而变化，请写出 S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时△PBQ的面积等于15cm2? 【答案】(1)S=-t2+8t(0<t≤3) (2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质. (1)利用三角形的面积公式求解即可： (2)把S=15代入(1)的函数解析式求解即可. 【详解】(1)解：由题意AP=tcm,BP=(8-t)cm;BQ=2tcm. ∴S=BP×BQ=(8-t):2t=-+8t, t≤=3， ∴.S关于t的函数解析式为S=-t2+8t(0<t≤3)： (2)解：当S=15时，-t2+8t=15, 整理得t2-8t+15=0,即(t-3)(t-5)=0, 解得t=3或t=5(舍去)， 答：3秒时，△PBQ的面积等于15cm2. 【变式4】如图，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC 与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动， 最终点A与点M重合，求重叠部分的面积y(平方厘米)与时间t(秒)之间的函数关系式. B D 【答案】y=2t2-40t+200 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识.根据△ABC是等腰直角三角 形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：，△ABC是等腰直角三角形，HMBC, ·∠B=∠MHA=45°，∠CAB=45°， ∴.重叠部分△AMH也是等腰直角三角形， 10/57 又，'AN=2t, ,∴.AM=MN-AN=20-2t, ∴.MH=AM=20-2t y=2(20-2)2=22-40t+200. 题型3。拱桥问题 【例1】如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m,己知桥洞的拱形 是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线 解析式是y=-号x-6)+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是 4m 12m B不 【答案】(-6,4) 【详解】解：根据题意，选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=一(x-6)+4, 则选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位， ,原抛物线的顶点为(6,4)， ∴.根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为(-6,4) 【例2】3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会，学校为学生们搭建了一 个拱形的“"理想门”，其形状为抛物线.己知拱门的底部宽度为6米（即0A=6米），最高点 B距地面4.5米.如图所示，以0为原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. B Ay/m F O m (1)求抛物线的表达式： (2)拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”.若彩带CE、DF 的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 【答案】(1y=-(x+3)3+4.5 (2)2W5米 11/57 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： (1)设y=a(x+3)2+4.5,把点A的坐标代入求解即可： (2)把y=2代入(1)中所求表达式求解即可. 【详解】(1)解：由题意得：A(-6,0),B(-3,4.5), 设y=a(x+3)2+4.5, 代入A(-6,0),得9a+4.5=0, a=-》 y=-6x+3)2+4.5 (2)解：当y=2时，-(x+3)2+4.5=2, 解得x1=-3+√5，x2=-3-V5, .EF=-3+V5-(-3-V⑤=2V5, 答：两条彩带之间的水平距离为2√5米. 【变式1】如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y=-x2,当水面离桥顶的高 度为米时，水面的宽度为() A.8米 B.9米 C.10米 D.11米 【答案】C 【分析】令y=一亭解方程即可求出水面的宽度. 【详解】解：根据避意，令y=-兰得： =, 解得：x1=5,x2=-5, 所以水面宽为：x1-x2=5-（-5)=10米. 【变式2】如图，一辆宽为2m的货车要通过跨度为8m、拱高为4m的单行抛物线形隧道 (从正中通过)，抛物线满足表达式y=-x2+4,为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少 12/57 要有0.6m的距离，则货车的限高应是 m. 【答案】3.15 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键.根据题意，先将 x=1代入，求得y=3.75,然后结合车顶离隧道的顶部至少要有0.6m的距离，即可求得答 案。 【详解】解：由题意可知，当x=1时，y=-×1+4=3.75, ,为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.6m的距离， .货车的限高应是3.75-0.6=3.15(m), 故答案为：3.15. 【变式3】如图，是一座抛物线型拱桥，当拱顶离水面2时，水面宽4.当水面下降1m 时，水面宽度增加多少？ 2m 4m (1)根据题意应如何恰当建立平面直角坐标系，请写出你的建系方案 (2)依据你的建系方案： ①设出抛物线解析式为 ②根据题意可知抛物线经过的点的坐标为」 (根据需要的个数填写即可) (3)直接写出：当水面下降1m时，水面宽度增加多少？ 【答案】(1)见解析 (2)①y=ax2+2;②B(2,0) 3)(2V6-4)m 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： 13/57 (1)建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点，O为原 点，即可： (2)①根据题意可得抛物线的顶点坐标为(0,2)，即可求解：②根据题意可得0B=AB= 2m,即可求解： (3)把点B(2,0)代入y=ax2+2,求出抛物线的解析式，再把y=-1代入抛物线的解析式， 即可求解 【详解】(1)解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点 O且通过C点，O为原点， 2m 4m (2)解：①根据题意得：抛物线的顶点坐标为(0,2)， ∴.可设出抛物线解析式为y=ax2+2: 故答案为：y=ax2+2: ②根据题意得：0B-AB-2m, ∴抛物线经过的点B(2,0): 故答案为：B(2,0) (3)解：把点B(2,0)代入y=ax2+2得： 4a+2=0,解得：a=-克 “抛物线的解析式为y=一方2+2， 当y=-1时，-2+2=-1， 解得：x1=V6x2=-V6, ∴.当水面下降1m时，水面宽度为2V6m, ∴.当水面下降1m时，水面宽度增加了(2√6-4)m. 【变式4】“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描 绘了小桥倒映水中的美景.已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A,B的距离 14/57 为8米，桥拱最高点C到水面的距离为2.4米.如图，以水面AB为x轴，AB的垂直平分线 为y轴，建立平面直角坐标系。 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为DE.若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小 忽略不计)，当灯饰C与其水中倒影C之间的距离CC'与水面宽度DE比为1：2时，形成的景 色最美，求此时水面的宽度， 【答案】(y=一易2+号 2号m 【分析】(1)由题意得出点A,B,C的坐标，然后用待定系数法求解即可： (2)设DE=2x,则DF=EF=名，得出纵坐标为：y=-易+号即0F=-2+号 确定CC=2CF=品2，再根据题意得出C'=x建立方程求解即可， 【详解】(1)解：y轴垂直平分AB,AB=8, A(-4,0),B(4,0): 由题意得C(0,2.4), 设该抛物线的函数表达式为y=a(x+4)(x-4)(a≠0)，将(0,2.4)代入， 2.4=-16a, 解得：a=- 20 该抛物线的函数表达式为y= 品c+9x-4=-品+号 （2)解：如图所示： 设DE=2a, 15/57 ..DF=EF=a, ∴点E的横坐标为x, ÷纵坐标为：y=-0a2+号即0F=-动a2+号 201 CF=0c-0F=2.4-(-0a2+号)=0a2, ,灯饰c与其水中倒影C之间的距离CC', .cc=2CF-a. :灯饰C与其水中倒影C之间的距离CC'与水面宽度DE比为1：2，DE=2a, ..CC=a, ∴品a2=a, 解得：Q=或a=0(不符合题意，舍去) .DE-4m. 【变式5】某地计划完善公交站设施，给公交站加上顶棚，如图，公交站的顶棚由两段抛物 线：L1,L2组成，立柱DE,A0,BC均与地面EC垂直，垂足分别为E0,C,且DE=A0=BC= 米，OC=6米，抛物线L1的最高点与地面EC的距离为3米，点B,D分别在抛物线L1,L2上， 抛物线L1和抛物线L2关于A0所在直线对称.以0为坐标原点，EC所在直线为x轴，0A所在直 线为y轴建立平面直角坐标系. n (1)求抛物线L1的函数表达式： (2)如图，现要在抛物线L2的下方安装一个矩形广告牌MNPQ(点M在点Q的左侧)，MQIx 轴，且点M到地面EC的距离为米，到抛物线L2的竖直距离为米，QP与0A之间的距离为2 米，求MQ的长。 【答案】(y=-6c-3)+3: 21+3v 51 16/57 【分析】(1)由题意可知A(0,),B(6,),得到对称轴为直线x=3,根据抛物线L的最高 点与地面C的距离为3米可设抛物线L1的函数表达式为y=a(x-3)2+3,将A(0,)代入计 算即可： (2)根据抛物线L,和抛物线L2关于A0所在直线对称求出抛物线L2的函数表达式为y=一 品c+3)+3,延长NM交抛物线2于M,求出yw=27,进而求出w=-3-四，进而 可求MQ的长 【详解】(1)解：：DE=A0=BC=米，0C=6米， A(O)B(6) ∴抛物线L1的对称轴为直线x=46=3, 2 ,抛物线L1的最高点与地面EC的距离为3米， ∴.抛物线L1的顶点坐标为(3,3)， ∴.可设抛物线L1的函数表达式为y=a(x-3)+3, 将A(o,)代入y=a(x-3)2+3得=a(0-3)2+3, 解得：a=一忘 抛物线L1的函数表达式为y=一c-3)2+3 (2)解：由1)知，y=-(x-3)+3的顶点坐标为3,3)， ,抛物线L1和抛物线L2关于AO所在直线对称， .抛物线L2开口大小、方向不变，顶点坐标变为(-3,3)， 则抛物线L,的函数表达式为y=-(c+3)}+3, 如图，延长NM交抛物线L2于M, A M L B :点M到地面EC的距离为米，到抛物线L2的竖直距离为米， 17/57 yw=+写27， 此时-(xw+3)}+3=2.7, 解得：15-3-匹，w:=-3+3匹（合去， 5 ,QP与OA之间的距离为2米， ∴.MQ=-3 -2=3+3-2=1+3 5 5 题型4.销售问题 【例1】某商店销售一种商品，每件成本为50元，售价为x元，每天可销售(100-x)件， 每天的利润为y元，则y与x之间的函数关系式为() A.y=(x-50)(100-x) B.y=x(100-x) C.y=(x+50)(100-x) D.y=100x-50(100-x) 【答案】A 【分析】本题主要考查了利润问题中的函数关系建立，解题的关键是明确利润的计算公式. 根据利润的计算公式，利润=每件利润×销售数量，每件利润为(x-50)元，销售数量为 (100-x)件，代入公式即可得到y与x之间的函数关系式。 【详解】解：每件利润为(x-50)元，销售数量为(100-x)件， 每天的利润y=(x-50)(100-x), 即函数关系式为y=(x-50)(100-x), 故选：A. 【例2】某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个60元.市场调查 发现，若每个定价100元，则每月可销售300个；若每个涨价1元，则每月可少销售5个.设 每个双肩包涨价x元(x为正整数)，每月的销售量为y个. (1)直接写出y与x的函数关系式： (2)当售价定为多少元时，商店每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)y=-5x+300(1≤x≤60，x为正整数) (2)当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是12500元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，审清题意，列出函数解析式是解题的关 键。 18/57 (1)根据题意，列出函数解析式即可： (2)设每月获得利润w元，根据题意，可得w=(100+x-60)y,整理得，w=-5x2+ 100x+12000=-5(x-10)2+12500,再根据二次函数的性质取最值即可求解. 【详解】(1)解：由题可得，涨价x元，则每月可少销售5x个， 每月的销售量为y=-5x+300个， 销售量要大于或等于0， -5x+300≥0，解得x≤60，则1≤x≤60： 故答案为：y=-5x+300(1≤x≤60，x为正整数)： (2)解：设每月获得利润w元， 由题可得，w=(100+x-60)y=(40+x)(-5x+300), 整理得，w=-5x2+100x+12000=-5(x-10)2+12500, -5<0, ∴当x=10时，w取得最大值，为12500元， ∴.100+x=110, 答：当售价定为110元时，商店每月获得利润最大，最大利润是12500元 【变式1】某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售.己知每盒咸鸭蛋进价为30元，售价为x 元，每星期可卖出(250-5x)盒，当x=时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大 【答案】40 【分析】本题考查二次函数的应用，利润函数为二次函数，通过求顶点坐标得到最大值， 【详解】解：设利润为P,则P=(x-30)(250-5x)=-5x2+400x-7500. 由于二次项系数为负， 所以，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标x=一 b =- 400 =40 ×(-5) 故答案为：40. 【变式2】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单 价，且获利不得高于60%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x（元)符合一次函数， 它的图像如图所示 (件) 55 6575 (元) 19/57 (1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围： (2)记商场销售该服装获得的利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的函数关系式： (3)销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？ 【答案】(1)y=-x+120,60≤x≤96 (2)w=-x2+180x-7200 3)销售单价定为90元时，商场可获得最大利润 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意； (1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，然后由图像可把点(65,55)，(75,45)代入进 行求解即可： (2)根据(2)及利润=单个利润×总的销售量即可求解： (3)由(2)结合二次函数的性质可进行求解。 【详解】(1)解：设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，由题意， 利(9e8=5解[6二120 y与x的函数关系式为y=一x+120, 成本为60元，获利不超60%， x≤60×(1+60%)=96 .60≤x≤96： (2)解：由题意，得： w=(x-60)y=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7200: (3)解：由(2)，得w=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900, -1<0, 二次函数图像开口向下，对称轴为直线x=90, 当x=90时，w有最大值900， 答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润. 【变式3】2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如茶在省内各地开展.某体育 用品商店购进一批南通特色文旅服装，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件 (80≤x≤190).调查发现，线上的销售量为-(x-120)2+1500件；线下的销售量y 件与售价x元/件满足一次函数关系，部分数据如下表： 20/57 x(元/件) 120 130 140 150 160 y(件) 1200 1100 1000 900 800 (1)求y与x的函数关系式： (2)求当售价为多少元时，线上的销售量与线下的销售量相等； (3)求当售价为多少元时，线上和线下销售量的和有最大值. 【答案】(1)y=-10x+2400 (2)100元或180元 3)100元 【详解】(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b, 120k+b=1200 (130k+b=1100 解行-248 即y与x的函数关系式是y=-10x+2400, (2)由题意可得 -4(x-120)2+1500=-10x+2400. 解得：x1=100,x2=180. 答：当售价为每件100元或180元时，线上的销售量与线下的销售量相等】 (3)设线上和线下销售量的和为w件 则w=-4-120)2+1500+(-10x+2400) 气12+50x+300 1 =-4x-100)2+2800 “4<0,80≤x≤190 ∴.当x=100时，w取得最大值为2800 答：当售价为每件100元时，线上和线下销售量的和最大， 【变式4】某公司购进某种水果的成本为20元/kg,经过市场调研发现，这种水果在未来 48天的销售单价p(元/kg)与时间t（天)之间的函数关系式为：p= 21/57 t+30(1≤t≤24，t为整数) 且其日销售量y(kg)与时间t(天)的关系如下表： t+48(25≤t≤48，t为整数) 时间t(天) 3 6 10 20 40 日销售量y(kg) 118 114 108 100 80 40 (1)求出y与t之间的函数关系式. (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润(n<9)给“精准扶 贫”对象.现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求 n的取值范围， 【答案】(1)y=-2t+120 (2)第10天利润最大，最大利润为1250元 3)7≤n<9 【分析】(1)待定系数法求出函数解析式即可： (2)设第天的销售利润为p元，分两种情况，分别求出二次函数解析式，求最值即可： (3)设每天扣除捐赠后的日销售利润为元，求出二次函数解析式，根据二次函数的性质， 进行求解即可. 【详解】(1)解：由表格可知，y与t成一次函数关系， 设y=kt+b, 把®a到代人，何牛识 解得货1品 .y=-2t+120: (2)解：设第t天的销售利润为p元，则w=(p-20)y ①当1≤t≤24时， w=(4+30-20)(-2t+120) 22+10t+1200 =-2(t-10)2+1250: ∴.当t=10时，w最大值为1250： 22/57 ②当25≤t≤48时， w=(2+48-20(-2t+120 =t2-116t+3360 =(t-58)2-4, ,对称轴为t=58,a=1>0, ∴.在对称轴左侧w随t增大而减小， ∴.t=25时，w最大值=1085： .1085<1250, 故第10天利润最大，最大利润为1250元： (3)解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为元。 由题意m=(-2t+120)(t+30-20)-(-2t+120)n =-2t+(10+2m)t+1200-120n, “抛物线的开口向下，对称轴为直线t=-+2织=10+2m, 2×(周 ,在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间1的增大而增大， .10+2n≥24，解得n≥7， 又n<9, .7≤n<9. 题型5，投球问题 【例1】掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范图，小明发现实 心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y(米)与飞行的水平 距离x(米)之间具有函数关系y=一立2+x+停则小明这次实心球训练的成绩为() 哦 A. B.3 C.8 D.10 23/57 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是正确理解题意，根据题意把y=0代入解 析式即可求解 【详解】解：由题意，y=0时，则0=一2+x+ 解得x1=-2(舍去)，x2=10. 故选：D 【例2】掷实心球是中考体育考试的项目.如图是一男生所掷实心球的行进路线（抛物线的 一部分)的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象，且掷出时起点处高度为2m,当到 起点的水平距离为4m时，实心球行进至最高点，此时实心球与地面的距离为3m. (1)求抛物线的函数解析式： (2)在该市的评分标准中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10m时，即可得满分， 试判断该男生在此项考试中能否得满分，并说明理由（参考数据：3≈1.73）. 【答案】y=-名x+x+2 (2)能得满分，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能利用待定系数法求出二次函 数的解析式是解题的关键. (1)依据题意，设抛物线解析式为y=a(x-42+3,又将点(0,2代入得，a(0-4)2+3=2, 进而求出a,从而可以得解： (2)依据题意，结合(1)所得解析式，令y=0,则-c-42+3=0,从而可以判断 得解。 【详解】(1)解：由题意，设抛物线解析式为y=a(x-4)2+3, 又将点(0,2)代入得，a(0-42+3=2, a=-6 y三c-到2+3=高x++2 24/57 (2)解：由(1)，令y=0,则-c-4)2+3=0. 解得：x=4W3+4或x=-4W5+4(舍). ￥5≈1.73， ÷0B=4W5+4≈10.92>10. 实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10m时，即可得满分， 该男生在此项考试中能得满分 【变式1】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x（单位：m) 之间的关系是y=一立：2+号x+号他推出铅球的距离为《) A.2m B.3m C.10m D.12m 【答案】c 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，函数中自变量与函数表达的实际意义：令y=0, 计算求解即可求出结果 【详解】解：令y=0 即0=-x2+号x+月 解得：x1=10,x2=-2(舍去) .推出铅球的距离为10m: 故选：C 【变式2】某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足 球飞行的高度h(单位：m)与足球飞行的时间t(单位：s)之间具有二次函数关系，其部 分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是$. 本h(m) 2.75 0.5 1.1 I(s) 25/57 【答案】0.8 【分析】本题考查二次函数的应用，设飞行的高度h(m)与足球飞行的时间t(s)之间的二次函 数关系为h=at2+bt,用待定系数法求出h=-5t2+8t,根据二次函数的图象和性质即可 得出答案 【详解】解：设飞行的高度h(m)与足球飞行的时间t(s)之间的二次函数关系为h=at2+bt, 将(0.5,2.75)，(1.1,2.75)代入，得 0.25a+0.5b=2.75 1.21a+1.1b=2.75 解得8二日。 h=-5t2+8t, -5<0, 抛物线开口向下， 对称轴为直线x=5+型==0.8() 2 ∴足球到达最高点所需的时间是0.8s. 故答案为：0.8 【变式3】如图，一名篮球运动员在距离篮球框中心A点4m(水平距离)远处跳起投篮， 篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球 达到最大高度B点处，且最大高度为3.5m,以地面水平线为x轴，过最高点B垂直地面的 直线为y轴建立平面直角坐标系，如果篮框中心A距离地面3.05m. y 3.5B 3.05 ←2.5m 4m -2.5 .5 (1)求该篮球的运行路线（抛物线）的表达式： (2)求出篮球在该运动员出手时的高度， 【答案】(1)y=-0.2x2+3.5 (2)篮球在该运动员出手时的高度是2.25米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确求出函数解析式是解题的关 键 26/57 (1)根据题意设出抛物线的解析式为：y=ax2+3.5,将点A的坐标代入，即可求出解析 式 (2)将点C的横坐标代入，即可得出结论 【详解】(1)根据题意得：B(0,3.5),A(1.5,3.05),点C的横坐标为-2.5， 设抛物线的表达式为y=ax2+3.5, 把点A(1.5,3.05)代入得：3.05=1.52a+3.5, 解得：a=-0.2, ∴.抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5; (2)解：令x=-2.5,则y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25, ∴，篮球在该运动员出手时的高度是2.25米。 【变式4】跳水运动员在10米跳台训练中，身体（可看成一点）在空中的运动路线是如图 所示的一条抛物线.已知跳台AB=6米，跳台距水面的高度BC=10米，在距起跳点A水平 距离1米时运动员达到最大高度m米.以水面所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平 面直角坐标系x0y. VA B 跳台 跳 10米台 柱 YC EF衣 (1)当m=11时，求该抛物线的解析式. (2)在(1)的条件下，①求入水点的坐标 ②正常情况下，运动员在距水面高度5米之前必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好 入水姿势，否则会出现失误.若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距离起跳点A的水平 距离为3.5米，请判断该运动员本次训练是否会失误，并说明理由. (3)图中CE=10米，CF=12米，若运动员在区域EF内（含点E,F)入水时才能达到训练 要求，求m的取值范围. 【答案】(1)y=-(x-7)2+11 2)①入水点的坐标(7+√1工，0)：②会失误，理由见解析 27/57 (B晤≤m≤约 【分析】(1)由题意，设抛物线的解析式为y=a(x-7)2+11,因为抛物线过点(6,10)，即 可求得a=-1,得到抛物线解析式： (2)①y=-(x-7)2+11中，令y=0,即可求出入水点的坐标；②对于y=-(x-7)2+ 11,当x=9.5时，y=4.75<5,可以判定本次训练会失误： (3)设抛物线的解析式为y=k(x-7)2+m,因为抛物线过点(6,10)，解得k=10-m, 即抛物线的解析式为y=(10-m)(x-7)2+m,由运动员在区域EF内（含点E,F)入水时 才能达到训练要求，即当x=10时，y≥0，当x=12时，y≤0，可以求出m的取值范围. 【详解】(1)解：由题意，AB=6,BC=10,在距起跳点A水平距离1米时运动员达到最 大高度m米，m=11, ∴设抛物线的解析式为y=a(x-7)+11, 抛物线过点(6,10)， 10=a(6-7)2+11, 解得，a=-1, y=-(x-7)2+11: (2)①y=-(x-7)2+11,令y=0,则0=-(x-7)2+11, 解得，x=7-V1I(舍去)或x=7+V11 ∴入水点的坐标为(7+√1工，0)： ②会失误，理由如下： 对于y=-(x-7)2+11, 当x=3.5+6=9.5时，y=-(9.5-7)2+11=4.75<5, 本次训练会失误； (3)由题意，可设抛物线的解析式为y=k(x-)+m, 抛物线过点(6,10)， ÷10=k(6-7)+m, 解得，k=10-m, ∴y=(10-m)(x-7)2+m 运动员在区域EF内（含点E,F)入水时才能达到训练要求， 当x=10时，y≥0，即(10-m)10-)3+m≥0，解得m≤草 28/57 当x=12时，y≤0.即(10-m)12-刀2+m≤0，解得m≥瓷： 则m的取值花围为受≤m≤草 题型6.喷水问题 【例1】2025年东盟博览会聚焦“A赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一 台由I智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线.如图，喷水装置置于 平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为1.2米，当喷射出 的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米. 6 10 (1)求水流运行轨迹的函数解析式： (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入A科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这 棵景观树？请通过计算说明。 【答案】(y=-品c-10)2+6 (2)水流不会碰到这棵景观树，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题的关键。 (1)设抛物线的解析式为y=a(x-10)2+6,用待定系数法求解即可； (2)将x=15代入(1)中的解析式，再与4进行比较即可。 【详解】(1)解：根据题意得：水流运行轨迹的最高点的坐标为(10,6)，过点(0,1.2)， 设水流运行轨迹的函数解析式为y=a(x-10)+6, 把点(0,1.2)代入得：a(0-10)2+6=1.2, 解得：a三-总 ∴水流运行轨迹的函数解析式为y=-品仅-10)+6： (2)解：水流不会碰到这棵景观树，理由如下： 当x=15时，y=总15-102+6=48>4， ∴，水流不会碰到这棵景观树 29/57 【变式1】小北在公园进行摄影学习，发现某广场有一喷水池所喷出的水流形状像一条抛物 线，他将其拍下来，发现水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系满足y=-4x2+ 2x+当水流喷出的高度为m时，喷出水流的水平距离为（） A.(4-2W5mB.(4-2V3mc.(4+2V5mD.(4+2V3m 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意：将y=代入抛物线方程， 得到关于x的一元二次方程，求解后得到两个解，但水平距离不能为负，因此舍去负值解， 选择正值解，然后问题可求解 【详解】解：由题意可把y=代入y=-x+2x+得：号=-x2+2x+号 解得：x=4+2V5(负根舍去)： 故选C 【变式2】如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置0A,喷头A向外喷 水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出 的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+x>0),则水流喷出的最大 高度是 m Ay/m O x/m 【答案】 4 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐 标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可 【详解】解：：抛物线解析式为y=-+2x+子-(c-1)2+号 :抛物线的顶点坐标为(1)】 ∴水流喷出的最大高度是m, 故答案为：号 30/57 【变式3】某消防中队进行技能比赛，在一栋废弃高楼的10米高处的点A和正上方的点B 处设置了火源.消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与 地面的距离忽略不计)，第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且 水流的最大高度为12.5m.待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火， 使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为10m,假设两次灭火时水流的最高点 到高楼的水平距离均为2.5m.建立如图所示的平面直角坐标系， Ay/m 02.5 CD (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的表达式。 (2)若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求A,B两点之间的距离. 【答案】(1y=-x-2.5)2+12.5 (2)10m 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： (1)设水流所在抛物线的表达式为y=a(x-2.5)2+12.5,把A(0,10)代入求出a的值即可： (2)设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为y=-(x-2.5)'+c,把点D(10,0)代入求 出c的值即可. 【详解】(1)解：由题意可知，第一次灭火时水流最高点的坐标为(2.5,12.5) 设水流所在抛物线的表达式为y=a(x-2.5)2+12.5. ~点A(0,10)在抛物线上， 10=a(0-2.5)2+12.5, 解得a=-影 :消防员第一次灭火时水流所在抛物线的表达式为y三一c-25)2+12.5 (2)解：两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为 2.5m 可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析武为y=--2.5)'+c, 31/57 该抛物线过点D(10,0), 0=-号×(10-2.5)2+c, 解得c=22.5, y=0-25)2+225. 令x=0,则y=20, B(0,20). A(0,10), AB=20-10=10. 答：A,B两点之间的距离为10m. 【变式4】某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出 的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好 在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立直角 坐标系. -9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789x (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分)的函数表达式： (2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅 站立时必须在离水池中心多少米以内？ (3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱形状不变的前提下， 把水池的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变） 处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度， 【答案1)水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-吉(x-3)2+50≤x≤8)： (2)为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内： (3)扩建改造后喷水池水柱的最大高度为鳄米。 【分析】(1)根据项点坐标可设二次函数（第一象限部分）的顶点式，代入点(8,0)，求出a 值，此题得解； (2)利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论： 32/57 (3)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状 不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=x2+x+号代 入点(12,0)可求出n值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论. 【详解】(1)解：·如图所示，可知第一象限的顶点坐标为(3,5)，经过(8,0)， ∴.设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a(x-3)2+5(a≠0)， 将(8,0)代入y=a(x-3)+5,得：25a+5=0, 解得：a=- -51 ∴.水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=-(x-3)2+5(0≤x≤8). (2)当y=18时，代入得：-x-3)2+5=1.8, (x-3)2=-5×(1.8-5), (x-3)2=16, x-3=±4， X=士4+3， ∴解得：x1=7,x2=-1(舍) .为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内. (3)设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=mx2+nx+t(m≠0). :改造前，当=0时，y=言×32+5=台 又，喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合， t=治 改造前后喷出水柱形状不变， ∴m=a=言即y=-2+x+台 ,水池的直径扩大到24米， ∴.改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）与x轴交于(12,0)， 将(12,0)代入y=-+x+得： 号×12+12n+誓=0， 12n=144-16 5 33/57 n=12 号x n=岩 即y=-+器x+普=(-9)+四 “扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米。 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象 上点的坐标特征是解题的关键. 题型7.增长率问题 【例1】某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价 若干进入国家医保用药目录.如果每次降价的百分率都是x,则两次降价后的价格y(元) 与每次降价的百分率x之间的函数关系式是() A.y=300(1-x) B.y=300(1-x)2 C.y=300(1+x)2 D.y=300(1-x2) 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为x,则两次降价后的价格等于原价乘以(1一x)的平 方 【详解】解：每次降价的百分率都是x, ∴.第一次降价后价格为300(1一x), 第二次降价后价格为300(1-x)1-x)=300(1-x)2, ∴y=300(1-x)2, 故选：B. 【变式1】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放α个垃圾桶，计划第三 个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x,那么 y与x的函数关系是() A.y=a(1+x)2 B.y=a(1-x)2 C.y=(1+x)2+a D.y=x2+a 【答案】A 34/57 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量= 增长前的量×(1+增长率)，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率 为x,然后根据已知条件可得答案. 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x, 依题意得第三个月投放垃圾桶a(1+x)个， 则y=a(1+x)2. 故选：A 【变式2】某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为y万元.设每月的平均增 长率为x,则y与x之间的函数表达式为 【答案】y=30(1+x) 【分析】本题考查了二次函数的应用.由题意知，二月份的营业额30(1+x)万元，三月份 的营业额30(1+x)万元，依题意得，y=30(1+x)2 【详解】解：由题意知，二月份的营业额30(1+x)万元，三月份的营业额30(1+x)万元， 依题意得，y=30(1+x), 故答案为：y=30(1+x)2. 【变式3】为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价.若 设平均每次降价的百分率为x,该药品的原价是100元，降价后的价格是y元，则y与x的 函数关系式为 【答案】y=100(1-x)2 【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键.该药品的原价是100 元，第一次降价后是100(1-x)元，第二次降价后是100(1-x)元，据此解答即可. 【详解】解：根据题意y=100(1-x)2, 故答案为：y=100(1-x)2. 【变式4】某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润)10元，销售500件 (1)第二、三天该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，第二、三天的销 售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件. ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的10%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费 每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 35/57 【答案】(1)10% (2)①每件应张价5元：②每件涨价应为8元 【分析】(1)设第二、三天的日平均增长率为x,利用第三天的销售量=第一天的销售量×(1+ 日平均增长率)，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论： (2)①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为(10+y)元，销售数量为(500-20y) 件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量=每天总毛利润列方程求解即可： ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为(10+z)(500-20z)元，每天总纯利润为(10+ z)(500-20z)(1-10%)-0.9(500-20z)-102元，根据每天总纯利润要达到5100元， 列方程求解即可， 【详解】(1)解：设第二、三天的日平均增长率为x,根据题意，得 500(1+x)2=605, 解得：x1=10%,x2=-210%(不符合题意，舍去)， .x=10%, 答：第二、三天的日平均增长率为10%. (2)解：①设每件应张价y元，根据题意，得 (10+y)(500-20y)=6000, 解得：y1=10,y2=5, ,要使顾客得到实惠， .y=5, 答：每件应张价5元： ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 (10+z)(500-20z)(1-10%)-0.9(500-20z)-102=5100, 解得：21=Z2=8, z=8, 答：每件涨价应为8元 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方 程是解题的关键。 36/57 题型8.其他问题 【例1】图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口 宽CD为12cm,碗的最大深度EG为8cm,碗底高EF为1cm D G A 图1 图2 (1)以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体抛物线对应 的函数表达式： (2)将碗中盛汤，当汤的深度ET为6cm时，求汤面的直径PQ长， 【答案】(1y=x2+1 (2)6W3cm 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用： (1)由题意可得顶点E的坐标为(0,1)，点C的坐标为(6,9)，设抛物线对应的函数表达式为y= ax2+1,将点C(6,9)代入抛物线对应的函数表达式，即可求解； (2)把y=7代入(1)解析式可得x1=3V,x2=-3V3,即可求解. 【详解】(1)解：如图， 由题意得：顶点E的坐标为(0,1)，点C的坐标为(6,9)， 设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+1, 将点C(6,9)代入抛物线对应的函数表达式得：36a+1=9, 解得：Q=子 抛物线对应的函数表达式为：y=号x2+1: (2)解：将碗中盛汤，当汤的深度ET为6cm时，即y=7, 号x2+1=7,解得：x=35,2=-3V3, 37/57 .'PQ 6V3, 即汤面的直径PQ长为6V3cm. 【变式1】一辆电动车（如图所示）在公路上匀速行驶，它行驶的路程s(km)和时间th)之 间的关系式为s=t2+35t,那么行驶36km需要的时间为() A.1h B.h C.2h D.3h 【答案】A 【详解】解：根据题意，得36=t2+35t, 整理，得t2+35t-36=0, 解得t1=-36(不符合题意，舍去)，或t2=1, 所以行驶36km需要的时间为1h. 【变式2】“科教兴国，强国有我”.某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实 验，已知“箭"的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足的关系为h=-t2+12t+1.当“水 火箭”的升空高度为37m时，此时的飞行时间为 【答案】 65 【分析】本题考查了二次函数的应用，令升空高度h=37,代入关系式得到关于t的一元二 次方程，解方程求t,即可求解 【详解】解：由题意，令h=37,得 -t+12t+1=37, 整理得-t2+12t-36=0, 解得t1=t2=6. 故答案为6s. 【变式3】多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动，在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可 以近似的看成抛物线，阳光体育活动时间，小李和小王分别站在A、B两点进行摇绳，两位 38/57 同学的摇绳点C、D高度一致，其他小伙伴参与跳绳，已知AB=6米，AC=1.2米.当大绳 所在平面与地面垂直，且大绳的最低点E与地面刚好接触时，以点A为坐标原点，地面AB为 x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. (1)求此时抛物线的表达式： (2)若参与跳绳的同学站在点F处，EF=2米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳 过多少米，才能让绳安全通过？ 【答案】y=c-3) 2)该同学最低要跳过号米，才能让绳安全通过 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，掌握并能灵活运 用二次函数的性质是解题的关键. (1)依据题意可得：抛物线的顶点E为(3,0)，从而可设抛物线为y=α(x-3)2,又抛物 线过点A(0,1.2),将其代入求得a的值即可解答： (2)依据题意可得：点F的横坐标为5，从而点G的横坐标为5，将x=5代入(1)中的 解析式，即可解答 【详解】(1)解：由题意可得，抛物线的顶点E为(3,0)， ∴.可设抛物线为y=a(x-3)2. 又，抛物线过点A(0,1.2), .9a=1.2, 解得：a=5 2 抛物线为y=-3). (2)解：如图：过F作FG1x轴交抛物线于G, D G O(A) F B 由题意可知，点F的横坐标为3+2=5，则点G的横坐标为5， 39/57 “点G的纵坐标为y=元6-3)2=号 “该同学最低要跳过号米，才能让绳安全通过。 【变式4】如图1，成熟麦穗的形状可以看成抛物线的一部分.如图2，将麦秆所在直线作 为y轴，以水平地面上的一条直线作为x轴，建立平面直角坐标系.己知：抛物线（点A与点 B之间的部分)y=-x2+bx+b+1(0≤x≤m),m是常数，抛物线的顶点距离y轴的水平 距离是1dm,点B到x轴的距离是dm 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式： (2)求m的值. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 2明 【分析】(1)先求出这个抛物线的顶点坐标，再根据抛物线的顶点的横坐标为1可得b的值， 代入计算即可： (2)先求出点B的坐标，再代入计算即可. 【详解】(1)解：将y=-2+bx+b+1化成顶点式为y=-(（:)'+经+b+1, :这个抛物线的顶点坐标为（台+b+1) :抛物线的顶点距离y轴的水平距离是1dm,且0≤x≤m, 91, 解得b=2, .该抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3. (2)解：：点B到x轴的距离是dm,且0≤x≤m, :.B(m.) 将点8(m,)代入y=-x2+2x+3得：-m2+2m+3=子 40/57 解得m=或m=-<0(不符合题意，舍去)， 2 m的值号 >巩同练习 1.(2026甘肃陇南.一模)伞是生活中常见的一种工具，其撑开后的形状近似抛物线.如图 所示，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA,OB的交点O为原点建立平面直角坐标系，C为抛 物线与y轴的交点，点A,B在抛物线上，OA,OB关于y轴对称.已知抛物线的表达式为y=- 0.2x2+1,若点A到x轴的距离是0.6dm,则A,B两点之间的距离是() A.√2dm B.2dm C.2v2dm D.4dm 【答案】C 【分析】根据题意并结合二次函数对称性，将y=0.6代入解析式中求出A,B横坐标，即可 解题， 【详解】解：点A到x轴的距离是0.6dm,OA,OB关于y轴对称. 当y=0.6时，有-0.2x2+1=0.6, 解得x1=√2，x2=-V2, ÷A,B两点之间的距离V2-（√②=2V2(dm) 2.(25-26九年级上浙江金华.期末)金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手， 若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多 售出5斤，设每斤降价x元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为() A.y=(15+x)(30-5x) B.y=(15-x)(30+5x) C.y=(15-x)30-5x) D.y=(15+x)(30+5x) 【答案】B 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量"的基 本关系推导函数关系式。 【详解】解：每斤降价x元， 41/57 ∴.每斤盈利为(15-x)元， ,每斤降1元多售5斤，降x元 ∴.每天销量为(30+5x)斤， :总盈利y=每斤盈利×每天销量， y=(15-x)30+5x), 故选：B. 3.(25-26九年级上山东威海期末)酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越 高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系.己知某种酶在一定温度范围内， 其活性y(单位：U)与温度x(单位：℃)的关系可以近似用函数y=-x2+25x+1000 表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在 C. 【答案】25 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.根据二次函 数的性质，函数开口向下时，顶点处取得最大值，利用顶点公式求解. 【i详解】解：由函数y=-x2+25x+10可得a三-方b=25, 限点饮标一会一药一 25=25, 故当温度为25℃时，活性最高，催化反应最快. 故答案为：25. 4.(2026陕西西安.一模)掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到 落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水 平距离的二次函数.已知实心球出手时候的高度是2m,当水平距离是4m时，实心球达到 最大高度3.6m. y/m x/m (1)求满足条件的抛物线的关系式： (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平 距离不小于9.6m时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由. 【答案】(1y=-0c-4)2+3.6 42/57 (2)小明在这次投掷中得到了满分， 理由如下： y=0时，则-收-4④2+3.6=0， 解得x=10或x=-2(舍去)， ,10>9.6, ∴，小明在这次投掷中得到了满分. 【分析】(1)根据题意可得抛物线的顶点坐标，把关系式设为顶点式，再代入(0,2)即可求 出对应的关系式： (2)把y=0代入y=--)+36,即可求出x的值，再与9.6比较即可得到结果. 【详解】(1)解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为(4,3.6)， 设抛物线的关系式是y=a(x-4)+3.6(a≠0)， 把点(0,2)代入得a(0-42+3.6=2 解得a=-0 抛物线的关系式为y=-x-)+3.6: (2)略 5.（25-26九年级上广东汕尾期末)综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业.为落实国家《关于全面 加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围 墙不限长)和长度为40m的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地ABCD(如图)，用于开 展青梅育苗与管护实践活动.该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除 围墙外，篱笆仅围AD,DC,BC三边，篱笆无浪费)，请根据方案完成以下探究. 围墙 A (1)方案一：若限定矩形实践基地的CD边为10m,则矩形实践基地的AD边为m,此时 矩形实践基地的面积为 m2. (2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的AD边为xm,则用含x 的代数式表示CD边的长度为m;当AD边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最 43/57 大为多少？ 【答案】(1)15,150： (2)(40-2x)m,当AD=10m时，矩形实践基地的面积最大，最大为200m2 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键. (1)根据篱笆的长度直接计算即可： (2)根据二次函数的性质进行解题， 【详解】(1)解：，篱笆的长度为40m, 4D=4010=15m, 2 SADCB=AD×CD=15×10=150m2; 故答案为：15,150： (2)解：CD=(40-2x)m, 设矩形实践基地的面积为Sm2, 由题意，得S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200, 当x=10时，S有最大值200， 即当AD=10m时，矩形实践基地的面积最大，最大为200m2 6.(25-26九年级上·江西宜春期末)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处(0A=1米) 弹跳到人梯顶端B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点P(怎，？)】 V/ 米 x/米 (1)若将其身体（看成一个点）的路线为抛物线的一部分，求抛物线的解析式. (2)在一次表演中，己知人梯高BC=3.4米，演员弹跳到最高点P处后落到人梯上，为了这次 表演成功，一人梯离起跳点A的水平距离0C是多少米？请说明理由， 【答案】(ay=-+3x+1 (2)4米，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的应用，求二次函数的解析式 (1)先利用待定系数法求出抛物线的解析式即可： 44/57 (2)把y=3.4代入(1)中解析式即可. 【详解(1)解：P) 小设抛物线的解析式为：y=a(x-)+ .0A=1, :把M0,1)代入y=a(x-)}+中得：1=a(0-}+￥ 解得：a=- “抛物线的解析式为：y=(x-)+号 (2)解：点A的水平距离OC是4米，理由如下： 把y=34代入y=-(x-)+得： 34=-(x-}+ 解得：x1=4,x2=1（舍去)， ,点B在对称轴的右侧， ∴，人梯到起跳点A的水平最远距离是4米时，这次表演是成功的， 7.（25-26九年级上浙江绍兴，期末)如图1，玻璃杯的杯壁轮廓线AC,BD可以近似地看成某 抛物线的一部分，杯口直径AB=8cm,杯底直径CD=4cm,且ABICD,以抛物线顶点为 原点建立平面直角坐标系xOy(如图2)，此时点D与x轴的距离为2cm,杯底杯壁厚度忽略 不计. VA B D 0 (图1) (图2) (1)求抛物线解析式： (2)当倒满水时，求水的深度(AB与CD之间的距离). 【答案】(1y=x2 (2)6cm 【分析】本题考查了二次函数的应用： 45/57 (1)设抛物线的解析式为y=ax2,代入D(2,2),即可求解 (2)依题意，B的横坐标为4，将x=4代入解析式，得出B的纵坐标，进而根据点D与x轴 的距离为2cm,即可求解 【详解】(1)解：依题意，D(2,2),设抛物线的解析式为y=ax2, ∴.2=22a 解得：a号 ∴抛物线解析式为y=2x2 2 (2)解：依题意，B的横坐标为4 当x=4时，y=×4=8 又，点D与x轴的距离为2cm, ∴.AB,CD之间的距离为8-2=6(cm). ∴.当倒满水时，水的深度为6cm. 8.(25-26九年级上贵州遵义期末)独竹漂是国家级非物质文化遗产，被誉为“河上的轻 功”.如图1，表演者脚踩单根楠竹，在河面上滑行，互动表演时常常向观众抛红色绸球， 是特色的民俗节目.某次表演中，表演者在距离水面1米处，抛出一个红色绸球，绸球的运 动轨迹为抛物线（不计空气阻力），建立如图2的平面直角坐标系，绸球从抛球点A(0,1)离 开后，在点B(4,3)处达到最高. 观众区 (图1) (图2) (1)求抛物线的解析式； (2)若观众区边缘点P与原点0的水平距离为10米，问绸球能否抛到观众区，并说明理由 【答案】(1y=-(x-④+3 (2)不能抛到观众区，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意是解题的关键， (1)利用待定系数法即可求解： 46/57 (2)令y=0,求出抛物线与x轴正半轴的交点横坐标，再与10比较大小，即可得出结论. 【详解】(1)解：根据题意，设抛物线的解析式为y=a(x-4)+3, 代入A(0,1),得16a+3=1, 解得a=-言 抛物线的解析式为y=-(c-④+3： (2)解：不能抛到观众区，理由如下： 令y=0,则-(x-4)2+3=0, 解得x1=4+2V6,x2=4-2V6, V6<3, ∴，4+2V6<10, ,观众区边缘点P与原点O的水平距离为10米， .不能抛到观众区。 9.(25-26九年级上浙江台州期末)经观察，白鲸的喷水形状近似看作一条二次项系数为- 的抛物线，如图，当白鲸在水池边缘O处表演喷水时，以O为原点建立平面直角坐标系， 观众席AB段解析式为：y=x-(1≤x≤41)，测得抛物线水柱在观众席的落点处C的横 2 坐标为2，试求白鲸在O点处喷水产生的抛物线解析式. 观众席 o A 【答案】y=-x+x 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键， 根据题意求出点C的坐标，进而求解. 【详解】解：将x=2代入y=x- 则y=×2-= .c(2) 47/57 设抛物线解析式为y三-+bx, -×22+2b= 解得6=是 “该抛物线解析式为y=-2+x 10.(2025陕西中考真题)某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示， 桥L,钢缆L,L2均呈抛物线型，线段BC为桥面，线段0A为立柱，OA1BC,OA=2m,L1,L2 关于OA所在直线对称.L1的最低点到BC的距离为号m,到0A的距离为2m.以0为原点，以 BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系、 M (1)求L1所在抛物线的函数表达式： (2)现要悬挂两条灯带M1N1,M2W2来增加夜景效果，M1W1,M2N2均与BC垂直，点M1,M2分别 在L1,L2上，点N1,N2在L上，点M1,M2到OA的距离均为3m.己知L所在抛物线的函数表达 式为y=一。，求这两条灯带的总长. 【答案】y=x-2)2+月 m 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， (1)利用待定系数法求出函数解析式即可； (2)求出当x=3时，y=×6-2)2+名y=-×3子=-品即可得到答案 【详解】(1)解：由题意知，L1所在抛物线的顶点为(2)》，且过A(0,2), 设其表达式为=a(x-2)2+行 2=a(0-2)2+ 解得a=品 48/57 L1所在抛物线的函数表达式为y=(x-2)2+ (2)解：点M1,M2到0A的距离均为3m, 当x=3时，y=×6-2}+备 6×32= 9 y=- 16 MN2=MN1=名-()=器 这两条灯带的总长为×2=m 16 8 11.(2025江苏盐城中考真题)[生活观察]小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一 个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图(1)、(2) 所示 E 扣杀球近似路线 网前吊球近似路线 图(1) 图(2) 图(3) [数学建模]小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线.羽毛 球运动轨迹的剖面图如图(3)所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的 距离A0=2.4m,球网上端点B到地面的距离BC=1.55m,人与球网之间的距离0C=1.6m, 假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D,网前吊球和扣杀球的落点分别为点E、 F. （1)请在图(3)中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式. [模型应用] (2)网前吊球的落点到球网的距离CE的长是 m. (3)甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s.网前吊球时，羽毛球下降 的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h=5t2.乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲 击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s.请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球 【答案】(1)扣杀球击球路线的函数表达式为炒=-女+号网前吊球击球路线的函数表达 式为y=-品x2+号(2)，(3)乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用， 49/57 利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键 (1)以0为坐标原点，OF所在的中线为x轴，OA所在的中线为y轴，建立如图所示的坐标系， 再利用待定系数法解答即可： (2)利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点E坐标，则OE可求，利用CE=OE-OC 解答即可得出结论： (3)分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得 出结论。 【详解】解：(1)以0为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图 所示的坐标系， 则A(0,2.4),D(1.6,1.6), 设直线AD的解析式为y=kx+n, 4c42416 k=-, (n=2.4 扣杀球击球路线的函数表达式为y=+号 设网前吊球击球路线的函数表达式为y=ax2+2.4, 1.6=a×1.62+2.4, a=-高 网前吊球击球路线的函数表达式为y=-2+号 (2)令y=0.则-品2+号=0 X>0, 4x- (等o）, 0E=85m, 5 50/57 CE-06-OC--m 故答案为：8v5-8, 5 (3)对于y=-x+号，令y=0,则-x+号=0， 1 4x-4 F(号，0)， 0F=4.8 ∴AF=VOF2+OAZ +(-m, 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s, 125 5 36 5(秒) 15 g<05, “乙不能接到扣杀球的击球。 从A点击球，击球点是抛物线的最高点， 号=5， t>0, 4t- 2>05, “乙能接到网前吊球的击球 12.(2026广东东莞三模)如图1是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式 巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美誉.已知中间主跨地面宽度AB为35米，实际结构 可简化为图2所示的组合图形：上部为抛物线形，下部为矩形ABCD.某测量小组测得AD 为3米，从A点出发，沿主跨地面向右侧走2米到达点E,测得E点处对应的高度EF(即 点E上方到抛物线轮廓的竖直距离)为6.3米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛物线 顶点到地面的距离).（精确到0.1m) 51/57 图1 图2 【答案】主跨的高度约为18.3m. 【分析】以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系， 由题意可得D(3),F(,63), 设该抛物线的表达式为y=ax2+k,求出抛物线的 解析式即可解答。 【详解】解：以线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标 系，如答图所示 D -..- 0 .AB =35m, ∴0A=5m,05=-2=(m), D(3),F(6.3) 设该抛物线的表达式为y=ax2+k, 将D(要，3)F(头，63)代入，得 3=()a+k 3=()a+k a=- 1 解得 20 =293 16 该抛物线的表达式为y=一六2+器 当x=0时，y=292≈183. 16 答：主跨的高度约为18.3m. 13.(2026新疆乌鲁木齐三模)跳绳是民间常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人 同步甩动绳子.当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线.下图是小明和小亮甩绳子 到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m,并且相距4m.现在以 两人的站立点所在的直线为x轴，过小明拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平 52/57 面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式=-x2+bx+c. 小明2 小亮 (1)求绳子所对应的抛物线的解析式. (2)身高为1.6m的君君站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由. (3)身高为1.42m的小红站在绳子的下方，设她距离小明拿绳子的手为dm,为保证绳子甩 到最高处时过她的头顶，直接写出的取值范围， 【答案】(1y=-x2+x+1 (2)绳子不能过他的头顶，理由见详解 3)1.2<d<2.8 【分析】(1)由题意可知抛物线y=-x2+bx+经过点(0,1).(41)，建立方程组即可解答： (2)先理解题意，分析身高为1.6m的君君站在绳子的正下方，再把x=2代入抛物线y=- x+x+1计算，即可作答。 (3)令y=1.42,求出x,再结合二次函数的图象性质，求出d的取值范围即可. 【详解】(1)解：根据题意，抛物线y=-x+bx+c经过点(0,1，(4,1)， {2+4bfc= 解得-克， (c=1 ∴绳子所对应的抛物线的解析式为y=-后x2+x+1: (2)解：身高为1.6m的君君站在绳子的正下方，绳子不能过他的头顶.理由如下： 由(1)得抛物线的解析式为y=-x2+x+1, 对称轴为直线x= =2, 2×(周 ,身高为1.6m的君君站在绳子的正下方， 把x=2代入y=-x2+x+1,得y=-×22+×2+1=-+1+1=1.5, 1.5<1.6, 53/57 ,绳子不能过他的头顶。 (3)解：由(1)得抛物线的解析式为y=-言x2+x+1, 依题意，当y=1.42时，-x2+x+1=142 解得x=1.2或x=2.8 :函数y=-言2++1的-水0， ∴.函数的开口方向向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， 1.2<d<2.8. 14.（25-26九年级下.湖北宜昌期中)为探究三峡水电站的发电过程，某兴趣小组计划制作 水电站的模型，模型包含多个水轮发电机等组件，如图，制作一个水轮发电机需配备2个 铜线圈、1组叶片和若干其他基础配件.己知购买一个铜线圈需5元，购买一组叶片需2元 (其它基础配件库存充足，无需购买) 一叶片 内含2个铜线圈 (1)现有经费240元全部用于购买铜线圈和叶片来制作水轮发电机，该兴趣小组最多能制作 多少个水轮发电机？ (2)由于模型储水能力有限，所有水轮发电机不能同时运行.兴趣小组测试时发现：若同时 工作的发电机不超过5个，每个发电机发电功率为每秒10焦耳：若超过5个，每增加1个 发电机同时工作，每个发电机的功率每秒将减少0.4焦耳.（总发电功率=工作的发电机个 数×每个发电机的功率) ①设同时工作的发电机有x个，当x>5时，求总发电功率P(单位：焦耳/秒)关于x的函数 关系式： ②在(1)的条件下，模型的总发电功率最大是每秒多少焦耳？ 【答案】(1)20： (2)①P=-0.4x2+12x:②90 【分析】(1)设兴趣小组最多能制作a个水轮发电机，根据题意，得2×5a+2a≤240，然 54/57 后解不等式即可： (2)①当x>5时，每个发电机每秒的发电功率10-0.4(x-5)=12-0.4x,则P=x(12 0.4x)=-0.4x2+12x: ②分为当x>5时和当x≤5时两种情况，然后通过二次函数的性质分别求出P的最大值， 再比较即可， 【详解】(1)解：设兴趣小组最多能制作a个水轮发电机，根据题意，得2×5a+2a≤240 解得a≤20， ∴.兴趣小组最多能制作20个水轮发电机： (2)解：①当x>5时，每个发电机每秒的发电功率10-0.4(x-5)=12-0.4x, .P=x(12-0.4x)=-0.4x2+12x ②当x>5时，P=-0.4x2+12x=-0.4(x-15)2+90, ,5<x≤20，-0.4<0， .x=15时，总发电功率最大值：P=90(焦耳/秒)， 当x≤5时，最大总发电功率P=5×10=50(焦耳/秒)， 90>50, ∴，模型的总发电功率最大是每秒90焦耳. 15.(2026河南郑州二模)塑料大棚是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的 种植技术已经十分成熟.农户老张准备靠墙建造一个塑料大棚种植蔬菜，如图，蔬菜塑料大 棚的横截面是由抛物线的一部分AB,以墙OA所在的直线为y轴，以水平地面所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，若离y轴水平距离为2米时塑料大棚最高为3米，且点A距离地 面2米. B (1)求此抛物线的解析式： (2)为加固大棚，老张准备在距离地面米处加装多组钢架，如图，钢架CD两个端点均在抛物 线上，求钢架CD的长： (3)为更好地种植蔬菜，老张准备将A点上移米，但整个大棚的形状不变，施工完成后，在 55/57 大棚内设置多组平行的吊架，吊架底端平行于地面，在吊架上安装补光灯，增强蔬菜的光合 作用.已知吊架底端的长度为2米，吊架底端两个端点到大棚的水平距离等于0.5米，且到 地面的距离均为3米，求m的值. 【答案】(1y=-4c-2)2+3 (2)钢架CD的长为2V3米 Bm=86 【分析】(1)设顶点式y=a(x-2)2+3,再将点A(0,2)代入解析式，求出a的值，即可确 定抛物线的解析式： (2)将y=代入已求出的抛物线解析式，解出对应的两个x值，这两个x值就是点C和点D 的横坐标，最后计算两横坐标之差的绝对值，即为钢架CD的长度： (3)先根据“大棚形状不变”设出上移后的抛物线解析式，再令吊架高度y=3,求出此时大 棚在该高度的水平宽度4√m:接着结合吊架长度和两端水平距离的条件，得到水平宽度为 3米：最后通过列方程求解m的值. 【详解】(1)解：根据题意可设二次函数的解析式为：y=a(x-2)2+3, 将A(0,2)代入y=a(x-2)2+3得，4a+3=2, 解得a=-是 抛物线的解析式为：y=-c-2)2+3: (2)解：当y=时，-x-2)2+3= 解得x1=2-V5,x2=2+V3 ~2+√5-(2-3)=2W5(米)， ∴.钢架CD的长为2V3米： (3)解：设上移后的抛物线的解析式为：y=-x-2)+3+m: 由题意可知，吊架底端两个端点到地面的距离均为3米，令y=3, -子c-2+3+m=3 解得x=2士2vm, 即此时大棚在该高度的水平宽度为=2+2m-(2-2√m=4vm米， ,吊架底端的长度为2米，吊架底端两个端点到大棚的水平距离等于0.5米， 56/57 4vm=2+0.5+0.5, m=6 57/57